IdentidadesTrigonometricas

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA I CICLO DEL 2005 
ESCUELA DE MATEMÁTICA CURSO PROPEDEUTICO 
 
 
 ELABORADO POR: MSC. MARIA ALICIA LEON 
 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y FÓRMULAS IMPORTANTES EN EL USO DEL 
CÁLCULO 
 
 
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
 
 
 
IDENTIDADES RECÍPROCAS 
 
x
xc
x
x
senx
x
tan
1ot ,
cos
1sec ,1csc === 
 
IDENTIDADES DE COCIENTE 
 
senx
cosxcotx ,
cos
tan ==
x
senxx 
 
IDENTIDADES PARA NEGATIVOS 
 
( ) ( ) ( ) xxxsenxxsen tanx- tan ,coscos , −==−−=− 
 
IDENTIDADES PITAGÓRICAS 
 
xxxxxxsen 222222 csccot1 ,sec1 tan ,1cos =+=+=+ 
 
IDENTIDADES DE SUMA 
 
( )
( )
( )
yx
yxyx
senxsenyyxyx
xsenyysenxyxsen
tantan1
tantantan
coscoscos
coscos
m
m
±
=±
=±
±=±
 
 
 
a 
b 
c 
B 
A C 
α 
a
b
b
a
b
c
c
b
a
c
c
asen
==
==
==
αα
αα
αα
cot tan
sec cos
csc ,
IDENTIDADES DE COFUNCIÓN 
( )
( )
( ) θθ
π
θθ
π
θθ
π
cot90tan
cot
2
tan
90cos
2
cos
cos90
cos
2
=−°
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
°
°
yy
sen
senyy
sen
yysen
 
 
IDENTIDADES DE DOBLE ÁNGULO 
xxx
x
x
xx
x
xsen
xsenx
x
xsenxxsen
tancot
2
1cot
cot2
tan1
tan22tan
1cos2
21
cos
2cos
cos22
22
2
2
22
−
=
−
=
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
=
 
 
IDENTIDADES DE MITAD DE ÁNGULO 
 
x
x
x
senx
senx
xx
xx
xxsen
cos1
cos1
cos1
cos1
2
tan
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
+
−
±=
+
=
−
=
+
±=
−
±=
 
 
TRIÁNGULOS ESPECIALES 
 
 
6
π 
4
π 
3
π 
senx 
2
1 
2
2 
2
3 
cosx 
2
3 
2
2 2
1 
tanx 
3
3 
1 3 
secx 
3
32 
2 2 
cscx 2 2 
3
32 
cotx 3 1 
3
3 
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
SENO COSENO 
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
 
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
 
 
TANGENTE COTANGENTE 
 
 
-6 -4 -2 2 4 6
-20
-10
10
20
 
-6 -4 -2 2 4 6
-30
-20
-10
10
20
30
 
 
SECANTE COSECANTE 
 
 
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-5
5
10
 
-6 -4 -2 2 4 6
-20
-15
-10
-5
5
10
15
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
1) Demuestre la identidad xsenxxx csccoscot =+ 
 
 
cscx
senx
1 
cos 
cos 
coscoscoscot
22
2
=
=
+
=
+=
+=+
senx
xsenx
senx
senx
x
senxx
senx
xsenxxx
 
 
2) Encuentre el valor de 
12
5tan π en forma radical exacta 
6412
5 πππ
+= 
 
32 
13
13 
3
11-1
3
11
 
6
tan
4
tan1
6
tan
4
tan
 
64
tan
12
5tan
+=
−
+
=
⋅
+
=
⋅−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
ππ
ππ
πππ
 
3) Demuestre la identidad: ( )
xseny
yxyx
cos
coscottan −=+ 
 
( )
coty tanx 
tanxcoty 
coscos
cosxcosy 
cos
coscos
coscos
cos
+=
+=
+=
+
=
−
xseny
senxseny
xseny
xseny
senxsenyyx
yx
yx
 
3) Calcule el valor exacto de 
12
11πsen sin usar calculadora, mediante una identidad de 
ángulo medio. 
 
2
6
11
12
11
π
π sensen = 
 
2
3-2 
2
2
3-1
 
2
6
11cos-1
 
2
6
11
12
11
=
=
=
=
π
π
π sensen
 
5) Demuestre la identidad 
x
senxxxsen
tan2
tan
2
2 −= 
 
 
2tanx
senx-tanx 
tan2
tanxcosx-tanx 
2
cos1
tanx
tanx 
2
cos1
2
2
cos1
2
2
=
=
−
⋅=
−
=
−
±=
x
x
xxsen
xxsen
 
 
PRACTICA 
Demuestre las siguientes identidades trigonométricas 
 
1) senx
senx
x
x
senx 2
1
cos
cos
1
=
+
+
+ 
2) ( )
senxseny
yxsenxy −=− cotcot 
3) 
x
senxxx
tan2
tan
2
cos2 += 
Encuentre los siguientes valores, debe de convertir los ángulos a radianes. 
 
1) °15cos 
2) °105tan 
 
 
APLICACIONES AL CÁLCULO 
 
Calcule los siguientes límites 
 
1) =
−→ πα
α
π
α 2
2lim
2
sen 
2) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
→ α
πα
π
α 6
6
2cos
lim
6 sen
 
 
3) =−→ 20
cos1lim
x
x
x 
 
Calcule la derivada por la definición de las siguientes funciones 
 
1) ( ) xsenxf 2= 
2) ( ) xxf 3cos= 
 
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 
 
1) xxy cos= en el punto ( )ππ ,− 
 
2) xxy cos2sec −= en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 1,
3
π 
 
Encuentre los puntos sobre la curva 
senx
xy
+
=
2
cos en los cuales la recta tangente es horizontal.