¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre los espacios topológicos? Un espacio topológico es un conjunto junto con una colección de s...

La respuesta correcta es (a). Solo la afirmación I es correcta.

Un espacio topológico es un conjunto junto con una colección de subconjuntos llamados conjuntos abiertos, que cumplen ciertas propiedades. Estas propiedades son:

• La unión de un conjunto abierto y un conjunto cerrado es un conjunto abierto.
• La intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
• El conjunto vacío y el conjunto total son conjuntos abiertos.

Los conjuntos cerrados son un concepto dual a los conjuntos abiertos. Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto.

Los conjuntos compactos son un concepto más avanzado en topología. Un conjunto compacto es un conjunto que tiene la propiedad de que cualquier sucesión de puntos en el conjunto tiene una subsecuente que converge a un punto del conjunto.

Por lo tanto, la afirmación II es incorrecta porque los espacios topológicos están definidos por conjuntos abiertos, no por conjuntos cerrados. La afirmación III es incorrecta porque los espacios topológicos no están definidos por conjuntos compactos.

Aquí hay algunos ejemplos de espacios topológicos:

• El conjunto de los números reales con la topología estándar.
• El conjunto de los puntos del plano con la topología euclidiana.
• El conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado con la topología de inclusión.

Estos espacios topológicos son todos definidos por conjuntos abiertos.