Semestral Uni - Trigonometría semana 16

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Resolución de Triángulos 
Oblicuángulos
Trigonometría
¿Qué es resolver un 
triángulo Oblicuángulo?
Es encontrar la medida de 
todos sus lados y ángulos.
¿ y que se necesita 
para ello?
Se necesita conocer 
algunos de sus 
elementos del triángulo 
para poder resolverlo.
Se necesita como 
mínimo tres elementos, 
de los cuales uno debe 
ser necesariamente un 
lado.
¿ Qué elemento es 
necesario conocer ?
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
a = 2RsenA
b= 2RsenB
c= 2RsenC
A
B
C
O
R
a
b
c
A
B
C
TEOREMA DE SENOS
En todo triángulo los lados son proporcionales 
a los senos de sus ángulos opuestos
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
= 2R
R: Circunradio
enuncia que
geométricamente
TEOREMA DE COSENOS
a2 = b2 + c2 − 2bccosA
c2 = a2 + b2 − 2abcosB
b2 = a2 + c2 − 2accosB
cosA =
b2 + c2 − a2
2bc
cosC =
b2 + a2 − c2
2ba
cosB =
a2 + c2 − b2
2ac
a
b
c
A
C
b
b
POR TEOREMA DE CUERDAS
b − a b + a = c(2bccos(A) − c)
b2 − a2 = 2bccos A − c2
∴ a2 = c2 + b2 − 2bccos A
Comprobación del teorema de cosenos
En la figura mostrada AM=MC, calcule sen 𝑥 cos 𝑥
A) 
1
4
B) 
3
8
C) 
2
7
D) 
2
4
E) 
2
5
EJERCICIO 1
RESOLUCIÓN
TEOREMAS 
ADICIONALES
TEOREMA DE TANGENTES
En un triangulo 
Se cumple
TEOREMA DE PROYECCIONES
Se cumple
Para dos lados se cumple
a − b
a + b
=
tan
A − B
2
tan
A + B
2
a = bcosC + ccosB
b = acosC + ccosA
c = acosB + bcosA
Para dos lados se cumple
En un triángulo ABC (BC=a, AC=b, AB=c) se
cumple
cos A
𝑎
+
cos 𝐵
𝑏
+
cos C
𝑐
=
c
𝑎𝑏
Calcule la medida del mayor ángulo interno
del triángulo ABC
A) 90° B) 108° C) 120°
D) 135° E) 150°
EJERCICIO 2 
RESOLUCIÓN
ELEMENTOS AUXILIARES EN 
EL TRIÁNGULO
BISECTRIZ (𝑉𝑎)
𝐴
2
𝐴
2
𝑉𝑎
𝑚𝑎
MEDIANA(𝑚𝑎)
𝐕𝐛 =
𝟐𝐚𝐜
𝐚 + 𝐜
𝐜𝐨𝐬
𝐁
𝟐
𝟒𝐦𝐚
𝟐 = 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 + 𝟐𝐛𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐀)
Si BM = MC
M
𝐕𝐚 =
𝟐𝐛𝐜
𝐛 + 𝐜
𝐜𝐨𝐬
𝐀
𝟐
𝐕𝐜 =
𝟐𝐚𝐛
𝐚 + 𝐛
𝐜𝐨𝐬
𝐂
𝟐
ELEMENTOS AUXILIARES EN 
EL TRIÁNGULO
INRADIO (r) EXRADIO (𝑟𝑎) 
r
A
B
C
a
b
c
R
𝐫 = 𝐩 − 𝐚 𝐭𝐚𝐧
𝐀
𝟐
𝐫 = 𝐩 − 𝐛 𝐭𝐚𝐧
𝐁
𝟐
𝐫 = 𝐩 − 𝐜 𝐭𝐚𝐧
𝐂
𝟐
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞: 𝐏 =
𝐚 + 𝐛 + 𝐜
𝟐
𝑟𝑎
A C
B
a
b
c
r = 4Rsen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
ra = 𝐩𝐭𝐚𝐧
𝑨
𝟐
rb = 𝐩𝐭𝐚𝐧
𝐁
𝟐
rb = 𝐩𝐭𝐚𝐧
𝐂
𝟐
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR (𝕊)
A
B
C
a
b
c
𝕊 =
ab
2
senB
𝕊
A
𝕊 =
bc
2
senA
Otras relaciones
𝕊 =
abc
4R
𝕊 = ra p − a = rb p − b = rc(p − c)
𝕊 = p(p − a)(p − b)(p − c)
𝕊 = 2R2senA. senB. senC
𝕊 = pr
Notas
EL PUNTO DE BROCARD
Sea un triángulo ABC, ubicamos en el 
Interior un punto P de manera que:
m∢ABP = m∢PCB = m∢PAC = θ.
A
B
C
θ
θ
θ
P
Donde P es el “punto de Brocard”
y se cumple:
𝐜𝐨𝐭𝛉 = 𝐜𝐨𝐭𝐀 + 𝐜𝐨𝐭𝐁 + 𝐜𝐨𝐭𝐂
A
B
C
EJEMPLO
En la figura mostrada , halle el valor de θ
A
B
C
P
θ
θ
θ
RESOLUCIÓN 
𝐜𝐬𝐜𝟐𝛉 = 𝐜𝐬𝐜𝟐𝐀 + 𝐜𝐬𝐜𝟐𝐁 + 𝐜𝐬𝐜𝟐𝐂
Aplicando 𝐜𝐨𝐭𝛉 = 𝐜𝐨𝐭𝟒𝟓𝟎 + 𝐜𝐨𝐭𝟗𝟎𝟎 + 𝐜𝐨𝐭𝟒𝟓𝟎
𝐜𝐨𝐭𝛉 = 𝟏 + 𝟎 + 𝟏
𝐜𝐨𝐭𝛉 = 𝟐 → 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝟏
𝟐
𝛉 ≈
𝟓𝟑𝟎
𝟐
Un plano interseca a las aristas de un triedro 
con vértice O en los puntos A, B y C de modo 
que:
m∢AOB = M∢COB = 60o y
m∢AOC = M∢ABC = 90o.
Halle OB (en metros) si OA + OC = 10m.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
UNI 2010-II
En la figura
Si a = 3, b = 25, c = 26, tanα =
m
n
, donde
m y n son primos entre si, calcule m + n
A) 727 B) 728 C) 729
D) 730 E)730
UNI 2013-II
𝛼
𝛼
𝛼
𝑎 𝑏
𝑐
A
C
B
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e