SEPARATA DE MATEMATICA DISCRETA 2018

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Osmar A. Bermeo Carrasco Página 1 
 
MATEMATICA DISCRETA 
(Material de apoyo de clase) 
 
 
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas 
Universidad Nacional de Ingeniería 
 
Mg.Osmar A. Bermeo Carrasco 
 
 
Lima-Perú 
2018 
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“La genialidad del ser humano no solamente 
es buscar el benefició para algunas personas 
sino para toda la humanidad” 
 
 
 
 
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Índice general 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1 
1.1.-Sistema de Numeración 
Conjunto ordenado de símbolos llamados dígitos, con reglas para realizar operaciones 
aritméticas. La Base b del sistema numérico indica la cantidad total de dígitos (símbolos) 
permitidos en dicho sistema. 
Los sistemas numéricos que más se utilizan en el diseño de sistemas digitales y la 
programación de computadoras son los siguientes. 
Decimal (b=10) 
Binario (b=2) 
Octal (b=8) 
Hexagesimal (b=16) 
Cualquier número en un sistema dado puede tener una parte entera y una parte fraccionaria. 
1.1.1.-Notación posicional 
Los dígitos de un número N tienen asignado un peso o valor según su lugar que ocupa, 
todo número N representa en el sistema por una sucesión de dígitos en base b. 
Es decir 𝑁 = (𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2𝑎𝑛−3 … . . 𝑎2𝑎1𝑎0.𝑎−1𝑎−2 ……𝑎−𝑚)𝑏 
Ejemplos 
Binario: 𝑁 = (1101.101)2 Pesos: 2
3 22 21 20 2−1 2−2 2−3 son potencias de 2 
Octal: 𝑁 = (436.43)8 Pesos: 8
2 81 80 8−1 8−2 son potencias de 8 
1.1.2.-Notación Polinomial 
Cualquier número N con base b se puede escribir como un polinomio de la forma. 
 𝑁 = (𝑎𝑛−1𝑏
𝑛−1 + ⋯…+ 𝑎2𝑏
2 + 𝑎1𝑏
1 + 𝑎0𝑏
0 + 𝑎−1𝑏
−1𝑎−2𝑏
−2 ……𝑎−𝑚𝑏
−𝑚) = ∑ 𝑎𝑖𝑏
𝑖𝑛−1
𝑖=−𝑚 
Dónde: 
n: Numero de dígitos enteros m: Numero de dígitos fraccionarios 
b: Base del sistema numérico 𝑎−𝑚 : Dígito menor significado 
 𝑎𝑛−1 : Dígito más significado (mayor peso) 
 
 
 
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Ejemplos 
 
 
Binario: N= (1001.11)2 = 1 * 2
3 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 
 
Decimal: N= (123.45)10 = 1 * 10
2 + 2 * 101 + 3 * l00 + 4 * 10-1 + 5 * 10-2 
 
Hexadecimal: N= (3A.2F)16 = 3 * 16
1 + A * 160 + 2 * 16-1 + F * 16-2 
 
Donde: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 
 
1.2.-Sistema binario 
Es un sistema de numeración posicional su base es 2 y sus elementos son 0 y 1, se 
denomina bits (binary digit). Es el sistema de numeración más usado para realizar 
operaciones aritméticas en un computador
1.2.1.- El bit 
Es el acrónimo de Binary Digit (dígito binario). Un bit es la unidad mínima de información empleada 
en informática. Representa un uno o un cero (abierto o cerrado, blanco o negro, cualquier sistema de 
codificación sirve). A través de secuencias de bits, se puede codificar cualquier valor discreto como, 
por ejemplo, números, palabras e imágenes. 
1.2.2.-El byte 
Se describe como la unidad básica de almacenamiento de información, siendo equivalente a ocho 
bits. 
Se suelen escribir los números binarios como una secuencia de grupos de cuatro bits, también 
conocidos como NIBBLES. Según el número de estas agrupaciones los números binarios se clasifican 
como: 
Unidad: Núm. bits Ejemplo: 
Bit 1 1 
Nibble 4 0101 
Byte (Octeto) 8 0000 0101 
Palabra 16 0000 0000 0000 0101 
Doble Palabra 32 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 
 
Los computadores personales con el sistema operativo MS DOS utilizaban palabras de 16 BITS. Los 
sistemas operativos actuales sobre los que corre AutoCAD 2000 utilizan Palabras de 32 BITS. 
http://es.wikipedia.org/wiki/D%EDgito
http://es.wikipedia.org/wiki/Inform%E1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Discreto
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Los prefijos kilo, mega, giga, etc. se consideran potencias de 1024 en lugar de potencias de 1000. 
Esto es así porque 1024 es la potencia de 2 (210) más cercana a 1000. 
Nombre Abrev. Factor 
kilo K 210 = 1024 
mega M 220 = 1 048 576 
giga G 230 = 1 073 741 824 
tera T 240 = 1 099 511 627 776 
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 
 
1 byte: 8 bits 
 
1 Kilobyte: 1024 bytes 
 
1 Megabyte: 1024 Kilobytes (Kb) 
1 Gigabyte: 1024 Megabytes (Mb) 
1 Terabyte: 1024 Gigabytes (Gb) 
 
1.3.-El sistema octal 
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. 
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos 
consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. 
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 
1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. 
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de 
que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. 
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para 
contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. 
Un número octal puede ser: 
 45.328 ó 45.32octal 
 Representación Octal 
Para obtener la representación decimal de un número Octal se puede utilizar 
http://es.wikipedia.org/wiki/Giga
http://es.wikipedia.org/wiki/Mil
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilo
http://es.wikipedia.org/wiki/Mega
http://es.wikipedia.org/wiki/Giga
http://es.wikipedia.org/wiki/Tera
http://es.wikipedia.org/wiki/Peta
http://es.wikipedia.org/wiki/Exa
http://es.wikipedia.org/wiki/Zetta
http://es.wikipedia.org/wiki/Yotta
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_num%C3%A9rico
http://es.wikipedia.org/wiki/Ocho
http://es.wikipedia.org/wiki/Binario
http://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal
http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal
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1.4.-Conversión entre los sistemas binario y octal 
Como se ha planteado, son fácilmente transformables, basta reagrupar 3 cifras binarias de derecha a 
izquierda y convertirlas a su equivalente octal, como se puede apreciar a continuación: 
 011011001112 = 15478 
 Donde, de derecha a izquierda: 
1112 = 78, 1002 = 48, 1012 = 58 y 0012 = 18. 
Nótese como en el dígito de la izquierda pueden faltar bits, sustituyéndolos por cero(s). 
Para realizar el proceso inverso, transformar de octal a binario, basta sustituir cada cifra en octal por 
las tres equivalentes en binario, como se muestra a continuación: 
34208 = 0111000100002 
Donde, de derecha a izquierda: 
08 = 0002, 28 = 0102, 48 = 1002 y 38 = 0112 
La base de operaciones de una microcomputadora está organizada en 8, 16 ó 32 cifras binarias, las 
cuales constituyen 3, 6 y 11 cifras octales respectivamente. 
DECIMAL BINARIO OCTAL 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 10 
9 1001 11 
10 1010 12 
11 1011 13 
12 1100 14 
13 1101 15 
14 1110 16 
15 1111 17 
 
40625.3764/28/35328*28*38*58*48 2101
1
2
10 



i
i
iaN
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1.5.-El sistema hexadecimal 
El sistema hexadecimal es un sistema de numeración vinculado a la informática, ya que las 
computadoras interpretan los lenguajes de programación en bytes, que están compuestos de ocho 
dígitos. 
Como veremos en la unidad de Hardware, el procesador 80386 hace ya más de una década 
manipulaba sin problemas números de 32 bits. Un humano necesita manejarlo de otra manera y por 
eso se inventó el sistema hexadecimal, con 16 símbolos, ya que siuno agrupa cuatro bits obtiene 16 
combinaciones posibles (24 = 16). 
Esto tiene una razón. Nuestro sistema decimal no se corresponde en la cantidad de dígitos con el 
binario en cambio, el hexadecimal si, porque cada cuatro bits representan un dígito hexadecimal 
exacto. 
En un sistema hexadecimal, necesitamos 16 símbolos. Ya que somos muy buenos manejando 
números decimales, adoptamos esos diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) para empezar, pero 
hay que agregar otros seis: A, B, C, D, E y F 
Cada trozo de información recibe un nombre propio según la cantidad de bits que posea: 
 
 
Decimal Binario Octal Hexadecimal 
0 0000 0 0 
1 0001 1 1 
2 0010 2 2 
3 0011 3 3 
4 0100 4 4 
5 0101 5 5 
6 0110 6 6 
7 0111 7 7 
8 1000 10 8 
9 1001 11 9 
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C 
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
 
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Ejemplo de número en hexadecimal: 
 1C6E.316 = 1C6E.3hexadecimal 
 Representación hexadecimal. 
Para su conversión al sistema decimal, aplicando 
 
 = 1*4096+ 12*256+ 6*16+ 14*1+ 3*1/16 
 = 7278.1875 
Nótese como hay que hacer las sustituciones basándose en las igualdades: 
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15. 
1.6.-Conversión entre los sistemas binario y hexadecimal. 
La equivalencia entre las cifras hexadecimales y binarias se muestra en la tabla anterior. En 
este caso se requieren de cuatro cifras binarias por cada cifra hexadecimal (cuatro cifras 
binarias generan 24=16 posibles combinaciones, que corresponden con 16 cifras en el sistema 
hexadecimal). 
 
El método de conversión de binario a hexadecimal es semejante al de binario a octal, sólo que ahora 
se agrupan de 4 en 4 bits de derecha a izquierda, así: 
 01011011010.10112 = 2DA.B16 
Donde (de derecha a izquierda): 
10112 = B16, 10102 = A16, 11012 = D16 y 0102 = 216 
En la conversión de hexadecimal a binario se sustituye cada cifra del sistema hexadecimal por las 
correspondientes cuatro cifras que la identifican en el sistema binario como puede apreciarse en el 
siguiente ejemplo: 
 23E.F16 = 001000111110.11112 
Donde (de derecha a izquierda): 
216 = 00102, 316 = 00112, E16 = 11102 y F16 = 11112 
40625.3764/28/353216*316*1416*616*1216*116 10123
3
1
10 



i
i
iaN
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Existen otros sistemas según su base: Trinario (0 al 2), Cuaternario (0 al 3), Duodecimal (0 al B). En 
todos ellos, los sistemas numéricos de base menor que 10 utilizan los símbolos de las primeras cifras 
del sistema decimal, los mayores o iguales a 10 las letras del alfabeto latino (A, B, C, etc.). 
 1.7.-Conversión del sistema numérico decimal al resto de los sistemas de numeración. 
Para transformar del sistema numérico decimal a cualquier otro sistema hay que trabajar por 
separado con la parte entera y la parte fraccionaria. 
Parte entera 
Para transformar la parte entera del número decimal se divide por la base del sistema al que 
se quiere transformar tantas veces como sea necesario hasta que el último cociente sea cero. 
El primer resto obtenido (r0) constituye la cifra menos significativa (la de menor peso) del 
número que se busca, mientras que el último resto (rn-1, donde n es el número de divisiones 
a ejecutar o el número de cifras del sistema destino) constituye la cifra más significativa (la 
de mayor peso) del número en cuestión. 
El número resultante sería: 
 rn-1 rn-2 rn-3 .... r0 
Ejemplos: 
1. Convertir a binario el número 250. 
Como se realizan sucesivas divisiones entre la base del sistema destino, se dividirá entre 2 
(base del sistema binario): 
 250 / 2 = 125 resto 0 r0 (Cifra menos significativa del número binario). 
 125 / 2 = 62 resto 1 r1 
 62 / 2 = 31 resto 0 r2 
 31 / 2 = 15 resto 1 r3 
 15 / 2 = 7 resto 1 r4 
 7 / 2 = 3 resto 1 r5 
 3 / 2 = 1 resto 1 r6 
 1 / 2 = 0 resto 1 r7 (Cifra más significativa del número binario). 
El número resultante sería: 
 r7 r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 = 111110102 
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Por lo tanto: 
 25010 = 111110102 
Existe un método alternativo de conversión decimal a binario denominado "potencias de 
dos", este consiste en "examinar" en primer lugar el número decimal para descubrir la mayor 
potencia de dos que se le puede restar, continuando el proceso hasta reducir el número 
decimal original a cero. 
En el ejemplo al número 250 la primera potencia de dos que se le puede restar es 128( la 
próxima de mayor orden es 256 que supera el número) por lo que la cifra del número binario 
que posea ese peso debe ser seteada, 250-128=122 y a 122 la próxima potencia de dos que 
se le puede restar es 64, la sustracción puede ser realizada por lo que la cifra binaria cuyo 
peso sea 64 debe ser seteada; así se continúa hasta que el resulta sería: 
Potencias de dos: 128 64 32 16 8 4 2 1 
Número binario: 1 1 1 1 1 0 1 0 
Lo que corresponde con la solución del ejemplo. 
2. Convertir a octal el número 160. 
Se realiza, para la conversión exigida, sucesivas divisiones entre la base del sistema octal (8). 
 160 / 8 = 20 resto 0 r0 (Cifra octal menos significativa) 
 20 / 8 = 2 resto 4 r1 
 2 / 8 = 0 resto 2 r2 (Cifra octal más significativa) 
La solución sería: 
 r2 r1 r0 = 2408 
Por tanto: 
 16010 = 2408 
3. Repita ejemplo 1 pero a través del sistema octal. 
Una forma más sencilla de convertir de decimal a binario es a través del sistema octal, que al 
tener mayor base, se necesitan menos divisiones y una vez que tenga el valor en octal, 
transferirlo a binario. 
En el caso del ejemplo 1: 
Primero se transferirá 250 a octal: 
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 250 / 8 = 31 resto 2 r0 
 31 / 8 = 3 resto 7 r1 
 3 / 8 = 0 resto 3 r2 
Tenemos pues: 
 25010 = 3728 
Basta entonces transferir el valor octal a binario de manera directa y como ya conocemos, 
utilizando la tabla: 
 3728 = 0111110102 
Como puede comprobarse, el resultado es idéntico al del ejemplo 1 
4. Convertir a hexadecimal el número 155. 
Como la base del sistema hexadecimal es 16, se realizan sucesivas divisiones entre esta base. 
 155 / 16 = 9 resto 11 r0 (Cifra menos significativa) 
 9 / 16 = 0 resto 9 r1 (Cifra más significativa) 
Como el número 11 constituye la cifra B en hexadecimal, el resultado sería: 
 r1 r0 = 9B16 
Por lo tanto: 
 15510 = 9B16 
Un método alternativo de transformar de decimal a hexadecimal lo constituye el transformar 
el número decimal a octal, este a binario y por último a hexadecimal. 
En el caso del ejemplo 4, llevaremos el valor a octal: 
 155 / 8 = 19 resto 3 
 19 / 8 = 2 resto 3 
 2 / 8 = 0 resto 2 
El valor en octal sería: 
 15510 = 2338 
El valor octal a binario: 
 2338 = 0100110112 
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El valor binario a hexadecimal: 
 0100110112 = 9B16 
Por lo que 15510 = 9B16, lo que puede ser comprobado según el resultado del ejemplo 4. 
Un mismo número decimal convertido a los distintos sistemas numéricos estudiados ilustra 
lo expresado anteriormente, de que mientras mayor es la base, menor número de cifras para 
representar un número. El valor 15510 posee 8 cifras en el sistema binario (base 2), 3 cifras 
en el sistema octal (base 8), 3 cifras en el sistema decimal (base 10) y 2 cifras en el sistema 
hexadecimal (base 16). 
Parte fraccionaria 
Para transformar la parte fraccionaria de un número decimal a otro sistema, en lugar de 
dividirla, hay que multiplicarla por la base. Cada vez que se multiplique la fracción decimal 
por la base se obtiene unaparte entera. La primera la denominamos p1 y se extrae del 
resultado para que solo quede la parte fraccionaria. Esta parte fraccionaria que queda se 
multiplica nuevamente por la base y se extrae la parte entera, que denominamos p2 y así 
sucesivamente hasta que sea necesario o se indique. 
El número resultante en la nueva base será: 
0.p1 p2 p3 p4 ... pm 
Donde m es el número de cifras de la parte fraccionaria. 
Ejemplos: 
1. Transforme en octal el número 0.32. 
 0.32*8=2.56 (p1=2) 
 0.56*8=4.48 (p2=4) 
 0.48*8=3.84 (p3=3) 
 0.84*8=6.72 (p4=6) 
 0.72*8=5.76 (p5=5) 
 . . . 
 . . . 
El método ejecutado ha sido el siguiente: 
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En primer lugar el número a convertir ha sido multiplicado por la base del sistema que se 
desea (8), al resultado (2.56) se le ha extraído la parte entera (2) y este constituirá la cifra 
más significativa de la parte fraccionaria, al extraérsele a 2.56 la parte entera queda 0.56, al 
que se le multiplica la base; al resultado (4.48) se le extrae la parte entera (4) y constituirá la 
próxima cifra de la fracción del número, este proceso continúa sucesivamente. 
Se puede plantear entonces que: 
 0.4210 = 0.24365...8 
Note como el resultado no ha sido exacto, a nosotros corresponde seleccionar el número de 
cifras fraccionarias para una precisión deseada. 
2. Convertir el número 0.12510 a binario. 
Como la base del sistema binario es 2, ahora las multiplicaciones sucesivas serán por este 
término: 
 0.125*2=0.250 (p1=0) (Cifra más significativa de la parte fraccionaria) 
 0.250*2=0.500 (p2=0) 
 0.500*2=1.000 (p3=1) 
 0.000*2=0.000 (p4=0) 
Y las cifras sucesivas seguirán siendo cero. Por tanto: 
 0.12510 = 0.0012 
Un método más rápido puede ser el transformar la fracción decimal a octal y posteriormente 
a binario. En el ejemplo: 
 0.125*8=1.000 (p1=1) 
 0.000*8=0.000 (p2=0) Y las cifras sucesivas seguirán siendo cero. 
Se puede entonces afirmar: 
 0.12510 = 0.18 
Y de octal a binario: 
 0.18=0.0012 
Como habíamos calculado. 
Para realizar la conversión de números fraccionarios decimales a números fraccionarios 
hexadecimales, es conveniente utilizar el octal como intermediario. 
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1.8.-Operaciones en el sistema binario 
a) Suma binaria 
Las tablas 1.1a y b muestran las tablas de suma y multiplicación, respectivamente, para el 
sistema numérico binario. Las tablas son muy pequeñas ya que sólo hay dos dígitos, o bits, 
en el sistema. En consecuencia, la aritmética binaria es muy sencilla. Observe que la suma 
1 + 1 produce un bit se suma de 0 y un bit de acarreo de 1. El acarreo debe sumarse a la 
siguiente columna de bits para realizar la suma en el patrón normal, de derecha a izquierda. 
+ 0 1 
0 0 1 
1 1 10 
Tabla 1.1 a 
* 0 1 
0 0 0 
1 0 1 
Tabla 1.1 b
1.- 1010101+ 2.- 101010111+ 
 10111 100111011 
 1 101100 1010010010 
b) Resta Binaria 
La resta se puede visualizar como el inverso de la suma. Las reglas para la resta binaria se 
derivan directamente de la tabla de suma binaria y son: 
 1 - 0 = 1 
 1 - 1 = 0 
 0 - 0 = 0 
0 - 1 = 1 tomando prestado 1, o 10 - 1 = 1 
La última regla muestra que si se resta un bit 1 de un bit 0, hay que tomar prestado un 1 de 
la siguiente columna más significativa. Los préstamos se propagan hacia la izquierda de 
columna en columna, como se ilustra a continuación. 
Ejemplos 
1.-Restar los dos números binarios (1001101)2 y (10111)2 
 10 
 10 - 1 = 1 0 1 10 0 0 10 
 100 - 1 = 11 1 0 0 1 1 0 1 
 1000 - 1 = 111 1 0 1 1 1 - 
 0 1 1 0 1 1 0 
 
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2.- 10011012 - 
 101112 
 ____________ 
 1101110 
c) Multiplicación Binaria 
La multiplicación binaria se realiza en forma similar a la multiplicación decimal, excepto que las 
operaciones de multiplicación binaria son mucho más sencilla. No obstante, se debe tener mucho 
cuidado al sumar los productos parciales, como se ilustra en el siguiente ejemplo. 
Ejemplo 
 
Multiplicar (10111)2 por (1010)2 
 
Observe que hay un producto parcial por cada bit del multiplicador. Este procedimiento puede 
realizarse con mayor eficiencia si sólo recorremos una columna a la izquierda, en vez de anotar un 
producto parcial con ceros para un bit 0 del multiplicador. Este ejemplo nos sirve para ver lo sencillo 
de este procedimiento. 
d) División Binaria 
La división binaria se realiza utilizando el mismo procedimiento de prueba y error de la 
división decimal. Sin embargo, la división binaria es más sencilla pues sólo hay que intentar 
con dos valores. Se restan del dividendo copias de los términos del divisor, de lo cual se 
obtienen residuos intermedios positivos. El siguiente ejemplo ilustra la división binaria. 
 
 
 
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Ejemplo 1.4 
Dividir (1110111)2 entre (1001)2 
 
 
1.9.-Representación de Datos 
Los datos pueden ser numéricos y alfanuméricos 
 Sin signo 
Numéricos: Enteros: Con signo 
 BCD(Decimal codificado en binario) 
 
 Punto Fijo 
 Reales: Punto flotante y Normalizado 
 
 
Alfanuméricos: *ASCII (7 bits: Representa 128 símbolos) 
*EBCDIC(8bits: Representa 256 símbolos) 
 
1.9.1.- Números Enteros: 
 
 
Dado que ningún ordenador puede almacenar los enteros se han desarrollado dos categorías 
de representación que se detallara a continuación, que en efecto para hacerlo requerimos 
un número infinito de bits, lo cual significa tener un ordenador con capacidad infinita. 
 
 
R 
0 
z+ z- 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 18 
 
Para usar la memoria de un ordenador de manera más eficiente se han desarrollado dos 
categorías de representación de los enteros, donde lo representaremos en el siguiente 
esquema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Números sin signo 
Los números sin signo se representan en binario, si se dispone de “n” bits se puede 
codificar 2n números (combinaciones). 
Ejemplo. 
Si n=4 se pueden codificar de 0-15 
N Binario 
0 → 0000 
1 → 0001 
2 → 0010 
3 → 0100 
. . . 
. . . 
. . . 
15 → 1111 
 
 En general el rango es 0 ≤ 𝑁 ≤ 2𝑛 − 1 
 
 
NUMEROS ENTEROS 
CON SIGNO 
COMPLEMENTO A UNO SIGNO-MAGNITUD 
M 
COMPLEMENTO A DOS 
SIN SIGNO 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 19 
 
Complemento a uno y complemento a dos de números binarios 
i) Complemento a uno (ca1) 
Consiste en complementar cada bit, es decir se cambia 1 por 0, y 0 por 1 
Ejemplo. 
Sea el número binario 100111012 → 01100010 (ca1) 
 
ii) Complemento a dos (ca2) 
Consiste en aplicarle el complemento a uno al número binario y luego sumarle uno 
Ejemplo. 
Sea el número binario 100111012 → 01100010 (ca1)+1→ 01100011 (ca2) 
 
b) Números con signo 
Si se dispone de “n” bits, se designa un bit para indicar el signo, este siempre ocupa la 
posición más significativa, el resto de (n-1) bits se emplean para indicar la magnitud. 
Existen varios formatos para codificar números enteros con signo, para números positivos 
el bit más significativo es 0, para números negativos el bit más significativo es 1 
 
Bit de signo 
0: Positivo 
1:Negativo 
 
Existen los siguientes formatos para números con signo 
 
c) Formato signo magnitud 
Si se dispone de “n” bits, el primer bit de la izquierda representa el signo, donde cero 
representa positivo, y uno representa negativo. El valor absoluto del número serepresenta 
en base 2, en los (n-1) restantes. 
 
Ejemplo 1 
 -5 se representa por: 1101 
 5 se representa por: 0101 
Ejemplo 2 
Interpretar 101110112 en el sistema decimal si el número se almacena como un entero de 
signo y magnitud. 
 
1 0111011 = -59 
S M N 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 20 
 
 
Ejemplo 3 
Representar los números -27 y +27 en signo-magnitud usando 8 bits. 
 
-27 1 0011011 
+27 0 0011011 
 
Rango −(2𝑛−1 − 1) ≤ 𝑁 ≤ +(2𝑛−1 − 1), donde n es el número de bits a utilizar. 
 
d) Complemento a uno 
Si se dispone de “n” bits y sea N el número. 
Si 𝑁 ≥ 0, se le representa se le representa igual que el formato signo magnitud. 
Si 𝑁 < 0, se le representa como el complemento a uno, es decir se cambia uno por cero y 
cero por uno, de la representación del valor absoluto de N. 
 
Ejemplo 
 
Exprese +27 y -27 como complemento a uno con n=8 bits 
 
+27 se representa por: 00011011 
-27 se representa por: |−27| → 00011011 → 11100100 
 
Rango: (2𝑛−1 − 1) ≤ 𝑁 ≤ +(2𝑛−1 − 1) 
 
e) Complemento a dos 
Si se dispone de “n” bits y sea N el número. 
Si 𝑁 ≥ 0, se le representa se le representa igual que el formato signo magnitud. 
Si 𝑁 < 0, se le representa como el complemento a dos, es decir se cambia uno por cero y 
cero por uno y luego se le suma uno, de la representación del valor absoluto de N. 
 
Ejemplo 1 
 
Exprese +27 y -27 como complemento a dos con n=8 bits 
 
+27 se representa por: 00011011 
-27 se representa por: |−27| → 00011011 → 11100100 + 1 = 11100101(ca2) 
Ejemplo 2 
Exprese +100 y -100 como complemento a dos con n=8 bits 
 
+100 se representa por: 01100100 
-100 se representa por: |−27| → 01100100 → 10011011(𝑐𝑎1) + 1 = 10011100 (ca2) 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 21 
 
f) Formato en exceso 
Un numero N en exceso se expresa como 𝑁 + 2𝑛−1, siendo “n” el número de bits 
Ejemplo 
Expresar +5 y -4 en formato exceso utilizando 4 bits 
 +5 + 24−1 = 5 + 8 = 13 → 1101 
 −4 + 24−1 = −4 + 8 = 4 → 0100 
 −8 + 24−1 = −8 + 8 = 0 → 0000 
Rango: −(2𝑛−1 − 1) ≤ 𝑁 ≤ +(2𝑛−1 − 1) 
 
Representación de enteros con n=4. 
 
Representación 
 
Entero sin 
signo 
Signo 
Magnitud 
Complemento 
a uno con 
signo 
Complementó 
a dos con 
signo 
Formato en 
exceso 
0000 0 +0 +0 +0 -8 
0001 1 +1 +1 +1 -7 
0010 2 +2 +2 +2 -6 
0011 3 +3 +3 +3 -5 
0100 4 +4 +4 +4 -4 
0101 5 +5 +5 +5 -3 
0110 6 +6 +6 +6 -2 
0111 7 +7 +7 +7 -1 
1000 8 -0 -7 -8 0 
1001 9 -1 -6 -7 1 
1010 10 -2 -5 -6 2 
1011 11 -3 -4 -5 3 
1100 12 -4 -3 -4 4 
1101 13 -5 -2 -3 5 
1110 14 -6 -1 -2 6 
1111 15 -7 -0 -1 7 
 
 
 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 22 
 
 
1.9.2.-Operaciones aritméticas en complemento a dos 
Suma y resta 
La operación de suma de números representados en complemento a dos se realiza usando 
las reglas de suma de binario natural, independientemente del signo de los operandos y 
descartando el acarreo final. Es decir, da igual que se sumen dos positivos o dos negativos, 
o un positivo y un negativo, simplemente se suman. Y además, el resultado de la suma se 
encuentra representado en complemento a dos. Esta es la principal ventaja de esta 
representación y la razón de que el 100% de los sistemas informáticos lo utilicen para la 
representación de números enteros. La operación de resta se realiza mediante una suma, a la 
que se le cambia el signo al sustraendo. Es decir, A - B = A + (-B). A continuación se 
muestra como ejemplo una suma y una resta de números representados en binario 
complemento a dos con 4 bits (y sus equivalentes en decimal): 
Ejemplo 
 
Desbordamiento en la suma y la resta 
Al realizar una suma de números enteros es posible que el resultado exceda el rango de 
representación. En este caso se dice que no hay resultado o que el resultado no es 
representable. 
Con operandos representados en complemento a dos se produce desbordamiento al realizar 
una suma si el último y el penúltimo acarreo son distintos. A continuación tienes unos 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 23 
 
ejemplos donde se produce desbordamiento. En el primer ejemplo los acarreos aparecen en 
letra cursiva: 
Ejemplo 1 
 
Ejemplo 2 
 Utilizando un formato de 4 bits sumar 
+3 → 0011 
+4 → 0100 
----- ------- 
+7 0111 
 
+6 → 0110 
+5 → 0101 
----- ------- 
+11 1011 
Desbordamiento, la suma de dos números positivos (+6 y +5) da como resultado un 
numero negativo. El resultado requiere un bit adicional para indicar el signo correcto. 
Obs 
Al sumar: 
 – Cuando los operandos tienen el mismo signo y se obtiene un resultado con signo 
contrario. 
 Al restar: 
 – Cuando se resta un número negativo de un número positivo y el resultado es negativo 
(A-(-B))=A+B debe ser positivo. 
 – Cuando se resta un número positivo a uno negativo y el resultado da positivo. 
 (-A)-B= -(A+B) debe ser negativo. 
Extensión de signo 
En algunos casos es necesario operar datos con diferentes tamaños. Para aumentar el 
número de bits con que se representa un dato se realiza la operación llamada extensión de 
signo. En el caso de la representación en complemento a dos, la extensión de signo se 
realiza replicando el bit de signo. 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 24 
 
 
Ejemplo: dados los números enteros 00102 y 11102 representados en complemento a dos 
con 4 bits, extiende el signo para representarlos con 8 bits. 
 
1.9.3. Códigos binarios 
En un ambiente de sistemas digitales se denomina codificación a la asignación de un 
significado a una configuración de bits. 
 Al modelar problemas es usual encontrar variables que pueden tomar múltiples valores, se 
denomina codificación al proceso de convertir esas variables en señales binarias. La 
elección adecuada del código puede conducir a redes lógicas más simples. 
 Consideremos, por ejemplo, el estado de un semáforo: éste puede tomar uno de tres 
valores: verde, amarillo o rojo. Una posible codificación es considerar cada color como una 
señal binaria; así si la variable color toma valor rojo, estará en nivel alto la señal rojo y el 
resto de las señales (la verde y amarilla) serán ceros. 
1.9.4. Codigo BCD (binary code decimal) 
En un ambiente de sistemas digitales se denomina codificación a la asignación de un 
significado a una configuración de bits. 
Al modelar problemas es usual encontrar variables que pueden tomar múltiples valores, se 
denomina codificación al proceso de convertir esas variables en señales binarias. La 
elección adecuada del código puede conducir a redes lógicas más simples. 
Consideremos, por ejemplo, el estado de un semáforo: éste puede tomar uno de tres valores: 
verde, amarillo o rojo. Una posible codificación es considerar cada color como una señal 
binaria; así si la variable color toma valor rojo, estará en nivel alto la señal rojo y el resto de 
las señales (la verde y amarilla) serán ceros. 
Es un código que se utiliza 4 bits para codificar directamente los diez primeros números 
decimales, se emplea para ingresar datos numéricos enteros a un sistema digital y también 
para representar resultados directamente en decimal. 
Ejemplo. Sumar los números 2 y 6 en BCD 
 0010+ 
 0110 
 ----------- 
 1000 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 25 
 
1.9.5. Tipos de códigos BCD 
i) BCD natural 
Es un código ponderado con pesos: 8 4 2 1 
ii) BCD exceso tres (sin pesos) 
 BCD natural +3=BCD exceso tres 
iii) BCD Aiken 
 Es un código ponderado con pesos. 2 4 2 1 
Código 
Decimal 
 
 
BCD Natural 
 
BCD exceso tres 
 
BCD Aiken (2421) 
0 0000 0011 0000 
1 0001 0100 0001 
2 0010 0101 0010 
3 0011 0110 0011 
4 0100 0111 0100 
5 0101 1000 1011 
6 0110 1001 1100 
7 0111 1010 1101 
8 1000 1011 1110 
9 1001 1100 1111 
 
1.9.6 Código BCD desempaquetado 
Este sistema está ligado al código BCD natural, como se podrá apreciar a continuación 
La codificación BCD desempaquetada utiliza un byte (8bits) paraalmacenar un digito 
decimal de la siguiente forma. 
Cuarteto de bits de zona.-Los bits son todos uno, excepto en el último digito del número a 
representar donde toma la representación 1100 si el número es positivo y 1101 si el número 
es negativo. 
Cuarteto de bits de digito.- Estos cuatro bits representa el digito decimal codificado en 
BCD 
1 1 1 signo 
 
 Cuarteto de bits de zona Cuarteto de bits de digito 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 26 
 
Ejemplo 
Codificar los siguientes números 1992 y -1992 en BCD desempaquetado 
i) +1992 
1111/ 0001 1111/1001 1111/1001 1100/0010 
 
 ii) -1992 
1111/ 0001 1111/1001 1111/1001 1101/0010 
 
1.9.7. Código BCD empaquetado 
Dado que el sistema de codificación BCD desempaquetado no optimiza la capacidad de 
memoria, se diseña el sistema de codificación BCB empaquetado. Esta codificación elimina 
los bits de zona, excepto en la última cifra, en este caso cada cuarteto lleva una cifra en 
BCD salvo el ultimo que es el signo. 
Ejemplo 
Codificar el número +1992 en BCD empaquetado 
0 1 
9 9 
2 + 
 
 
 
1.9.8. Códigos Alfanuméricos 
Código ASCII (del inglés de American Standard Code for Information Interchange - Código 
Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información), pronunciado generalmente 
[áski], es un código de caracteres basado en el alfabeto latino, tal como se usa en inglés 
moderno y en otras lenguas occidentales. Fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense 
de Estándares (ASA, conocido desde 1969 como el Instituto Estadounidense de Estándares 
Nacionales o ANSI) como una evolución de los conjuntos de códigos utilizados entonces en 
telegrafía. En 1967 se incluyeron las minúsculas y se redefinieron algunos códigos de control 
para formar el código conocido como US - ASCII. 
El código ASCII utiliza 7 bits para representar los caracteres, aunque inicialmente empleaba 
un bit adicional (bit de paridad) que se usaba para detectar errores en la transmisión. A 
menudo se llama incorrectamente ASCII a otros códigos de caracteres de 8 bits, como el 
0000/ 0001 1111/1001 1111/1001 0010/1100 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 27 
 
estándar ISO-8859-1 que es una extensión que utiliza 8 bits para proporcionar caracteres 
adicionales usados en idiomas distintos al inglés, como el español. 
ASCII fue publicado como estándar por primera vez en 1967 y fue actualizado por última 
vez en 1986. En la actualidad define códigos para 33 caracteres no imprimibles, de los cuales 
la mayoría son caracteres de control obsoletos que tienen efecto sobre cómo se procesa el 
texto, más otros 95 caracteres imprimibles que les siguen en la numeración (empezando por 
el carácter espacio). Casi todos los sistemas informáticos actuales utilizan el código ASCII o 
una extensión compatible para representar textos y para el control de dispositivos que 
manejan texto como el teclado. 
Este código comprende los números decimales del 0 al 255. 
Del 0 al 31 corresponde a instrucciones. El número 32 corresponde a la orden de ejecutar 
espacios entre palabras cuando oprimimos la barra espaciadora en el teclado. 
Del 33 al 127 corresponde a los caracteres alfanuméricos más utilizados. A partir del número 
128 aparecen otras letras y algunos signos que generalmente no aparecen en el teclado del 
ordenador. 
Si quieres escribir cualesquiera de los caracteres alfanuméricos incluidos entre el número 33 
y el 255, sólo tienes que abrir el procesador de textos y activar el teclado numérico. 
Si ese teclado no se encuentra activado, sólo tienes que oprimir la tecla “Bloq Num” en el 
propio teclado (cuando está activado se reconoce porque se enciende el primer LED, situado 
encima de esa tecla que aparece con el nombre “N/Lock”o en la misma tecla, Bloq Num) 
 Seguidamente se oprime la tecla “Alt” y se teclea, simultáneamente, sin soltarla, el número 
decimal correspondiente a la letra, número o signo del Código ASCII que queremos obtener. 
Ejemplos: 
 ~ = Alt 126 ½ = Alt 171 
_ = Alt 95 ¼ = Alt 172 
A continuación soltamos la tecla “Alt” y el carácter aparecerá escrito en el procesador. 
En el código binario, el número “0” corresponde igualmente al "0" y el “255” al "1111 1111". 
 Cada uno de los caracteres alfanuméricos del Código ASCII equivale a un Byte de 
información, aunque el número binario correspondiente al decimal no ocupe ocho cifras. 
El código ASCII comprende sólo hasta el número decimal 255, porque a partir de ahí, el 
número 256 en binario pasa a ser 1 0000 0000, sobrepasando los ocho dígitos requeridos para 
completar un byte de información 
 
 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 28 
 
Decimal Signif. Código Binario Decimal Signif. Código Binario 
32 Espacio 10 0000 95 _ 101 1111 
33 ! 10 0001 96 ` 110 0000 
34 " 10 0010 97 a 110 0001 
35 # 10 0011 98 b 110 0010 
36 $ 10 0100 99 c 110 0011 
37 % 10 0101 100 d 110 0100 
38 & 10 0110 101 e 110 0101 
39 ' 10 0111 102 f 110 0110 
40 ( 10 1000 103 g 110 0111 
41 ) 10 1001 104 h 110 1000 
42 * 10 1010 105 i 110 1001 
43 + 10 1011 106 j 110 1010 
44 , 10 1100 107 k 110 1011 
45 - 10 1101 108 l 110 1100 
46 . 10 1110 109 m 110 1101 
47 / 10 1111 110 n 110 1110 
48 0 11 0000 111 o 110 1111 
49 1 11 0001 112 p 111 0000 
50 2 11 0010 113 q 111 0001 
51 3 11 0011 114 r 111 0010 
52 4 11 0100 115 s 111 0011 
53 5 11 0101 116 t 111 0100 
54 6 11 0110 117 u 111 0101 
55 7 11 0111 118 v 111 0110 
56 8 11 1000 119 w 111 0111 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 29 
 
57 9 11 1001 120 x 111 1000 
58 : 11 1010 121 y 111 1001 
59 ; 11 1011 122 z 111 1010 
60 < 11 1100 123 { 111 1011 
61 = 11 1101 124 | 111 1100 
62 > 11 1110 125 ¦ 111 1101 
63 ? 11 1111 126 ~ 111 1101 
64 @ 100 0000 127 ¦ 111 1110 
65 A 100 0001 128 Ç 1000 0000 
66 B 100 0010 130 é 1000 0010 
67 C 100 0011 144 É 1001 0000 
68 D 100 0100 157 Ø 1001 1101 
69 E 100 0101 160 á 1010 0000 
70 F 100 0110 161 í 1010 0001 
71 G 100 0111 162 ó 1010 0010 
72 H 100 1000 163 ú 1010 0011 
73 I 100 1001 164 ñ 1010 0100 
74 J 100 1010 165 Ñ 1010 0101 
75 K 100 1011 166 ª 1010 0110 
76 L 100 1100 167 º 1010 0111 
77 M 100 1101 168 ¿ 1010 1000 
78 N 100 1110 169 ® 1010 1001 
79 O 100 1111 171 ½ 1010 1010 
80 P 101 0000 172 ¼ 1010 1100 
81 Q 101 0001 173 ¡ 1010 1101 
82 R 101 0010 181 Á 1011 0101 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 30 
 
83 S 101 0011 184 © 1011 1000 
84 T 101 0100 214 Í 1101 0110 
85 U 101 0101 224 Ó 1110 0000 
86 V 101 0110 225 ß 1110 0001 
87 W 101 0111 230 µ 1110 0110 
88 X 101 1000 233 Ú 1110 1001 
89 Y 101 1001 241 ± 1111 0001 
90 Z 101 1010 243 ¾ 1111 0011 
91 [ 101 1011 246 ÷ 1111 0110 
92 \ 101 1100 248 ° 1111 1000 
93 ] 101 1101 252 ³ 1111 1100 
94 ^ 101 1110 253 ² 1111 1101 
 
Nota: Es conveniente tener a mano el conjunto de símbolos sin las letras del teclado. 
De esta forma el conjunto cabe en un solo folio: 
Decimal Signif. Código Binario Decimal Signif. Código Binario 
32 Espacio 10 0000 123 { 111 1011 
33 ! 10 0001 124 | 111 1100 
34 " 10 0010 125 ¦ 111 1101 
35 # 10 0011 126 ~ 111 1101 
36 $ 10 0100 127 ¦ 111 1110 
37 % 10 0101 128 Ç 1000 0000 
38 & 10 0110 130 é 1000 0010 
39 ' 10 0111 144 É 1001 0000 
40 ( 10 1000 157 Ø 1001 1101 
41 ) 10 1001 160 á 1010 0000 
42 * 10 1010 161 í 1010 0001 
43 + 10 1011 162 ó 1010 0010 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 31 
 
44 , 10 1100 163 ú 1010 0011 
45 - 10 1101 164 ñ 1010 0100 
46 . 10 1110 165 Ñ 1010 0101 
47 / 10 1111 166 ª 1010 0110 
58 : 11 1010 167 º 1010 0111 
59 ; 11 1011 168 ¿ 1010 1000 
60 < 11 1100 169 ® 1010 1001 
61 = 11 1101 171 ½ 1010 1010 
62 > 11 1110 172 ¼ 1010 1100 
63 ? 11 1111 173 ¡ 1010 1101 
64 @ 100 0000 181 Á 1011 0101 
91 [ 101 1011 184 © 1011 1000 
92 \ 101 1100 214 Í 1101 0110 
93 ] 101 1101 224 Ó 1110 0000 
94 ^ 101 1110 225 ß 11100001 
95 _ 101 1111 230 µ 1110 0110 
96 ` 110 0000 233 Ú 1110 1001 
 241 ± 1111 0001 
 243 ¾ 1111 0011 
 246 ÷ 1111 0110 
 248 ° 1111 1000 
 252 ³ 1111 1100 
 253 ² 1111 1101 
A continuación presentamos un ejemplo del código de ASCII con paridad 
Caracteres ASCII 7 bits ASCII 8 bits (con 
paridad) 
@ 1000000 0 1000000 (impar) 
A 1000001 1 1000001(par) 
B 1000010 1 1000010(par) 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 32 
 
 
1.9.9. Representación de Números Reales 
Un número real se puede representar mediante: 
𝑁 = 𝑠𝑀𝑟2 . Denominada notación científica binaria 
Donde 
s: signo M: mantisa r: base e: exponente 
Ejemplo 
Sea el número 𝑁 = −37.625 
Entonces 𝑁 = −0.35625𝑥102, notación científica decimal 
s: (-) M: 35625 r: 10 e: 2 
Ahora N en el sistema binario 𝑁 = −100101.101 
Entonces 𝑁 = −0.100101101𝑥26 notación científica binaria 
s: (-) M: 100101101 r: 2 e: 6 
Mantisa.-Es un número real con el punto decimal implícito a la izquierda de sus bits, se 
codifica normalmente en el formato signo-magnitud. 
Exponente.-Es un numero entero se codifica se codifica generalmente en el formato signo-
magnitud o exceso a 2𝑛−1. 
a) Formato para números reales 
Los computadores no almacenan los números con precisión infinita sino de forma 
aproximada empleando un número fijo de bits (apócope del término inglés Binary Digit) o 
bytes (grupos de ocho bits). Prácticamente todos los computadores permiten al programador 
elegir entre varias representaciones o 'tipos de datos'. Los diferentes tipos de datos pueden 
diferir en el número de bits empleados, pero también (lo que es más importante) en cómo el 
número representado es almacenado: en formato fijo (también denominado 'entero') o en 
punto flotante (denominado 'real'). Es decir 
-Punto fijo 
-Punto flotante: -Precisión simple 
 - Precisión doble 
 -IEEE-754 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 33 
 
 
Punto fijo.-Los primeros computadores almacenaban los números reales en un formato 
llamado punto fijo, se puede representar enteros o reales con signo, se designa un numero 
de bits fijo para la parte entera y el resto a la parte fraccionaria. 
Ejemplo 
Sea el 𝑁 = 25.125 expresar en formato punto fijo de 32 bits 
00000000000011001.0010000000000000 
16 bits parte entera 16 bits parte fraccionaria 
En esta representación, el punto que separa la parte entera de la parte fraccionaria, siempre 
se ubica en una posición fija y de allí el nombre de esta representación. Un numero se 
puede codificar en S-M, complemento a 1 o complemento a 2 
Punto flotante.-Sea 𝑁 = ±(𝑎𝑛−1 …𝑎0. 𝑎−1 … . . 𝑎−𝑚)𝑟, en punto flotante 
 𝑁 = ±(𝑎𝑛−1 …𝑎0. 𝑎−1 … . . 𝑎−𝑚)𝑟, al codificar un número en punto flotante, la mantisa y el 
exponente se codifican por separado. La base es implícita y no se incluye en la 
representación, los formatos de punto flotante que se utilizan en los sistemas de cómputo de 
los diversos fabricantes difieren con frecuencia en la cantidad de bits que se usan para 
representar la mantisa y el exponente así como el método de codificación. 
b) Tipos de formatos 
Precisión simple 
Emplea un campo de 32 bits, 1 bits para el signo, 8 bits para el exponente, y 23 bits para la 
matinsa. 
Signo Exponente Mantisa 
1 bits 8 bits 23 bits 
 
Ejemplo 
Sea el número 𝑁 = −37.625, codificar en precisión simple. 
N en el sistema binario 𝑁 = −100101.101 
Entonces 𝑁 = −0.100101101𝑥26 Notación científica binaria 
Ahora codificando 
Signo: 1 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 34 
 
Exponente en exceso: 6 + 28−1 = 134 → 𝑁 = 10000110 
1 10000110 100101101 000000000000000 
Signo exponente mantisa Bits agregados 
 
Precisión doble 
Emplea un campo de 64 bits, 1 bits para el signo, 11 bits para el exponente, y 52 bits para la 
matinsa. 
Signo Exponente Mantisa 
1 bits 11 bits 52 bits 
 
c) Formato normalizado 
El formato estándar IEEE, es conocido como IEEE-754, ha sido aceptado como la forma 
normalizada para números reales donde se emplean 32 bits. Al normalizar un número, este 
se ajusta de tal manera que su valor es de por lo menos 1, pero menor que 2. La mantisa es 
de 24 bits y contiene un bit escondido igual a 1 que permite representar 24 bits, aunque sea 
almacenado con 23 bits. El bit escondido es el primero del número normalizado. El 
exponente se almacena como exponente polarizado, en forma de precisión sencilla del 
número real, la polarización es dada a continuación. 
Precisión sencilla: 127 = 𝑒 + (28−1 − 1), e:exponente 
Doble precisión: 1023 = 𝑒 + (211−1 − 1) 
Ejemplo 1 
Codificar los números 1.5 y 0.375 en IEEE-754 
i) N=1.5 
decimal binario Notación científica 
1.5 1.1 1.1x20 
 
Exponente polarizado: 0 + (28−1 − 1) = 127 ≈ 1111111 
Codificando 
0 01111111 10000000000000000000000 
1 bits 8 bits 23 bits 
 
ii) N=0.375 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 35 
 
 
decimal binario Notación científica 
0.375 0.011 1.1x2-2 
 
Exponente polarizado: −2 + (28−1 − 1) = 125 ≈ 1111101 
Codificando 
0 01111101 10000000000000000000000 
1 bits 8 bits 23 bits 
 
Ejemplo 2 
Restar los números 1.5 y 0.375 en IEEE-574, dar el resultado en el mismo formato. 
Pasos seguir 
Paso 1: Restar los exponentes polarizados |127 − 125| = 2 
Paso 2: Elegir la mantisa del menor número, luego se desplazar a la derecha la mantisa una 
cantidad de dígitos de acuerdo al resultado de la resta de exponentes polarizados, es decir 
El menor numero 
0.375 0.011 1.1x2-2 
Mantisa Mantisa desplazada 
1 0.011 
 
Paso 3: Restar las mantisas del número mayor con la mantisa desplazada, es decir 
1.100 (-) 
 0.011 
 1.001 
 
El resultado de la resta será 1.001. 20 → 1.0012 → en decimal 2
0 + 2−3 = 1.12510 
Paso 4: Normalizando 
 1.001. 20 → 0 + 127 = 127 ≡ 01111111 
Finalmente codificando 
0 01111111 00100000000000000000000 
1 bits 8 bits 23 bits 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 36 
 
 
Resumen de Operaciones en punto flotante 
Para sumar o restar dos números representados en punto flotante se debe seguir los 
siguientes pasos. 
1.- seleccionar el número con menor exponente y desplazar su mantisa a la derecha, tantos 
pasos como la diferencia en valor absoluto de los exponentes de los operandos. 
2.-Igualar el exponente del resultado al mayor de los exponentes de los operandos 
3.-Sumar o restar mantisas y determinar el signo del operando. 
4.-Normalizar el resultado si es necesario 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 37 
 
 
Capítulo 2 
Lógica proposicional 
2.1.-Lógica.- La lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica es la disciplina que 
trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y 
técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se 
emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante 
para realizar cualquier actividad en la vida. 
2.1.1.-Razonamiento 
Razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se produce el paso de uno 
o más enunciados (las denominadas premisas) a otro posterior (lo que denominamos 
conclusión) que se deriva necesariamente de aquellos. 
2.1.2.-Las premisas 
Denominamos premisas de nuestro razonamiento (simbolizadas P1 , P 2 , P3 ... Pn) a cada uno 
de los enunciados que utilizamos para defender la idea o enunciado que queremos demostrar. 
Por ejemplo: 
P1: En el mes de enero cada día anochece un poco más tarde. 
P2: Estamos en el mes de enero. 
 __________________ 
 C: Por lo tanto, mañana anochecerá un poco más tarde que hoy. 
2.1.3.-Conclucion 
Denominamos la conclusión de nuestro razonamiento (simbolizada C) al enunciado que 
intentamos demostrar o defender y para el que hemos construido nuestro razonamiento.Ver ejemplo anterior 
2.2.-Proposición.- Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo 
uno de los valores de verdad, que son verdadero (V) o falso (F). 
Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del alfabeto, 
desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. 
Ejemplo 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 38 
 
i) La expresión 18 + 5 = 21 es una proposición que se puede indicar brevemente de la 
forma 
p: 18 + 5 = 21 
Cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante 
V (p) = F 
 
ii) Sea la proposición 
 q: Lima es la capital del Perú V(q) = V 
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o más 
enunciados simples. 
Ejemplo 
Sea la siguiente proposición r 
r: Pitágoras era griego y era geómetra. 
 
 p y q 
Se observan dos proposiciones simples. La primera, p, nos afirma que Pitágoras era griego 
y la segunda, q, que Pitágoras era geómetra. 
 
2.3.-Funciones proposicionales,- Si en la proposición "cinco es mayor que tres" (en 
símbolos es 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es 
mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, 
sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función 
proposicional y se anota p(x) o p(x). 
Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el que 
aparece x como sujeto y que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor 
específico a la variable. 
Ejemplo 
Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, 
respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V y p(2) = F 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 39 
 
2.4.-Conectivos lógicos 
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se 
puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados conectivos 
lógicos. 
Conectivo lógico Símbolo significado 
Negación 
 
~ 
 
“No….”, “No es cierto 
que” 
Conjunción o producto lógico 
 
∨ “ ..y..” 
Disyunción o suma lógica 
 
∧ “..O.. “ (en sentido 
incluyente) 
Implicación 
 
⇒ “..implica…”, o “si 
entonces” 
Doble implicación 
 
⇔ 
 
“..si y solo si” 
Diferencia simétrica o Disyunción excluyente ∆ O ⊕ “..O.. “ (en sentido 
excluyente) 
 
Tablas de verdad 
Sean las proposiciones p y q 
p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q 
 
p⊕q 
V V V V V V F 
V F F V F F V 
F V F V V F V 
F F F F V V F 
 
2.5.-Proposiciones compuestas 
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos 
forma lógica. 
Ejemplo ~ {(p  q)  (s  t)} 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 40 
 
2.5.1.-Proposición tautológica 
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre 
verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones 
componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. 
Ejemplo 
Analizando la proposición p  ~p mediante la tabla de verdad, se tiene: 
 
p ~p p  ~p 
V 
F 
F 
V 
V 
V 
 
2.5.2.-Proposicion de contradicción 
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para 
cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula 
es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción. 
Ejemplo 
Analicemos la fórmula lógica p  ~p 
 
p ~p p  ~p 
V 
F 
F 
V 
F 
F 
 
2.5.3.-Proposicion condicional 
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee “p implica q”, “si p 
entonces q” o “p solo si q”) 
Dónde: p (hipótesis o antecedente) y q (conclusión o consecuente) 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 41 
 
2.5.4.-Implicaciones asociadas al condicional 
-Si tenemos la proposición p⇒q, la proposición reciproca será q⇒p 
-Si tenemos la proposición p⇒q, la proposición inversa o contraria será ∼ 𝒑 ⇒∼p 
-Si tenemos la proposición p⇒q, la proposición contrareciproca será ∼ 𝒒 ⇒∼p 
p q p  q ~p ~q ~q  ~p 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
 
F 
F 
V 
V 
 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
V 
V 
 
Equivalencias lógicas 
1. Ley de doble negación: 
 a) PP  )( 
2. Ley de Idempotencia: 
a) ppp  
b) ppp  
3. Leyes conmutativas: 
a) )()( pqqp  
b) )()( pqqp  
c) )()( pqqp  
4. Leyes asociativas: 
a) rqprqp  )()( 
b) rqprqp  )()( 
c) rqprqp  )()( 
5. Leyes de Morgan 
a) qpqp  )( 
b) qpqp  )( 
6. Leyes del condicional 
a) qpqp  
b) qpqp  )( 
7. Leyes del Bicondicional 
a) )()()( pqqpqp  
b) )()()( pqqpqp  
 c) )()()( qpqpqp  
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 42 
 
 
8. Leyes distributivas 
a) )()()( rpqprqp  
b) )()()( rpqprqp  
c) 
)()()( rpqprqp  
d) 
)()()( rpqprqp  
9. Leyes de absorción 
a) pqpp  )( 
b) qpqpp  )( 
c) pqpp  )( 
d) qpqpp  )( 
10. Leyes de transposición 
a) pqqp  )( 
b) pqqp  )( 
11. Elementos Neutros para la 
conjunción y disyunción 
a) pVp  
b) pFp  
 
 
12. Leyes adicionales 
a) pqpqp  )()( 
b) pqpqp  )()( 
c) )()( qpqp  
d) Vpp  
e) Fpp  
2.6.- Cuantificadores 
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un 
proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos 
“x” y “x”, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente. 
Las expresiones 
 
 “para todo x, se verifica p(x) ” se denota en símbolos por  x : p(x) 
 ”existe x, tal que se verifica p(x)” se denota en símbolos por  x : p(x) 
Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y 
existencialmente en el segundo. 
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las 
proposiciones particulares asociadas a ella. 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 43 
 
2.6.1.-Negación de cuantificadores 
En el conjunto de los números enteros (Z) consideremos la proposición: 
 p: Existen múltiplos de dos que son múltiplos de cuatro (verdadero) 
La negación de p es: 
 ~p: No existen múltiplos de dos que son múltiplos de cuatro (falso) 
Equivalentemente: 
 ~p: Todos los múltiplos de dos no son múltiplos de cuatro. 
En símbolos: 
p: " n Z / n es múltiplo de 2 y n es múltiplo de 4" 
~p: "n Z, n no es múltiplo de 2 ó n no es múltiplo de 4" 
 en esta negación se usa las leyes de De Morgan. 
En general, en relación a los cuantificadores tenemos: 
~ [  xU / p(x)]  [xU, ~p(x)] 
~ [xU, p(x)]  [  xU / ~p(x)] 
2.7.-Metodos de demostración 
2.7.1.-Metodo directo 
Una seria de premisas que deben ser verdaderas, se basa en. 
(𝑝1∧𝑝2 ∧ 𝑝3 ∧ … . .∧ 𝑝𝑛)→𝑞 
Premisas o hipótesis conclusión 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 44 
 
Esquema 
1) P antecedente de la implicación que se quiere demostrar 
2) 𝑝2 justificación 
3) 𝑝3 justificación 
. 
. 
m) q 
La implicación está demostrada 
Ejemplo 
Demostrar que si n es par, entonces n2 es par 
P: n es par 
q: n2 es par 
n es par → n2 es par 
Demostración 
1.-n es par 
2.-n=2k para algún entero por 1 definición de par 
3.- n2=(2k)2=4k2 
4.- n2=(2k)2=2(2k2) 
5.- n2 es par 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 45 
 
2.7.2 Método indirecto 
Se basa en la equivalencia 
 p⇒q≡ ∼ 𝒒 ⇒∼ 𝒑 
Se debe demostrar que: ∼ 𝒒 ⇒∼ 𝒑 (contrareciproca) 
Esquema 
1) ∼ 𝒒 
2) 𝑝2 justificación 
3) 𝑝3 justificación 
. 
. 
m) ∼ 𝒑 
La implicación estádemostrada 
Ejemplo 
Si x+y=100 solo una de las variables puede ser mayor que 50 
Demostración 
1.-(x>50 ∧ y>50) negación del consecuente 
2.-x+y>100 
3.-𝑥 + 𝑦 ≠ 100 
4.-∼ ( 𝑥 + 𝑦 = 100) negación de antecedente 
La implicación esta demostrada 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 46 
 
Ejemplo 
Sea la implicación directa “siendo n entero, si n2 es par entonces n es par” 
La implicación contrarrecíproca es “siendo n entero, si n es impar entonces n2 es impar” 
 
Demostrando la verdad del enunciado contrarrecíproco se demuestra la verdad de la implicación 
directa. 
Demostración 
Si n es impar, puede escribirse de la forma n = 2k+1, siendo k un número entero, luego 
n2 = (2k + 1)2 
 = 4 k2 + 4k + 12 
 = 2 (2 k2 + 2k) + 1, que es un número impar, luego, si n2 es 
par entonces n es par. 
 
2.7.3 Método del absurdo o la contradicción 
Se basa en (𝒑 ⇒ 𝒒) ∧ (𝒑 ⇒∼ 𝒒) ≡∼ 𝒑 
Para demostrar p se demuestra que ∼ 𝑝 es falso 
(𝒑 ≡∼ 𝒑 → 𝑭) 
Esquema 
1) ∼ 𝒑 se empieza con la negación de p 
2) 𝑝2 
3) 𝑝3 
. 
m) 𝐹 
Queda demostrado p 
Ejemplo 
 
Demostrar que √2 no es racional. 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 47 
 
 
r es racional si existen dos enteros p y q tales que 𝑟 =
𝑝
𝑞
, 𝑞 ≠ 0 
 p: √2 no es racional 
∼ 𝑝: √2 es racional 
1.- √2 es racional, negación de lo que se quiere demostrar 
2.- √2 =
𝑎
𝑏
 para algún entero a y algún entero b, sin factores comunes 
3.- 2 =
𝑎2
𝑏2
 
4.- 𝑎2 = 2𝑏2 
5.- 𝑎2 es par 
6.- a es par 
7.- a=2k para algún entero k 
8.- (2k)2=2b2 
9.- 4k2=2b2 
10.- 2k2=b2 
11.- b2 es par 
12.- b es par 
13.- a y b tienen factor común 
14.- a y b no tienen factor común ∧ a y b tienen factor común 
15.-F 
Queda demostrado que √2 no es racional 
2.8.-Predicados 
Un predicado es un enunciado que expresa una propiedad entre ciertos objetos. Un predicado se 
denota con el símbolo p(x) (también usamos q(x), s(x), P(x), Q(x), etc.) donde p representa la 
propiedad en cuestión, y x es una variable que representa a los objetos a los que se refiere el 
predicado p. En general, si un predicado se refiere a n objetos, entonces escribimos p(x1, ..., xn). 
Usamos predicados para representar propiedades de un solo objeto, o bien propiedades y relaciones 
entre diversos objetos. 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 48 
 
Ejemplos 
 
 1.- 𝑃(𝑥): 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 
 
 2.- 𝑃(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑦 
 
3.- ∀𝑋: 𝑋 ∈ 𝑅 ∶ −(−𝑋) = 𝑋 𝑒𝑠 𝑇 ( 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜) 
 
4.- Todos los estudiantes del curso de matemática discreta estudian 
 ( ∀ 𝑋: 𝑋 , estudiante del curso de matemática discreta: 𝑋 estudia) 
 
2.8.1.- Predicados con cuantificadores 
 
i) Cuantificador existencial 
 
Es la expresión “existe” que se representa por ∃ 
 
 ∃ 𝑋: 𝐷(𝑋) ∶ 𝑃(𝑋) 
 
 Dónde: ∃ 𝑋 ∶ Cuantificador existencial 
 
 𝐷(𝑋) ∶ Dominio del predicado 
 𝑃(𝑋) : Cuerpo del predicado 
 Sera verdadero, si para algún 𝑋, cumple que 𝐷(𝑋), 𝑃(𝑋) es verdadero. 
 Sera falso, si para ninguna 𝑋, cumple que 𝐷(𝑋), 𝑃(𝑋) es falsa. 
 
Ejemplo 
( ∃ 𝑋, 𝑋 ,entero ∧ 0 < 𝑋 ≤ 3: 𝑋2 ≥ 9 ) 
Para 𝑋 = 3 que cumple 𝐷(𝑋), se cumple 𝑃(𝑋) 
ii) Cuantificador universal 
 Es la expresión “para todo” que se representa por ∀ 
 
 ∀ 𝑋: 𝐷(𝑋) ∶ 𝑃(𝑋) 
Afirma que para todo X que cumple 𝐷(𝑋), se cumple 𝑃(𝑋) 
 
 Sera verdadero, si se demuestra que para todo 𝑋, que cumple 𝐷(𝑋), 𝑃(𝑋) es verdadero. 
 Sera falso, si se encuentra algun 𝑋, cumple que 𝐷(𝑋), 𝑃(𝑋) es falsa. 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 49 
 
 
Ejemplo 
( ∀ 𝑋, 𝑋 entero ∧ 0 < 𝑋 ≤ 3: 𝑋2 ≤ 9 ) es verdadero 
Se cumple en todos los valores del rango {1,2,3} 
iii) Leyes de predicados 
1.- ∀𝑥 ∀ 𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∀𝑦 ∀ 𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦) 
2.- ∃𝑥 ∀ ∃ 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∃𝑦 ∃ 𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦) 
3.- ∼ (∀ 𝑥 𝑃(𝑥)) ≡ ∃𝑥 (∼ 𝑃(𝑥) 
4.- ∼ (∃ 𝑥 𝑃(𝑥)) ≡ ∀𝑥 (∼ 𝑃(𝑥)) 
5.- ∀𝑥 (𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)) ≡ ∀𝑥 𝑃(𝑥) ∧ ∀𝑥𝑄(𝑥) 
6.- ∃𝑥 (𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) ≡ ∃𝑥 𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥) 
2.9.-Induccion Matemática 
Principio de inducción matemática 
Sea 𝑃(𝑛) un predicado, donde 𝑛 es un entero positivo, talque: 
i) 𝑃(1) es verdadero (paso base) 
ii) para 𝑘 ≥ 1, si 𝑃(𝑘) es verdadero entonces 𝑃(𝑘 + 1) es verdadero (paso inductivo) 
 (Hipótesis Inductiva) (Tesis) 
Entonces 𝑃(𝑛) es verdadero ∀ 𝑛 ∈ 𝑍+ ( Conclusion) 
Ejemplo 1 
Demostrar que 𝑛 es un número natural entonces: 
1 + 3 + 5 +………………..+(2𝑛 − 1) = 𝑛2 
Solución 
1) Si 𝑛 = 1 la proposición 2.1 − 1 = 1 es verdadera 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 50 
 
2) Debemos demostrar que 𝑃(𝑘) → 𝑃(𝐾 + 1) 
Donde 𝑃(𝑘): 1 + 3 + 5 +………………..+(2𝑘 − 1) = 𝑘2 
Y 𝑃(𝑘 + 1): 1 + 3 + 5 +………………..+(2(𝑘 + 1) − 1) = (𝑘 + 1)2 
Usaremos la demostración directa. Supongamos que 
𝑃(𝑘): 1 + 3 + 5 +………………..+(2𝑘 − 1) = 𝑘2 es verdadera. Entonces 
1 + 3 + 5 +………………..+(2𝑘 − 1)) + (2(𝑘 + 1) − 1) = 
𝑘2 + (2(𝑘 + 1) − 1) = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 
𝑘2 + (2(𝑘 + 1) − 1) = (𝑘 + 1)2 
Así 1 + 3 + 5 +………………..+(2(𝑘 + 1) − 1) = (𝑘 + 1)2 
Esto demuestra 𝑃(𝑘) → 𝑃(𝐾 + 1) 
Es decir se ha demostrado por inducción que 1 + 3 + 5 +………………..+(2𝑛 − 1) = 𝑛2. 
Ejemplo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 51 
 
 
Capítulo 3 
3.1. Pares Ordenados 
El orden de los elementos en un conjunto no interesa, por ejemplo: dados A = {1, 2} y B = {2, 1}, 
representan el mismo conjunto; o sea que para ser iguales nos importa únicamente que los conjuntos 
contengan los mismos elementos, sin importar el orden en que éstos se enumeren. 
Definamos un nuevo concepto: Un par ordenado consiste en dos componentes, de los cuales a uno 
se le designa como el primer componente, y al otro, el segundo. Dado un par ordenado donde a es 
el primer componente y b es el segundo, ésta se escribe (a, b). 
De lo expuesto, se deduce entonces que, dadas dos pares ordenados: (a, b) y (c, d) son iguales si y 
solo si se cumple que a = c y b = d . 
El concepto de par ordenado se puede extender para el caso de tres componentes (a, b, c) donde a es 
el primer componente de la terna, b el segundo y c el tercero. En general se puede extender el 
concepto para n componentes (n-tuplas). 
3.1.1. Producto cartesiano. 
Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares posibles 
de elementos, tomando el primer elemento del par del conjunto A y el segundo elemento del par 
del conjunto B. Por esta razón decimos que los pares son ordenados. Simbólicamente expresamos: 
A x B = {(x, y) / x  A, y  B} 
Los conjuntos A y B pueden ser un único conjunto, en cuyo caso tendremos A x A qué se puede 
expresar con A2 . En consecuencia: A x B  B x A, dado que el par (x, y) no es igual al par (y, 
x) por ser ordenados. Luego el producto cartesiano no es conmutativo. 
Ejemplos 
 
Sean los conjuntos A = {a, b} y B = {1, 2} donde 
 A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} y B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}, 
 
Queda claro que los conjuntos tienen elementos (pares ordenados) distintos. 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 52 
 
3.1.2. Formas de representación 
Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, su producto cartesiano resulta: 
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} 
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. 
Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de valores y viceversa. En el eje horizontal 
representamos los elementos del primer conjuntoy en el vertical los valores del segundo conjunto. 
A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano. 
 
Otra manera de visualizar, es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los 
elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen a B (diagrama de VENN). Se trazan 
flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su pareja en el 
conjunto B. 
A esta representación gráfica se le conoce como diagrama de flechas. 
 4 
 3 
 2 
 1 
 a b c 
B 
A 
a 
b 
c 
1 
3 
2 
4 
A B 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 53 
 
Una tercera forma de representar, es la conocida como diagrama de árbol, que consiste en escribir 
los elementos según un orden jerárquico partiendo de un punto inicial, al que se subordinan los 
elementos del primer conjunto y a cada uno de éstos los del segundo. 
 
 
3.2. Relaciones binarias 
Dados dos conjuntos A y B, definimos una relación entre los elementos de estos dos conjuntos, 
cuando damos una propiedad que vinculen elementos del primer conjunto con elementos del 
segundo. Así por ejemplo, si 
 A = {estudiantes de FIIS} = {María, Juan, Luis, Raúl} y 
 B = {cursos de la carrera de Ingeniería Industrial por ciclo}= {1, 2, 3,..., 10}, podemos definir una 
relación "x tiene por ciclo y", donde x representa uno cualquiera de los estudiantes mencionados e 
y será el ciclo correspondiente. La relación estará definida entonces por el conjunto: 
R = {(María; 1), (Juan; 2), (Luis; 4), (Raúl; 5)} 
Como se ve una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B es un conjunto de pares 
ordenados de elementos pertenecientes a esos conjuntos que verifican una propiedad. 
a 
b 
c 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 54 
 
3.2.1. Definición 
Una relación binaria 𝑅, de un conjunto A en un conjunto B, es un subconjunto de 𝐴𝑥𝐵. 
 𝑅: 𝐴 → 𝐵, R = {(x, y) / x  A, y  B; x, y verifican una propiedad}, 𝑅 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
Si (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, se denota 𝑎𝑅𝑏 ( 𝑎 está relacionado con 𝑏) 
Dominio: Dom 𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐴/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 ∈ 𝐵 } 
Rango: Ran 𝑅 = {𝑦 ∈ 𝐵/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝐴 } 
Ejemplo 
Sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4} y R = {(a, 2), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} 
 
R es una relación entre elementos de los conjuntos A y B, ya que R  (AxB). 
Los elementos de la relación son: 
3.2.2. Representación de una relación binaria 
 
 Diagramas ( ver en producto cartesiano) 
 Dígrafos 
 Matriz booleana 
3.2.2.1. Dígrafo (Grafo dirigido) 
Los elementos del conjunto se representan como vértices y los pares ordenados como flechas. 
 
Ejemplo 
 
La relación R sobre 𝐴 = {1,2,3,4}, está definida por “(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 si 𝑥 ≤ 𝑦 es: 
R = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3), (2,4); (3,3); (3,4); (4,4)} 
El dominio de R es el conjunto {1,2,3,4} 
El rango de R es el conjunto {1,2,3,4} 
 
Conjunto de Partida = {a, b, c} 
Conjunto de Llegada = {1, 2, 3, 4} 
Dominio R = {a, b} 
Imagen R = {2, 3, 4} 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 55 
 
Se concluye que: el dominio y rango son iguales porque la relación está definida sobre el mismo 
conjunto A. 
El digrafo de la relacion R es el siguiente
 
3.3. Propiedades de las relaciones binarias 
Si tenemos una relación R entre los elementos de un mismo conjunto A, podemos enunciar las 
siguientes propiedades: 
 Reflexiva: Cuando todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo. 
 - Simbólicamente:  a  A  a R a. 
Ejemplo. Sea A = {-2, 1, 2, 3} y una relación R definida en A como: “igual a...” 
R = {(-2, -2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} 
 
 Simétrica: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está 
relacionado con el primero. 
 - Simbólicamente:  a  A y b  A (a≠b), si a R b  b R a. 
Ejemplo.-Sea A = {-2, 1, 2, 3} y una relación R definida en A como: “elementos distintos cuya 
suma sea mayor o igual que 1” 
R = {(-2, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, -2), (3, 1), (3, 2)} 
 Transitiva: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado 
con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. 
 - Simbólicamente:  a  A, b  A y c  A, si a R b y b R c  a R c. 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 56 
 
 Ejemplo.- R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 
 Antireflexiva: Cuando todo elemento del conjunto no está relacionado con sí mismo. 
 - Simbólicamente:  a  A  a R a. 
 
Ejemplo.-Sea A = {-2, 1, 2, 3} y una relación R definida en A como: “menor que” 
R = {(-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} 
 Antisimétrica: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo no está 
relacionado con el primero. 
 - Simbólicamente:  a  A y b  A (a≠b), si a R b  b R a. 
 (También se puede decir que:  a  A y b  A si a R b y b R a  a = b) 
Ejemplo.-Sea A = {-2, 1, 2, 3} y una relación R definida en A como: “menor que” 
R = {(-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} 
Relación Inversa 
Dados dos conjuntos A y B, y una relación R entre ellos, se denomina relación inversa de R, y se 
representa por R -1, a la correspondencia que asocia a los elementos del conjunto final con los del 
conjunto inicial de R; es decir, tiene como Dominio el conjunto Imagen de R, y como conjunto Imagen 
el Dominio de R. 
Simbólicamente: 𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} 
Ejemplo.-Sea la relación R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)} y su relación inversa estará 
dado por R-1 = {(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (3,4); (3,5)} 
Relación compuesta 
Sea 𝑅 es una relación entre A y B, S una relación entre B y C, se define la relación compuesta de R 
y S como el conjunto 
𝑆°𝑅 = {(𝑥, 𝑧) ∈ 𝐴𝑥𝐶/(∃𝑦 ∈ 𝐵)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆)} 
Es decir 𝑥(𝑆°𝑅)𝑧 equivale a (∃𝑦 ∈ 𝐵)(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑆𝑧) 
 
Matriz de una relacion binaria 
Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑎1,𝑎2 …… . . 𝑎𝑛}, 𝐴 = {𝑏1,𝑏2 …… . . 𝑏𝑚} 
Y la relacion 𝑅: 𝐴 → 𝐵, la matriz de la relacion R se representa por 
𝑀𝑅 = [𝑚𝑖𝑗], la cual se define por: 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 57 
 
𝑚𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 (𝑎𝑖, 𝑏𝑗) ∈ 𝑅
0, 𝑠𝑖 (𝑎𝑖, 𝑏𝑗) ∉ 𝑅
 
Donde la matriz es de orden 𝑚𝑥𝑛 
𝑛: numero de elementos de A 
𝑚: numero de elementos de B 
Ejemplo 
Sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(a,2), (b,2), (b,3), (b,4)}, la 
matriz asociada a la relación R estará dado por. 
 
 1 2 3 4 
 a 0 1 0 0 
 b 0 1 1 1 
 c 0 0 0 0 
 
3.4.Operaciones con matrices booleanas 
Sean las matrices booleanas 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] de orden 𝑚𝑥𝑛 
i) La operación union (∨) de las matrices A y B se define 
𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐵 = [𝑐𝑖𝑗] 
donde 𝐶𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 𝑎𝑖𝑗 = 1 𝑜 𝑏𝑖𝑗 = 1 
0, 𝑠𝑖 𝑎𝑖𝑗 , 𝑦 𝑏𝑖𝑗 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠
 
Ejemplo. 
Sean la matrices booleanas 
𝐴 = [
1 0 0
0 0 1
1 0 1
] y 𝐵 = [
1 1 1
1 1 1
1 0 0
] 
Entonces 𝐴 ∨ 𝐵 = [
1 1 1
1 1 1
1 0 1
] 
 
A 
B 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 58 
 
ii) La operación conjuncion (∧ ) de las matrices A y B se define 
𝐷 = 𝐴 ∧ 𝐵 = [𝑑𝑖𝑗] 
donde 𝐷𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 𝑎𝑖𝑗 , 𝑦 𝑏𝑖𝑗 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑜𝑠 
0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
Ejemplo. 
Sean la matrices booleanas 
𝐴 = [
1 0 0
0 0 1
1 0 1
] y 𝐵 = [
1 1 1
1 1 1
1 0 0
] 
Entonces 𝐴 ∧ 𝐵 = [
1 0 0
0 0 1
1 0 0
] 
 
iii) La operación producto de las matrices (⊙) 
Sean las matrices booleanas 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] de orden 𝑚𝑥𝑝 y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] de orden 𝑝𝑥𝑛, se define la 
operación, 𝐸 = 𝐴 ⊙ 𝐵 = [𝑒𝑖𝑗] 
donde𝑒𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 𝑎𝑖𝑘 = 1 𝑜 𝑏𝑘𝑗 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 
0, 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 
 
Ejemplo. 
Sean la matrices booleanas 
𝐴 = [
1 0 0
0 0 1
1 0 1
] y 𝐵 = [
1 1 1
1 1 1
1 0 0
] 
Entonces 𝐴 ⊙ 𝐵 = [
1 0 0
0 0 1
1 0 1
] ⊙ [
1 1 1
1 1 1
1 0 0
] = [
1 1 1
1 0 0
1 1 1
] 
Donde 
𝑒11 = (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) = 1 ∨ 0 ∨ 0 = 1 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 59 
 
𝑒12 = (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0) = 1 ∨ 0 ∨ 0 = 1 
. 
. 
. 
 
p q 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 
0 0 0 0 
0 1 0 1 
1 0 0 1 
1 1 1 1 
 
3.5.Propiedades de las matrices booleanas 
Sean las matrices booleanas A, B, C, donde tenemos las siguientes propiedades. 
a) 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐴 
b) 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧ 𝐴 
c) 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 
d) 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 
e) 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (A ∨ 𝐶) 
f) 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (A ∧ 𝐶) 
g) 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 
 
3.6.Clasificacion de las relaciones 
Según las propiedades mostradas anteriormente, clasificaremos las relaciones en: 
Relacion de equivalencia 
Una relacion binaria 𝑅 sobre un conjunto A es de equivalencia si se cumple las propiedades. 
 Reflexiva 
 Simetrica 
 Transitiva 
 
Ejemplo 1 
Consideremos un conjunto de rectas incluidas en un plano con la relacion 
𝐿1𝑅𝐿2 ↔ 𝐿1, 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝐿2 
Cumple las propiedades: 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 60 
 
a) Reflexiva: toda recta 𝐿 es paralela 𝐿 sí misma. 
b) Simétrica: si 𝐿1 es paralela 𝐿2  𝐿2es paralela 𝐿1. 
c) Transitiva: si 𝐿1 es paralela 𝐿2 y 𝐿2 es paralela 𝐿3  𝐿1 es paralela 𝐿3. 
 
Por lo tanto esta relación es una relación de equivalencia. 
Ejemplo 2 
Sobre el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4,5} se da una relación definida por el dígrafo que se muestra en la 
figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
¿R es una relación de equivalencia? 
Veamos si cumple las condiciones de equivalencia 
i) Reflexiva 
Del dígrafo observamos que: 
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5, 5) ∈ 𝑅, entonces la relación binaria 𝑅 es reflexiva 
ii) Simetría 
Del dígrafo observamos que: 
1 
2 
5 
4 
3 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 61 
 
(1,3) ∧ (3,1) ∈ 𝑅, (5,2) ∧ (2,5) ∈ 𝑅, (3,4) ∧ (4,3) ∈ 𝑅, (1,4) ∧ (4,1) ∈ 𝑅 Entonces la 
relación binaria 𝑅 es simétrica 
iii) Transitiva 
Del dígrafo observamos que: 
(1,3) ∧ (3,4) → (1,4) ∈ 𝑅 
(3,1) ∧ (1,4) → (3,4) ∈ 𝑅 
(3,4) ∧ (4,1) → (3,1) ∈ 𝑅 
(4,3) ∧ (3,1) → (4,1) ∈ 𝑅 
. 
. 
. 
. 
(5,5) ∧ (5,2) → (5,2) ∈ 𝑅 
(5,2) ∧ (2,2) → (5,2) ∈ 𝑅 
Entonces la relación binaria 𝑅 es transitiva. 
Por lo tanto 𝑅 es una relación de equivalencia. 
3.7. Clases de equivalencia 
Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a  A, se llama clase de 
equivalencia de a, se escribe [a], al subconjunto formado por todos los elementos de A relacionados 
con a por la relación de equivalencia R. 
 
 Simbólicamente: [a] = {x / x  A y x R a}. 
 
 
Las clases de equivalencia determinan una partición en el conjunto donde se define la relación dado 
que: 
 Ninguna clase de equivalencia es vacía 
 Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. 
 Todo elemento de A pertenece a alguna clase de equivalencia. 
 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 62 
 
3.7.1. Conjunto cociente 
Dada una relación R en un conjunto A, se llama cociente de A respecto a R, al conjunto formado por 
todas sus clases de equivalencia y se representa por A / R. 
𝑨/𝑹 = {[𝒂]/𝒂 ∈ 𝑨} 
Ejemplo: 
 
Sean el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y la relación de equivalencia 
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (4,5), (4,4), (5,5), (5,4)} 
 
 
La clase de equivalencia de cada elemento es: 
 
[1] = {1} 
[2] = {2, 3} 
[3] = {2, 3} 
[4] = {4, 5} 
[5] = {4, 5} 
En definitiva, dado que se repiten [2] con [3] y [4] con [5], las clases de equivalencia son: 
 {1} {2, 3} {4, 5} 
 
Es decir que A / R = {[1], [2], [4]} ={[1], [2], [4]} = {{1}, {2, 3}, {4, 5}} es el conjunto cociente. 
 
3.7.2. Partición de un conjunto 
 
Una partición de un conjunto no vacío 𝐴, es una colección 𝑃 = {𝐴1, 𝐴2, ………𝐴𝑛}, de 
subconjuntos de A talque: 
 
a) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑠𝑖 𝐴𝑖 ≠ 𝐴𝑗 
b) 𝐴𝑖 ∪ ………𝐴𝑗 = 𝐴 
Los subconjuntos 𝐴𝑖 ∈ 𝑃 son llamados bloques de partición 
3.7.3. Relación de orden 
Relación de orden parcial: Es toda relación binaria en un conjunto A, que sea: 
 
 Reflexiva 
 antisimétrica 
 transitiva. 
 
Permite ordenar los elementos a través de la relación. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 63 
 
Pueden definirse dos tipos de relación: de orden amplio y de orden estricto. 
 
3.7.4. Relación de orden amplio 
Una relación de orden amplio es aquella que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y 
transitiva. 
Ejemplo: 
 
Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, y en él la Relación: “menor o igual “ 
 
3.7.5. Relación de orden estricto 
Una relación de orden estricto es aquella que cumple con las propiedades antireflexiva, antisimétrica 
y transitiva 
Ejemplo: 
 
Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, y en él la Relación: “menor que “ 
 
3.7.6. Elementos comparables 
 
Si (𝐴, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado, los elementos a y b son comparables, si 𝑎 ≤
𝑏 𝑜 𝑏 ≤ 𝑎 
 
3.8. Orden total 
Si cada par de elementos de un conjunto parcialmente ordenado A son comparables se dice que A es 
un conjunto ordenado, y al orden parcial se le llama orden total. 
En otras palabras, si (𝐴, 𝑅) es un conjunto parcialmente ordenado decimos que A, es totalmente 
ordenado, si para todo elemento 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ocurre que 𝑥𝑅𝑦 𝑜 𝑦𝑅𝑥. En este caso decimos que R es un 
orden total. 
Ejemplo 1 
1.- Demostrar que la relación “mayor o igual que” (≥) es un orden parcial en el conjunto de los 
enteros 
i) Reflexiva 
Como 𝑎 ≥ 𝑎 para cada entero a (𝑎 ∈ 𝑍), luego ≥ es reflexiva 
ii) Antisimetrica 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 64 
 
Si 𝑎 ≥ 𝑏 𝑦 𝑏 ≥ 𝑎, entonces 𝑎 = 𝑏 por lo tanto ≥ es antisimetrica 
iii) Transitiva 
Si 𝑎 ≥ 𝑏 y 𝑏 ≥ 𝑐, entonces 𝑎 ≥ 𝑐, por lo tanto ≥ es transitiva 
Por lo tanto ≥ es orden parcial en el conjunto de los enteros y (𝑍,≥) es un conjunto parcialmente 
ordenado. 
Ejemplo 2 
Sea el conjunto 𝐴 = {2,3,4,5} y 𝑅: 𝐴 → 𝐴. R es una relación “ a divide exactamente a b”, averiguar 
si es de orden parcial o una relación de orden total. 
𝑅 = {(2,2), (2,4), (3,3), (4,4), (5,5)} 
i) Reflexiva 
(2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ∈ 𝑅, por tanto R es reflexiva 
ii) Antisimetrica 
(2,4) ∈ 𝑅 ∧ (4,2) ∉ 𝑅, por tanto R es antisimetrica 
iii) Transitiva 
(2,2) ∧ (2,4) ∈ 𝑅 → (2,4) ∈ 𝑅 
(2,4) ∧ (4,4) ∈ 𝑅 → (2,4) ∈ 𝑅, por lo tanto R es transitiva 
Por lo tanto R es de orden parcial 
Ahora veamos si R es de orden total, usando la definición observamos que (2,4) no son 
comparables. 
3.8.1. Diagrama de Hasse 
Es un diagrama simplificado para representar una relación orden. Para trazar el diagrama de hasse se 
borran todos los lazos, porque la relación es reflexiva, se eliminan las aristas que están implicadas 
por la propiedad transitiva, los vértices se remplazan por puntos. 
 
Osmar A. Bermeo Carrasco Página 65 
 
Ejemplo 
Sea el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4}, y R, aRb, “a divide a b”, entonces 
𝑅 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}, es un orden parcial y (𝐴, 𝑅) es un conjunto 
parcialmente ordenado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dígrafo Diagrama de Hasse 
3.8.2.Elementos extremos de un conjunto parcialmente ordenado 
Sea (𝐴, ≤) un conjunto parcialmente ordenado se definen los siguientes elementos. 
a) Elemento máximo 
Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es un elemento máximo de A si 𝑥 ≤ 𝑎, para todo 𝑥 ∈ 𝐴 
b) Elemento mínimo 
Un elemento