Derivadas Parciales en funciones multivariables

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Derivadas Parciales en funciones multivariables
MateDLG y CyADLG
Índice:
Derivadas Parciales
Definición
Interpretación geométrica
Ejercicios
Derivadas Parciales de orden superior
Teorema de Schwarz
Adicional
Calculadora de Derivadas
Ecuaciones de Cauchy- Riemman (funciones complejas)
Ecuación de Laplace
Demostración de la ecuación de Laplace
Derivadas Parciales
Derivadas
ordinarias
Derivadas
ordinarias
Derivadas
parciales
Derivadas
parciales
Recordemos
Para funciones de una variable, la derivada es el resultado de un límite y este representa la pendiente de la recata tangente a la gráfica de la función en un punto. Podemos definir formalmente una función derivada de la siguiente manera.
Derivadas Parciales
Obviamente las derivadas de una función de varias variables no se pueden definir de las misma manera que para funciones de una variable, debido que el resultado del denominador en la derivada es un vector y este no puede dividirse.
Para estos casos se definen lo que se denominan derivadas parciales. 
Las derivadas parciales se definen como derivadas de una función de múltiples variables cuando todas, excepto la variable de interés, se mantienen fijas durante la diferenciación. Así, si f es una función de dos variables x e y, podemos mantener y constante en la expresión de y derivarlo considerando que es a variable de derivación, lo que se obtendría es la derivada parcial de f con respecto de x. 
Definición:
Derivada Parcial de f con respecto a x : Sea una función real de las variables reales e . La derivada parcial de f respecto de x es otro función de las dos variables x e y tal que:
Derivada Parcial de f con respecto a y : Sea una función real de las variables reales e . La derivada parcial de f respecto de y es otro función de las dos variables x e y tal que:
En ambos casos, si el límite existe
Interpretación geométrica de 
Con (fijo)
, la derivada parcial se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva resultante entre la superficie generada por la función con el plano : 
Luego, la recta tangente se interpreta como:
Interpretación geométrica de 
Con (fijo)
, la derivada parcial se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva resultante entre la superficie generada por la función con el plano : 
Luego, la recta tangente se interpreta como:
¿No entendiste?
Yo tampoco :,D
…tampoco lo entendí a la primera, pero dejaré un ejemplo para poder entender mejor la interpretación geométrica de la derivada parcial :)
R17: Nichijou :v
Ejemplo:
Halle las derivadas parciales de la función en el punto (1,0):
Lo que hace la derivada parcial es generar una curva entre un plano fijo y la superficie generada por la función para hallar la pendiente.
Para el caso de en (1,0), se establece un plano fijo en y se interseca con la superficie que genera la función, en este caso generándonos la curva:
Donde la pendiente de esta curva para el punto es igual a 
De la teoría anterior, esta recta se puede expresar como:
Análogamente para la derivada parcial con respecto a 
Para el caso de en (1,0), se establece un plano fijo en y se interseca con la superficie que genera la función, en este caso generándonos la curva:
Donde la pendiente de esta curva para el punto es igual a 
De la teoría anterior, esta recta se puede expresar como:
Nota: Puede realizar estas gráficas en GeoGebra por si aún tiene dudas, dejaré las formulas usadas para que vea que no le miento e.e
X
Y
Z
Observación
Esto es un pequeño adelanto con lo que se verá para el tema de derivadas direccionales, así que por ahora descansen tranquilos :D
Generalización de Derivadas Parciales
Si es una función definida en su dominio, entonces hay n derivadas parciales , con respecto a la primera, segunda,… , n-ésima variable y se denotará por: 
 
Ejemplo:
Sea la función , la derivada parcial con respecto a z sería:
Recordar
Para hallar las derivadas parciales con respecto a una de las variables de la función, consideramos las otras variables como constantes y derivamos con respecto a la variable indicada (como derivar en una variable)
Ejemplo:
Hallar , donde 
Si consideramos todas las variables diferentes a x como si fuesen constantes, tendríamos que:
Punto de descanso
Observa algunos ejercicios para poder comprender lo que hemos aprendido hasta ahora u.u
Ejercicio:
Halle dada la siguiente función:
Para :
Para :
Entonces:
Sea S la superficie de la ecuación: Por el punto de S pasan dos planos: uno paralelo al plano xz y otro paralelo al plano YZ, determinando con S curvas de intersección y . Hallar el angulo con que se intersecan dichas curvas:
Dado que los planos se intersecan en , la ecuación del plano paralelo a XZ es y la ecuación del plano paralelo a YZ es 
Reescribiendo la ecuación cuádrica como una función de dos variables:
Entonces las derivadas parciales de con respecto a x e y son:
Evaluando para e , para hallar las pendientes a las rectas tangentes y :
Como mencionamos anteriormente, los vectores direccionales de y son:
Recordemos que el ángulo entre dos vectores se puede hallar con la siguiente formula:
Reemplazando: 
Nota:
De las ecuaciones de la recta mostradas en la interpretación geométrica:
 representa a su vector direccional 
Halle la función , si existe, tal que para todo ,se verifica que: 
Observe:
Podemos integrar considerando las demás variables como constantes:
Nota: consideramos a la constante en función de las otras variables porque están siendo consideradas como constantes, y al derivar la función con respecto a x, estas se pueden eliminar. Análogamente para las demás ecuaciones
Comparando las funciones tenemos que: , entonces:
Donde K es una constante independiente de las variables. Usaremos el dato , para hallar la constante:
Finalmente, nuestra función resultante sería:
Derivadas de Orden Superior
Derivadas Parciales de Orden Superior
Al igual que las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de segundo orden, tercer orden y superiores, siempre y cuando sus derivadas existan. Para el caso de existen 4 casos:
Derivar dos veces con respecto a x
Derivar dos veces con respecto a y
Derivar primero con respecto a x, y luego con respecto a y
Derivar primero con respecto a y, y luego con respecto a x
A estas dos ultimas las denominamos derivadas parciales mixtas o cruzadas
Definición
Sea una función definida en el conjunto abierto , entonces la derivada parcial de con respecto a la j-ésima componente se llama derivada parcial de segundo orden, y será denotada por:
Sea una función definida en el conjunto abierto , entonces la derivada parcial de con respecto a la k-ésima componente se llama derivada parcial de segundo orden, y será denotada por:
Y así sucesivamente
Ejemplo:
Halle y de 
1. 		
2. 
Teorema de Schwarz
Dada la función una función continua definida en el conjunto abierto , se cumple que:
Demostración:
Sea 
Entonces: 
Derivando con respecto a x: 
Derivando ahora con respecto a y, para lo cual usamos el teorema fundamental del cálculo:
Observaciones:
Una consecuencia de este teorema es que se puede intercambiar el orden de la derivación de una función de varias variables.
Por ejemplo, para una función que tiene derivadas parciales de orden superior continuas en algún conjunto abierto de , entonces:
 y así sucesivamente
Para que se cumpla el teorema de Schwarz debe cumplirse que:
 sean continuas en el dominio de la función.
Adicional
Hay Más? :,0
r17: Kaguya-sama wa Kokurasetai
Calculadora de Derivadas
¿Te es difícil calcular derivadas?, ¿sientes que cuando las resuelves sientes que no es el resultado correcto y vuelves a repetir el proceso?
Hoy le darás fin a este problema gracias a la siguiente aplicación
Calculadora de derivadas es una página web el cual nos permite calcular la derivada de cualquier funcionesque no sean seccionalmente definidas (aquellas funciones que constan de dos o más funciones).
Esta pagina fue creada por el informático David Scherfgen.
La calculadora tiene distintas funciones, entre las cuales tenemos:
Calcular derivadas hasta de quinto orden
Realizar derivadas parciales
Derivación implícita
Calculo de raíces
Gráficas
Y también muestra el desarrollo de cada derivada
Ejemplo:
Queremos hallar la derivada parcial con respecto a z de la siguiente función:
Escribimos nuestra ecuación en formato LaTEX, o simplemente usamos el teclado que nos ofrece la calculadora.
Nos podemos guiar de la ecuación que aparece en la pantalla para verificar que la ecuación que pusimos es la correcta
En la parte izquierda nos dirigimos a opciones y cambiamos la variable de diferenciación, en este caso elegiré la variable z
Damos al botón de ir
Nos bota 3 opciones:
Podemos ver la raíces de nuestra ecuación inicial
Podemos ver los pasos para hallar la derivada de nuestra función con respecto a z
Podemos hallar las raíces de la primera derivada de la función
Podemos calcular la derivada de orden superior
Con respecto a z, x o y
Ecuación de Laplace
Dada una función que donde sus derivadas parciales de orden superior son continuas, la siguiente ecuación:
Se denomina la ecuación de Laplace. Esta es una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden. A las funciones que verifican esta ecuación son denominadas funciones armónicas.
El concepto es muy útil en física, matemática y en teoría de procesos estocásticos
Ecuaciones de Cauchy-Riemman (ECR)
Fueron propuestas por primera vez por D’ Alembert en 1972 en el contexto de dinámica de fluidos.
La ecuación es una condición necesaria para la derivabilidad de una función compleja.
Dada la función compleja:
Las ecuaciones de Cauchy- Riemman satisfacen:
Laplace en espacio bidimensional por ECR
Partiendo de la ecuación de Cauchy- Riemman:
Suponiendo que las segundas derivadas existen y son continuas, derivamos con respecto a x e y respectivamente:
Por el teorema de Schwarz:
Análogamente:
G						S
	R				A
		A		I
			C	
		A		I
	R				A
G						S
f(x1)
x1
Δx3
Δx2
Δx1
x4
x3
x2
f(x1)x1Δx3Δx2Δx1x4x3x2
zy
zx
YXZ