LA ELIPSE FINAL PPT

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ELIPSESECCION CONICA:
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
𝐶1
𝐶2
𝐿𝑡1
𝐶3
𝐿𝑡
𝑃(𝑥𝑜; 𝑦𝑜)
𝐿𝑓1
𝐿𝑡2
𝑃(𝑥𝑜; 𝑦𝑜)
C
𝐿𝑓2
𝐿𝑓3
22
Introducción
Secciones Cónicas
La circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola son secciones Cónicas
33
Las secciones cónicas se degeneran
Secciones cónicas degeneradas
La degeneración de una elipse y una circunferencia es un punto.
La degeneración de una parabola es …….
La degeneración de una hipérbola es …….
44
Aplicaciones de la Elipse
https://www.youtube.com/watch?v=Eg8rMRoO_Y8
https://www.youtube.com/watch?v=rox9ASzVYKY
https://www.youtube.com/watch?v=VAKuPLRPl0w
https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg
https://www.youtube.com/watch?v=Eg8rMRoO_Y8
https://www.youtube.com/watch?v=rox9ASzVYKY
https://www.youtube.com/watch?v=VAKuPLRPl0w
https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg
55
Puentes
66
Definición de la elipse
Una elipse es el lugar geométrico de un punto P(x;y) que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2) de ese plano es
siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. A los dos
puntos fijos se les denomina focos de la elipse.
𝑑 𝑃; 𝐹1 + 𝑑 𝑃; 𝐹2 = 𝑐𝑡𝑒
𝑃(𝑥; 𝑦)
𝐹1 𝐹2
77
C: Centro.
Elementos de la elipse:
F1 y F2: Focos. L1: Eje focal.
𝑁𝑄: Cuerda.
V1 y V2: Vértices.
L2: Eje normal.
𝑃𝑀: Cuerda focal. 
𝑉1𝑉2: Eje mayor.
LD1 y LD2: Directrices.
𝐴𝐷: Lado recto.
𝐵1𝐵2: Eje menor.
𝑃𝑄: Diámetro.
LD2 LD1
L1
F1 F
2
V2 V1
L2
B1
B2
C
A
D
N
Q
P
M
88
RESOLUCIÓN
APLICACION 01
Determine la ecuación de la elipse de centro el origen, foco en el punto (0;3) y semieje mayor igual a 5.
Del enunciado los focos y el centro
son: F1(0;3), C(0;0), F2(0,-3)
F1
F2
V1(0;5)
P(x;y)
C
definición PF1+PF2=V1F1+V1F2= 2a
(𝑥 − 0)2+(𝑦 − 3)2+ (𝑥 − 0)2+(𝑦 + 3)2= 5 − 3 + 5 + 3
(𝑥)2+(𝑦 − 3)2= 10 − (𝑥)2+(𝑦 + 3)2
Elevando al cuadrado
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 100 + 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 20 (𝑦 + 3)2+𝑥2
25𝑥2 + 225 + 150𝑦 + 25𝑦2 = 9𝑦2 + 150𝑦 + 625
Nuevamente elevando al cuadrado
5 (𝑦 + 3)2+𝑥2 = 3𝑦 + 25
𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 es la ecuación de la elipse
CLAVE: E 
𝐸) 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400
𝐴) 64𝑥2 + 25𝑦2 = 1600 𝐵) 30𝑥2 + 25𝑦2 = 750 𝐶) 20𝑥
2 + 25𝑦2 = 500
𝐷) 16𝑥2 + 8𝑦2 = 96
99
Ecuación de la elipse
Ecuación de la Elipse con Eje Focal paralelo al
Eje de abscisas:
y
x
0(h ; k)
𝑥2
𝒂2
+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2
= 1
Demostración
P(x , y)
Por definición:
V1(a,0)V2(-a,0)
B1(0,b)
B2(0,-b)
F1(c,0)F2(-c,0)
PF1+PF2=2a
(𝑥 + 𝑐)2+(𝑦 − 0)2+ (𝑥 − 𝑐)2+(𝑦 − 0)2= 2𝑎
(𝑥 − 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎 − (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes.
Elevando al cuadrado y simplificando
𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎 (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2
𝑎2 − 𝑐2 𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)
Dividiendo entre 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)
La ecuación de la
elipse está dada por:
También por definición B1F2+B1F1=2a
Además B1F2 = B1F1
→ B1F2=B1F1 =a
𝑥2
𝒂2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
a>b
0
B1
F1
b
c
a 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑥2
𝒂2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
1010
1. Se considera:
2. Por definición: 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Si consideramos el punto P en el vértice V1 y aplicamos la definición:
Luego obtenemos: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2𝑎
Entonces concluimos que:
Por ejemplo: 𝐵1𝐹1 = 𝐵1𝐹2 = 𝑎
3. Luego del teorema de Pitágoras se obtiene:
PROPIEDADES:
𝑉1𝐹1 + 𝑉1𝐹2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑎 + 𝑐
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
4. El área de la región que limita una elipse es: S = 𝜋𝑎𝑏
𝑉1𝑉2 = 2𝑎 , 𝐵1𝐵2 = 2𝑏 y 𝐹1𝐹2 = 2𝑐
1111
Forma canónica de la ecuación de una elipse
Cuando el centro es el origen de coordenadas se obtiene las siguientes ecuaciones:
Eje focal en el eje de ordenadas:
También: b2x2+a2y2=a2b2
También: b2y2+a2x2=a2b2
Eje focal en el eje de abscisas
Y
XF2 𝐹1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 𝑦
2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
X
Y
𝐹1
F2
1212
RESOLUCIÓN
APLICACION 02
Un arco tiene forma de semielipse con
una luz de 150 metros, siendo su máxima
altura de 45 metros. ¿Qué altura tiene el
arco 25 metros a la derecha o a la
izquierda del centro de la elipse?
𝐴) 30 2
B) 25 2
C) 20 2
D) 15 2
E) 10 2
CLAVE: A 
𝜀:
𝑥2
752
+
𝑦2
452
= 1
𝑥2
5625
+
𝑦2
2025
= 1⟹
Como: (25;h) ∈ 𝜀
252
5625
+
ℎ2
2025
= 1
ℎ2 = 1800 ℎ = 30 2
(25;0)
(75;0)
(0;45) (25;h)
De fig. la ecuación de la elipse es: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹
1313
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 03
La puerta de un almacén tiene la forma de un arco semieliptico, donde la base mide 2m de
ancho y la altura en el centro es de 4m. Si se requiere pasar a través de ella una caja de 2m
de altura, halle el ancho que puede tener la caja.
A)
3
2
𝑚 B) 1,5𝑚 C) 3𝑚 D) 1,75𝑚 E) 2 3𝑚
De la figura Tenemos: OA = O𝐵 = 𝑏 = 1
Tenemos: ℰ:
𝑥2
12
+
𝑦2
42
= 1
Como : M(𝑥0; 2) ∈ ℰ ⟹ 𝑥0
2 +
22
16
= 1 ⟹ 2𝑥0 = 3
CLAVE : C
𝐶 (0,4)
𝑋0
𝑀(𝑋0, 2)
Luego: OC = 𝑎 = 4𝑌
𝑋
𝑂𝐴 𝐵11
2
2 De fig. la ecuación de la elipse es: 
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑎: 2𝑥0 = 3
RESOLUCIÓN
1414
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 04
Un tanque es seccionado verticalmente por
un soplete, determinando una sección
elíptica como muestra la figura tal que el eje
mayor es el doble de su eje menor. Si la
distancia entre sus focos es 2√3 𝑚, halle el
área de la sección elíptica.
A) 2𝜋𝑚2 B) 4𝜋𝑚2 C) 3𝜋𝑚2
D) 6𝜋𝑚2 E) 5𝜋𝑚2
2𝑎 = 2(2𝑏)
𝑎 = 2𝑏, 2𝑐 = 2 3 ⟹ 𝑐 = 3
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
⟹ 2𝑏 2 = 𝑏2 + ( 3)2 ⟹ 𝑏 = 1, 𝑎 = 2
𝐴𝑟𝑒𝑎 (𝑆) = π𝑎𝑏 ⟹ 𝑆.= 2𝜋𝑚2
ℰ
𝑌
𝑋
𝑉𝐹1𝐹2
𝑎𝑏
0 𝑐𝑐
2 3
RESOLUCIÓN
CLAVE: A 
Del grafico tenemos:
1515
Ecuación ordinaria de la elipse de centro O(h ; k) y 
eje focal paralelo al eje de las ordenadas.
Consideremos la elipse mostrada en la figura.
La ecuación de la elipse está dada por:
B1
B2
𝐶 ℎ, 𝑘
a
X
Y
L1
L2
V1
V2
F1
F2
c
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝒃2
= 1
b
1616
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 05
Encuentre la ecuación de la elipse con vértices en (-4,3) y (2,3) y que tiene un foco en (-2,3).
A) B) C)
⟹
CLAVE : A
Luego: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Semieje mayor es: 
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Y
X
−4,3
𝑉2
2,3
𝑉1−2,3
𝐹2
C ℎ, 𝑘
𝐶 =
𝑉2 + 𝑉1
2
= (−1,3)
𝑎 = (2 − (−1))2+(3 − 3)2= 3
Distancia entre centro y foco: 
𝑐 = (−1 − (−2))2+(3 − 3)2= 1
32 = 𝑏2 + 12⟹ ∴ 𝑏2 = 8
Ecuación de la elipse:
𝑥 − (−1) 2
32
+
𝑦 − 3 2
8
= 1
𝑥 + 1 2
9
+
𝑦 − 3 2
8
= 1
𝑥 + 1 2
9
+
𝑦 − 3 2
8
= 1
D) 𝑥 + 1
2
8
+
𝑦 − 3 2
6
= 1
𝑥 − 1 2
9
+
𝑦 − 3 2
8
= 1
E) 𝑥 − 1
2
9
+
𝑦 + 3 2
8
= 1
𝑥 + 1 2
8
+
𝑦 + 3 2
6
= 1
RESOLUCIÓN
1717
Ecuación ordinaria de la elipse de centro O(h ; k) y 
eje focal paralelo al eje de las ordenadas.
Consideremos la elipse mostrada en la figura.
La ecuación de la elipse está dada por:
B1B2
b
𝐶 ℎ, 𝑘
a
X
Y
L1
L2
V1
V2
F1
F2
c
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝒂2
= 1
1818
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 06
Encuentre la ecuación de la elipse con focos en (-4,-3) y (-4,1) y un extremo del eje menor
en (-6,-1).
⟹
CLAVE : D
Luego: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Semieje menor es: 
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2
+
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
= 1
Y
X
−4,−3 𝐹2
−6,−1 𝐵1
−4,1 𝐹1
C ℎ, 𝑘
𝐶 ℎ, 𝑘 =
𝐹2 + 𝐹1
2
= (−4, −1)
𝑏 = (−4 − (−6))2+(−1 − (−1))2= 2
Distancia entre centro y foco: 𝑐 = (−4 − (−4))2+(1 − (−1))2= 2
𝑎2 = 22 + 22⟹ ∴ 𝑎
2 = 8
Ecuación de la elipse:
𝑥 − (−4) 2
4
+
𝑦 − (−1) 2
8
= 1
𝑥 + 4 2
4
+
𝑦 + 1 2
8
= 1
𝐴)
𝑥 − 4 2
4
+
𝑦 − 1 2
8
= 1
𝐷)
𝑥 + 4 2
4
+
𝑦 + 1 2
8
= 1
𝐵)
𝑥 − 4 2
8
+
𝑦 − 1 2
4
= 1
𝐸)
𝑥 − 4 2
9
+
𝑦 + 1 2
8
= 1
𝐶)
𝑥 + 4 2
8
+
𝑦 + 1 2
4
= 1
RESOLUCIÓN
1919
Forma general de la ecuación de una elipse.
Al desarrollar las formas ordinarias de la ecuación de la elipse se obtiene una ecuación
de la forma:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Donde A ≠C
(A y C del mismo signo positivos).
Dividiendo entre AC:
1
𝐶
𝑥2 +
𝐷𝑥
𝐴
+
1
𝐴
𝑦2 +
𝐸𝑦
𝐶
= −
𝐹
𝐴𝐶
𝐴𝑥2
𝐴𝐶
+
𝐶𝑦2
𝐴𝐶
+
𝐷𝑥
𝐴𝐶
+
𝐸𝑦
𝐴𝐶
+
𝐹
𝐴𝐶
= 0
Ordenando términos:Completando cuadrado:
1
𝐶
𝑥2 +
𝐷𝑥
𝐴
+
𝐷2
4𝐴2
+
1
𝐴
𝑦2 +
𝐸𝑦
𝐶
+
𝐸2
4𝐶2
= −
𝐹
𝐴𝐶
+
1
𝐶
𝐷2
4𝐴2
+
1
𝐴
𝐸2
4𝐶2
Factorizando resulta:
1
𝐶
𝑥 +
𝐷
2𝐴
2
+
1
𝐴
𝑦 +
𝐸
2𝐶
2
=
𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹
4𝐴2𝐶2
𝑥 +
𝐷
2𝐴
2
𝐶
+
𝑦 +
𝐸
2𝐶
2
𝐴
=
𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹
4𝐴2𝐶2
𝑀
2020
Analizaremos los siguientes casos:
Si: M > 0
Si: MC > MA , el eje focal de la elipse es paralelo al eje x ; si MA > MC, el eje focal de la elipse es
paralelo al eje y.
Centro:
Primer Caso:
𝑥 +
𝐷
2𝐴
2
𝐶
+
𝑦 +
𝐸
2𝐶
2
𝐴
=
𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹
4𝐴2𝐶2
Ecuación …..( I)
Ecuación ( I) representa la gráfica de un punto único de coordenadas −
𝐷
2𝐴
, −
𝐸
2𝐶
que se
denomina elipse punto.
𝐶 = −
𝐷
2𝐴
,−
𝐸
2𝐶
Segundo Caso:
Si: M = 0
Ecuación ( I) representa una elipse cuyo 
Tercer Caso:
Si: M < 0 Ecuación (I) no representa ningún lugar geométrico real.
2121
RESOLUCIÓNAPLICACION 07
¿Qué condición debe cumplir el
parámetro T para que la ecuación :
4𝑥2 + 3𝑦2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 𝑇 = 0
represente una elipse ?
𝐴) 𝑇 < 16
B) 𝑇 < 15
C) 𝑇 > 16
D) 𝑇 < 12
E) 𝑇 < 10
CLAVE: A 
De la ecuación:
4𝑥2 + 3𝑦2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 𝑇 = 0
⟹
⟹
4 𝑥2 − 2𝑥 + 3 𝑦2 + 4𝑦 + 𝑇 = 0
4 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 + 3 𝑦2 + 4𝑦 + 4 − 4 + 𝑇 = 0
4 𝑥 − 1 2 + 3 𝑦 + 2 2 − 4 − 12 + 𝑇 = 0
4 𝑥 − 1 2 + 3 𝑦 + 2 2 = 16 − 𝑇
𝑥 − 1 2
3
+
𝑦 + 2 2
4
=
16 − 𝑇
12
16 − 𝑇 > 0
2222
𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Las cónicas son las curvas determinadas por la intersección de un cono con un plano que no pasa por su
vértice y que se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas. La circunferencia es una elipse cuyos
focos coinciden.
Pues bien, uno de los parámetros importantes en las cónicas es su
excentricidad (e). Esta nos informa sobre lo que se parece una cónica a
una circunferencia. Si la cónica tiene excentricidad cero, nos dice que es
una circunferencia; si su excentricidad es mayor que cero pero menor que
uno, es una elipse(0<e<1); si es uno, una parábola (e=1); y si es mayor
que uno (e>1), una hipérbola. En la imagen vemos como partiendo de una
circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses,
parábolas e hipérbolas.
Desde que Kepler enunciara su leyes conocemos que los planetas tienen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el
cálculo de de las excentricidades de estas nos dicen que son muy cercanas a órbitas circulares (para la Tierra,
e=0,017 ). Lo mismo sucede con los satélites como la Luna, cuya excentricidad de la elipse que describe en su
movimiento alrededor de la Tierra es de 0,0549.
2323
Definición de la Elipse por Excentricidad
Una elipse es el lugar
geométrico de todos los puntos
de un plano para los cuales se
cumple que el cociente entre sus
distancias a un punto fijo –que
se denomina foco– y a una
recta dada –llamada directriz–
permanece constante y es igual
a la excentricidad de la misma.
La excentricidad es un número real:
0 < 𝑒 < 1
y
x
B1
B2
0(h ; k) V1
V2
P(x , y)
𝐿𝐷1
𝐿𝐷2
F1F2
𝑒 =
𝑑 (𝑃, 𝐹1)
𝑑 (𝑃, 𝐿𝐷1)
2424
Cáculo de la Excentricidad de una elipse.
Efectuando:
Por definición:
Para el punto 𝐵1 ∶
Para el punto 𝑉1
Igualando:
𝐵1
𝑉1𝐹1
𝑂 𝒄
𝑎 − 𝑐 𝑑 − 𝑎
𝑑
𝑦 𝐿𝐷
1
𝑥
𝑎
𝑒 =
𝑑 (𝑃𝐹1)
𝑑 (𝑃𝐿𝐷1)
𝑒 =
𝑎
𝑑
: 𝑒 =
𝑎 − 𝑐
𝑑 − 𝑎
𝑎
𝑑
=
𝑎 − 𝑐
𝑑 − 𝑎
Nota 1:
2d es la distancia entre las
directrices de la elipse
𝑒 =
𝑐
𝑎
< 1
𝑏
Nota 2:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2Por el teorema de Pitágoras:
2525
Halle la excentricidad de la elipse
que tiene su centro en el origen , uno
de sus vértices es el punto (-7, 0) y
pasa por el punto P(2,5) .
𝐴)
1
2
𝐵)
4
5
𝐶)
2
3
𝐷)
6
7
𝐸)
8
9
APLICACIÓN 08 RESOLUCIÓN 
𝐶 0,0 𝑉(0, −7) → 𝑎 = 7
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
14
3 7
𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2
→ 𝑏2 (2)2+(7)2(5)2= (7)2𝑏2 → 𝑏2 =
245
9
72 =
245
9
+ 𝑐2 → 𝑐
2 =
49(4)
9
𝑒 =
2
3
∴
Clave: C
Por dato tenemos: 
La elipse es canónica y su eje focal es el eje x:
Propiedad : 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
P(2,5) pertenece a la elipse:
∴ 𝑐 =
14
3
La excentricidad será:
2626
APLICACION 09
RESOLUCIÓN
Halle en la ecuación de la elipse, de excentricidad 1/2 , foco F 3; 0 y la ecuación de la directriz
correspondiente es: 𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 .
𝐴) 7𝑥2 + 7𝑦2 − 2𝑥𝑦 − 46𝑥 + 2𝑦 + 71 = 0 𝐵) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 46𝑥 + 2𝑦 + 71 = 0
𝐶) 7𝑥2 + 7𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 46𝑥 + 2𝑦 + 71 = 0 𝐷) 7𝑥2 + 7𝑦2 − 2𝑥𝑦 − 46𝑥 − 2𝑦 + 71 = 0
𝐸) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 46𝑥 − 2𝑦 + 71 = 0
𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 .
 3;0F
P(x;y)
CLAVE: A
⟹
1
2
=
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 0 2
𝑥 + 𝑦 − 1
2
Sabemos que
7𝑥2 + 7𝑦2 − 2𝑥𝑦 − 46𝑥 + 2𝑦 + 71 = 0Desarrollando :
⟹ 2 2 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑥 + 𝑦 − 1
⟹ 2 2 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 0 2
2
= 𝑥 + 𝑦 − 1 2
e =
𝑑 𝑃,𝐹
𝑑 𝑃𝐿𝐷
Elevando al cuadrado
2727
Longitud del Lado recto
Consideremos la elipse mostrada en la figura. 𝑀𝑁 : Lado recto
B1B2
L/2
C(0,0)
X
Y
L1
L2
V1
V2
F1
c
F2
c
MN
Aplicando el teorema de Pitágoras:
MF1+ MF2 = 2aPor definición: 𝑀𝐹1 = 2𝑎 −
𝐿
2
⟹
𝐿
2
2
+ 2𝑐 2 = 2𝑎 −
𝐿
2
2
Desarrollando:
𝐿2
4
+ 4𝑐2 = 4𝑎2 − 2𝑎𝐿 +
𝐿2
4
Efectuando y agrupando:
𝑎. 𝐿 = 2 𝑎2 − 𝑐2
𝑀𝑁 = 𝐿 =
2𝑏2
𝑎
2828
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 11
Los focos de una elipse son los puntos
𝐹1(−4;−2) y 𝐹2(−4;−6) y la longitud del
lado recto es 6u. Halle la ecuación de la
elipse.
CLAVE B
A)
(𝑥+4)2
16
+
(𝑦+4)2
12
= 1
B)
(𝑥+4)2
12
+
(𝑦+4)2
16
= 1
C)
(𝑥+4)2
25
+
(𝑦+4)2
36
= 1
D)
(𝑥+4)2
36
+
(𝑦+4)2
25
= 1
E)
(𝑥−4)2
12
+
(𝑦−4)2
25
= 1
Eje focal // Eje Y
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
Sabemos que : d 𝐹1𝐹2 = 2𝑐
Tenemos que: LR = 6 ⟹
2𝑏2
𝑎
= 6 ⟹ 𝑏2 = 3𝑎
Sabemos que: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑥 − (−4) 2
(2 3)2
+
(𝑦 − (−4))2
42
= 1
⟹ 2𝑐 = 4 ∴ 𝐶 = 2
⟹ 𝑎2 = 3𝑎 + 22
⟹ 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 2 3
Centro de la elipse: 𝐶 =
𝐹2 + 𝐹1
2
= (−4,−4)
ℰ:
𝑥 + 4 2
12
+
(𝑦 + 4)2
16
= 1
RESOLUCIÓN
2929
APLICACION 12
RESOLUCIÓN
Halle la ecuación de la elipse con eje focal en
el eje x de centro 0; 0 y eje mayor 8u. Si al
unir los extremos del lado recto con el centro
de la elipse, el triángulo formado es
equilátero.
𝐴)
𝑥2
12
+
𝑦2
7
= 1
𝐵)
𝑥2
12
+
𝑦2
25
= 1
𝐶)
𝑥2
7
+
𝑦2
16
= 1
𝐷)
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1
𝐸)
𝑥2
12
+
𝑦2
9
= 1
CLAVE: D
⟹ 𝑐 = 3.008
𝑉1 −4; 0 ; 𝑉2 4; 0
𝑡𝑎𝑛30° =
𝐶𝐹2
𝑐
En el triángulo COD
(equilátero):
∴ 𝑏2 =
4𝑐 3
3
Si eje mayor vale 8 y el centro está en el origen:
𝑎 = 4 y los vértices son:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
2𝑏2
4
= 2𝐶𝐹2
Se sabe: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (1)
Reemplazando en (1):
16 =
4𝑐 3
3
+ 𝑐2 ∴ 𝑏
2 = 7
⟹
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1O
C
D
→ 𝐶𝐹2 =
𝑏2
4
→ 𝐶𝐹2 =
𝑐 3
3
Ecuación de la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
3030
Recta Directriz de la Elipse
Consideremos la elipse mostrada en la figura.
y
x0(h ; k)
P(x , y)
Por definición:
V1(a,0)V2(-a,0) F1(c,0)F2(- c,0)
PF1+PF2=2a
(𝑥 + 𝑐)2+(𝑦 − 0)2+ (𝑥 − 𝑐)2+(𝑦 − 0)2= 2𝑎
(𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎 − (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes.
Despejando x:
−𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
En está ecuación:
Por tanto la directriz , para una elipse con eje
focal paralelo al eje “x” será:
→ 𝑑 𝑃𝑙 =
𝑎
𝑐
𝑑(𝑃𝐹1)
𝐿𝐷1 ∶ 𝑥 =
𝑎2
𝑐
B2(0,-b)
B1(0,b)
−𝑥 +
𝑎2
𝑐
=
𝑎
𝑐
(𝑥 − 𝑐)2+𝑦2⟹
−𝑥 +
𝑎2
𝑐
=
𝑎
𝑐
(𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
d(Pl) d(P𝐹1)
𝑙𝐷
𝐿𝐷2 ∶ 𝑥 = −
𝑎2
𝑐
3131
Recta Directriz de la Elipse
Consideremos la elipse con centro en: C(0,0)
TIPO DE 
ELIPSE
DIRECTRICES FOCO 
ASOCIADO
Horizontal
𝑥 =
𝑎2
𝑐
𝐹 𝑐, 0
Horizontal
𝑥 = −
𝑎2
𝑐
𝐹′ −𝑐, 0
Vertical
𝑦 =
𝑎2
𝑐
𝐹 0, 𝑐
Vertical
𝑦 = −
𝑎2
𝑐
𝐹′ 0, −𝑐
Consideremos la elipse con centro en: C(h,k)
TIPO DE 
ELIPSE
DIRECTRICES FOCO 
ASOCIADO
Horizontal
𝑥 − ℎ =
𝑎2
𝑐
𝐹 ℎ + 𝑐, 𝑘
Horizontal
𝑥 − ℎ = −
𝑎2
𝑐
𝐹′ ℎ − 𝑐, 𝑘
Vertical
𝑦 − 𝑘 =
𝑎2
𝑐
𝐹 ℎ, 𝑘 + 𝑐
Vertical
𝑦 − 𝑘 = −
𝑎2
𝑐
𝐹′ ℎ, 𝑘 − 𝑐
3232
APLICACION 13 RESOLUCIÓN
Halle la ecuaciónde la elipse
horizontal, de centro en el origen si
esta pasa por el punto 𝑃 − 5; 2 , y la
distancia entre sus directrices es 10.
𝐴)
𝑥2
12
+
𝑦2
9
= 1
𝐵)
𝑥2
6
+
𝑦2
15
= 1
𝐶)
𝑥2
9
+
𝑦2
12
= 1
𝐷)
𝑥2
16
+
𝑦2
25
= 1
𝐸)
𝑥2
15
+
𝑦2
6
= 1
CLAVE: E 
Si la distancia entre sus directrices es 10 y el centro está
en el origen las ecuaciones de las directrices son:
⟹
⟹
𝑥 = 5 ; 𝑥 = −5
Propiedad fundamental: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
La ecuación de la elipse es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
→ 𝑎2 = 15
→ 5 =
𝑎2
𝑐
→ 𝑐 =
𝑎2
5
(1)
5
𝑎2
+
4
𝑏2
= 1 (2)
(3)
𝑏2 =
25𝑎2 − 𝑎4
25
Resolviendo (1) y (3):
Reemplazando en (2): 5
25𝑎2 − 𝑎4
25
+ 4𝑎2 = 𝑎2
25𝑎2 − 𝑎4
25
→ 𝑐 =
15
5
= 3
La ecuación de la elipse es:
𝑥2
15
+
𝑦2
6
= 1
𝑃 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 elipse:
3333
1. En cualquier punto 𝑃𝑂 𝑥0; 𝑦𝑜 de la 
elipse que tiene por ecuación: 
𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Pendiente de recta tangente a elipse 
Igualando:
𝑚 = −
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
Demostración
𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥𝑜
Se sabe:
Además: 𝑏2 𝑥2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2
𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2𝑦𝑜
2 = 𝑎2 𝑏2
Sean P(x , y) y Po(xo ,yo) puntos de la elipse:
𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝜀
Po(xo ,yo) 
𝑏2 𝑥2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2𝑦𝑜
2
𝑏2 𝑥2 − 𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2 𝑦2 − 𝑎2𝑦𝑜
2 = 0
𝑏2 (𝑥2 − 𝑥𝑜
2) + 𝑎2 (𝑦2 − 𝑦𝑜
2) = 0
La pendiente es:
Ordenando:
Factorizando:
Despejando “b”:
𝑏2 + 𝑎2(
𝑦2 − 𝑦𝑜
2
𝑥2 − 𝑥𝑜
2) = 0
3434
Consecuencia
𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑜)
𝑚 = −
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
𝑦 − 𝑦𝑜 = (−
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
)(𝑥 − 𝑥𝑜)
𝑥𝑜𝑥
𝑎2
+
𝑦𝑜𝑦
𝑏2
= 1
La ecuación de la recta tangente a la 
elipse es:
Como:
∴
𝑎2
𝑦2 − 𝑦𝑜
2
𝑥2 − 𝑥𝑜
2
= −𝑏2
(𝑦 + 𝑦𝑜)(𝑦 − 𝑦𝑜)
(𝑥 + 𝑥𝑜)(𝑥 − 𝑥𝑜)
= −
𝑏2
𝑎2
𝑦 + 𝑦𝑜
𝑥 + 𝑥𝑜
𝑚 = −
𝑏2
𝑎2
𝑚 = −
𝑏2
𝑎2
𝑥𝑜 + 𝑥𝑜
𝑦𝑜 + 𝑦𝑜
lqqd 
Despejando “b”:
𝑦2 − 𝑦𝑜
2
𝑥2 − 𝑥𝑜
2
= −
𝑏2
𝑎2
⟹
Diferencia de cuadrados:
𝑚 = −
𝑏2
𝑎2
𝑥 + 𝑥𝑜
𝑦 + 𝑦𝑜
⟹
𝑚 = −
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
3535
RESOLUCIÓN 
x + y−2 = 0
S𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝑏 = 1
𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑚𝑡 = −
𝑏2𝑥
𝑎2𝑦
−1 = −
12𝑥
𝑎2𝑦
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠
…(1)𝑥2 = 𝑎2(1 − 𝑦2)
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚𝑡 = −1
…(3)
… (2)
𝑑𝑒 2 𝑦 (3) → y =
2
1 + 𝑎2
𝐸𝑛 (1)
2𝑎2
1 + 𝑎2
2
= 𝑎2 1 −
2
1 + 𝑎2
2
𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2
𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑎2 = 3
∴ Clave: C
𝑥2 = 3(1 − 𝑦2)
𝑥2 + 3𝑦2 = 3
APLICACIÓN 14 
Calcule la ecuación de la elipse de focos sobre el eje X y centro en (0;0) , cuya recta tangente es la recta:
x + y−2 = 0, además su semieje menor es igual a 1.
𝐴)
𝑥2
1
+
𝑦2
2
= 1 𝐵)
𝑥2
2
+
𝑦2
1
= 1 𝐶)
𝑥2
3
+
𝑦2
1
= 1 𝐷)
𝑥2
1
+
𝑦2
3
= 1 𝐸)
𝑥2
3
+
𝑦2
2
= 1
𝑥 =
2𝑎2
1 + 𝑎2
La ecuación de la elipse será:
3636
𝜀 ∶
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
2. En cualquier punto exterior 
𝑃𝑂 𝑥0; 𝑦𝑜 de la elipse que tiene 
por ecuación: 
𝜀
Po(xo ,yo) 
Demostración
𝜀: 𝑏2 𝑥2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2
Sean P(x , y) un punto de la elipse:
y Po(xo ,yo) un punto exterior a la elipse 
Sea L: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏′
Igualo la ecuación de la elipse y de la recta obteniéndose
el punto de intersección I1
𝑏2 𝑥2 + 𝑎2 (m x+ 𝑦0 − m 𝑥0)
2= 𝑎2 𝑏2
Efectuando
𝑏2 𝑥2 + 𝑎2𝑚2 𝑥2 + 𝑎2 𝑦0 −𝑚𝑥0
2 + 2𝑎2𝑚𝑥(yo− m𝑥0 ) = 𝑎
2 𝑏2
yo = m xo+ b’→
∴ L: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦0 −𝑚𝑥0
(𝑏2+𝑎2𝑚2 )
𝑝
𝑥2 + 2𝑎2𝑚 yo− m 𝑥0
𝑞
𝑥 + 𝑎2(yo − m𝑥0 )
2 − 𝑎2 𝑏2
𝑟
= 0
I1(x , y)
𝑚 =
−𝑏2𝑥𝑜𝑦𝑜 ± 𝑏
2 𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2 𝑦𝑜
2 − 𝑎2 𝑏2
𝑎2𝑦𝑜
2
Agrupando 
𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0
3737
𝑚 =
2𝑥𝑜𝑦𝑜 ± (2𝑥0𝑦0)
2−4(𝑥𝑜
2 − 𝑎2)(𝑦𝑜
2 − 𝑏2)
2 𝑥𝑜
2 − 𝑎2
4𝑎2𝑎2 𝑚 yo− m𝑥0
2
= 4𝑎2(𝑏2+𝑎2𝑚2 )( yo − m 𝑥0
2 − 𝑏2)
𝑎2 𝑚 yo− m 𝑥0
2
= 𝑏2 yo − m 𝑥0
2 + 𝑎2𝑚2 yo − m𝑥0
2 − 𝑏4 − 𝑏2𝑎2𝑚2
0 = 𝑏2 yo − m 𝑥0
2 − 𝑏4 − 𝑏2𝑎2𝑚2
yo − m 𝑥0
2 − 𝑎2𝑚2 − 𝑏2 = 0
𝑦𝑜
2 −2𝑚𝑥0𝑦0 +𝑚
2 𝑥𝑜
2 − 𝑎2𝑚2 = 𝑏2
𝑥0
2 − 𝑎2 𝑚2 − 2𝑥0𝑦0𝑚 + 𝑦𝑜
2 − 𝑏2 = 0
𝑚 =
𝑥𝑜𝑦𝑜 ± (𝑥𝑜𝑦𝑜)
2−(𝑥𝑜
2 − 𝑎2)(𝑦𝑜
2 − 𝑏2)
𝑥𝑜
2 − 𝑎2
𝑚 =
𝑥𝑜𝑦𝑜 ± 𝑏
2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2 𝑦𝑜
2 − 𝑎2 𝑏2
𝑥𝑜
2 − 𝑎2
𝑚 =
𝑏2𝑥𝑜𝑦𝑜 ± 𝑏
2 𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2 𝑦𝑜
2 − 𝑎2 𝑏2
−𝑎2𝑦𝑜
2
𝑚 =
−𝑏2𝑥𝑜𝑦𝑜 ± 𝑏
2 𝑏2 𝑥𝑜
2 + 𝑎2 𝑦𝑜
2 − 𝑎2 𝑏2
𝑎2𝑦𝑜
2
Por tratarse de la intersección de figuras geométricas que se 
cortan en un punto el discriminante debe ser igual a cero 
(01 solución).
2𝑎2𝑚 yo− m𝑥0
2
− 4(𝑏2+𝑎2𝑚2 )(𝑎2 yo − m 𝑥0
2 − 𝑎2 𝑏2) = 0
2𝑎2𝑚 yo− m𝑥0
2
= 4(𝑏2+𝑎2𝑚2 )(𝑎2 yo − m 𝑥0
2 − 𝑎2 𝑏2)
𝑞2 − 4𝑝𝑟 = 0
𝜀: 𝑏2 𝑥2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 𝑥
2 − 𝑎2 = −
𝑎2𝑦0
2
𝑏2→
3838
Si la ecuación de la recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 𝑘 = 0 es tangente a la elipse ℰ:
𝑥2
4
+ 𝑦2 = 1,
halle k 𝑘 > 0 .
A) 5 B) 2 5 C) 3 D) 6 E) 2 3
ℰ:
𝑥2
4
+ 𝑦2 = 1… . (𝛼)
d𝑒 𝛼 ∶ 𝑥2 + 4(𝑘 − 𝑥)2= 4
𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 𝑘 = 0
⟹ 5𝑥2 − 8𝑘𝑥 + 4𝑘2 − 4 = 0 𝑘 = 5
CLAVE A 
→ 𝑦 = 𝑘 − 𝑥
−8𝑘 2 − 4 5 4𝑘2 − 4 = 0Discriminante:
64𝑘2 = 20 4𝑘2 − 4
16𝑘2 = 80
RESOLUCIÓN 
APLICACIÓN 15 
3939
Donde su pendiente es 1, ya que es perpendicular a L 
𝑆𝑒𝑎 𝐿𝑡: 𝑦 = 1 𝑥 + 𝑏, 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
ε: 3𝑥2 + (𝑥 + 𝑏)2+4𝑥 − 2(𝑥 + 𝑏) − 3 = 0
Interceptando L con ε:
4𝑥2 + 2 + 2𝑏 𝑥 + 𝑏2 − 2𝑏 − 3 = 0
Discriminante = 0 
1 + 𝑏 2 − 4 𝑏2 − 2𝑏 − 3 = 0
3𝑏2 − 10𝑏 − 13 = 0
3𝑏 − 13 𝑏 + 1 = 0
𝐿𝑡1: 𝑦 = 1 𝑥 − 1
𝐿𝑡2: 𝑦 = 1 𝑥 −
13
3
𝐿𝑡1: 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
𝐿𝑡2: 3𝑥 − 3𝑦 − 13 = 0
∴
𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 − 1
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜:
Clave: D
APLICACIÓN 16 
Las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse ε:
3𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 que son perpendiculares a
la recta L: 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 son:
A) 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
3𝑥 − 3𝑦 + 10 = 0
𝐵) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
3𝑥 − 3𝑦 + 13 = 0
𝐶) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0,
2𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
𝐷) 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
3𝑥 − 3𝑦 + 13 = 0
𝐸) 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0,
2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
RESOLUCIÓN 
𝑏 = −1 ; 𝑏 =
13
3
Resolviendo tenemos: 
4040
Rayo incidente y rayo reflejado
El rayo incidente F2Po y el rayo reflejado
PoF1 hacen un mismo ángulo con la recta
tangente o recta normal en el punto
𝑃𝑂 𝑥0; 𝑦𝑜 de la elipse 𝜀 ∶
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝜀Po(xo ,yo) 
Demostración
Se sabe que:
También:F2(c;0)F1(-c;0)
𝛽
𝜀Po(xo ,yo) 
𝐿𝑛
𝐿2
F2(c;0)F1(-c;0)
𝛽
𝐿1
𝑚𝑡 = −
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
𝑚𝑛 =
𝑎2𝑦0
𝑏2𝑥𝑜
𝑚1 =
𝑦0
𝑥𝑜+𝑐
𝑚2 =
𝑦0
𝑥𝑜−𝑐
𝛼 = 𝛽
Aplicación de la elipse
4141
tan 90° − 𝛽 =
𝑎2𝑦0
𝑏2𝑥𝑜
−
𝑦𝑜
𝑥𝑜+𝑐
1 + (
𝑎2𝑦0
𝑏2𝑥𝑜
)(
𝑦𝑜
𝑥𝑜+𝑐
)
tan 90° − 𝛼 =
𝑦𝑜
𝑥𝑜−𝑐
−
𝑎2𝑦0
𝑏2𝑥𝑜
1 + (
𝑎2𝑦0
𝑏2𝑥𝑜
)(
𝑦𝑜
𝑥𝑜−𝑐
)
Por ángulo entre 2 rectas:
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑏2𝑥𝑜𝑦𝑜 − 𝑎
2𝑦0𝑥𝑜 + 𝑐𝑎
2𝑦𝑜
𝑏2𝑥𝑜2 − 𝑏2𝑥𝑜𝑐 + 𝑎2𝑦𝑜2
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
(𝑏2 − 𝑎2)𝑦0𝑥𝑜 + 𝑐𝑎
2𝑦𝑜
𝑏2𝑥𝑜2 + 𝑎2𝑦𝑜2 − 𝑏2𝑥𝑜𝑐
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
−𝑐𝑎2𝑦0𝑥𝑜 + 𝑐𝑎
2𝑦𝑜
𝑏2𝑎2 − 𝑏2𝑥𝑜𝑐
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐𝑦0(𝑎
2 − 𝑐𝑥𝑜)
𝑏2(𝑎2−𝑥𝑜𝑐)
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐𝑦0
𝑏2
Análogamente:
𝑐𝑜𝑡 𝛽 =
𝑐𝑦0
𝑏2
∴
Consecuencia
𝛼 = 𝛽
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐𝑦0
𝑏2
4242
Otras propiedades en la elipse
1. El producto de las distancias desde los
focos de una elipse 𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
a una recta tangente de dicha elipse es
igual al semieje menor elevado al
cuadrado:
𝜀
El triángulo PFI es rectángulo
F2F1
d1
d2
2. El triangulo formado por el punto de
tangencia entre la elipse 𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
y la recta tangente, el foco y el punto de
intersección de la recta tangente con la
recta directriz es rectángulo.
𝜀
F
P
I
𝑑1𝑑2 = 𝑏
2
4343
𝜀
F2 (c,0)F1 (-c,0)
d1
d2
Se sabe: 𝐿: 𝑏
2𝑥𝑜𝑥 + 𝑎
2𝑦𝑜𝑦 − 𝑎
2𝑏2 = 0
Por distancia de un punto a una recta:
Multiplicando
𝑑1 =
𝑏2𝑥𝑜 −𝑐 + 𝑎
2𝑦𝑜 0 − 𝑎
2𝑏2
(𝑏2𝑥𝑜)2+(𝑎2𝑦𝑜)2
Po(xo ,yo) 
𝑑2 =
𝑏2𝑥𝑜 𝑐 + 𝑎
2𝑦𝑜 0 − 𝑎
2𝑏2
(𝑏2𝑥𝑜)
2+(𝑎2𝑦𝑜)
2
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1
𝑑1𝑑2 =
(𝑎2𝑏2)2−(𝑏2𝑥𝑜𝑐)
2
(𝑏2𝑥𝑜)2+(𝑎2𝑦𝑜)2
𝑑1𝑑2 =
𝑏4(𝑎4− 𝑥𝑜𝑐
2)
𝑏2(𝑏2𝑥02 +
𝑎4𝑦02
𝑏2
)
𝑑1𝑑2 =
𝑏4(𝑎4− 𝑥𝑜𝑐
2)
𝑏2(𝑏2𝑥02 +
𝑎2(𝑎2𝑏2− 𝑥02𝑏2)
𝑏2
)
𝑑1𝑑2 =
𝑏2(𝑎4− 𝑥𝑜𝑐
2)
(𝑏2𝑥02 + 𝑎4 − 𝑥02𝑎2)
𝑑1𝑑2 =
𝑏2(𝑎4− 𝑥𝑜𝑐
2)
𝑎4 − 𝑥02(𝑎2 − 𝑏2)
𝑑1𝑑2 = 𝑏
2
⟹
⟹
4444
3. Al trazar las rectas tangentes, desde un
punto Po(xo ,yo) a la elipse 𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ,se
generan 2 puntos de contacto.
𝜀
L
La ecuación de la recta que une los puntos de contacto es:
𝑏2𝑥𝑥0 + 𝑎
2𝑦𝑦0 = 𝑎
2𝑏2
F
Po(xo ,yo) 
4. La pendiente de la tangente a una elipse
𝜀:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 en cualquiera de los puntos
extremos de uno de sus lados rectos es
numéricamente igual a su excentricidad
𝜀
𝑚 = 𝑒
Po(xo ,yo) 
4545
𝐿:
𝑥𝑜𝑥
𝑎2
+
𝑦𝑜𝑦
𝑏2
= 1
Se sabe que la ecuación de la Recta L:
F
𝜀
Como el punto 𝑃0 ∈ a la recta entonces: 
Po(c ,
𝑏2
𝑎
) ∈ 𝐿
𝑏2
𝑎
𝑐
Po(c ,
𝑏2
𝑎
)
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 4
𝑚 = −
𝑏2𝑥0
𝑎2𝑦𝑜
𝑚 = −
𝑏2𝑐
𝑎2(
𝑏2
𝑎
)
𝑚 = 𝑒∴
La pendiente de la recta es:
4646
PROBLEMAS RESUELTOS 
4747
Resolución
CLAVE: A
⟹ 𝑐 = ℎ; 𝑘 = 1; 1
𝑑 𝑉1𝑉2 = 2𝑎 → 2𝑎 = 10
Centro será: 𝐶 =
𝑉1+𝑉2
2
𝑥 − 1 2
16
+
𝑦 − 1 2
25
= 1
F
∴
𝑥−ℎ 2
𝑏2
+
𝑦−𝑘 2
𝑎2
= 1
𝑠𝑖 𝑥 = 1 ; 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑦 = 4 → 𝐹1 1; 4
 1; 4V1 
 1;6V2 𝐿: 2𝑦 − 𝑥 − 7 = 0 .
⟹ 𝑎 = 5
𝑑 𝐶𝐹1 = 𝑐 → 𝑐 = 3
 h;kC
propiedad : 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⟹ 25 = 𝑏2 + 9 ⟹ 𝑏 = 4
Halle la ecuación de la elipse, de vértices 𝑉1 1;−4 y 𝑉2 1; 6 y foco pertenece a la recta:
𝐿: 2𝑦 − 𝑥 − 7 = 0 .
𝐴)
𝑥−1 2
16
+
𝑦−1 2
25
= 1 𝐵)
𝑥−1 2
25
+
𝑦−1 2
16
= 1 𝐶)
𝑥2
16
+
𝑦 − 1 2
25
= 1 𝐷)
𝑥 − 1 2
16
+
𝑦 − 1 2
20
= 1
Problema 1
𝐸)
𝑥 − 1 2
9
+
𝑦 − 1 2
20
= 1
La ecuación de la elipse será:
Ec. de la elipse será:
4848
Resolución
CLAVE: A
⟹ 𝐴
6 5
5
;
2 5
5
;𝐵
3 5
5
;−
4 5
5
𝑒𝑐. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎: 𝑦 − 0 = 2 𝑥 − 5
Resolviendo (1) y (2) tenemos:
∴ 𝑥1 =
6 5
5
; 𝑥2 =
3 5
5
4𝑥2 + 9 2(𝑥 − 5)
2
= 36
(1)
Pendiente de la recta: 𝑚2 =
0−
− 5
5
0−
9 5
10
= −
2
9
y − 0 = −
2
9
(𝑥 − 0)
∴ 𝑃𝑚
9 5
10
; −
5
5
B
A
4𝑥2 + 9𝑦2 = 36 →
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1
⟹ 𝑎 = 3 ; 𝑏 = 2 ; 𝑐 = 5
𝐹1 5; 0 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐹1
⟹ 𝑦 = 2(𝑥 − 5) (2)
40𝑥2 − 72 5𝑥 + 144 = 0⟹
⟹ 2𝑥 + 9𝑦 = 0
Halle en la elipse cuya ecuación es: 4𝑥2 + 9𝑦2 = 36 , la ecuación del diámetro que biseca cuerdas de
pendiente 2.
𝐴) 2𝑥 + 9𝑦 = 0 𝐵) 3𝑥 + 6𝑦 = 0 𝐶) 2𝑥 − 9𝑦 = 0 𝐸) 4𝑥 + 6𝑦 = 0𝐷) 𝑥 − 9𝑦 = 0
Problema 2
𝑃𝑚
𝐹1
De la ecuación de la elipse:
4949
Resolución
CLAVE: C
⟹ 𝑐1 = 2 ; 𝑐2 = 1
Resolviendo (1) y (2) tenemos:
∴ 𝑎1 = 4 ; 𝑎2 = 3
12 𝑎 − 2 = 𝑎2 + 𝑎 𝑎 − 2
……(1)
t𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐹2 2; 0 ; 𝐶 ℎ; 0 ; 
⟹ 𝑏1
2= 12 ; 𝑏22 = 8
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 =
𝑎2
𝑐
+ ℎ
(2)
O
y
x
12 =
𝑎2
𝑐
+ 𝑎 ⟹ 12𝑐 = 𝑎2 + 𝑐𝑎
𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜: 𝑐 = 𝑎 − 2
⟹ 2𝑎2 + 14𝑎 + 24 = 0
Propiedad fundamental: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Ecuación de la elipse será: ∴
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥 − 4 2
16
+
𝑦2
12
= 1 ; 𝑥 − 3
2
9
+
𝑦2
8
= 1
Halle en la ecuación de la elipse, de vértice izquierdo en el origen y eje coincidente con el eje X , si la
ecuación de la directriz más alejada del origen es : 𝑥 = 12 y las coordenadas del foco más cercano al
origen es 2; 0 .
𝐴)
𝑥 − 2 2
16
+
𝑦2
8
= 1
Problema 3
𝐵)
𝑥 − 3 2
16
+
𝑦2
8
= 1 𝐶)
𝑥 − 3 2
9
+
𝑦2
8
= 1 𝐷)
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1𝐷)
𝑥2
16
+
𝑦2
8
= 1
𝐹2
𝑎
𝑐
𝐿𝐷
5050
Resolución
CLAVE:D
⟹ 𝑎2 = 𝑏2 + 1/4
16 𝑏2 + 1/4 + 9𝑏2 − 4 𝑏2 + 1/4 𝑏2
→ 𝑏2 ≈
154
25
(2)
⟹
𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜: 𝑐 = 1 −
1
2
→ 𝑐 = 1/2
4𝑏4 − 24𝑏2 − 4 = 0
𝑃 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒:
∴
𝑥−ℎ 2
𝑏2
+
𝑦−𝑘 2
𝑎2
= 1
25𝑥2
154
+
100 𝑦 − 1/2 2
641
= 1
1
C 0;
2
 
 
 
∴
𝑥−0 2
𝑏2
+
𝑦−1/2 2
𝑎2
= 1
∴
2−0 2
𝑏2
+
2−1/2 2
𝑎2
= 1
∴ 16𝑎2 + 9𝑏2 − 4𝑎2𝑏2 = 0
propiedad : 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
(1)
Resolviendo (1) y (2) tenemos:
→ 𝑎2 =
641
100
Halle en la ecuación de la elipse, de ejes paralelos a los ejes coordenados, si tiene su centro en C 0; 1/2 ,
un foco en 𝐹 0; 1 y pasa por el punto 𝑃 2; 2 .
𝐴)
25𝑥2
154
+
𝑦2
641
= 1
Problema 4
𝐵)
25𝑥2
154
+
𝑦 − 1 2
641
= 1 𝐶)
𝑥2
154
+
𝑦 − 1 2
641
= 1 𝐷)
25𝑥2
154
+
𝑦 − 1/2 2
641
= 1 𝐸)
𝑥2
154
+
𝑦 − 1/2 2
641
= 1
 2;2P
𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜 𝐸𝑐. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒:
Centro:𝐶 ℎ, 𝑘 = 0,1/2
 0;1F1
5151
Resolución
CLAVE: A
Dada la ecuación general:
3𝑥 + 2 + 𝑦 − 1 = 0
∶ 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Ecuación del diámetro será:
 h;kC
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
⟹ 𝐴𝑥 +
𝐷
2
+𝑚 𝐶𝑦 +
𝐸
2
= 0
Halle la ecuación del diámetro de la elipse : 3𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
correspondientes a las cuerdas de pendiente 1. 
𝐴) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝐵) 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 𝐶) 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
𝐷) 𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0 𝐸) 3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
Problema 
5
𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠
⟹ 3𝑥 +
4
2
+ (1) 1𝑦 +
−2
2
= 0
⟹ 3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
5252
Dada la elipse: 3x2 + 4y2 = 48, determine la ecuación de la recta de pendiente positiva
que contiene a la cuerda focal que mide 7u.
Problema 6
A) y = 3x − 3 B) y =
3
2
x + 3 C) y =
3
2
x − 3
D) y =
3
2
x − 1 E) y = 3x − 1
𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎:
x2
16
+
y2
12
= 1
a2 = 16 → a = 4 → 2a = 8
b2 = 12 → b = 12 → c2 = 4 → c = 2
Ademas: 8 = PF1 + PF2
F1(−2; 0)
Q(x; y)
F2(2; 0)
P(x; y)
7 − k
k
1 + k
8 − k
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ∆ 𝐹1𝑃𝐹2:
1 + k 2 = 7 − k 2 + 42 − 2 7 − k 4cos(α)
8 2k − 6 − 16 = −8 7 − k cos(α)
2k − 8 = − 7 − k cos α
⟹ k =
8 − 7cos(α)
2 − cos(α)
……… . (1)
α
Resolución
5353
L ∶ y − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ∆ 𝐹1𝑄𝐹2:
8 − k 2 = k 2 + 42 − 2 k 4cos(180° − α)
8 8 − 2k − 16 = 8 k cos(α)
6 − 2k = k cos(α)
⟹ k =
6
2 + cos(α)
……… . (2)
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑦 (2):
8 − 7cos(α)
2 − cos(α)
=
6
2 + cos(α)
−7 cos2(α) + 4 = 0
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 ∶ sec2(α) =
7
4 ⟹ tan(α) =
3
2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠:
L ∶ y − 0 =
3
2
𝑥 − (−2)
L ∶ y =
3𝑥
2
+ 3
CLAVE: B
5454
El punto medio de una cuerda de la elipse: 𝑥2 + 4𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 3
es el punto M(5;2). Halle la ecuación de la cuerda
ε: x2 + 4y2 − 6x − 8y = 3Si P1 x1, y1 y P2 x2, y2 ∈ a la 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.
Clave: E
Problema 9
A) x + 3y − 11 = 0 B) x + 2y − 9 = 0 C) x − 3y + 1 = 0
D) x − 2y − 1 = 0 E) x + 4y − 13 = 0
Resolución
ε: x1
2 + 4y1
2 − 6x1 − 8y1 = 3
ε: x2
2 + 4y2
2 − 6x2 − 8y2 = 3
5555
x2
2 − x1
2 + 4y2
2 − 4y1
2 − 6x2 + 6x1 − 8y2 + 8y1 = 0
(x2+x1)(x2−x1) + 4 y2 + y1 y2 − y1 − 6(x2−x1) − 8 y2 − y1 = 0
(x2+x1 − 6)(x2−x1) + 4 y2 + y1 − 8 y2 − y1 = 0
(x2+x1 − 6)(x2−x1)
x2 − x1
+
4 y2 + y1 − 8 y2 − y1
x2 − x1
= 0
x2 + x1 − 6 + 4 y2 + y1 − 8 m = 0
x2 + x1
2
= 5
y2 + y1
2
= 2 10 − 6 + 4 4 − 8 m = 0 ∴ m = −
1
4
−
1
4
=
y − 2
x − 5
x + 4y − 13 = 0
Restando las ecuaciones: 
Factorizando
Dividiendo entre : 𝑥2 − 𝑥1
Por dato
Ecuación punto pendiente ∴
CLAVE: E
Coordenadas del punto medio de P1 x1, y1 y P2 x2, y2 es : 𝑀 5,2
5656
Calcule el ángulo que debe formar la cuerda focal de la elipse: x2 + 3y2 = 36, con el eje de esta,
de modo que la longitud de la cuerda focal sea igual al doble de su lado recto.
Problema 6
𝐴) 90° 𝐵) 60° 𝐶) 45°
𝐷) 37° 𝐸) 30°
𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎:
𝑥2
36
+
𝑦2
12
= 1
𝑎2 = 36 → 𝑎 = 6 → 2𝑎 = 12
𝑏2 = 12 → 𝑏 = 12
→ 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 36 − 12 = 24
𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠: 12 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2
𝐹1(−2 6; 0)
Q(𝑥; 𝑦)
𝐹2(2 6; 0)
P
(𝑥; 𝑦)
8 − 𝑘
𝑘
4 + 𝑘
12 − 𝑘
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜: 𝐿𝑅
=
2𝑏2
𝑎
𝛼
Resolución
⟹ 𝐿𝑅 =
2 12
6
= 4
⟹ 𝐶 = 24
De la condición: 𝑃𝑄 = 2 𝐿. 𝑅 = 8
5757
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ∆ 𝐹1𝑄𝐹2:
18 − 8 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
3 − 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
=
6
3 + 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
−8 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) + 6 = 0
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 ∶ 𝑠𝑒𝑐2(𝛼) =
4
3
⟹ 𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
3
3
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑠:
𝛼 = 30°
CLAVE: E
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ∆ 𝐹1𝑃𝐹2:
4 + 𝑘 2 = 8 − 𝑘 2 + (2𝑐)2−2 8 − 𝑘 (2𝑐)𝑐𝑜𝑠(𝛼)
12 2𝑘 − 4− 96 = −8 6 8 − 𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
24𝑘 − 144 = −64 6 + 8 6𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝛼
⟹ 𝑘 =
144 − 64 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
24 − 8 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
12 − 𝑘 2 = 𝑘 2 + (2𝑐)2−2 𝑘 (2𝑐)𝑐𝑜𝑠(180° − 𝛼)
12 12 − 2𝑘 − 96 = 8 6 𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
⟹ 𝑘 =
48
24 + 8 6𝑐𝑜𝑠(𝛼)
……… . (1)
……… . (2)
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑦 (2):
∴
5858
La ecuación de una elipse pasa
por el punto 𝑃 1; 2 , cuyos
focos son 𝐹1 1; 1 y
𝐹2 0; 2 . Encontrar las
ecuaciones de las rectas
tangente a la elipse que son
paralelas a la recta: 𝑦 = −𝑥.
𝐴) 𝑦 = 𝑥 + 1 ; 𝑦 = 𝑥 + 4
B) 𝑦 = 𝑥 + 2 ; 𝑦 = 𝑥 + 3
C) 𝑦 = −𝑥 + 1 ; 𝑦 = −𝑥 + 3
D) 𝑦 = −𝑥 + 1 ; 𝑦 = −𝑥 + 2
E) 𝑦 = −𝑥 + 4 ; 𝑦 = −𝑥 − 1
CLAVE: C 
Si 𝑀 𝑥; 𝑦 punto cualquiera: ⟹
𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 + 𝑥2 + 𝑦 − 2 2 = 2𝑎
1 + 1 = 2𝑎 → 𝑎 = 1
3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 7 = 0
𝑀𝐹1 +𝑀𝐹2 = 2𝑎
Como 𝑃 1; 2 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒:
La ecuación de la elipse será desarrollando (1):
(1)
La ecuación de la recta es: 𝑦 = −𝑥 + 𝑏
3𝑥2 + 2𝑥 −𝑥 + 𝑏 + 3 −𝑥 + 𝑏 2 − 6𝑥 − 10 −𝑥 + 𝑏 + 7 = 0
4𝑥2 + 𝑥 4 − 4𝑏 + 3𝑏2 − 10𝑏 + 7 = 0
∆= 0 → 4 − 4𝑏 2 − 16 3𝑏2 − 10𝑏 + 7 = 0
→ 𝑏 = 1 ; 𝑏 = 3
𝑦 = −𝑥 + 1 ; 𝑦 = −𝑥 + 3
Las ecuaciones de la recta son:
Problema 11
Reemplazando en la ecuación de la elipse :
Resolución
59