Integracion Numerica

Vista previa del material en texto

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
a b
LA INTEGRAL DE RIEMANN
Definición suma inferior: 
Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈
P ([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. 
Sean, para cada i = 1, . . . , n,
mi = inf{f(x); x ∈ [xi−1, xi]}
La suma inferior de f asociada a P se define como
Definición suma superior:
Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈
P ([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. 
Sean, para cada i = 1, . . . , n,
Mi = sup{f(x); x ∈ [xi−1, xi]} 
La suma superior de f asociada a P es
Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S(f, P) ≤ S(f,
P), ya que mi ≤ Mi para cada i. Así mismo, poniendo M
= sup{f(x) : x ∈ [a, b]}, m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, se
deduce que m(b−a) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ M(b−a)
cualquiera que sea la partición P (y por consiguiente,
tanto el conjunto de las sumas superiores como el de
las sumas inferiores están acotados, superiormente
por M(b − a), inferiormente por m(b − a)).
Sea f una función no negativa, y consideremos la
región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a
y x = b. Si el área de dicha región es A, entonces S(f, P)
≤ A ≤ S(f, P), ya que las respectivas sumas son las áreas
que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1, xi) por mi
o Mi, y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi
En la figura, la diferencia entre la suma superior y el
área A es lo que mide la zona de color amarillo
(claro), y la diferencia entre A y la suma inferior es
lo que mide la zona de color azul (oscuro). Parece
claro que si tomamos una partición suficientemente
nutrida de puntos podemos conseguir que estas
zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la
suma superior como la inferior sean
arbitrariamente próximas al área A.
Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior
en [a, b] como
y su integral superior en [a, b] como
Notemos que, como consecuencia de la observación
previa, la integral inferior y la superior son valores
reales perfectamente definidos para cualquier función
acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es difícil
adivinar que la integral inferior es siempre menor o
igual que la superior, pero la demostración de este
hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista.
Ejemplo: Sea f(x) = x3 - 7x + 10, en el intervalo de x 
[0 , 3] y utilizando un ancho de columna igual a 0.5,
hallar
a) Integral como suma superior.
b) Integral como suma inferior.
c) Integral definida.
INTEGRAL POR LA IZQUIERDA
a b
𝐼 = ෍
𝑖=0
𝑛−1
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
INTEGRAL POR LA DERECHA
a b
𝐼 = ෍
𝑖=0
𝑛−1
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖+1)
INTEGRAL CENTRADA
a b
𝐼 = ෍
𝑖=0
𝑛−1
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖+1 + 𝑓(𝑥𝑖)
2
APLICACIONES A LA INGENIERÍA CIVIL
Para medir la sección de un afluente se puede utilizar
medios electrónicos para hacer un barrido completo
de la profundidad del lecho, pero si ello no es posible
el ingeniero tiene que tomar mediciones discretas de
la profundidad.
Durante un
levantamiento, se le
pide que calcule el
área del terreno que se
muestra en la figura,
determinar el área.
La presión sobre la pared de una presa, como se
ilustra en la figura 1, se describe con la ecuación:
p(z) =  g (D – z) . . . . . (1)
donde p(z) es la presión en Pascales (o N/m2) que se
ejerce a z metros de elevación sobre el fondo de la
presa;  = densidad del agua; g = aceleración de la
gravedad; y D = elevación (en m) que hay del fondo de
la presa a la superficie del agua.
FUERZA Y LINEA DE ACCION SOBRE UN DIQUE
Como tanto la presión como el área varían con la
elevación, la fuerza total se obtiene con la evaluación
de:
donde w(z) = ancho de la cara de la presa (m) en la
elevación z (figura 2). La línea de acción también
puede obtenerse con la evaluación de:
Para los datos mostrados en la gráficas, hallar ft y d
FORMULAS DE NEWTON-COTES
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los
esquemas de integración numérica más comunes. Se
basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o datos tabulados con un polinomio de
Lagrange que sea fácil de integrar:
 
b
a
n
b
a
dxxPdxxfI )()(

















n
kj
j jk
j
k
n
k
nnkkn
xx
xx
xL
xfxLxfxLxfxLxfxLxP
0
0
1100
)(
)()(...)()()()()()()(
FORMULAS DE NEWTON-COTES
En la figura de la izquierda se usa el polinomio de
Lagrange de primer orden (Recta). Mientras que a la
derecha se emplea un polinomio de Lagrange de
segundo orden (una parábola).
Por ejemplo, en la Figura se usan tres segmentos de
línea recta para aproximar la integral. Pueden
utilizarse polinomios de orden superior para los
mismos propósitos.
Base legal
LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL
La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de
integración cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al
caso donde el polinomio es de primer orden.



















01
0
1
10
1
0
11001
)(
)(
)()()()()(
xx
xx
xL
xx
xx
xL
xfxLxfxLxP
  01011
1
01
0
0
10
1
1
110011
)()(
2
1
)()(
))()()()(()(
1
0
1
0
1
0
xxxfxfI
dxxf
xx
xx
xf
xx
xx
I
dxxfxLxfxLdxxPI
x
xx
x
xx
x
xx
































Base legal
APLICACIÓN MULTIPLE 
DE LA REGLA DEL TRAPECIO
La Regla del Trapecio se puede ampliar al subdividir el
intervalo [a, b] en n sub intervalos, todos de la misma
longitud
Sea la partición que se forma al hacer
dicha subdivisión. Usando las propiedades de la
integral, tenemos que:
𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥0׬=
𝑥1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥1׬
𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑛−1׬ + … +
𝑥𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las
integrales,
Ahora bien, ya que los sub intervalos tienen la misma
longitud h, tenemos que:
න
𝑥0
𝑥𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =෍
𝑖=1
𝑛
1
2
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1))(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
Base legal
Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la
notación sigma (sumatoria), tenemos finalmente:
Esta es la regla del trapecio para n sub intervalos.
Obviamente, esperamos que entre más sub intervalos
usemos, mejor sea la aproximación a la integral.
Base legal
Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación
múltiple: a) dos, b) tres, c) cuatro y d) cinco
segmentos
Otra forma de obtener una estimación más exacta de
la integral es con el uso de polinomios de orden
superior para conectar los puntos.
REGLA DE SIMPSON 1/3
P2 DE LAGRANGE
𝐼1 ≅ න
𝑥=𝑥0
𝑥2
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥




















































12
1
02
0
2
21
2
01
0
1
20
2
10
1
0
2211002
)(
)(
)(
)()()()()()()(
xx
xx
xx
xx
xL
xx
xx
xx
xx
xL
xx
xx
xx
xx
xL
xfxLxfxLxfxLxP
  























































2
0
)()()( 2
12
1
02
0
1
21
2
01
0
0
20
2
10
1
1
x
xx
dxxf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
xf
xx
xx
xx
xx
I
  )()(4)(
6
210
02
1 xfxfxf
xx
I 


Recordemos,
a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2)
 )()(4)(
3
2101 xfxfxf
h
I 
Si los intervalos son del mismo espesor,
Como son igualmente espaciados, (x2 – x0) = 2x
6
)()(4)(
)( 211
xfxfxf
xI o


Esta ecuación es conocida como Regla de Simpson de
1/3. Es la segunda fórmula de integración cerrada de
Newton-Cotes.
La especificación “1/3” surge del hecho de que h está
dividida entre 3 en la ecuación anterior.
Base legal
REGLA DE SIMPSON 1/3 DE APLICACIÓN 
MÚLTIPLE
La Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos
el intervalo [a,b] en n sub intervalos, todos de la misma
longitud
Sea la partición que se forma al hacer
dicha subdivisión y sea el conjunto de
los puntos medios de los sub intervalos.
Usando las propiedades de la integral, tenemos que:
 ii xxPm ,1
Al sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de
las integrales, obtenemos:
1 2 1 2 3
2 1
( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )
2 2 ...
6 6
( ) 4 () ( )
 2
6
o
n n n
f x f x f x f x f x f x
I h h
f x f x f x
h  
   
   
 
Combinando términos y sustituyendo nos
queda:
n
xfxfxfxf
abI
n
i
i
n
i
mo
6
)()(2)(4)(
)(
2
1
11





Base legal
REGLA DE SIMPSON DE APLICACIÓN MÚLTIPLE
Representación gráfica de la Regla de Simpson 1/3 de
aplicación múltiple. Observe que el método se puede
emplear sólo si el número de segmentos es par.
Base legal
REGLA DE SIMPSON 3/8
De manera similar a la derivación de la Regla
Trapezoidal y Regla de Simpson 1/3, un polinomio de
Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro
puntos e integrarse:
Para obtener:
Donde . Esta ecuación se llama Regla de
Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8.
Base legal
REGLA DE SIMPSON DE 3/8
Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de
Newton-Cotes. La Regla de Simpson 3/8 se puede
expresar también de la forma:
Ilustración de cómo se puede usar en
conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y
3/8 para manejar aplicaciones múltiples
con números nones de intervalos.
Base legal
Extendiendo para n sub intervalos; subdividimos el
intervalo [a,b] en n intervalos de la misma longitud h.
Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de
los intervalos, tenemos:
  













 


1
11
)()(2)()(3)(
8
)(
n
i
ni
n
i
iio
b
a
xfxfzfyfxf
n
ab
dxxf
Sea x0, x1, . . . , xn, la partición determinada de esta
forma. Cada sub intervalo [xi-1, xi], lo dividimos en tres
partes iguales, y sean los puntos determinados yi, zi
La determinación de la cantidad de calor requerido
para elevar la temperatura de un material es un
problema con el que a menudo nos enfrentamos. El
parámetro necesaria para llevar a cabo este cálculo es
la capacidad calorífica c. Si c es constante en el
intervalo de temperaturas que se examinan, el calor
requerido ∆H (en calorías) se calcula mediante
∆H = m c ∆T 
donde c está en cal/(g · °C), m = masa (g) y ∆T =
cambio de temperatura (°C).
APLICACIONES A LA INGENIERÍA 
INDUSTRIAL
Para grandes cambios de temperatura, la capacidad
calorífica no es constante y, de hecho, varía en
función de la temperatura. Por ejemplo, la
capacidad calorífica de un material podría
aumentar con la temperatura de acuerdo con una
relación tal como:
c(T) = 0.132 + 1.56 × 10–4T + 2.64 × 10–7T2
Ejercicio: Se pide calcular el calor necesario para
elevar la temperatura de 1 000 gramos del material
del ejemplo anterior desde –100 hasta 200°C.
donde ∆T = T2 – T1. Ahora como, en el caso actual,
c(T) es una función cuadrática, ∆H puede
determinarse utilizando cualquier método de
integración numérica que hemos visto, para ello es
necesario generar una tabla de valores de c para
distintos valores de T.
El valor exacto, ∆H = 42 732 cal.
∆𝐻 = 𝑚න
𝑇1
𝑇2
𝑐 𝑇 𝑑(𝑇)
Como el integrando es f(z), se
puede calcular la distancia (d)
donde actúa toda la fuerza
evaluando: