Algebras de Lie bajo un prisma topologico RSME

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Algebras de Lie bajo un prisma topológico
Article · January 2014
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2 authors:
Aniceto Murillo
University of Malaga
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Urtzi Buijs
University of Malaga
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La Gaceta de la RSME, Vol. 17 (2014), Núm. 4, Págs. 783–796 783
Mirando hacia el futuro
Sección a cargo de
Antonio Viruel
Cuando se conoce y aprecia mucho a una persona, la tarea de su pre-
sentación se convierte en un difícil ejercicio; nunca se está seguro de hacer
justicia al presentado sin que la alabanza parezca exagerada. Y eso ocurre
con los autores de esta entrega de nuestra sección. Así que me limitaré
a comentar que el lector disfrutará en las líneas que siguen de un estilo
de hacer matemáticas que ha creado escuela. Con un tono cercano, y con
frecuentes pinceladas de humor, los autores nos hacen un recorrido del
papel que han jugado el álgebra de Lie en ambientes afines a la Topología
Algebraica. Y sin esfuerzo nos llevarán hasta el nacimiento de una nueva
Homotopía Racional, donde las álgebras de Lie adecuadamente graduadas
nos permiten considerar ahora espacios que no son conexos.
Álgebras de Lie bajo un prisma topológico
por
Urtzi Buijs y Aniceto Murillo
Figura 1: Uno de los autores foto-
grafiado por el otro con Sophus Lie
en Nordfjordeid, su pueblo natal. . .
¡Ah! Lie es el que aparece a la de-
recha.
El apellido de Sophus Lie (1842–1899),
matemático noruego nacido en una pequeña
aldea a orillas de un bello fiordo donde se
hunden espectaculares montañas, ha dado tér-
mino a uno de los conceptos más importantes
en la geometría moderna, los grupos de Lie.
Íntima e indisolublemente ligado a este con-
cepto se sitúa otro, el de las álgebras de Lie,
que igualmente ocupa un puesto de honor por
su aplicación y versatilidad, no sólo en el es-
tudio de estructuras algebraicas formales, sino
en ramas tan dispares como la física teórica,
la geometría diferencial, la topología algebrai-
ca. . . No hay recoveco matemático donde es-
tas estructuras algebraicas estén ausentes. En
estas páginas queremos ofrecer al lector la perspectiva de estas estructuras vistas
784 Mirando hacia el futuro
por los ojos de un topólogo y el campo amplio de aplicaciones que se derivan de esta
consideración.
Comencemos por los orígenes. Los grupos de Lie fueron inicialmente etiquetados
por su inventor como grupos de transformaciones continuas en el tratado de tres
volúmenes Theorie der Transformationsgruppen [8], una formidable obra de más de
dos mil páginas publicada entre 1888 y 1893. La idea parte de la visión geométrica
original de las acciones de grupos y que ahora recordamos: cada vez que un mate-
mático X se mira al espejo rápidamente traduce este hecho en la existencia de una
biyección, homeomorfismo o isomorfismo (dependiendo si el matemático en cuestión
se ve a sí mismo como conjunto, espacio topológico o dotado de vaya usted a saber
qué otra estructura extra) f : X
∼=−→ X tal que la composición de f consigo mismo es
la identidad, f ◦ f = idX . La aplicación f es precisamente «tomar la imagen especu-
lar». Si consideramos el grupo de dos elementos Z2 = {0, 1} y denotamos f0 = idX ,
f1 = f , lo anterior se traduce en la propiedad siguiente:
fa ◦ fb = fa+b para cualesquiera a, b ∈ Z2.
Si el matemático X tuviera la particular forma de triángulo equilátero y, en lugar
de una imagen especular, la aplicación f : X → X consistiera en la rotación de 120
grados, podríamos razonar de igual forma tomando en primer lugar el grupo cíclico
de tres elementos Z3 = {0, 1,2}, denotando después f0 = idX , f1 = f , f2 = f ◦ f , y
observando finalmente que
fa ◦ fb = fa+b para cualesquiera a, b ∈ Z3.
La generalización de estos ejemplos es inmediata: si la composición de un determi-
nado conjunto de biyecciones, homeomorfismos, isomorfismos («simetrías» al fin y
al cabo) de un conjunto, espacio, X satisface las relaciones adecuadas para ser ad-
mitido en el club de los grupos, podemos denotar a cada elemento de este conjunto
por el elemento del grupo (G, ·) al que representa,
{fg : X
∼=−→ X, g ∈ G},
y de forma que se satisface la ecuación fundamental
fg ◦ fh = fg·h para cualesquiera g, h ∈ G.
Decimos entonces que el grupo G actúa en X o que G está representado por el
conjunto de «isometrías» {fg}g∈G.
La idea original de Lie fue estudiar las propiedades particulares de estas acciones
cuando tanto el espacio X como el grupo G sean variedades diferenciables (curvas,
superficies. . . ) y que cada una de las «isometrías» sea una aplicación diferenciable.
Sirva la rotación de la Tierra como muestra de la multitud de ilustrativos ejemplos
que pueden encontrarse en la naturaleza. Imaginemos por una parte a la Tierra, de
forma prosaica y nada romántica, como la esfera S2 girando alrededor de un eje. Por
otra parte, cada ángulo de rotación α lo identificamos al punto de la circunferencia
S1 al que determina. Tenemos así lafamilia de rotaciones
{fα : S2 −→ S2, α ∈ S1}
La Gaceta ? Secciones 785
parametrizada por los puntos de la circunferencia, que trivialmente satisface la ecua-
ción fundamental
fα ◦ fβ = fα+β para cualesquiera ángulos α, β ∈ G = S1.
Si nos abstraemos del conjunto de isometrías y nos quedamos simplemente con el
grupo G, independientemente de donde pueda ser representado, obtenemos la defi-
nición actual de grupo de Lie: una variedad diferenciable G donde la multiplicación
de un elemento por el inverso de otro
G×G −→ G
(a, b) 7−→ a · b−1
es una aplicación diferenciable. Existen multitud de ejemplos de grupos de Lie en
una densa literatura plagada de profundos resultados, pero no divaguemos. Al igual
que en los espacios euclídeos (que, por cierto, tienen obviamente estructura de grupo
de Lie) o en cualquier otra variedad diferenciable, el lector puede utilizar las herra-
mientas clásicas del cálculo diferencial en estos grupos, que básicamente consisten
en trasladar, en la medida de lo posible, propiedades continuas de la variedad en
cuestión en propiedades lineales del espacio vectorial tangente a la variedad en un
punto determinado. El teorema de la función inversa es un ejemplo paradigmático
de este hecho: un difemorfismo local alrededor de un punto de la variedad se traduce
en un isomorfismo del espacio tangente en ese punto.
Pues bien, el exigir simplemente que la operación de un grupo de Lie G sea
diferenciable resulta en la existencia de una operación adicional, denotada por [ , ],
en TeG, el espacio tangente a G en el elemento neutro. Esta operación, definida en
términos geométricos aunque no entraremos en ellos, resulta ser antisimétrica,
[v, w] = −[w, v], v, w ∈ TeG,
y satisface además una, extraña en principio, relación de asociatividad,[
u, [v, w]
]
+
[
w, [u, v]
]
+
[
v, [w, u]
]
= 0, u, v, w ∈ TeG.
De esta forma, entender el comportamiento diferencial del grupo de Lie G se traduce
en entender el comportamiento de esta nueva particular estructura en el espacio
vectorial TeG. Esto es lo que hicieron Cartan [2] y Killing [5], aislando esta estructura
y estudiándola de forma autónoma para que así naciera el concepto de álgebra de
Lie, término acuñado por Weyl, y que ahora definimos con todo detalle a costa de
ser pesados.
Un álgebra de Lie es un espacio vectorial L junto con una operación bilineal
llamada corchete de Lie,
[ , ] : L× L −→ L,
satisfaciendo:
[a, b] = −[b, a], a, b ∈ L (antisimetría)1;
1Si el cuerpo donde está definido L es de característica 2 habría que sustituir esta propiedad
por exigir que [a, a] = 0 para cualquier a ∈ L.
786 Mirando hacia el futuro
[
a, [b, c]
]
+
[
c, [a, b]
]
+
[
b, [c, a]
]
= 0, a, b, c ∈ L (identidad de Jacobi).
Existen miríadas de álgebras de Lie en los rincones más insospechados de la mate-
mática y la física teórica. Para no pecar de incompletitud, citemos como ejemplo
paradigmático y omnipresente de álgebra de Lie el formado por las matrices cuadra-
das de un orden dado o, equivalentemente, endomorfismos de un espacio vectorial,
con el corchete de Lie definido por el «conmutador», esto es [A,B] = AB −BA.
El estudio, clasificación y comportamiento de estas estructuras algebraicas sigue y
seguirá siendo en el futuro fuente de profundos resultados en muy diversos contextos
pero, a pesar de estar tentados de hablar de todos ellos, debemos centrarnos en el
tema que nos ocupa y explicar cómo las álgebras de Lie también aparecen de forma
natural en la topología algebraica. Debemos no obstante advertir, en primer lugar,
que la mayoría de objetos algebraicos que aparecen de forma natural en la geometría
(diferencial) y la topología (algebraica) lo hacen provistos de una graduación y un
operador diferencial o borde. Por ejemplo, consideremos el álgebra de las formas
diferenciales A(M) en una variedadM dotada con el producto y la derivada exterior.
En realidad A(M) consta de una familia de espacios vectoriales {Ap(M), p ≥ 0}.
Para que no se nos escape ningún elemento de esta familia tomamos su suma directa
y escribimos A(M) = ⊕p≥0Ap(M). Asimismo, el producto exterior de una p-forma
Ψ ∈ Ap(M) y una q-forma Φ ∈ Aq(M) es una (p+ q)-forma Ψ ∧ Φ ∈ Ap+q(M) que
además satisface Ψ∧Φ = (−1)pqΦ∧Ψ. Esto es, el producto exterior es conmutativo
en el sentido graduado. Por último, la derivada exterior es una aplicación lineal
d : A(M)→ A(M) que lleva p-formas a (p+ 1)-formas, dAp(M) ⊂ Ap+1(M), p ≥ 0,
y se comporta como derivación respecto del producto exterior,
d(Ψ ∧ Φ) = (dΨ) ∧ Φ + (−1)pΨ ∧ (dΦ).
El aficionado a la topología encontrará en las llamadas cocadenas singulares con el
producto cup y el operador borde un ejemplo análogo de álgebra graduada diferencial.
Pues bien, también las álgebras de Lie alcanzan su plena potencia en este ámbito
topológico cuando se las considera provistas de una graduación con su correspon-
diente diferencial. Comoquiera que esto es clave para la buena comprensión de lo
que sigue, merece la pena que definamos esta ampliación del concepto de álgebra de
Lie con todo detalle.
Un álgebra de Lie graduada diferencial, que denotaremos de aquí en adelante
como LGD, es un espacio vectorial graduado L = ⊕p∈ZLp dotado de:
1. Una aplicación bilineal, el corchete de Lie,
[ , ] : L× L −→ L,
que satisface [Lp, Lq] ⊂ Lp+q y verifica la antisimetría y la identidad de Jacobi en
sentido graduado, esto es:
[a, b] = −(−1)pq[b, a], a ∈ Lp, b ∈ Lq.
(−1)pr
[
a, [b, c]
]
+(−1)rq
[
c, [a, b]
]
+(−1)qp
[
b, [c, a]
]
= 0, a ∈ Lp, b ∈ Lq, c ∈ Lr.
2. Una aplicación lineal, la diferencial,
∂ : L −→ L,
La Gaceta ? Secciones 787
que satisface ∂Lp ⊂ Lp−1, ∂ ◦ ∂ = 0, y se comporta como una derivación respecto
del corchete de Lie, a saber,
∂[a, b] = [∂a, b] + (−1)p[a, ∂b], a ∈ Lp, b ∈ L.
A tal LGD la denotaremos simplemente por L.
Igualmente, definimos de manera natural el concepto de morfismo de LGD. Dadas
(L, ∂) y (L′, ∂′) dos LGD, un morfismo de LGD entre ellas no es más que una
aplicación lineal,
ϕ : L −→ L′,
que respeta las graduaciones, esto es, ϕ(Lp) ⊂ L′p y es compatible con la diferencial
y el corchete de Lie, a saber,
ϕ([a, b]) = [ϕ(a), ϕ(b)], a, b ∈ L,
∂
(
ϕ(a)
)
= ϕ(∂a), a ∈ L.
El lector curioso observará que, en efecto, la definición de LGD es una simple
generalización del correspondiente concepto «no graduado». Nótese que un álgebra
de Lie corriente y moliente L puede considerarse como la LGD L′ = ⊕p∈ZL′p donde
L′p = 0 si p 6= 0 y L′0 = L. Habrá también lectores que por otra parte reconozcan en
las LGD un caso particular de las llamadas álgebras de Lie graduadas en un grupo
abeliano G. Estos lectores observarán que nuestras LGD resultan de tomar G = Z,
el grupo de los enteros. Asimismo, las llamadas superálgebras de Lie, tan habituales
en la física teórica, resultan de tomar G = Z2, el grupo de dos elementos.
Figura 2: Daniel Quillen.
Continuemos. ¿Cómo y cuándo las LGD irrum-
pen en la topología algebraica? Pues fue allá, a fina-
les de los movidos 60, cuando Daniel Quillen (1940–
2011), extraordinario matemático estadounidense y
medallista Fields, sentaba las bases de lo que ahora
se conoce como teoría de homotopía racional. En el
artículo fundacional de esta teoría [9], Quillen «reali-
zó» de forma natural todas las LGD positivamente
graduadas, es decir, aquellas L tales que en grados
no positivos se reducen al cero más absoluto, esto es,
Lp = 0 si p ≤ 0. Además, es esencial, y lo supondre-
mos de aquí en adelante, que el cuerpo base sobre el
que están definidas es Q, los racionales. A estas LGD
las denotaremos por LGD+. Recordemos que, para
un topólogo, realizar una determinada estructura al-
gebraica consiste en construir un espacio topológico que refleje fielmente en términos
topológicos las propiedades algebraicas de la estructura dada.
Pues bien, Quillen asoció a cada LGD+ L un espacio topológico, al que denota-
remos por 〈L〉, que resulta ser arcoconexo, simplemente conexo y racional. Vayamos
por partes y recordemos en primer lugar que un espacio es arcoconexo si dos puntos
cualesquiera puedenunirse por una curva. Por otra parte, un espacio es simplemente
788 Mirando hacia el futuro
conexo si cualquier curva cerrada puede deformarse de forma continua a la curva
constante en un punto. En la figura 3, por ejemplo, el espacio X es arcoconexo y
simplemente conexo. Sin embargo, el espacio Y que resulta de quitarle a X un trozo
de su interior sigue siendo arcoconexo, pero ya no es simplemente conexo pues la
curva que aparece no puede deformarse de forma continua a la curva constante. Por
último, y sólo para el topológo aficionado, aclaremos que un espacio es racional si sus
grupos de homotopía son espacios vectoriales racionales. ¡Que no cunda el pánico!,
no utilizaremos este concepto más allá de esta somera definición para ilustración del
lector.
Figura 3: X es arcocone-
xo y simplemente conexo;
Y es arcoconexo, pero no
simplemente conexo.
Esta asociación no tendría mayor enjundia si Qui-
llen no hubiese también construido, como hizo, el pro-
ceso inverso. A saber, le asoció a cada espacio arcoco-
nexo, simplemente conexo y racional X, una LGD+ a
la que denotaremos LX , y de forma que las correspon-
dencias
L −→ 〈L〉
LX ←− X
son inversas una de otra «salvo homotopía». Es decir,
y precisamente este hecho constituye el más profundo
resultado de este artículo de Quilen, un determinado
espacio (o mejor dicho, el tipo de homotopía de un
espacio) arcoconexo, simplemente conexo y racional
X queda totalmente determinado por la LGD+ LX .
A estas alturas, el lector con inquietudes en otras
ramas estará pensando, con razón, que no sólo en la
topología aparecen las LGD. En efecto, en palabras
de Pierre Deligne, eminente matemático belga, premio Abel y también medallista
Fields, las álgebras de Lie graduadas diferenciales son ubicuas y surgen de forma
natural en cualquier teoría de deformación de estructuras algebraicas. Expliquemos
brevemente este concepto con cierto detalle situándonos, para ser más claros, en un
ejemplo concreto.
Tomemos un álgebra asociativa A (¡nada de graduaciones!). Es decir, A es un
espacio vectorial dotado de una multiplicación bilineal y asociativa,
A×A −→ A
(a, b) 7−→ a · b.
Para «deformar» esta multiplicación necesitamos otra álgebra más grande donde A
pueda estirarse y desperezarse a sus anchas. Consideremos a estos efectos las series
de potencias con coeficientes en A, que, como saben, consisten en polinomios de
infinitos términos:
A
[
[t]
]
=
{ ∞∑
i=0
ait
i, ai ∈ A
}
.
La Gaceta ? Secciones 789
Por definición, una deformación de A en A
[
[t]
]
es una nueva multiplicación bilineal
y asociativa
∗ : A
[
[t]
]
×A
[
[t]
]
−→ A
[
[t]
]
de forma que, en el término constante, este producto se reduce a la multiplicación
original de A. Es decir,( ∞∑
i=0
ait
i
)
∗
( ∞∑
i=0
bit
i
)
= a0 · b0 + c1t+ c2t2 + · · ·+ citi + · · · , ci ∈ A.
Esta construcción, que en principio sólo parece una interesante abstracción algebrai-
ca, no carece en absoluto de importancia. Recordemos como ejemplo, y con cierto
detalle, el celebrado teorema de cuantización-deformación de variedades de Poisson
de Maxim Kontsevich [6], otro extraordinario matemático, ruso-francés, y también
poseedor de la medalla Fields. Una variedad diferenciable M se dice de Poisson si
el conjunto de las funciones diferenciables en M , al que denotaremos por
A = {f : M −→ R diferenciable },
además de la estructura natural de álgebra, definida punto a punto por la suma y el
producto usual en R, admite una estructura de álgebra de Lie (¡nada de graduaciones
aquí tampoco!),
{ , } : A×A −→ A,
que además satisface
{fg, h} = f{g, h}+ g{f, h}
para cualesquiera f, g, h ∈ A.
Figura 4: Maxim Kontsevich.
Existen muchas variedades de este tipo cuya
estructura de Poisson proviene directamente de
propiedades geométricas, cuando no físicas. Por
ejemplo, todas las llamadas variedades simplécti-
cas, en particular los espacios de fases de la me-
cánica clásica, son variedades de Poisson. Pues
bien, Kontsevich ha demostrado, y en esto con-
siste su celebrado resultado, que toda estructura
de Poisson en una variedadM viene determinada
por una deformación del álgebra de funciones di-
ferenciables A como a continuación describimos.
Dada una deformación cualquiera ∗ de A en
A
[
[t]
]
, elijamos cualesquiera f, g ∈ A y conside-
remos a estos elementos como series de potencias
en A
[
[t]
]
con sólo términos constantes. Podemos
entonces escribir
f ∗ g = fg + C1(f, g)t+ C2(f, g)t2 + · · ·+ Ci(f, g)ti + · · ·
790 Mirando hacia el futuro
donde, para cada i ≥ 0, Ci puede ser considerado como una aplicación bilineal de
A × A → A. Animamos entonces al lector a que pruebe, sin más que hacer los
correspondientes cálculos, que la asociatividad y bilinealidad de ∗ se traduce en que
C1 : A×A −→ A
es una estructura de Poisson en A. Kontsevich prueba pues que toda estructura de
Poisson en una variedadM se corresponde con el corchete de Poisson C1 determinado
por una cierta deformación de A.
Vale, sí, pero. . . ¿dónde radica la importancia de este resultado? Pues hay que
situarse en las lindes entre la geometría diferencial y la física teórica. A grandes
rasgos, los llamados «observables» de la mecánica clásica no son más que funciones
diferenciables definidas sobre el espacio de fases de un determinado sistema, que co-
mo hemos dicho es una variedad de Poisson. En otros términos, los observables son
simplemente elementos del álgebra A, que además es conmutativa. En las antípodas
de la mecánica clásica se encuentra la mecánica cuántica donde, formalmente, los
observables vienen dados por ciertos operadores nada, pero nada conmutativos, de-
finidos en un determinado espacio de Hilbert. La «no conmutatividad» de, digamos,
dos observables P y Q viene medida como siempre por el conmutador PQ − QP
de tales operadores. Ciertamente parece un cambio radical en la naturaleza de los
observables que hace pensar que lo cuántico y lo clásico nada tienen que ver. Sin
embargo, el físico teórico inglés Paul Dirac (1902–1984) fue el primero que notó [3]
que definiendo un nuevo producto no conmutativo ∗ en las funciones diferenciables,
el conmutador de observables del mundo cuántico puede ser determinado mediante
el producto ∗ y la estructura de Poisson en el álgebra clásica de funciones diferencia-
bles A. Es decir, la mecánica cuántica y la clásica están sorprendente e íntimamente
relacionadas. Más tarde fue conjeturado por los geómetras y/o físico-matemáticos
Moshé Flato, André Lichnerowicz y Daniel Sternheimer2 [4] que este producto ∗
se obtiene precisamente por la deformación del producto usual en A que lleva aso-
ciado el corchete de Poisson de la variedad en cuestión como antes explicábamos.
Kontsevich, con su teorema, cierra el problema.
Después de todo lo anterior parece claro que estudiar las posibles deformaciones
de un álgebra asociativa A en A
[
[t]
]
es de sumo interés. Pero claro, como matemáti-
cos que somos, por profesión o afición, dejamos volar la imaginación y podemos pre-
guntarnos por deformaciones de cualquier estructura algebraica (no necesariamente
un álgebra) en un espacio vectorial A. Y tampoco tienen que ser deformaciones en
A
[
[t]
]
. Basta tener un anillo local R, ya saben, aquellos que tienen un único ideal
maximal M, de forma que el cociente R/M sea precisamente el cuerpo base K de A.
En estas condiciones, una deformación de A en A⊗R es una nueva operación
∗ : (A⊗R)× (A⊗R) −→ A⊗R
2Por cierto, Flato, hasta su deceso en 1992, y, posteriormente, Sternheimer fueron los directores
de tesis de los hermanos mellizos Bogdanov, famosos por el escándalo que lleva su nombre y que
en su momento puso en cuestión el sistema de recensión para aceptar artículos de física teórica en
revistas especializadas.
La Gaceta ? Secciones 791
que satisface las mismas propiedades que A, y de forma que al «cocientar» por M
nos devuelve precisamente la multiplicación original A×A→ A. Obsérvese que
A⊗R/M ∼= A⊗K ∼= A.
En nuestro ejemplo inicial, R = K
[
[t]
]
y M = K+
[
[t]
]
, esto es, las series de potencias
con coeficientesen K sin término constante.
Figura 5: Pierre Deligne.
Al conjunto de las deformaciones de
una estructura A en R se la denota por
Def(A;R), y nuevamente huelga remar-
car la importancia que el estudio de ta-
les deformaciones tiene en multitud de
situaciones.
A estas alturas pensará el lector que
los autores de estas líneas han perdido
algo el norte y divagan, con entusiasmo,
eso sí, pero alejándose del tema que aquí
les trae. No, no, bueno, no es al menos
nuestra intención. Sólo pretendemos in-
troducir al lector en la ubicuidad antes
mencionada de las LGD anunciada por
Deligne mediante el siguiente «principio»:
Las deformaciones de una estructura A en R son gobernadas por un álgebra de
Lie graduada diferencial L que naturalmente dependerá de A y de R. Explícitamen-
te, el conjunto Def(A;R) está en correspondencia biyectiva con los elementos de
Maurer-Cartan de L módulo la relación gauge entre los mismos.
Vayamos por partes. Dada L una LGD, un elemento de Maurer-Cartan es un
elemento a ∈ L−1 de grado −1 cuya diferencial satisface la llamada ecuación de
Maurer-Cartan,
∂a = −12 [a, a].
Al conjunto de elementos de Maurer-Cartan de L se le denota por MC(L). Existe
además una relación de equivalencia, la relación gauge, en los elementos de Maurer-
Cartan de L. Esta relación viene determinada por una formidable ecuación que aquí
recogemos pero a la que el lector no familiarizado no deberá prestar atención alguna.
Dos elementos a, b ∈ MC(L) son (gauge) equivalentes si existe un elemento x ∈ L
de grado 0 tal que
b = eadx(a)−
(eadx − id
adx
)
(∂x).
Si al conjunto cociente de elementos de Maurer-Cartan módulo la relación gauge lo
denotamos por MC(L)/∼G , el principio de Deligne es ahora claro: existe un álgebra
graduada diferencial L (que depende de A y de R) tal que
Def(A;R) ∼= MC(L)/∼G .
792 Mirando hacia el futuro
Pues bien, como topólogos que somos, nos encantaría, en el más puro «estilo
Quillen», realizar, dotar de topología a estas LGD para obtener propiedades intrín-
secas de las deformaciones mediante el estudio de los invariantes topológicos de la
ansiada «realización». Así, de paso, obtendríamos una inesperada correspondencia
entre la teoría de deformación y la teoría de homotopía racional. No obstante, y
desgraciadamente, no podemos aplicar los profundos resultados de Quillen que an-
tes citábamos pues las LGD que aquí aparecen distan mucho de estar positivamente
graduadas (nótese la gran cantidad de elementos de Maurer-Cartan, todos de grado
−1, que pululan en ellas). Habremos pues de empezar de cero, y eso hacemos en [1],
para construir este puente entre teorías tan dispares y dotar de sentido topológico a
cada especimen algebraico de una LGD cualquiera, eso sí, definida sobre Q, que nos
salga al paso.
Para comenzar, ¿qué sentido topológico puede tener un elemento de Maurer-
Cartan? Un detalle que no carece de importancia consiste en el hecho de que las
LGD+ de Quillen siempre contienen un único elemento de Maurer-Cartan. En efec-
to, L−1 = 0, y trivialmente ∂(0) = 0 = − 12 [0, 0]. Pues bien, dado que las LGD+
de Quillen se corresponden con espacios racionales arcoconexos (y simplemente
conexos), no es ningún disparate preguntarse si las LGD sin restricciones en su
graduación, y en particular las que aparecen en teoría de deformación, podrán ser
«realizadas» como espacios topológicos no arco-conexos. Siguiendo con esta hipóte-
sis de partida, los elementos de Maurer-Cartan serían puntos que habitarían en las
diferentes componentes arcoconexas, por lo que deberíamos ser capaces de explicar
(también topológicamente, claro) la relación de equivalencia de gauge (sí, sí, aquella
de la fórmula incomprensible) como el simple hecho de que dos puntos puedan ser
unidos por un camino.
Figura 6: Ruth Lawrence y Denis Sullivan.
Como todos saben, dos puntos
x, y ∈ X de un espacio topológico
dado están en la misma componen-
te arcoconexa si pueden ser unidos
por una curva continua. Esto es, si
existe una aplicación continua
α : I −→ X,
donde I denota el intervalo cerra-
do [0, 1], de forma que α(0) = x,
α(1) = y.
Si queremos por tanto aventurar
cuándo dos elementos de Maurer-Cartan z0, z1 ∈ MC(L) de una LGD dada van a
representar puntos de la misma componente arcoconexa, habremos de interpretar
algebraicamente el intervalo I y la curva continua α que una los elementos z0 y z1.
Como traducción algebraica del intervalo I tomamos la que aparece en un exce-
lente trabajo de Ruth Lawrence y Denis Sullivan [7] donde definen una LGD muy
especial L a la que, por motivos geométricos y sin constancia de lo que pudiera ser
La Gaceta ? Secciones 793
su realización topológica, llaman precisamente modelo de I. Explícitamente,
L = L(a, b, x)
es la LGD libre generada por los elementos a, b de grado −1 y x de grado 0. Esto
es, L está formada por todos los corchetes de Lie que se puedan formar a partir de
los elementos a, b, x sin estar sometidos a ninguna otra relación salvo, claro está, la
antisimetría y la identidad de Jacobi. La diferencial en L queda definida como sigue:
a y b son elementos de Maurer-Cartan,
∂a = −12 [a, a], ∂b = −
1
2 [b, b],
y, por último,
∂(x) = [x, b] +
∞∑
i=0
Bi
i! ad
i
x(b− a),
donde adx(b − a) = [x, b − a] y, para cada i ≥ 0, Bi denota al i-ésimo número
de Bernoulli. Recordemos al lector que estos números, tan ubicuos como las LGD,
pueden ser definidos, entre otras muchas formas, recursivamente como sigue:
B0 = 1, B1 = −1/2, Bi = −
i−1∑
k=0
(
i
k
)
Bk
i− k + 1 .
Originalmente fueron definidos, de forma independiente, por el matemático suizo
Jacob Bernoulli (1654–1705) y el matemático japonés Seki Takakazu (1642–1708) y,
como decimos, aparecen de la forma más insospechada en multitud de situaciones
(ésta que nos ocupa es una de ellas).
Figura 7: Jacob Bernoulli y Seki Takakazu.
Sigamos. Imitando entonces la
definición de arcoconexidad, dire-
mos que dos elementos de Maurer-
Cartan z0, z1 ∈ MC(L) están en
la misma componente o, mejor di-
cho, son homótopos, y denotaremos
z0 ∼L z1, si existe un morfismo de
LGD que hace el papel de la cur-
va α,
ϕ : L→ L
tal que ϕ(a) = z0 y ϕ(b) = z1.
En estas condiciones podemos
demostrar, no sin que tal tarea nos cueste la defunción de un buen número de neu-
ronas, que, en efecto, nuestras previsiones se cumplen, y esta relación de homotopía
definida en términos topológicos tan clásicos entre los elementos de Maurer-Cartan
de una LGD coincide con la relación gauge definida con anterioridad. En particular,
los conjuntos cocientes obtenidos a partir de ambas relaciones coinciden:
MC(L)/∼L = MC(L)/∼G .
794 Mirando hacia el futuro
Para evitar un exceso de notación, a este conjunto cociente lo denotaremos de aquí
en adelante simplemente por M̃C(L).
Por último, necesitamos obtener, a partir de L y de un elemento de Maurer-
Cartan z ∈ MC(L), una nueva LGD que hará el papel de componente arcoconexa
que contiene a z. Para ello, definimos a partir de ∂, la diferencial original de L, una
nueva diferencial ∂z obtenida como sigue:
∂za = ∂a+ adz a = ∂a+ [z, a].
Finalmente, construimos la nueva LGD que desempeñará ese papel buscado, a la
que llamamos localizada en z y denotamos Lz, que consiste básicamente en eliminar
de L, con la diferencial ∂z, todos los elementos de grado negativo. Explícitamente,
Lzp =
{
0 si p < 0,
Lp si p > 0,
y de L0 nos quedamos tan sólo con los ciclos de ∂z, esto es, Lz0 está formado por
aquellos elementos x ∈ L0 tales que ∂zx = 0.
Muy bien. Acabamos de poner sobre la mesa todas nuestras hipótesis de trabajo.
Ahora se ha de trabajar duro para poder contrastarlas y así lo hemos hecho. Con
métodos distintos a los de Quillen asociamos en primer lugar a cada LGD L, esta vez
no necesariamente concentrada en grados positivos, un espacio topológico que esta
vez no será tampoco arcoconexo, al que denotaremos por 〈L〉 y al que llamaremos
realización topológica de L. Posteriormente describimos con todo detalle este espacio
topológico identificando cada una de sus componentes conexas y comprobando que
nuestrashipótesis de trabajo eran las correctas. En efecto, demostramos que 〈L〉
tiene tantas componentes conexas como elementos de Maurer-Cartan módulo ho-
motopía, esto es, tantas como elementos de M̃C(L). Además, dado un tal elemento
z ∈ M̃C(L), la correspondiente componente arcoconexa de 〈L〉 es precisamente (del
tipo de homotopía de) la realización topológica 〈Lz〉 en el sentido de Quillen. Nótese
que Lz no tiene términos negativos y tiene todo el derecho del mundo a ser realizada
topológicamente según el método clásico de Quillen del que hablamos hace rato.
En resumidas cuentas, el resultado que acabamos de probar afirma que nuestro
proceso de realización topológica
〈− 〉 : LGD −→ Espacios topológicos
lleva cualquier LGD L al espacio topológico
〈L〉 =
·
∪
z∈M̃C(L)〈L
z〉.
Aquí,
·
∪ denota la unión disjunta de los espacios topológicos que le siguen y que
constituyen, por tanto, las componentes arcoconexas.
Llegados a este punto creemos finalizada la tarea que nos ocupaba y que, como
indica el título, no era otra que estudiar las álgebras de Lie graduadas diferenciales
La Gaceta ? Secciones 795
bajo una perspectiva topológica. Ahora el lector puede construir la realización topo-
lógica de su LGD favorita sin restricción alguna y traducir propiedades intrínsecas
de la LGD en cuestión en invariantes topológicos de su realización.
Finalicemos con un ejemplo ilustrativo que además deja la puerta abierta a in-
teresantes problemas. Consideremos un espacio vectorial V de dimensión finita n.
Dotémosle del corchete de Lie más sencillo que existe, el nulo. Esto es, [u, v] = 0
para cualesquiera u, v ∈ V . Este corchete hace de V un álgebra de Lie (no graduada)
llamada habitualmente álgebra de Lie abeliana. Nuestro objetivo es estudiar las de-
formaciones de esta álgebra de Lie tan simple en V
[
[t]
]
. Cabe entonces preguntarse:
¿Cuál es el espacio topológico que resulta de realizar la LGD responsable de tales
deformaciones en el sentido de Deligne?
La respuesta, a grandes rasgos, se obtiene siguiendo lo dicho en estas líneas: en
primer lugar se identifica L, la LDG responsable de estas deformaciones y que de-
pende únicamente de V , y por tanto de n. Después, mediante un proceso puramente
artesanal, se lleva a cabo la realización topológica de esta LDG para obtener que
〈L〉 es un espacio topológico que tiene una cantidad numerable de idénticas com-
ponentes arcoconexas. Cada una de ellas es (del tipo de homotopía racional de) el
espacio obtenido uniendo por un punto n2 circunferencias S1 y n espacios proyectivos
complejos de dimensión infinita CP∞.
Rápidamente, a la vista del número de componentes arcoconexas de la realización
〈L〉, deducimos inmediatamente que hay una cantidad numerable de deformaciones
distintas de la estructura de algebra de Lie abeliana V . Sin embargo, el número de
componentes arcoconexas de un espacio es el invariante topológico más sencillo que
tiene. Nos preguntamos entonces:
De forma general, dadas las deformaciones de una estructura A en R, ¿es posible
traducir algebraicamente, en términos de Def(A;R), otros invariantes topológicos
mas complejos (grupos de homotopía, de homología. . . ) de la realización de la LDG
responsable de tales deformaciones?
Apasionante problema para el que, de momento, no tenemos respuesta.
Referencias
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topy theory of L∞ algebras, Adv. Math. 236 (2013), 60–91.
[2] E. Cartan, Oeuvres complètes. Partie I. Groups de Lie, Centre National de la
Recherche Scientifique (CNRS), Paris, 1984.
[3] P. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Sciences
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[4] M. Flato, A. Lichnerowicz y D. Sternheimer, Crochet de Moyal-Vey et
quantification, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 283 (1976), no. 1, Aii, A19–A24.
[5] W. Killing, Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformations-
gruppen, Math. Ann. 31 (1888), 252–290; Math. Ann. 33 (1888), 1–48; Math.
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796 Mirando hacia el futuro
[6] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math.
Phys. 66 (2003), 157–216.
[7] R. Lawrence y D. Sullivan, A free diferential Lie algebra for the interval,
2006, http://arxiv.org/abs/math/0610949v2.
[8] S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, 1888, 1890 y 1893. Copia
digitalizada online de libre disposición en https://archive.org/.
[9] D. Quillen, Rational homotopy theory, Ann. of Math. (2) 90 (1969), 205–295.
Urtzi Buijs, Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad de Málaga,
Ap. 59, 29080 Málaga
Correo electrónico: ubuijs@uma.es
Aniceto Murillo, Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad de
Málaga, Ap. 59, 29080 Málaga
Correo electrónico: aniceto@uma.es
Página web: http://agt.cie.uma.es/~aniceto/
View publication stats
http://arxiv.org/abs/math/0610949v2
https://archive.org/
https://www.researchgate.net/publication/345953970