ARITMETICA SEM 09 - 2022 III

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 ARITMÉTICA 
 CICLO 2022 - III 
 “Números primos II” 
 
Semana N°. 9 
 
NUMERACIÓN II 
 
 
1. Descomposición canónica del 
factorial de un número entero 
positivo 
 
Para esta descomposición se 
debe analizar cada número primo 
contenido en dicho factorial y 
encontrar su respectivo 
exponente. 
 
Ejemplo: 
 
13! = 
1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x
13 
Observamos que los factores 
primos que tiene 
13! Son 2,3,5,7,11y13 
 
- 7,11y13 una sola vez 
- 5 dos veces (una en el 5 y 
otro en el 10) 
Entonces 
13! = 2𝑥 x 3𝑦 x 52x 7 x 11x13 DC 
 
En forma práctica, solo para el 
exponente del factor primo (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos solo los cocientes 
x = 6+3+1 =10 
 
 En forma práctica, solo para el exponente del 
 Factor primo (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sumamos solo los cocientes. 
 y = 4+1 = 5 
 Por lo tanto, 
 13! = 210x35x52x7x11x13 
 
2. Función de EULER o Indicador de 
un número entero positivo: 
 
Se define la función de Euler o 
indicador de N, ϕ(N) o φ(N), como la 
cantidad de números enteros positivos 
que son menores o iguales que N y 
primos entre sí con N, sea N ϵ 𝑍+ 
 
En general, si N = 𝑝𝛼, p es primo y α ϵ 
𝑍+. 
 
ϕ(N) = 𝑝𝛼−1x (p-1) 
 
Ejemplo: 
 
N = 12 
 
Primero haremos la descomposición 
canónica 
N = 22x3 
 
Entonces la función de EULER: 
 
 
 
 
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ϕ(N) = 2(2-1)(3-1) = 4 
 
 
3. Complementos del estudio de 
los divisores enteros positivos 
de un número 
 
3.1. Teorema de Euler: 
 
Si a y m son PESI, entonces 
 
 
𝑎𝜙(𝑁) = �̇� + 1 , si m>1 
 
 
3.2. Números perfectos: 
 
Un entero positivo N se 
denomina número perfecto si es 
igual a la suma de sus divisores 
propios, es decir, la suma de 
todos sus divisores es igual al 
doble de N. 
 
N = SD (propios de N) 
 
N = SD(N)-N 
2N = SD(N) 
 
 Ejemplo: 
 
Los tres primeros números 
perfectos son 6, 28y 496. 
 
Comprobamos divisores de 6 
 
SD (6) = 12 
Ahora aplicamos la fórmula 
SD(6) = 2x6 =12 por lo tanto 6 es 
 número perfecto. 
 
 
3.3. Números abundantes: 
 
Un entero positivo N se 
denomina número abundante 
si la suma de sus divisores 
propios es mayor que N. 
 
SD(propios de N) > N 
 
Ejemplo: 
Sean los divisores de 12 
12 = {1,2,3,4,6,12} 
SD (propios de 12) = 16>12 
Por lo tanto, 12 es un número 
abundante. 
 
3.4. Números defectuosos: 
 
Un entero positivo N se denomina 
número defectuoso si la suma de 
sus divisores propios es menor que 
N. 
SD (propios de N) < N 
 
Ejemplo: 
 
Sean los divisores de 91 
 
91= {1,7,13,91} 
 
SD (propios de 91) = 21<91 
 
Por lo tanto, 91 es un número 
defectuoso. 
 
 
3.5. Números amigos: 
 
Dos números enteros positivos A y B 
se denominan números amigos si la 
suma de los divisores propios de A es 
igual a B y la suma de los divisores 
propios de B es igual a A. 
 
SD (propios de A) = B y 
SD (propios de B) = A 
 
Ejemplo: 
 
Sean los números 220 y 284. 
 
SD (propios de 220) = SD (220)-220 = 
284 
 
SD (propios de 284) = SD (284)-284 = 
220. 
Por lo tanto 220 y 284 son números 
amigos. 
 
 
 
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PROBLEMAS PROPUESTOS: 
 
 
1. Si 6𝑛 divide a 30!, halle el 
mayor valor entero positivo 
que puede tomar n. 
 
a) 12 b)14 c)13 d)5 e) 10 
 
2. ¿Cuántos rectángulos de 
lados enteros existen cuyas 
áreas son iguales a 240 𝑚2? 
 
a) 5 b)6 c) 7 d)8 e)10 
 
3. Halla la suma de los 
divisores de 4200 que son 
múltiplos de 15 y PESI con 
7. 
 
a) 1250 b)1052 c)1350 d) 450 
e) 1450 
 
4. Hallar la cantidad de 
enteros positivos menores o 
igual que 72 que son PESI 
con 72. 
a) 17 b) 23 c)24 d)25 e)30 
 
5. Halle la suma de los 
enteros positivos que son 
menores o iguales que 1000 
y PESI con 1000. 
 
a) 200000 b)30000 c)40520 
d)48752 e)12504 
 
6. ¿Cuántos números 
comprendidos entre 150 y 
510 son PESI con 30? 
 
a) 48 b)52 c) 64 d)89 e)96 
 
7. Halle el residuo que se 
obtiene al dividir 912 entre 
28. 
a) 0 b)1 c)2 d)4 e)5 
 
 
 
 
8. ¿Cuántos triángulos rectángulos 
de catetos enteros existen, cuyas 
áreas son iguales a 200𝑚2? 
a) 4 b) 5 c)6 d)7 e)8 
 
9. Halle el residuo que se obtiene al 
dividir el producto de los 1000 
primeros números primos entre 
44. 
a) 14 b)18 c) 22 d)25 e)74 
 
10. ¿En cuántos ceros termina 120!? 
a) 20 b)28 c) 30 d) 32 e)48 
 
11. Sea A + 12𝑛 = 12𝑛 + 12𝑛+2 + 12𝑛+1, 
nϵ 𝑍+, halle el valor de n si sabe 
que A tiene 179 divisores propios. 
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e)1 
 
12. ¿Cuántos números enteros 
positivos menores que 7623 son 
PESI con 231? 
a) 4000 b) 3587 c) 3960 d) 48750 
e) 4512 
 
13. ¿Cuántos números naturales son 
menores y pesi con 720? 
a) 140 b) 150 c)192 c)200 e) 
150 
 
14. ¿En cuántos ceros termina el 
número 120! al ser expresado en 
base 12? 
a) 40 b)58 c) 45 d)60 e)54 
 
15. ¿En cuántos ceros termina el 
desarrollo de 50!? 
a) 10 b)11 c)12 d)13 e)15 
 
16. Si,80!,posee n divisores. 
¿Cuántos divisores posee 81!? 
a)41n/39 b) 39n/37 c) 41n/37 
d)40n/37 e) 48n/37 
 
17. ¿Cuántos divisores cuadrados 
perfectos tiene 5400000? 
a) 36 b)48 c) 24 d)30 e)15 
 
 
 
 
 
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18. La diferencia del promedio 
geométrico de los divisores 
naturales de 𝑁2 y la cantidad de 
números naturales PESI con 𝑁2, 
menores que N, es 59. ¿Cuál es la 
suma de divisores naturales de N, 
si tiene 4 divisores y es el menor 
posible? 
a) 420 b)428 c)430 d)432 
e)512 
 
19. Sea N = 𝑎𝑏𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13, si N tiene 19 
divisores primos, halle a x b 
a) 24 b) 72 c)80 d)84 e)11 
 
20. Señale el valor de verdad o 
falsedad en las siguientes 
proposiciones. 
 
I.La mayor potencia de 6 contenida 
en 120! es 623. 
II.Si N es un entero positivo impar, 
entonces ϕ(N) = ϕ(2N) 
III. Al dividir 462 x 20! Entre 23, 
obtiene 1 de residuo. 
a) FVF b) VVV c) VFV d) FFF e) 
FVV 
 
21. ¿En cuántos ceros termina 
el 100! Cuando se 
representa en el sistema de 
numeración base 24. 
a) 48 b) 45 c)40 d)36 e)32 
 
22. Si la suma de divisores de N 
es 1992, halle la suma de 
los valores que toma N. 
a) 2500 b) 2021 c)2501 
d)4521 e)2301 
 
23. Andrea debe elaborar una 
maqueta de una pista de 
baile con forma de un 
polígono regular, cuyo 
perímetro debe ser 2,4m. Si 
la longitud de cada lado 
debe ser una cantidad 
entera de centímetros, 
¿Cuántos diseños 
diferentes puede realizar 
Andrea? 
a)4 b)8 c)12 d)18 e)20 
 
24. Se convierte 100400 a base 7. 
Determine la cifra del primer 
orden. 
a) 1 b)2 c) 3 d)4 e)5 
25. ¿En cuántos ceros termina 200! 
En la base 14 
a) 2 b)32 c)49 d) 52 e)55 
 
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