Casos Ecuac Matriciales

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APLICACIONES A LA INGENIERÍA CIVIL
Estudio De Casos De Ecuaciones 
Matriciales: Matriz De Rigidez, Análisis De 
Armaduras Y Sistema Masa-resorte.
Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez
ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE
DETERMINADA
Un problema importante en la ingeniería estructural es
encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura
estáticamente determinada. Sobre la estructura que se
representa en la figura, se le aplica una carga de 1000 N.
Las fuerzas (F1, F2 y F3) representan ya sea la tensión o la
compresión sobre los componentes de la armadura. Las
reacciones externas (H2, V2 y V3) son fuerzas que caracterizan
cómo interactúa dicha estructura con la superficie de soporte.
Las fuerzas H2, V2 y V3 son las fuerzas sobre cada apoyo.
El apoyo 2, es un apoyo fijo, en el nodo 2 se puede transmitir
fuerzas horizontales (H2) y verticales (V2) a la superficie.
El apoyo 3, es un apoyo móvil, en el nodo 3 se puede
transmitir sólo fuerzas verticales (V3).
Las cargas externas se representan por Fi,v y Fi,h.
Fi,h es la fuerza horizontal externa aplicada sobre el nodo i (se
considera que una fuerza positiva va de izquierda a derecha).
Fi,v es la fuerza vertical externa que se aplica sobre el nodo i
(donde una fuerza positiva va hacia arriba).
Sobre el nodo 1 se tiene una carga externa de 1000 N hacia
abajo. Por lo que F1,V = -1 000 N.
Se observa que el efecto de la carga externa se distribuye entre
los componentes de la armadura.
Analicemos el nodo 1:
Σ FH = 0 = –F1 cos 30° + F3 cos 60° . . . . (1)
Σ FV = 0 = –F1 sen 30° – F3 sen 60° - F1,v . . . . (2)
Analicemos el nodo 2:
Σ FH = 0 = F2 + F1 cos 30° + H2 . . . . (3)
Σ FV = 0 = F1 sen 30° + V2 . . . . (4)
Analicemos el nodo 3:
Σ FH = 0 = –F2 – F3 cos 60° . . . . (5)
Σ FV = 0 = F3 sen 60° + V3 . . . . (6)
0.866
0.5
−0.866
−0.5
0
0
0
0
−1
0
1
0
−0.5
0.866
0
0
0.5
−0.866
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
−1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐻2
𝑉2
𝑉3
=
0
−1000
0
0
0
0
F1 = -500, F2 = 433, F3 = -866, H2 = 0, V2 = 250 y V3 = 750
La fuerza de 1 000 N hacia abajo en el nodo 1 corresponde a
F1,v = –1 000 N. En este caso, todas las otras Fi,v y Fi,h son cero.
Observe que las direcciones de las fuerzas internas y de las
reacciones son desconocidas.
Observe que el vector del lado derecho representa las fuerzas
horizontales y verticales aplicadas externamente sobre cada
nodo,
{F}T = [F1,h F1,v F2,h F2,v F3,h F3,v ]
Debido a que las fuerzas externas no tienen efecto sobre la
descomposición LU, no se necesita aplicar el método una y otra
vez para estudiar el efecto de diferentes fuerzas externas sobre
la armadura. Todo lo que hay que hacer es ejecutar los pasos de
sustitución hacia adelante y hacia atrás, para cada vector del
lado derecho, y así obtener de manera eficiente soluciones
alternativas. Por ejemplo, podríamos querer estudiar el efecto
de fuerzas horizontales inducidas por un viento que sopla de
izquierda a derecha.
El sistema de ecuaciones se puede modificar a fin de realizar la 
menor cantidad de operaciones al buscar las matrices L y U.
Si la fuerza del viento se puede idealizar como dos fuerzas
puntuales de 1 000 N sobre los nodos 1 y 2, el vector del lado
derecho es
1 000 N
1 000 N
SISTEMAS MASA-RESORTE
Los sistemas idealizados masa-resorte desempeñan un papel
importante en la mecánica y en otros problemas de ingeniería.
En la figura se presenta un sistema de este tipo.
Resolveremos el problema de hallar cuanto se estiran los
resortes 1 y 2, si se conoce las masas m1 y m2 y las constantes de
los resortes k1 y k2.
Ejemplo: Hallar las distancias que se elonga cada resorte, si se
tiene que: m1 = 200 g, m2 = 300 g, m3 = 200 g, los resortes con
constantes k1 = 20 N/m, k2 = 30 N/m y k3 = 40 N/m,
K3
m3
Resolveremos el problema de hallar cuanto se estiran los
resortes 1, 2, 3 y 4, si se conoce las masas m1 m2 y m3, las
constantes de los resortes k.
Después de liberar las masas, éstas son jaladas hacia abajo por la
fuerza de gravedad. Observe que el desplazamiento resultante
en cada resorte de la figura 2b se mide a lo largo de las
coordenadas locales referidas a su posición inicial en la figura 2a.
Se utiliza la segunda ley de Newton para desarrollar un modelo
matemático del sistema. Para cada masa, la segunda ley se
expresa como
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐹𝑅 = 𝐹𝐷 − 𝐹𝑈
FD, fuerza hacia abajo.
FU, fuerza hacia arriba
Asumiremos que los resortes son idénticos, es decir tienen la
misma constante de rigidez (K).
Sea x1, la distancia que se elonga el resorte 1.
Sea x2, la distancia que se elonga los resortes 2 y 3 respecto a la
posición inicial.
Sea x3, la distancia que se elonga el resorte 4 respecto a la
posición inicial.
300 600 600
300 60
0
F1
F1
F1V
F3
V2
F2
F3 V3
F2H2
1 2
3