Integrales Múltiples

Vista previa del material en texto

Integrales Múltiples
MateDLG y CyADLG
Índice:
Integrales Múltiples
Introducción, Objetivos
Como resolver integrales múltiples
Integrales Dobles
Integrales Dobles Sobre Rectángulos
Interpretación de la Integral Doble
Suma de Riemann
Propiedades de la Integral Doble
Integrales Iteradas
Cambio de Orden de Integración
Simetrías
Aplicación de las Integrales Dobles
Masa
Momentos de Inercia
Centro de Masa
Valor Medio
Teorema de Pappus
Ejemplos
Introducción
A partir de este capítulo estudiaremos el cálculo integral para funciones de varias variables (funciones reales de variable vectorial).
Para este tema será necesario recordar todo lo que han aprendido en cálculo integral de una variable, donde cuando mencionábamos integral, este refería al área bajo la curva de la función acotada por limites que proporcionaba el problema.
Ahora supongamos que queremos calcular el volumen de una superficie, como podrá observar, no se podrá realizar los mismos procedimientos aprendidos anteriormente, sino que aplicaremos algunos métodos parecidos para poder hallar dicho volumen, los cuales se verán en estos temas.
Objetivos
Establecer los fundamentos para la interpretación y aplicación de las integrales dobles y triples, de tal manera que al finalizar estos temas el alumno estará en capacidad de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa, etc. Así como el cálculo en coordenadas polares, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y emplear los jacobianos
¿Cómo se resolvían las integrales Múltiples?
Supongamos que queremos calcular la siguiente integral:
Lo primero que haremos es resolver la integral con respecto a la primera diferencial (de izquierda a derecha). En este caso con respecto a Es decir:
Ya que solamente estamos calculando la integral con respecto a x entonces a las demás variables las consideraremos como constante, quedando como resultado:
Análogamente con las siguientes integrales con respecto a y respectivamente.
Recuerde, también puede tener los siguientes casos.
Recuerda
Ejemplos:
Integrales Dobles
Ahora si viene lo chido
Integrales Dobles
Integrales Dobles Sobre Rectángulos
Sea una función acotada sobre el rectángulo 
Partición: Se denomina partición de la región al conjunto
 y son particiones en el intervalo cerrado y 
Donde 
Donde 
Observación: 
El primer elemento de la partición de es y el último elemento es 
Integral limitado por Sumatorias
Como vimos en la imagen anterior, podemos definir como:
Para cada rectángulo la función f toma un valor máximo y un valor mínimo ; Luego se tiene:
Ahora formando las sumas se tiene:
Las anteriores sumatorias reciben los nombres de suma inferior y superior de la partición de respectivamente. Donde:
En forma similar del caso de funciones de una variable, se tiene que:
Según Riemann, una función es integrable sobre una región del plano XY, si es acotada sobre , y si existe un único número que satisface
Para toda partición de 
A dicho número se le denota:
Teorema:
Sea un rectángulo cerrado y una función continua sobre , entonces f es integrable sobre 
Teorema 2:
Una función acotada f es integrable sobre un rectángulo cerrado si y solo si para cada existe una partición de , tal que:
Teorema
Para cada uno de los rectángulos de una partición del rectángulo , sea un punto en , cualquiera sea la elección de en entonces:
Además:
Área como una integral doble
Evaluaremos donde es constante, sobre el rectángulo:
Dado que constante para todo 
Dadas las particiones : 
Como en cada rectángulo la función sigue siendo constante, entonces:
Nota: , porque si toma todos los cuadraditos que forma y los suma, esto formaría el área
Dado que:
Para partición de ,
Entonces:
Observación:
Si la tomase el valor de dicho volumen coincidiría numéricamente con el valor del área de la región .
Corolario:
Integrales Dobles como Volumen y Área
Dada la función , donde y acotada sobre un rectángulo , entonces la gráfica de representa una superficie en que se encuentra encima del rectángulo .
Y para cada rectángulo la función f toma un valor máximo y un valor mínimo que pueden ser representadas como alturas:
Así el volumen del solido limitado superiormente por la superficie 
 e inferiormente por el rectángulo del plano , satisface la desigualdad:
Para toda partición de donde es el área del rectángulo 
La integral doble de f sobre satisface la desigualdad anterior para toda partición de de así es que:
Siempre que sobre 
Sea una función real definida sobre un rectángulo del plano. La integral doble de sobre , denotada por se puede definir como:
 
Además, del resultado anterior, también concluimos que:
Definición de Integral como Suma de Riemann
Un Resultado “Interesante”
Sea una función acotada sobre el rectángulo 
El área del rectángulo puede ser hallado si generamos particiones con la misa razón, de tal forma que , entonces 
Además: 
Entonces:
¿Cómo hallo ?
Para 
Para : 
Para : 
Entonces podemos deducir que:
De forma análoga:
Dado que es un punto cualquiera en entonces podemos tomar 
Subdivisiones
Sea una región cerrada y acotada cuya frontera es una curva simple y seccionalmente de clase . Una subdivisión de la región es una descomposición de en un número finito de regiones que no se traslapan y cuyos bordes son también curvas cerradas simples.
Denotamos por el área de la región el área de es la suma de todas las áreas 
Norma
Si es un conjunto acotado del plano, entonces el conjunto de todas las distancias entre puntos y de está acotado superiormente. Al supremo de todas estas distancias se le llama Diámetro del conjunto E.
Se llama Norma de una subdivisión de E y se le denota por al máximo de los diámetros de los 
Sumatoria de Riemann 2
Sea acotada sobre entonces es acotada sobre cada y se cumple que:
Sea una región cerrada y acotada del plano, limitada por una curva cerrada simple y seccionalmente de clase . Sea una función continua sobre entonces existe la integral doble de sobre y
Propiedades de la Integral Doble (1/2)
Si la función es continua en la región cerrada , entonces es integrable en 
Si la función es integrable en la región cerrada y , entonces es integrable en R y
Si las funciones son integrables en la región cerrada y , entonces es integrable en R y
Propiedades de la Integral Doble (1/2)
Las funciones son integrables en la región cerrada , entonces y son integrables sobre R
Las funciones son integrables en la región cerrada y , entonces:
Si la función es integrable en la región cerrada , entonces:
Máximos y mínimos de la Integral Doble
Si la función es integrable en la región cerrada , son los valores máximo y ´Mínimo de la función en . Es decir:
Entonces se cumple que:
Donde es el área de la región cerrada 
Teorema
Si es integrable sobre los conjuntos acotados y y si al menos uno de los conjuntos o tiene área, entonces es integrable sobre y además se cumple que:
Corolario:
Si y son regiones cerradas disjuntas, entonces:
Teorema del valor medio para Integrales Dobles
Si es continua y acotada sobre un conjunto que tiene área, y si el interior de es conexo, entonces existe un punto tal que:
Lema:
Si es una función acotada sobre un conjunto y si (el área de la región es igual a 0) entonces es integrable sobre y además:
Ejercicios:
a. Dada la región , evalúe la integral mediante un sumatoria de Riemann:
Solución:
De esa partición, tomamos, entonces:
Luego, la siguiente sumatoria:
Evaluando el límite:
Entonces:
b. Dada la región , evalúe la integral mediante un sumatoria de Riemann:
Solución:
De esa partición, tomamos, entonces:
Evaluando el límite:
Entonces:
2. Sin calcular la integral doble, halle los valores de las constes a y b, tales que:
Donde es la región limitada por 
Solución:
Graficamosel conjunto dado: (como dice región limitada, esto se puede interpretar a los puntos dentro de R):
Hallamos los puntos críticos de la función:
Encontramos los posibles puntos extremos sobre la frontera del conjunto D:
	Curvas	Función: 	Puntos
		P.C.: 
Además 
Evaluamos puntos críticos en los extremos, es decir:
P.C.: 	
Nota: Recuerde que para los demás puntos se obtienen analizando los extremos de e 
Evaluamos f en todos los puntos de referencia y comparamos:
Luego de evaluar los puntos de referencia podemos concluir lo siguiente:
El máximo absoluto es y se alcanza en y 
El mínimo absoluto es 0 y se alcanza en 
Luego:
Además:
Entonces la integral doble en la superficie R varía desde:
Entonces:
y 
Integrales Iteradas
Sea es una función continua sobre donde se tiene el rectángulo:
A estas integrales se les denomina integrales iteradas de f
Integrales Iteradas Sobre Regiones del Plano (1/2)
Sea es una función continua sobre donde:
Donde son funciones continuas en tal que 
La integral iterada sobre D será:
Integrales Iteradas Sobre Regiones del Plano (1/2)
Sea es una función continua sobre donde:
Donde son funciones continuas en tal que 
La integral iterada sobre D será:
Ejemplo:
Sea Halle la integral de sobre la región encerrada por la recta y la parábola 
Solución:
Método 1:
Podemos describir la región encerrada como:
Método 1:
Podemos describir la región encerrada como:
Observación:
Ten en cuenta lo siguiente para que puedas definir bien la región encerrada
Originalmente tenemos el gráfico en tal disposición, además si apreciamos el gráfico podemos percatarnos que está encima del gráfico cuando . Por lo tanto, inmediatamente concluimos que para el intervalo de 
Entonces podemos definir:
Pero y ¿cómo analizo si solo quiero tomar las cotas de ?
Si quiere hallar las cotas de pero le resulta difícil verlo gráficamente, lo que puede hacer es dos cosas:
1er método (Girar)
Gire la imagen 90° a la izquierda como en la figura:
Como apreciamos, la función está superior a lo que haremos es ponerlas en función de tal que quedarían:
Y por el gráfico:
2do método (Cambio de Variable)
Para este método solamente pondremos nuestra función en función de , es decir: 
Pero la graficaremos como si fuese un 
Ejemplo:
Graficamos y como si fuesen y respectivamente. Es decir, vamos a graficar:
Como apreciamos, la función está superior a Es decir:
Pero haciendo nuevamente el cambio de variable:
2. Sea , halle la integral doble de f por la región encerrada por 
Solución:
Hallamos los puntos de intersección del gráfico:
Como y son disjuntos, podemos expresar la integral como:
Podemos apreciar lo siguiente:
3. Exprese la siguiente suma de Integrales dobles como una sola integral y calcule su valor.
Solución:
Grafiquemos todas las regiones que acota cada integral:
 
 
 
Del gráfico podemos representar la región como:
Entonces, podemos representar la integral como:
Cambio del orden de integración
Con frecuencia una integral iterada puede evaluarse más fácilmente si se invierte el orden de las variables en la integración.
Ejemplo:
Según el gráfico podemos reescribir 
Redefiniendo la integral:
Simetrías Respecto a un Eje coordenado
Sea una función definida sobre una región en el plano . Sea la parte de la región E contenida en el semiplano superior y así podemos definir , , 
Si la gráfica de E es simétrica respecto al eje Y, u si:
 
 
Análogamente para el otro eje coordenado X
Aplicaciones de las Integrales Dobles
Cálculo de Áreas Y Volúmenes
Sea una función no negativa sobre una región del plano entonces el volumen del solido limitado superiormente por la superficie e inferiormente por la región está dada por:
Y el área de la región está dado por:
Ejemplo:
Calcule el área de la región limitada por las curvas:
Solución:
 ; 
Hallando los puntos de intersección:
P.I.: 
Observación: Ambas regiones son iguales, por lo que decimos que 
2. Calcule el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano 
Solución:
Hallamos las intersecciones del plano con el eje XY:
P.I.: 
Definimos la función implícita 
Entonces, definimos el volumen como:
Volumen entre dos Superficies
Si es una superficie que se encuentra encima de la superficie 
 para entonces el volumen V del sólido comprendido entre ambas superficies para la región está dado por:
Para todo 
Relación Piso-Techo
En integrales dobles a la superficie que se encuentra superior que la otra se le denomina techo y a la superficie que se encuentra inferior a esta se le denomina piso. Y se debe tener en cuenta que piso < techo.
Ejemplo:
De la gráfica seria el techo y el piso, por lo que:
Ejemplo:
Halle el volumen del sólido limitado por 
Solución:
La Proyección del solido en el plano XY servirá como superficie limitante, tal que:
Observación:
Si proyectamos la función en el plano ZX:		 Si proyectamos la función en el plano ZY:
Del gráfico: 
Observación:
Valor Medio o Promedio
Si una función es continua sobre una región del plano, su valor medio en sabemos que está dado por:
Ejemplo:
Halle el promedio de las coordenadas z debajo del plano 
Masa de una figura Plana
Considere una lámina plana de densidad variable que ocupa una región en el espacio en el plano XY entonces su masa denotada m, se obtiene:
Observación: Si no te dan puede considerar a este como una constante tal que 
Momentos Estáticos de Figuras Planas
Sea una región del plano XY (masa), tal que su densidad viene dad por la función , la cual es continua , entonces el momento estático alrededor del eje denotado , se obtiene como:
Mientras que si el momento estático alrededor del eje denotado , se calcula como:
Centroide (1/2)
Sea una región del plano XY (masa), tal que su densidad viene dad por la función , la cual es continua , entonces el centro de gravedad (centroide) viene dado por:
Momentos de Inercia de Figuras Planas
Sea una región del plano XY (masa), tal que su densidad viene dad por la función , la cual es continua , entonces los momentos de inercia alrededor de los eje denotados como respectivamente, se obtienen:
Sea una región del plano XY (masa), tal que su densidad viene dad por la función , la cual es continua , entonces los momentos de inercia alrededor de los eje con respecto a los ejes , denotados como respectivamente, se obtienen:
Momentos de Inercia con respecto de una recta
Centroide (2/2)
El centroide de una región plana es el punto , donde es la coordenada promedio de los y es la coordenada promedio de los de los puntos de es decir:
Teorema de Pappus
Sea una región plana en con centroide y sea una recta en el plano cartesiano. Entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor de la recta estará dado por:
Donde área de la región , ángulo de giro y es la distancia del centroide a la recta 
Ejemplo:
Un sólido de revolución generado por la rotación de la región limitada por:
Alrededor de la recta Hallar el volumen del sólido 
Método 1:
Hallamos el centroide:
ii) Momentos:
Hallamos el centro de masa:
Método 2:
Solamente halla el centro de masa con la segunda fórmula:
Y aplicas el teorema de Pappus.
El desarrollo de cada problema dependerá del profesor que te pida.
Hay algunos que te piden realizando el método anterior y otros que solamente te piden que halles el centro de masa.
Área de una Superficie (1/2)
Sea una función no negativa con las primeras derivadas parciales continuas en en el plano XY. El área de la superficie de que está sobre está dada como:
También podemos reinterpretar esta formula como:
Área de una Superficie (1/2)
También podemos reescribir la fórmula dependiendo de a donde proyectamos la superficie:
Si laproyección está sobre el plano XZ:
Si la proyección está sobre el plano YZ:
Ejemplo:
Calcule el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano 
Solución:
Corroboración:
Los lados del triangulo que está limitado por el plano y la región E son
Como es un isósceles trazamos la altura con respecto a , calculando por Pitágoras, tenemos una altura de . Entonces el área de esa superficie es:
K
663XZY
XZY115
11
15YZ