Integrales Triples

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Integrales Triples
MateDLG y CyADLG
Índice:
Definición por cajas Rectangulares
Definición como Sumatorias
Propiedades y Teoremas
Integrales Iteradas
Simetría
Aplicaciones de la Integral Triple
Volúmenes
Masa, Centro de Masa
Inercia
Ejercicios
La integral Triple
Integrales Triples sobre Cajas Rectangulares
Sea la función una función acotada sobre el paralelepípedo:
Como en integrales dobles, definimos una partición en base a particiones 
, entonces 
 y su norma se define en base a las normas de :
Si la partición subdivide a su intervalo correspondiente en subintervalos entonces la partición divide a em cajitas tridimensionales que pueden ser enumeradas en algún orden consecutivo y denotarse como:
Integral triple como sumatoria
Sea una función real acotada sobre . Definimos
Donde definimos y como:
Donde se verifica la desigualdad:
Definición de Integral triple
Se llama Integral Triple de sobre al único número denotado por tal que:
Para todas las particiones de siempre que dicho número exista. En tal caso se dice que es integrable sobre .
Notación: 
Teorema: Sea un paralelogramo cerrado, y sea una función continua sobre , entonces es integrable sobre 
Teorema
Una función acotada es integrable sobre un paralelepípedo cerrado sí y solo sí para cada existe una partición de tal que:
Además
Volumen dentro de una región en 
Sea 
Entonces:
Por lo tanto:
Sumatoria de Riemann (1/2)
Sea una función real definida sobre el paralelepípedo La integral triple de sobre se puede definir como:
Sumatoria de Riemann (2/2)
Dada la función integrable en la región , si existe un número donde es la integral triple de en al cual denotamos por:
Donde es un número real si , tal que
, para toda partición con , 
 
Propiedades de la Integral Triple
Sí para todo en 
Teorema del valor medio
Sea continua y acotada sobre un conjunto que tiene volumen y si el interior de es conexo, entonces existe un 
Lema: Si es una función acotada sobre un conjunto de y si , entonces:
Teorema
Si es integrable sobre los conjuntos acotados y y si al menos uno de los conjuntos o tiene volumen, entonces es integrable sobre y además se cumple que:
Corolario:
Si y son regiones cerradas disjuntas, entonces:
Cálculo de Integrales triples mediante Integrales Iteradas
Si son funciones continuas en la región cerrada y consideremos una región cerrada dado por 
Si , es una función continua en , entonces la integral iterada de es:
Ejemplo:
Evalué la integral de sobre el sólido limitado por el cilindro , y los planos 
 sobre el plano 
Solución
Proyección en XZ:
Piso: 
Techo: 
Simetrías Respecto al plano Coordenado
 parte de la región contenida en el semiespacio superior 
Si la gráfica del sólido es simétrica respecto al plano , y si 
 impar en z
Entonces:
Calcule el valor de la integral:
Sobre el sólido limitado por 
Sobre el sólido limitado por en el primer octante.
Solución:
La gráfica de es simétrica al plano - Además:
 
Proyectamos en XY:
Piso : 
Techo: 
Evalúe la integral triple donde es la región del primer octante limitada por las gráficas: 
Solución:
Proyección en YZ:
Piso : 
Techo: 
En el gráfico 3D:
Recordar Sumatoria de Riemann
Aplicaciones de la Integral Triple
Volumen
Consideremos una función , tal que , entonces el volumen del sólido es dado por;
También es expresado como:
Ejemplo:
Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral
Solución:
Encontrar el volumen en el primer octante, acotado inferiormente por el paraboloide , el cilindro y los planos 
Solución:
Piso : 
Techo: 
En el gráfico 3D:
Masa y Momentos de un sólido
La masa de un sólido con densidad de masa y que ocupa una región del espacio se calcula mediante la integral:
Sus momentos con respecto a los planos coordenados se calculan respectivamente mediante las integrales:
Centro de Masa y de Inercia
El centro de masa del sólido en el punto 
Lo momentos de inercia del sólido alrededor de los ejes se define como:
Ejemplo:
Encuentre el centro de masa de un sólido de densidad constante que esté acotado por las superficies:
 
Tomamos la proyección hacia el plano XZ:
Con respecto al eje XZ:
Techo: 
Piso: 
Entonces:
 :
Encuentre los momentos de inercia de un sólido de densidad que esté limitado por:
 
Tomamos la proyección hacia el plano XY:
Con respecto al eje XY:
Techo: 
Piso: 
33-33
-33
321ZXY
ZXY3
ZY11
112ZXY
324
-224ZX-1
11-1XYZ