Metodos estadisticos

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO (UASD)
ESCUELA DE ESTADISTICA
METODOS ESTADISTICOS II(EST-223) 
Darleny K. Moran Sanchez 
Sección: 35
PRACTICA # 4
1. Explique lo que significa este enunciado: “No existe solo una distribución probabilística normal, sino familias de estas distribuciones”. 
Este enunciado quiere decir que dentro de la distribución de probabilidad normal se pueden
presentar algunas formas: Distribución de probabilidad normal con medias iguales y
distribuciones estándares diferentes, Distribución de probabilidad normal con diferentes
medias y desviaciones estándares iguales, Distribuciones de probabilidad normal con
medias y desviaciones estándares diferentes. El número de distribuciones normales es ilimitado, y cada una posee diferente media (), desviación estándar (), o ambas
2. La media de una distribución probabilística normal es de 500; la desviación estándar, 10.
a) ¿Entre qué par de valore está, aproximadamente, 68% de las observaciones?
Datos:
M=500
σ=10
M ±1σ⇒ 68.27%
500 ± (1) (10) = 500 ± 10
500+10= 510
510-10=490
Esta entre 490 y 510, determinado por 500 más menos 1(10)
b) ¿Entre qué par de valore se halla, aproximadamente, 95% de las observaciones?
m± 2σ ⇒ 95.45%
500 ± (2) (10) = 500 ± 20
500+20= 520
510-20=480
Esta entre 480 y 520, determinado por 500 más menos 2(10)
c) ¿Entre qué par de valore se encuentran prácticamente todas las observaciones?
m± 3σ ⇒ 99.75%
500 ± (3) (10) = 500 ± 30
500+30= 530
510-30=470
Esta entre 470 y 530, determinado por 500 más o menos 3(10)
3. ¿Cuál es la distribución probabilística normal estándar? ¿por qué es tan importante? 
Es aquella que su media aritmética es 0 (M=0) y su distribución estándar es 1 (σ = 1). Es importante porque se ajusta a todos los casos. Es el modelo que se utiliza para resolver cualquier problema que se ajuste a una distribución normal.
4. Las ventas netas y el número de obreros en una fábrica de estructuras de aluminio con características semejantes se organizaron en distribuciones de frecuencias. Ambos están distribuidos en forma normal. Para las ventas netas, la media = $180. millones y la desviación típica = $25 millones. Para el número de trabajadores, la media = 1,500. y desviación típica = 120. la fábrica A tuvo ventas de $170. millones y 1,850 obreros.
a) Convierta a valores z las ventas y el número de trabajadores de la compañía.
X=1850
M=1500
σ= 120
1850 –1500 = 350 / 120= 2.92 deviaciones Estándar
Área=0.4982 
b) Localice los dos valores z en una distribución normal estándar.
c) Compare las ventas y el número de obreros de la empresa con los otros fabricantes.
X=170,000
M=180,000
σ= 25,000
170,000 –180,000 = -10,000 / 25,000= -0.4 deviaciones Estándar
Área=0.155
Obreros
Ventas 
-0.40
2.92
5. Un estudio efectuado por una compañía en lo referente al pago de facturas reveló que en promedio una factura se pagó 20 días después de ser recibida. La desviación estándar fue igual a 5 días.
a) ¿Qué porcentaje de las facturas se pagó a los 15 días de recibidas?
Datos:
M=20 días
σ= 5 días
x=15 días
µ=20
P(x>15)
z= x - µ / σ
 = 15-20 /5
 = -5 /5 = -1
Z= -1 es 0.3413
El promedio de las facturas que se pagó a los 15 días es de 34.13 %
b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cualquier factura y descubrir que se pagó entre 18 y 26 días? 
z=18-15= 3
0.4 es 0.1554
z=26-15= 11
1.2 es 0.3849
0.5403 * 100= 54.03%
c) ¿Al menos cuánto días después de recibidas se pagó el 5% de las facturas?
µ=20
σ=5
z=x-20/5
Z * 5 = X – 20
Z= 0.05 - 0.05= 0.45
Z= 0.4495 es 1.64
Z=0.4505 es 1.65
Z= 1.64 + 1.65 / 2
 3.29/2 =1.645
1.645 * 5= X –20
8.225 +20 = X 
28.225= X
· 28.225 días después, aproximadamente 28 días.
6. Las comisiones anuales por agente de ventas de una empresa fabricante de maquinaria ligera, tuvo un promedio de $40,000. con una desviación estándar de $5,000. ¿qué porcentaje de los vendedores ganan entre $32,000 y $42,000? 
Datos:
µ= 40,000
σ= 5,000
z= x - µ / σ
· P (32,000<x<40,000)
z= 32,000 – 40,000 / 5,000
 = -8000 / 5000
 = -1.6 = 0
Si buscamos este valor en la tabla de áreas bajo la curva encontramos z= 0.4452
· P(42,000>x>40,000)
z= 42,000 – 40,000 / 5,000
 = 2,000 / 5,000
 = 0.4
Si buscamos este valor en la tabla de áreas bajo la curva encontramos z= 0.1554
Entonces:
z= 0.4452 + 0.1554
 = 0.6006 * 100= 60.06 %
· El 60.06 % de los vendedores ganan entre 32,000 y 42,000.
· P(x>42,000)
 42,000 – 40,000 / 5,000 
= 2,000 / 5,000 
= 0.4
Si buscamos este valor en la tabla de áreas bajo la curva encontramos z= 0.2794
El 27.94 de los trabajadores gana más de 42,000
7. Un estudio realizado por un club de acondicionamiento físico reveló que 30% de sus nuevos miembros tienen un sobrepeso de consideración. Una promoción de membresía en un área urbana dio como resultado la inscripción de 500 nuevos miembros.
Datos:
P=0.30
N=500
N*P= 500*0.30 = 150 ≥ 5
N*P= 500*0.70 = 350 ≥ 5
Calculamos medias y la desviación típica
M= √n*p*g = σ = √500*0.30*0.70 =√105 = 10.25
a) Se ha sugerido utilizar la aproximación normal a la binomial para determinar la probabilidad que, de 500 nuevos socios, 175 o más tengan sobrepeso considerable. ¿Se califica este problema como un problema binomial? Explique su respuesta.
Sí, porque existen dos resultados posibles... donde unos tienen sobre peso y el otros no tienen sobrepeso.
- El número de éxitos es el resultado de socios con sobrepeso.
- Los ensayos son independientes.
- Su probabilidad va a ser igual en los ensayos que es 0,30
b) ¿Cuál es la probabilidad que 175 o más de los nuevos socios tengan sobrepeso?
Constante= 0.5
Éxito=0.30
Fracaso 1-0.30= 0.70
tamaño=500
μ =500*0.30= 150
σ2 = 150 * 0.70= 105
σ =10.25
Z= 174.5 - 150 / 10.25 = 2.39
Área = 0,4916 
0,5 - 0,4916 = 0,0084 = 0.84%
c) ¿Cuál es la probabilidad que 140 o más de los nuevos miembros tengan sobrepeso considerable? 
Z= 139,5 -150 /10,25 = -1.02
Área= 0,3461 
0,5 +0,3461=0,8461 = 84.61%
d) Muestre las áreas y otros aspectos de los incisos b y c en forma de diagrama.
0.3461
0.4916
2.39
-1.02
8. Una industria produce cojinetes de bolas en forma automática en una máquina. Para uno de los cojinetes, la media aritmética de los diámetros se determina como 20.00mm (milímetros). La desviación estándar de la producción durante un largo período se calcula como 0.150(mm).
a) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrán diámetros entre 20.00mm y 20.27mm? 
Datos:
X=20.27 mm
M=20.00 mm
σ= 0.150
z= x-M / σ
20.27 - 20.00 ÷ 0.150= 1.8 (0.4641)
· 46.41%
b) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrán diámetros de 20.27mm o más? 
· (X ≥ 20.27)
Z=1.8
X= 0.5 - 0.4641 = 0.0359
· 3.59%
c) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrán diámetros entre 19.85mm y 20.30mm?
X=19.85 y 20.30mm
Z=19.85-20.00/0.150 = -1
-1(0.3413)
20.30 - 20.00/ 0.150 = 2 (0.4772)
0.3413 + 0.4772 = 0.8185
· 81.85%
d) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrán diámetros de 19.91mm o menos? 
X= 19.91mm o menos
Z= 19.91 -20.00 / 0.150 = -0.6
Área= 0.2257
0.5 -0.2257 = 0.2743
· 27.43%
9. La experiencia con respecto al número de pasajeros en un buque que ofrece travesías de una semana por el Caribe reveló que el número medio de pasajeros es 1,820, y la desviación estándar de la distribución normal es 120.
a) ¿Qué porcentaje de las travesías tendrán entre 1,820 y 1,970 pasajeros? 
Datos: 
M=1,820 
σ =120 
X=1,820 
X=1,970
Z1=1820-1820/120=0
Z2 =1970-1820/120=1.25
LA PROBABILIDAS ES 0.3944 * 100= 39.44%
b) ¿Qué porcentaje de los recorridos tendrán entre 1,970 pasajeros o más? 
Z1=1970-1820/120=1.25
0.5 -0.3944= 0.1056
La probabilidad es 0.1056 * 100= 10.56%
c) ¿Qué porcentaje de las travesías por el Caribe tendrán entre 1,600 o menos pasajeros? 
Z=1600-1820/120=-1.33(0.4664)
0.5 - 0.4664 = 0.0336
La probabilidad es 3.36%
10. La experiencia de una empresa química al aplicar una prueba a universitarios recién egresados que han solicitado trabajo reveló que la puntuación media de prueba fue de 500 y la desviación estándar igual a 50. la distribución de las proporciones de prueba fue normal. Con base en esta experiencia, ladirección de la empresa está considerando aceptar una persona cuya puntuación sea 6% superior de la distribución, y la contrataría directamente para un puesto de responsabilidad. ¿Cuál es la puntuación más baja que debe tener un egresado universitario para calificar para un puesto de responsabilidad?
Datos: 
M=500
X= 0.06
σ= 50
Z= X-M / σ
Z=0.06 -500 /50= -499.94 / 50= -9.9988
Z *50 = X -500
7.75 + 500= X
 507.75 =508
400 y 485
Z= 400-500 /50 = 2 (0.4772)
Z=485 –500/50=-0.3 (0.1179)
0.4772-0.1179=0.3593
· 35.93%
b) Debido al número limitado de vacantes este año, los solicitantes con puntuaciones entre 400 y 485 se pondrán en “espera” o “reserva”.
Datos:
M=500
σ =50
Z=0.4772
X=400
X=485
z= x- m / σ
 = 400 -500 ÷50 = -2
(2 = -2) = 0.4772
X=485
Z= 485-500/50 = -0.3
a) ¿Qué porcentaje de los solicitantes quedará en “espera”?
(2 = -2) = 0.4772
Z= 485-500/50 = 0.3
Z= (-2 ≥ < 0.3) 0.4772-0.1179 = 0.3593 * 1000 =359.3
· 359 solicitantes quedaran en espera.
b) ¿Si solicitaron trabajo en la empresa un total de 1,000, ¿cuántos quedarán en la clasificación de “espera”?
Datos: 
Z = 500
Área: 0,4952
P =50 - 0,4952 = 0,0048 * 2
P= 0,0096
11. Una empresa de transportes utiliza el camión de tipo Super 1310 en forma exclusiva y desea realizar un estudio de costos de mantenimiento y otros. En vez de estudiar los 3,500 camiones, se seleccionó una muestra. Esta reveló que durante el año pasado la media aritmética de la distancia recorrida por el camión fue 60,000 kilómetros. Las distancias se distribuyeron en forma normal y la desviación estándar de la muestra fue 2,000 km. Con base en los datos muestrales:
a) ¿Qué porcentaje de los camiones recorrió 65,200 Km. o más? 
M= 60,000 km
σ= 2000 km
X= 65,200 km
Z= 65,200 - 60,000 / 2,000
 = 5,200 / 2,000 = 2.6 
b) Recuerde que la empresa posee 3,500 vehículos Super 1310. Con base en lo obtenido de la muestra, ¿cuántos recorrieron 55,000 km o menos?
Z= 55,000 - 60,000 = -5000 = -2.5 (0.4840) = 48.30%
c) ¿Cuántos recorrieron 62,000 Km. o menos durante el año? 
Z= 6,2000 – 6,0000 / 2,000= 2000 /2,000 = 1
12. Los ingresos anuales (en dólares) de un gran grupo de supervisores de una compañía siguen una distribución normal, con media de $28,000 y desviación estándar de $1,200. los tiempos de servicio de los mismos supervisores también se distribuyen normalmente, con media de 20 años y desviación estándar de 5 años. Juan Martínez gana $30,400 al año y tiene 10 años de servicio.
· Datos de ingresos:
M= 28,000
σ =1,200
· Datos de tiempo de servicios:
M= 20,000
σ = 5 años
Juan Martínez Gana $30,400 y tiene un tiempo de servicio de unos 10 años.
a) Compare su ingreso con el de los otros supervisores.
Datos:
M= 28,000
σ= 1,200
X= 30,400
Z= 30,400- 28,000 / 1,200 = 2,400 / 1,200 = 2 (0.4772)
U= $ 28,000 x= $30,400
b) Compare ese tiempo de servicio con el de los otros supervisores.
M= 20 años
σ= 5 años
x= 10 años
Z= 10-20 / 5 = -10/ 5 = -2 (0.4772)
13. Un gran establecimiento de ventas al menudeo ofrece una política de aceptar devoluciones sin discusión. El número medio de clientes que devuelven artículos es 10.30 con una desviación estándar de 2.25 clientes por día.
a) ¿En qué porcentaje de los días hay menos de 8 clientes devolviendo artículos?
Datos:
M= 10.30
σ = 2.25
X= 8
Z= 8 - 10.30 / 2.25 = -2.30 / 2.25 = -1.02
A 0.3461
P (x≤8) = 0.5 - 0.3461
P(x≤8) =15.39%
b) ¿En qué porcentaje de los días hay entre 12 y 14 clientes en el departamento de devoluciones?
Datos:
M= 10.30
σ = 2.25
X= 12 y 14
Z= 12-10.30 / 2.25=1.70 / 2.25= 0.76 A (0.2704)
Z= 14-10.30 / 2.25 = 3.70 / 2.25 =1.64 A (0.4495)
P (12≤ x≤14) = 0.2704 - 0.4495= 0.1791 
c) ¿Existe alguna posibilidad que algún día no haya devoluciones?
Z= 0- 10.30 / 2.25= -4.578 
P(x=0) =0
El porcentaje de devolución tiende a cero.
14. Para envasar un refresco se utilizan botellas de plástico de dos litros, se envían en lotes de 100. los lotes tienen 5% de defectos. Algunas botellas tienen funda, otras son demasiados pequeñas, etc.
a) ¿Cuál es la probabilidad que una remesa de botellas contenga más de 8 defectuosas?
P (9) =9/5%= 1.8%
b) ¿Cuál es la probabilidad que entre 8 y 10 botellas sean defectuosas?
P (8) = 8/5=4/5=1.6%
P (10) =10/5=5/5=1%
c) ¿Cuál es la probabilidad que hay exactamente 8 defectuosas?
P (8) = 8/5=4/5=1.6%
d) ¿Cuál es la probabilidad que no haya botellas con desperfectos?
Cero (0).
15. Suponga que fracasa 10% de quienes estudian la parte de Estadística del examen para calificar como contador público. 60 estudiantes presentan el examen.
a) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente dos estudiantes fallen?
Datos:
µ=10%=6
σ=60
P= (z<2)
z= x - µ / σ
z< 2- 6 / 60 = -0.0666
Z<-0.0666 =1- (<0.0666) = 1- 0.0666= 0.9334
Si buscamos 0.9334 encontramos 0.8238, lo que equivale al 82.38%
· Por lo que la probabilidad de que fallen menos de dos estudiantes es del 82.38%
b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos dos estudiantes fracasen?
P(z>2)
z= 2- 6 / 60 = -0.0666 
Z> -0.0666= Z<-0.0666
Si buscamos 0.0666 encontramos 0.7453, lo que equivale al 74.53%
· La probabilidad de que al menos dos estudiantes fracasen es del 74.53%
16. En una línea naviera se informa que el 80% de sus camarotes se ocupan durante el mes de septiembre. En el caso de un navío que tenga 800 camarotes, ¿cuál es la probabilidad que 665 o más sean ocupados en septiembre? 
Nota: Esto es lo que se conoce como probabilidad binomial acumulada, ya que se debe calcular la probabilidad de que sea 665, 666, 668... Y así sucesivamente, se va a calcular 1 – la probabilidad acumulada x = 664
Formula:
Pk= n/x px (1 –p )n-x
Datos:
N= 800
X=664
P=0.8
Esta ecuación se repite para cada xi desde 0 hasta 664. Pero queremos conocer la probabilidad de 665 o más, por lo tanto, es 1 - P (x≤664)
P(x≤664) = 98,61 %
P(x≥665) = 1 - 98,61 =9.39%
P (E)= # Resultados Favorables/Total de Resultados Posibles
P (665) = 665/800=9.39