Matemáticas_en_la_vida_cotidiana_Jose_Maria_Quesada_Teruel

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Las matemáticas
en la vida cotidiana
Las matemáticas
en la vida cotidiana
Matemáticas
en la vida cotidiana
José M.ª Quesada Teruel
(Coordinador)
Antonio Jesús López Moreno
Miguel Ángel García Muñoz
Juan Martínez Moreno
Juan Navas Ureña
© Autores
© Universidad de Jaén
Edición Ebook, septiembre 2016
Diseño y Maquetación
Servicio de Publicaciones
ISBN
978-84-16819-26-3
Depósito Legal
J-260-2016
COLECCIÓN
Mayores, 5
Edita
Publicaciones de la Universidad de Jaén
Proyección de la Cultura, Deportes y Responsabilidad Social
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obra”.
Matemáticas en la vida cotidiana [Recurso 
Electrónico] / José María Quesada Teruel (coord.) ; 
Antonio Jesús López Moreno… [et al.] -- Jaén : 
Servicio de Publicaciones, Universidad de Jaén, 2016
 248x p. ; 19x25 cm (Mayores, 5) 
ISBN 978-84-16819-26-3
1. Matemáticas 2. Matemáticas en el arte 3. Didáctica 
I. Quesada Teruel, José María, coord. II. López Moreno,
Antonio Jesús, aut. III. Universidad de Jaén. Servicio de
Publicaciones, ed. IV. Título.
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Matemáticas
en la vida cotidiana
José M.ª Quesada Teruel
(Coordinador)
Antonio Jesús López Moreno
Miguel Ángel García Muñoz
Juan Martínez Moreno
Juan Navas Ureña
Contenidos
Capítulo 1
 La magia de los numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Capítulo 2
 Información cifrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Capítulo 3
 Matemáticas en el cine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Capítulo 4
 Historia de una demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Capítulo 5
 Arte y matemáticas: la divina proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Capítulo 6
 Arte y matemáticas: mosaicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Capítulo 7
 Fractales: la frontera entre el arte y las matemáticas . . . . . . . . . . . . . 197
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Capítulo 1
La magia de los números
Antonio Jesús López Moreno
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Sobre los capítulos 1 y 2
Matemáticas y juegos, juegos y matemáticas, de esto hablaremos aquí . 
Qué son las unas y qué son los otros es difícil de decir y a pesar de ello 
comenzaremos aunque sea intentándolo .
Un juego es un conjunto de elementos, materiales o de otro tipo, que pue-
den ser manipulados por uno o más contendientes de acuerdo a un con-
junto muy preciso de reglas que determinan cómo interactúan tales ele-
mentos entre ellos . En muchos casos esos elementos y reglas responden a 
una versión simplificada de un fenómeno de la realidad o de una actividad 
humana . Así, recrear en una tarde de invierno, sobre la mesa camilla en 
torno a la que se reúne la familia, la completa y, hoy sabemos que también, 
terrible complejidad del mercado inmobiliario de una país o ni siquiera de 
una ciudad es tarea del todo imposible ya que también hoy es palmario 
que ni aún los grandes expertos conocen las leyes que realmente lo gobier-
nan; sin embargo, sí que es posible arruinarse, ganar una fortuna, irritarse 
o triunfar jugando al Monopoli, cuyas reglas son precisas y sencillas pero 
reflejo de una realidad más intrincada . Los juegos se diseñan y se juegan 
por simple distracción pero también para adiestrar a otros o adiestrarse 
uno en tal o cual parcela de los negocios, de la guerra o en general de la 
vida .
Por cientos pueden contarse las definiciones que a lo largo de los tiem-
pos se han dado de lo que es la matemática, unas acertadas, otras no, en 
su mayoría incomprensibles . Sin embargo, el gran problema que hemos 
de resolver todos, cada día, cada segundo, es vivir y hacerlo de la mejor 
manera posible así que, en definitiva, como ciencia humana que es, la ma-
temática no pasa de ser una herramienta más al servicio de este objetivo . 
Dicho esto, no nos queda más remedio que afirmar que: la Matemática y 
los conceptos matemáticos son simplificaciones de la realidad, formula-
dos de forma exhaustivamente precisa, que tienen por objeto hacer posi-
ble el estudio de fenómenos que, estudiados en toda su complejidad, sería 
inabordable . Digámoslo con un ejemplo: si tengo dos ovejas y me regalan 
otra, tres ovejas tendré, si tengo tres caballos y gano otro, quedaré con tres 
corceles, si en mi despensa hay dos cántaros de vino y compro otro más, 
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ya habrá tres; ovejas, caballos o cántaros es lo de menos, quitémonos lo 
que sobra en este problema y quedémonos con lo más simple y esencial 
que aquí es contar y saber que 2+1 = 3 . Regla, esta última, sencilla, reflejo 
de la realidad, pero que ahora es también válida si lo que quiero es contar 
cabras, gansos o zapatos . Así surgen (o mejor, surgieron) los números y 
con ellos las matemáticas .
Luego entonces, resulta ahora que tanto jugando como haciendo mate-
máticas, ya sea por placer o diversión, por ganar una guerra, fabricar un 
artefacto o, en fin, por pasar la tarde, lo único que resolvemos son asuntos 
de la vida, los que nos asaltan al levantarnos, en la oficina, jornada tras 
jornada . Pero lo hacemos de una particular manera: tomamos un asun-
to, problema o cuestión, lo desnudamos dejándolo en los huesos, en sus 
elementos más sencillos, apartando de nuestra vista todo lo que sobra y 
estorba . Los reducimos a su forma más simple, a un puñado de reglas, y 
así, ya mansos y domesticados, los vencemos y finalmente convertimos 
en comprensible lo incompresible, en calculable lo incalculable . De esta 
guisa, transformamos ya en matemáticas, ya en juego cuanto se encuentra 
a nuestro alrededor .
Alcanzamos entonces esta asombrosa conclusión: las matemáticas no son 
más, ni mejores ni mayores, que un juego, a la par que todo juego es al fin 
cierta clase de matemática . Esta afirmación que aquí proponemos no ha 
dejado de ser verdad a lo largo de toda la historia de la humanidad, de 
modo que juegos y matemáticas son, al fin, as y envés de una misma hoja . 
Lo que empieza como juego, acaba en matemáticas y, a su vez, se juega con 
las matemáticas como si de un tablero de ajedrez se tratara .
En los siguientes dos capítulos narraremos historias, recordaremos per-
sonajes, lugares y hechos que nos hablan de esta hermandad entre juegos 
y matemáticas . Veremos cómo un simple acertijo sobre puentes se trans-
forma en toda una teoría matemática que aún hoy, sobre todo hoy, pone 
en marcha desde teléfonos móviles, pasando por la ruta de reparto de 
una empresa de mensajería hasta la organización de la producción de una 
empresa . ¡Colorear un mapa!, ¿cuestión de niños?, ni de lejos . Disponer 
números bellamente en un cuadrado ha sido considerado asunto mágico 
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cuando no sagrado o enigmático, pasatiempo predilecto de muchos desde 
hace siglos lo sigue siendo ahora que más de uno dedica alguna que otra 
hora perdida a eso que hemos dado en llamar sudoku . 
No nos duele en prenda afirmarlo, el filo que separa matemáticas y juegos 
es delgado, pero los que esto escribimos somos matemáticos y no termi-
naremos esta introducción sin reconocer al menos una bondad en la que 
la matemática supera aljuego, al menos a nuestros ojos: la victoria en un 
juego es grata y nos satisface sobremanera, la victoria en las matemáticas 
resuelve la particular partida que en definitiva es un problema, teorema o 
conjetura y determina un logro que no es solo para el que la alcanza sino 
para cualesquiera otros que se tengan que enfrentar al mismo dilema y 
pasar entonces a engrosar el patrimonio de todos, de tal suerte que el ma-
temático nos lleva siempre con él en su triunfo .
Hemos querido que no solo se diviertan los personajes de nuestras histo-
rias y por ello incluimos diversos ejercicios con los que tendremos la opor-
tunidad de matar el tiempo y a la par resucitar alguna neurona . Como de 
juegos va la cosa, hemos indicado la dificultad de cada ejercicio utilizando 
balones de acuerdo con el siguiente código:
 = Coser y cantar (dificultad mínima)
 = Inquietante (hay que pensar un poco más)
 = Reto (no hay que asustarse, solo un pelín más)
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Puentes, mapas, rutas…, es decir, grafos
Hace ahora poco más de tres siglos nació 
en la ciudad suiza de Basilea, Leonhard 
Paul Euler . El es hoy considerado como 
uno de los más grandes matemáticos de 
todos los tiempos . Su obra científi ca es 
tan basta que se calcula que para reunirla 
en su totalidad serían necesarios más de 
60 volúmenes . Su padre, pastor calvinis-
ta, deseaba que su hijo siguiera sus pasos 
en el ministerio de la Iglesia de modo que 
inició su formación en la Universidad de 
Basilea con tal propósito en mente . Sin 
embargo, las dotes que Euler demostra-
ba para las matemáticas eran tan extraordinarias que su padre consintió 
que además de su formación teológica iniciara también la científi ca . Tal 
fue así la cosa que fi nalmente Euler era un reconocido experto en fi loso-
fía, teología, lenguas antiguas, matemáticas, física, ingeniería y medicina . 
Por tanto, decir que tenía dotes extraordinarias para las matemáticas es 
pobre reconocimiento y más fi el a la verdad sería afi rmar que poseía dotes 
magnífi cas para cualquier tipo de ciencia y rama del conocimiento . En 
cualquier caso, no fue desleal con su padre y a lo largo de toda su vida se 
postuló siempre como gran y profundo creyente haciendo defensa de su fe 
con brillantez e ingenio cuando la ocasión se presentaba (véase el artículo 
aparecido en la sección ‘El Rincón Matemático’ publicado el 2 de febrero de 
2012 en el Diario Jaén en el que se narra una de estos lances) .
Euler es autor de profundos resultados dentro de las densas aguas de la 
teoría matemática, de cuya notación y nomenclaturas modernas es tam-
bién padre (es decir, los matemáticos de hoy utilizan el leguaje matemá-
tico que Euler diseño hace tres siglos) . Sin embargo, se destacó además 
por la resolución de un sinfín de problemas prácticos, de ingeniería y ma-
temática aplicadas a las cuestiones más diversas . Con tan solo 20 años 
participó en el concurso promovido por la Academia de Ciencias Fran-
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ba para las matemáticas eran tan extraordinarias que su padre consintió 
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cesa (la más importante institución científica de la época) en el que se 
proponía el problema de determinar la mejor forma de situar los mástiles 
de un buque . Euler solamente obtuvo el segundo puesto en dicha ocasión 
(no le ganó cualquiera, tuvo que ser Pierre Bouguer, padre de la ingeniería 
naval) pero en años sucesivos participó en el concurso de la Academia en 
diferentes ocasiones resolviendo problemas de todo tipo; increíblemente, 
llegó a ganar el concurso hasta en doce ediciones .
Pero dejémonos ya de alabanzas a Euler y vayamos a lo que nos interesa, 
a nuestro primer ‘juego’ . Euler vivió durante 25 años en la ciudad prusia-
na de Königsberg, moderna Kaliningrado, donde trabajó en la Academia 
Prusiana de las Ciencias junto con muchos de los más celebres científicos 
y filósofos del momento . Königsberg es atravesada por el río Pregolya que 
describe en su transcurso por la ciudad un caprichoso ensanche que deja 
en el centro la isla de Kneiphof . La isla y las distintas vertientes del río es-
taban comunicadas entonces por siete puentes tal y como observamos en 
el mapa de la ciudad en los tiempos de Euler . Ya sea por pura curiosidad, 
desafío intelectual o como simple pasatiempo, los prusianos de la época se 
plantearon el siguiente problema: 
Mapa de Konigsberg en la época de Euler (los puentes aparecen marcados en verde)
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¿será posible recorrer todos los puentes de la ciudad sin pasar dos veces 
por el mismo? 
La cuestión es que, por nimia que parezca, nadie consiguió dar respuesta 
a la pregunta, ni afirmativa, ni negativa . Y de hecho, invitamos al lector, 
como primer ejercicio, a realizar algunos intentos paseando imaginaria-
mente dedo en ristre por los puentes de la ciudad . Por supuesto nadie 
pudo, hasta que irrumpe Euler en escena, quien resuelve el problema dan-
do paso al nacimiento de una de las ramas de las matemáticas con más 
importantes aplicaciones: la teoría de grafos .
La solución de Euler es ingeniosa en extremo pero por encima de ello 
constituye un ejemplo paradigmático de cómo trabaja el matemático o 
quienes hacen matemáticas (ya que no siempre coinciden) simplificando 
la realidad hasta quedarse con los elementos esenciales que por su senci-
llez permiten encontrar una solución sin el estorbo de todo aquello que 
no viene al caso . Mostraremos la prueba dividida en dos pasos:
•	 Paso 1 (Desnudemos el problema): Este paso es puro ejemplo 
de trabajo matemático exprimiendo el problema hasta obtener 
su esencia más profunda . En principio, cualquier matemático 
convenientemente adiestrado podría aventurarse con el Paso 1 .
•	 Paso 2 (La idea genial): Al contrario que el paso 1, este requiere 
de la intervención del genio, de la fina intuición y de una mente 
penetrante, esto es, de Euler .
Veámoslo ya sin más dilación:
Paso 1: Desnudemos el problema
Euler se dio cuenta de que los brazos del río dividen la ciudad en 4 peda-
zos de tierra comunicados por los siete puentes . Situó un punto destaca-
do en cada uno de esos pedazos de tierra de modo que ahora cada puente 
determina el itinerario que permite pasar de cada uno de esos puntos a los 
otros simbolizando tal itinerario con la línea que une los puntos en cues-
tión . Y he aquí ahora el paso clave: qué más da que para pasar de un punto 
a otro tengamos tres calles o que sean cuatro, que haya que girar una o 
dos veces a la izquierda, que el itinerario sea más largo o más corto, más 
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o menos recto, lo único que importa son los puntos marcados y las líneas 
que los unen; quitemos pues calles, islas, ríos y dejemos solo los puntos 
y las líneas . Así se materializa la transición desde un divertimento, de un 
pasatiempo romántico, con sus puentes y nombres de antiguas ciudades, 
hasta un problema matemático, solo puntos unidos por líneas, fuera todo 
lo que no es esencial, justo ahora empiezan su trabajo el matemático .
El problema de Königsberg se ha transformado y queda ahora del si-
guiente modo: 
¿será posible recorrer todos los puntos sin pasar dos veces por el mismo 
camino? 
Ahora debo pasear por puntos (que simbolizan las porciones de terreno 
en que el río divide a la ciudad) utilizando líneas o caminos (que simbo-
lizan los puentes) . Igual que en el problema inicial un puente no se podía 
cruzar más que una vez, podremos utilizar ahora cada camino en una sola 
ocasión; es indiferente, en cambio, cuántas veces pasemos por un punto, 
podemos hacerlo cuantas sean necesarias sin contradecir las condiciones 
que el problema nos impuso .
Pero para alcanzar la victoria debemos incluso ir más lejos y preguntar-
nos no solamente por el problema de Konigsberg . En realidad hay mu-
chas otras ciudades con puentes que conectan sus diferentes distritos . Por 
ejemplo para la ciudad de Sevilla haciafinales del siglo XIX tendríamos:
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Diagrama notablemente más sencillo pero que, en cualquier caso, nos sir-
ve para darnos cuenta de que cada ciudad dará lugar a una particular con-
figuración de puntos conectados . Cada uno de estos diagramas de puntos 
y líneas es lo que los matemáticos denominan grafo . Conocemos el grafo 
de los puentes de la ciudad prusiana, también el de la española y podría-
mos desde luego trazar el de cualquier otra e incluso, inventar nuestro 
propio diseño de puntos y trazos, con más o menos puntos, sencillo o 
extremadamente complejo y que seguramente nada tenga que ver ya con 
ninguna ciudad o ningún puente . A poco que dejemos volar la imagina-
ción, de inmediato aparecerán en nuestra mente un sinfín de ejemplos; y 
aunque animamos al lector a diseñar los suyos propios, nosotros propo-
nemos aquí estos que emplearemos en lo que sigue para ilustrar diversas 
ideas:
Todos ellos, provengan de un mapa o de nuestra imaginación, son grafos . 
Algunos como el grafo 1 o el 2 quizás puedan parecernos poco estimulan-
tes, esqueléticos, el 4 en cambio es más amenazador .
Seamos osados, seamos ambiciosos y atrevidos ahora que nuestra cabeza 
está llena de diagramas de puntos, de grafos, unos simples otros sofistica-
dos o caprichosos . Resolvamos el problema no solamente para la ciudad 
de los siete puentes y hagámoslo para cualquiera otra que podamos en-
contrar o imaginar, para cualquier grafo de puntos . El desafío ahora es el 
siguiente:
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Tomado un grafo cualquiera, ¿será posible recorrer todos sus puntos sin 
pasar dos veces por el mismo camino?
¡Atención!, recuerden, sí que podemos pasar cuantas veces sea preciso por 
el mismo punto, lo que está prohibido es utilizar cada camino más de una 
vez . 
En realidad, visto de este modo el problema de trazar los grafos proba-
blemente nos suene . Nosotros mismos hace ahora muchos años o quizás 
alguno de nuestros sobrinos o nietos apareció desafiante mostrando una 
figura y retando a cualquiera que le escuchara: “a ver, ¿quién es capaz de 
pintar esta figura de una sola pasada sin levantar el lápiz del papel?” . La fi-
gura no era otra que el típico diagrama similar a un sobre al que nosotros 
hemos bautizado como grafo 3 . 
¿Cuándo es posible recorrer los puentes sin pasar dos veces por el mismo? 
¿Cuándo podremos recorrer un grafo sin transitar dos veces por el mismo 
camino? ¿Será posible dibujar la figura de un solo trazo sin levantar el 
lápiz del papel? Todas son la misma pregunta . Este es nuestro problema, 
determinar cuándo un grafo se puede trazar correctamente y cuando no . 
Y decimos trazar, de ahora en adelante, en este sentido, sin repetir puen-
tes, caminos o con lápiz siempre pegado al papel . Lo que necesitamos 
entonces para hallar la respuesta es ingenio, talento, visión clara . Vamos a 
ello en el siguiente paso .
Paso 2: La idea genial
Lo que pretendemos ahora es encontrar un criterio sencillo que a simple 
vista o con poco esfuerzo nos permita decidir si un grafo se puede dibu-
jar de un solo trazo o no . ¡Cuidado!, la pregunta no es poca cosa . Quizás 
cualquiera, al observar los ejemplos que hemos propuesto, pueda darse 
cuenta de inmediato de que grafos como el correspondiente a Sevilla o 
el grafo 2 se pueden trazar sin dificultad . Quizás, alguien más atento, 
advierte también que el grafo 1 es imposible . Pero, ¿alguno puede decir 
algo tan a la ligera del grafo 4? Y, puesto que de nuestra imaginación pue-
den brotar a placer cuantos grafos deseemos diseñar, podríamos idearlos 
inmensos, con mil, diez mil o un millón de puntos conectados entre sí 
cada uno a su antojo, y en tal caso, ¿dónde está aquel capaz de resolver 
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tan inmensos diagramas? Ahora, dar respuesta al problema, encontrar el 
deseado criterio que determina qué gráficos se pueden trazar, se aparece 
como tarea imposible e inalcanzable, titánica . 
Pero, ¿existe el tal criterio?, ¿dónde está la clave oculta de este problema?, 
¿cuál es aquí la idea genial? Euler nos la proporciona, él se percató, y como 
sucede con muchos acertijos y adivinanzas, una vez desvelado el misterio, 
parecen cosa fútil y tonta, pero, ¿quién puede desentrañarlos de primeras?
La clave de la idea de Euler es esta: si quieres triunfar en este problema, 
analiza el número de caminos que pueden llegar a cada punto . Pongámonos 
pues manos a la obra y analicemos cuanto haya que analizar:
Supongamos que tenemos un grafo que se puede trazar y fijémonos en 
uno cualquiera de sus puntos . Sabemos que podemos pasar varias veces 
por él, eso no está prohibido, pero si llegamos al punto por un camino, 
habremos de salir de él por otro distinto (ya que recorrer dos veces el 
mismo camino sí que está prohibido) . Por tanto cada vez que pasamos 
por un punto necesitamos dos caminos conectados a ese punto (uno de 
entrada y otro de salida), por cada pasada necesitamos dos caminos tal y 
como vemos en los siguientes tres ejemplos en los que vemos tres puntos 
de diferentes grafos por los que necesitamos hacer un número concreto 
de pasadas en cada caso:
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Así concluimos que, para que la cosa vaya bien, necesitamos 2, 4 o 6 ca-
minos, siempre un número par, ya que el número de caminos ha de ser el 
doble del número de pasadas .
Tenemos así un primer criterio que ha de cumplirse si pretendemos que 
un grafo se pueda trazar correctamente:
El número de caminos que llega a cada punto intermedio debe de ser par
Ahora bien, ¡atención!, si terminamos el itinerario en un punto diferente 
de aquel en que comenzamos, no todos los puntos son intermedios y hay 
dos puntos que se escapan a esta regla: el punto inicial y el punto final . 
Cada pasada que hagamos por ellos seguirá inevitablemente la regla pero 
cuando arrancamos con el trazado salimos del punto inicial sin que antes 
haya sido necesario entrar y por tanto tendremos un camino inicial de sa-
lida al que no acompañará ningún camino de entrada . Otro tanto sucede 
en el punto final al que llegaremos al concluir el recorrido con el último 
trazo entrando en el punto sin necesidad de salir ya que hemos finalizado, 
por ello tendremos un camino de entrada al que no corresponde uno de 
salida . Esto podemos verlo en el siguiente ejemplo:
Tomemos el grafo 3 y nombremos, para luego 
identificarlos, cada uno de sus puntos con una 
letra . Este grafo puede trazarse de forma sencilla 
de varias maneras, nosotros comenzaremos en el 
punto A y terminaremos en el D . Recorreremos 
los caminos del grafo siguiendo el orden y la direc-
ción de las flechas que mostramos en la segunda 
imagen . Vemos que por todos los puntos inter-
medios hacemos una pasada y, en consecuencia, 
de acuerdo con nuestra regla de oro tenemos un 
número par de caminos . En los puntos inicial y fi-
nal también hacemos una pasada pero además te-
nemos, sueltos (los hemos marcado en verde), un 
camino de salida en el punto A (el camino nº 1) y 
uno de entrada en el punto D (el nº 6) . Así pues 
en los puntos inicial y final tendremos el siguiente 
número de caminos:
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Punto A:
 1×2 + 1 =2+1=3 impar
 1 pasada (caminos 4 y 5) 1 camino suelto (el 1) 
Punto D: 
 1×2 + 1 =2+1=3 impar
 1 pasada (caminos 3 y 4) 1 camino suelto (el 6) 
El resto de los puntos (B, C y E) claramente tienen un número par de 
caminos .
De este modo, como se ve en este ejemplo, en el punto inicial y final en-
contramos los caminos de las pasadas que siempre son número par más 
un camino adicional . Si a un número par le sumamos 1, siempre obten-
dremos impar . 
En consecuencia tenemos dos posibilidades válidas: si todos los puntos 
del trazado son intermedios (esto sucede cuando comenzamos y termi-
namos en el mismo punto y no tenemos puntos inicial y final distintos) 
entonces el número decaminos en todos los puntos debe ser par; por el 
contrario, si comenzamos el trazado en un punto y terminamos en otro 
(es decir, tenemos punto inicial y final) todos los puntos tendrán un nú-
mero par de caminos excepto los puntos inicial y final que tendrán impar . 
La clave está entonces en determinar cuántos puntos tienen un número 
impar de caminos ya que ahora sabemos que habrá, o bien, ninguno (to-
dos pares), o bien, solamente 2 (todos pares excepto dos impares) .
Así, de la mano de Euler, llegamos a la conclusión final, a la auténtica 
piedra de toque que permite decidir cuándo un grafo se puede trazar y 
cuando no . Resumámosla y destaquémosla como se merece:
Un grafo se podrá trazar siempre que se den alguno de los siguien-
tes casos:
•	 No hay ningún punto con un número impar de caminos.
•	 Hay solamente dos puntos con un número impar de caminos.
{ {
{ {
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Además, tal y como hemos visto en el anterior ejemplo, si tenemos dos 
puntos con caminos impares, uno de ellos tendrá que ser el punto inicial 
del recorrido y el otro el fi nal . Por contra, si no hay puntos con caminos 
impares no tendremos puntos inicial y fi nal distintos (empezaremos y 
terminaremos el recorrido en el mismo punto) .
Con esta regla en mano, cualquier grafo se resuelve de inmediato . Ya no es 
necesario tomar papel y lápiz y ensayar itinerarios para intentar dar con 
uno válido . Simplemente debemos contar . No importa que el grafo sea 
escuálido o de aterradora complejidad, con dos o con mil puntos . Simple-
mente será contar . El resultado de Euler convierte un problema imposible 
en un juego de niños .
Estrenemos nuestra regla, nuestro nuevo juguete, desentrañemos uno por 
uno el misterio de con cuántos grafos nos hemos topado . Simplemente 
hemos de contar el número de caminos en cada punto y marcar con si el 
número es par y con si es impar . La conclusión será inmediata: ninguna 
, se pude trazar; dos , también se puede pintar; cualquier otra cantidad 
de signifi ca que el grafo es imposible . Juego de niños pues . Cómo no, 
nuestra primera víctima han de ser por fuerza los puentes de Konigsberg .
Por tanto, misterio resuelto, el grafo no se puede trazar, no es posible re-
correr los puentes de Konigsberg sin pasar dos veces por alguno de ellos .
¡Manos a la obra! Ahora todo es coser y cantar: 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Sí, no, sí, no, sobre la marcha resolvemos cualquier grafo como si no fuera 
con nosotros la cosa, no habrá ninguno que se resista . Estamos prepara-
dos para enfrentarnos a mayores retos y no nos amedrentaremos entonces 
ante los siguientes ejercicios que proponemos después .
Esta es pues la idea de Euler . Lo que hemos hecho aquí reproduce el cami-
no que siguen muchas de las grandes teorías . Para resolver un problema, 
lo analizamos en profundidad detectando sus elementos esenciales trans-
formándolo en matemáticas . Aplicamos entonces nuestros conocimien-
tos, experiencia e ingenio para reducir su solución a un puñado de reglas 
simples .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Ejercicios
 Ejercicio 1:
Determinar si los siguientes grafos pueden ser trazados:
 Ejercicio 2: 
•	 Diseñar un grafo con más de 6 puntos que pueda ser trazado .
•	 Diseñar un grafo con más de 6 puntos que no pueda ser trazado .
Y para los más intrépidos:
 Ejercicio 3:
¿Hay algún grafo de tres puntos que no se pueda pintar?
a. b.
c. d.
1.1.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
23
Soluciones
Ejercicio 1: 
Ejercicio 2:
Puesto que podemos diseñar a nuestro capricho cualquier grafo, hay 
muchas formas de resolver este ejercicio . Proponemos aquí los más sen-
cillos posibles (con el menor número de caminos) .
a. b.
c. d.
Este noEste se pinta
1.2.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
24
Ejercicio 3:
Cada camino tiene dos llegadas (es decir, dos extremos) y por tanto el 
número total de llegadas a todos los puntos del grafo, que llamaremos 
Nllegadas, será un número par (Nllegadas = 2 × nº caminos = par) . Supon-
gamos que al primer punto del grafo llegan N1 caminos (esto es, en el 
primer punto tenemos N1 llegadas), al segundo N2 caminos y al tercero 
N3 . Es claro que 
Nllegadas = N1 + N2 + N3 .
Pero es bien sabido que la suma de dos números impares es par y la de 
dos pares es par así que de los números N1, N2 y N3 o bien ninguno es 
impar o lo son solamente dos de ellos (si los tres fueran impares o si 
solamente uno de ellos lo fuera, la suma daría impar pero sabemos que 
Nllegadas es par) . Por tanto el número de es 0 o 2 y el grafo se puede 
pintar forzosamente .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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¿Solamente un juego?
Ciertamente, el problema de los puentes de Königsberg es un pasatiempo 
y cuanto hemos visto en la sección anterior puede ayudar a entretenernos 
disipando el aburrimiento de alguna triste velada . Sin embargo, la reali-
dad es que Euler abrió con sus ideas un inédito campo de las matemáticas, 
introdujo una nueva teoría, la teoría de grafos . El trabajo en el que publicó 
en 1736 la solución que encontró para el problema de los puentes se titula 
“Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” (algo así como “Solu-
ción del problema en relación con la geometría de la posición”) y es conside-
rado como el primer resultado de la entonces recién nacida teoría .
Despejado el frente, tras él, son innumerables los matemáticos, ingenie-
ros, informáticos o físicos que hacen uso de la teoría de grafos para re-
solver la más variada gama de problemas, añadiendo nuevos resultados, 
nuevas técnicas sobre la inicial idea genial de Euler . Hasta el punto que 
hoy en día el estudio de grafos es esencial en disciplinas como la informá-
tica, la electrónica, las telecomunicaciones, la logística, la química, la física 
y, cómo no, las matemáticas . 
2
Las dos primeras páginas del trabajo de Euler sobre los puentes de Königsberg.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Es imposible hacer aquí ni siquiera un resumen de estas aplicaciones y de 
cómo de forma insospechada, detrás del más simple artefacto eléctrico o 
electrónico, de un GPS, un móvil o una conexión a internet, de nuestra 
red de contactos en Facebook, se esconden problemas que han de resol-
verse utilizando cálculos con grafos .
Parece difícil imaginar que un puñado de puntos unidos por rectas pueda 
ser de importancia tan señalada y que estudiándolos seamos capaces de 
resolver problemas del mundo real más allá del simple pasatiempo . Noso-
tros mostraremos dos o tres de las innumerables aplicaciones de los grafos 
que, por su sencillez y carácter intuitivo o por su sorprendente importan-
cia histórica, permiten hacernos una idea de esto que decimos . Dándonos 
prisa, comenzamos, cómo no, con el algoritmo de Dijkstra .
El algoritmo de Dijkstra
Un grafo es un puñado de puntos unidos por líneas o caminos . Bueno, de 
acuerdo, ya lo hemos visto y no parece una idea demasiado difícil . Hasta 
ahora nos hemos diverti-
do trazando dibujos sin 
levantar el lápiz del papel 
pero, ¿qué mayor impor-
tancia pueden tener apar-
te de esto los diagramitas 
de puntos y líneas que lla-
mamos grafos?
La clave está de nuevo en 
Euler . Le hemos acompa-
ñado en sus razonamien-
tos y otra vez le necesitamos ya que el punto de partida de sus argumentos 
es el que precisamos aquí ahora . Y es que resulta que la primera victoria 
de Euler consistió en darse cuenta de que un problema del mundo real 
puede reducirse a analizar puntos y líneas . ¿Habrá más dilemas de estos 
que se dejen atrapar imaginándolos de esta facha? Con tan siquiera mos-
trar el problema que nos ocupará ahora, el ‘sí’, nos sale alto y claro . No 
digamos nada, mostremos la imagen y ya casi sobran explicaciones .
3
tos y otra vez le necesitamos ya que el punto de partida de sus argumentos 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
27
La magia de losnúmeros Antonio Jesús López Moreno
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En efecto, se trata, ni más ni menos, que del Metro (el de Madrid, en 
este caso, pero igual daría que fuera el de Barcelona, Bilbao, Berlín o, si 
gustamos del fino humor británico, del tranvía de Jaén) . Pero, ¿qué es el 
metro sino un conjunto de puntos unidos por líneas? Ciertamente cada 
parada es un punto y entre un punto y otro tenemos una o más líneas de 
metro que los unen . Nada de gimnasias mentales, nada de sofisticados 
razonamientos, directamente, gratis, por la gorra: ¡Eureka!, ¡el Metro es 
un grafo! Madrileños, barceloneses, bilbaínos, berlineses y acaso algún día 
también jiennenses, todos van y vienen cada día sin percatarse mínima-
mente de que viajan recorriendo un grafo .
Cualquier usuario del metro se enfrentará sin remedio al problema de de-
terminar cómo llegar desde la estación de partida en la que se encuentra 
hasta aquella que es su destino . En general no se trata de una cuestión di-
fícil, sobra con seguir con el dedo las líneas y encontrar una ruta que una 
el punto inicial y el final . Sin embargo, es claro que en general para llegar 
de una estación a otra tendremos diferentes posibilidades o itinerarios . 
Así, para ir desde Legazpi hasta Cuatro Caminos podríamos tomar la lí-
nea amarilla y hacer trasbordo en Sol a la roja o también podríamos hacer 
el mismo trasbordo en la estación de Noviciado . ¿De qué dependerá que 
sigamos uno u otro itinerario? Evidentemente, salvo que uno sea aficiona-
do a la espeleología o algún otro tipo de turismo subterráneo, el criterio 
aquí será el tiempo . Está claro, en la medida de lo posible, habremos de 
utilizar la ruta que nos suponga menos tiempo . Debemos llegar de una 
estación a otra, sí, pero en el menor tiempo posible .
Visto así el problema es más complicado . El plano del metro de Madrid 
es de por sí laberíntico . Entre dos estaciones podemos llegar a tener mul-
titud de rutas posibles . Además, todo buen madrileño sabrá con certeza 
que hay líneas más veloces mientras que otras son insufribles . ¿Cómo re-
solver la cuestión? ¿Cómo dar con la ruta más rápida? 
Un examen más atento nos revela que aunque el plano nos proporciona 
el tiempo de tránsito en algunas estaciones, en realidad la información de 
que disponemos no es suficiente para encontrar la ruta más rápida ya que 
no tenemos datos sobre la duración de cada trayecto . Que una estación 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
29
aparezca muy cerca de otra en el mapa no quiere decir que ese trayecto 
sea breve ya que la vía o los trenes en ese tramo podrían ser antiguos no 
permitiendo grandes velocidades mientras que otras estaciones separadas 
por mayores distancias están unidas por trazados de túneles más moder-
nos y en mejores condiciones que garantizan también mejores tiempos . 
Para encontrar la ruta más rápida, el mapa debería mostrar los tiempos 
de duración de cada trayecto .
Como siempre, para apreciar 
mejor el problema, estudiaremos 
un caso más sencillo . Dejemos 
entonces el metro de Madrid y 
estudiemos este otro grafo más 
simple que bien pudiera corres-
ponder al suburbano de alguna 
otra ciudad, eso sí, modesta . En 
nuestra pequeña villa tenemos 
solamente seis paradas y de mo-
desta que es ni siquiera nos da 
para nombres de paradas tan biensonantes como los de Madrid (Legazpi, 
Argüelles, Sol,… casticismo puro) simplemente los nombramos con los 
números del 1 al 6 . Nos encontramos en la estación 
Argüelles, Sol,… casticismo puro) simplemente los nombramos con los 
, inicio de nues-
tro trayecto y pretendemos llegar a la estación , donde fi naliza nuestra 
tournée . Además, como es lógico, queremos hacerlo en el menor tiempo 
posible . Para ello necesitamos recabar más información ya que es impres-
cindible conocer la duración de los trayectos entre todas las estaciones del 
metro . Necesitamos un plano más completo, con más información . Afor-
tunadamente, las autoridades de esta mini-ciudad nos facilitan este otro 
plano (ya podrían hacer lo mismo en Madrid) que incluye el tiempo (en 
minutos) que tarda el metro en recorrer cada línea de la red . Con esta in-
formación en mano disponemos de todos los datos que necesitamos pero, 
¿cómo se resuelve el problema? ¿Será mejor comenzar partiendo hacia la 
estación 2 o quizás traiga más cuenta encaminarnos a la 3? El lector aveza-
do posiblemente sea capaz de descubrir por sí mismo cuál es la mejor ruta 
ya que este caso es simple con un número reducido de estaciones y líneas . 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
30
Pero, ¿será igualmente simple re-
solver un problema similar para 
el metro de Madrid con decenas 
de estaciones y líneas? ¿Y si con-
sideramos, en lugar del metro, la 
red de carreteras o ferrocarriles 
de toda España o, más aún, de 
toda Europa? Necesitamos un 
método, una técnica que permita 
resolver el problema no importa 
si estamos en Madrid o en nuestra particular Small-Ville . Este método 
existe, es lo que se denomina “Algoritmo de Dijkstra” en honor al físico que 
lo ideó, Edsger Wybe Dijkstra . En lo que sigue hablaremos de Dijkstra y 
de su algoritmo y veremos cómo nos pone en bandeja el método para en-
contrar el camino más rápido entre la estación inicial y la final de nuestro 
viaje .
Ya hemos señalado que tanto el plano del metro de Madrid como el de 
la ciudad de nuestro ejemplo son en realidad grafos en todo similares a 
los que hemos analizado en el apartado dedicado a los puentes de Kö-
nigsberg . Cuando en un grafo añadimos la información sobre la duración 
de cada trayecto obtenemos lo que se denomina un “grafo con pesos” . El 
segundo plano de metro de la pequeña ciudad, el que incluye los minutos 
para cada línea, es entonces un grafo con pesos . El algoritmo de Dijkstra 
también conocido como algoritmo del “camino más corto” permite calcular 
la ruta más corta o breve (depende de que hablemos de tiempos o distan-
cias) entre dos puntos de un grafo con pesos . Dicho de otro modo, resuel-
ve nuestro problema proporcionándonos la ruta más breve entre el punto 
de partida y el de llegada . Pero también resuelve cualquier otro problema 
similar para ciudades medianas o enormes, para la red de carreteras o de 
ferrocarriles, de un país pequeño o de uno grande, e incluso para la red 
que conecta los miles de servidores dispersos por el mundo que confor-
man lo que llamamos Internet .
A Dijkstra debemos además muchos otros algoritmos y avances de im-
portancia en ciencias de la computación, campo al que se dedicó en di-
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
31
ferentes empresas y universidades hasta que se retiró en 2000, dos años 
antes de su muerte . No hablamos por tanto de un científico de hace dos-
cientos o trescientos años sino de un investigador dedicado a problemas 
plenamente actuales que propuso soluciones que hoy, sin saberlo, usamos 
diariamente cada vez que conectamos un ordenador o teléfono móvil .
El algoritmo de Dijkstra es lo que se denomina un algoritmo “iterativo”, 
es decir consiste en una lista de pasos que hemos de repetir, los mismos, 
una y otra y otra vez hasta que al final alcanzamos la solución del proble-
ma . La idea es ir recorriendo los puntos pasando de uno a otro y en cada 
paso desde el punto actual en que estamos (que llamaremos simplemente 
punto actual) calcular la distancia o tiempo hasta los demás puntos co-
nectados con él . Los pasos del algoritmo son los siguientes:
El Algoritmo de Dijkstra
Parte inicial
•	Como	primera	estimación	de	la	distancia	o	tiempo	mínimo	desde	
el punto inicial escribimos junto a cada punto el símbolo ∞ . Por 
supuesto la distancia al punto inicial será 0 .
Tomamos como punto actual el punto inicial del recorrido .
Parte iterativa
•	Desde	 el	 punto	 actual	 calculo	 las	 distancias	 a	 todos	 los	 puntos	
conectados con él sumando la distancia del itinerario de conexión 
a la del punto actual . Escribo o corrijo en cada punto la distancia 
calculada siempre que sea menor que la quehayamos escrito antes . 
•	Doy	por	hecho	el	punto	actual	y	lo	marco	como	terminado	para	
eliminarlo de los cálculo en el resto de pasos iterativos .
•	Elijo	como	nuevo	punto	actual	aquel	que	tenga	menor	distancia	
marcada hasta el punto inicial (no necesariamente ha de estar uni-
do al punto actual) .
•	Repito	la	parte	iterativa	hasta	que	el	punto	actual	sea	el	punto	final	
del recorrido . Entonces, paso a la parte final del algoritmo .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Parte final (cálculo del mejor camino)
•	Desde	 el	 punto	final,	 el	 camino	mínimo	 se	 escoge	 eligiendo	 los	
puntos cuya distancia marcada más la del camino de unión sea 
justamente la del punto en que estamos . 
Visto así, tan ‘a palo seco’, puede asustar pero veamos de inmediato que es 
en realidad bastante simple aplicándolo a nuestro ejemplo .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Sencillo, pues, obtener el camino óptimo que en el último gráfico aparece 
marcado en verde .
Como vemos, el algoritmo de Dijkstra es un método iterativo que se basa 
en aplicar los mismos pasos una y otra vez hasta alcanzar el resultado 
final . El hecho es que ciertamente los pasos del algoritmo no son dema-
siado complicados (copia este número aquí o allá, suma esto con esto, 
etc ., vamos, poca cosa una vez que uno lo entiende) . No obstante, cabe 
una observación: ¿no sería más fácil resolver este problema por ‘la cuenta 
de la vieja’? Es decir, quizás, si analizamos a nuestra manera, sin método 
ni algoritmo alguno, el plano de puntos y comprobamos unos cuantos 
trayectos, posiblemente encontraremos también por nosotros mismos la 
solución . Ahora bien, ha de tenerse en cuenta que el ejemplo que hemos 
imaginado es espacialmente sencillo, con únicamente seis puntos . ¿Qué 
pasaría con el plano del metro de Madrid? ¿Cómo se encuentra la ruta 
más rápida entre Madrid y Bucarest cuando tenemos entre medias cien-
tos de posibles rutas? ¿Cuál es la red más rápida entre un computador en 
Sevilla y otro en Estambul cuando los posibles trazados entre uno y otro 
se cuentan por miles? En todos estos casos ‘la cuenta de la vieja’ se queda 
corta, no sirve y precisamos de un método sistemático y seguro, esto es, 
del algoritmo de Dijkstra .
Hay otro aspecto de importancia a tener en cuenta . Es cierto que si uno 
tiene paciencia suficiente, el método de Dijkstra, erre que erre, paso a paso 
e iteración tras iteración terminará dándonos el resultado . Pero si estamos 
trabajando con una red de metro o carreteras que comprende cientos o 
miles de puntos, ¿quién es capaz de aplicar 1000 veces el algoritmo por 
sencillos que sean los pasos? La clave aquí reside en recordar a qué se 
dedicaba Dijkstra: ¡era experto en computación! Es decir, el algoritmo 
que él diseño estaba destinado a resolver problemas actuales con medios 
actuales, en otras palabras, está diseñado para ser aplicado mediante com-
putadores . Los ordenadores necesitan métodos sencillos que se describen 
con pasos concretos, precisos materializables, en operaciones matemáti-
cas simples . El algoritmo de Dijkstra es justo esto . Para un ordenador, ca-
paz de ejecutar miles de instrucciones por segundo, es indiferente realizar 
una, seis o diez mil iteraciones del algoritmo, es únicamente cuestión de 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
36
tiempo . Dijkstra fue pues un científico moderno que resolvió problemas 
que tienen sentido hoy en día gracias a que contamos con computadores 
y estamos por tanto ante técnicas que se han desarrollado recientemente 
para resolver problemas prácticos en campos como las comunicaciones o 
el transporte y la logística .
La teoría de grafos encontró numerosas aplicaciones desde que Euler hace 
alrededor de tres siglos la fundara . Pero es ahora, en nuestros tiempos, 
que ha cobrado importancia esencial ya que permite resolver una gama 
amplia de problemas en ciencias de la computación . Estos problemas no 
son de carácter teórico y, en general (en algunos casos sí), no se han for-
mulado en el despacho de algún sesudo profesor de universidad . Nacen 
del intento de aplicar la potencia de cálculo de los sistemas informáticos 
para la resolución de problemas en todos los ámbitos de la actividad hu-
mana . El progreso tecnológico imparable al que asistimos, muchas veces 
atónitos, es una fuente inagotable de problemas que han de ser resueltos 
mediante otros algoritmos, diseñados por otros matemáticos, informá-
ticos o ingenieros que incansablemente plantean nuevas soluciones ante 
nuevos desafíos . Muchos de estos algoritmos tienen nombres sugerentes 
que de inmediato nos ofrecen idea clara de en qué campo se aplican . Así, 
podemos nombrar algunos:
•	El	algoritmo	del	vendedor	viajero:	que	trata	de	encontrar	la	ruta	
que debe seguir un comercial o vendedor viajero para recorrer una 
lista de ciudades (todas ellas) sin pasar dos veces por la misma 
utilizando para ello el mínimo tiempo posible .
•	La	técnica	PERT:	creada	por	el	ejército	americano	para	el	desarro-
llo del misil balístico Polaris . Su objetivo es organizar el trabajo en 
proyectos complejos que involucran multitud de tareas que deben 
ser ejecutadas sin pérdidas de tiempo cada una en el momento 
adecuado . Es un ejemplo claro de las aplicaciones de la teoría de 
grafos .
•	Los	problemas	de	rutas	de	vehículos:	que	determinan	cómo	aten-
der a un conjunto de clientes utilizando una flota de vehículos .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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La lista sería interminable y de hecho cada año se acrecienta con nue-
vos modelos, algoritmos y técnicas que resuelven los problemas que justo 
ahora están apareciendo con la extensión de (entre otras) las redes socia-
les, la redes de telefonía móvil e Internet, etc .
Terminemos este apartado proponiendo un par de ejercicios sencillos en 
los que podemos poner a prueba nuestras habilidades recién adquiridas 
en el manejo del algoritmo de Dijkstra . 
Ejercicios
 Ejercicio 1:
Determinar el camino más breve o corto para llegar desde el punto 1 al 
punto 7 en el siguiente grafo:
3.1.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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 Ejercicio 2:
Jaén, año 2040 . Treinta años después, la crisis es apenas una mala pesadilla 
que sólo recuerda algún desdentado profesor de Universidad (al terminar la 
crisis, las autoridades ‘olvidaron’ restituir la edad de jubilación que ahora es 
de 89 años) . 
¡Ahora sí!, ¡por fi n!, el Gobierno, las administraciones, todos a una han de-
cidido pisar fuerte y situar a la ciudad a la altura del siglo XXI con miras al 
XXII dotándola, ya de forma defi nitiva, del sistema público de transporte 
que aupará a la villa a la primera división de las urbes internacionales .
No queriendo caer en errores del pasado, deciden no quedarse cortos, no 
andarse con remilgos y dar a la ciudad la infraestructura que ciertamente 
necesita y que los ciudadanos demandan . Esta vez, no habrá fallo posible, la 
solución encontrada es sin duda la óptima, la que a todas luces se requería . 
Esta vez, lo han hecho, han construido el ¡Metro de Jaén!
Más de veinte estaciones en los puntos clave de la ciudad unidas por siete lí-
neas diferentes forman el sistema tranviario de la ciudad . Sin duda la estrella, 
la perla refulgente es la estación situada en pleno Castillo de Santa Catalina 
obra magna de la ingeniería de concepción a duras penas posible . El día de 
la inauguración los ojos en la delegación española refulgían de satisfacción 
mientras mostraban la ciclópea construcción a la comitiva de Alemania cu-
yos rostros transmitían con plena sinceridad la más dramática incredulidad 
(Alemanía, restaurada su confi anza en los países periféricos, había fi nanciado 
buena parte del proyecto) .
Anexo véase el plano que se reparte a los usuarios . En él las estaciones, bauti-
zadas con castizos nombre de Jaén, se destacan con puntosazules ( ) mien-
tras que en cada línea se indica la duración en minutos del trayecto en un 
círculo que es, en cada caso, del color de la línea en cuestión ( , , etc .) .
Construido ya el metro, y por si acaso, hemos de darle alguna utilidad antes 
de que pase nada imprevisto y es con este objetivo que proponemos una serie 
de ejercicios . Encontrar las rutas más rápidas entre las siguientes estaciones:
•	ruta	1:	de	Juan	León	a	Hacienda,
•	ruta	2:	de	Juan	León	a	Central,
•	ruta	3:	de	Museo	Íbero	a	Plaza	de	Toros,
•	ruta	4:	Profesor	Almira	a	Corte	Chino.
Buen viaje .
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La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Soluciones
Ejercicio 1:
Hemos situado junto a cada punto la distancia al punto inicial que se 
calcula como resultado de aplicar el algoritmo de Dijkstra (números en 
azul junto a cada uno de los puntos) . Una vez calculadas las distancias, 
encontramos la ruta más breve que nosotros hemos dibujado en color 
verde .
Ejercicio 2:
Fácil:
•	ruta	1:	Juan	León,	San	Lucas,	Prof.	Almira,	Neveral,	Castillo	de	
Sta . Catalina, Catedral, Hacienda;
•	ruta	2:	Juan	León,	San	Lucas,	Prof.	Almira,	Juanito	Valderrama,	
Hospital, Pilar del Arrabalejo, Jardinillos, Central;
•	ruta	3:	Museo	Íbero,	Cristo	Rey,	Parque,	Antigua	Estación,	Zuri-
to, Plaza de toros;
•	ruta	4:	Prof.	Almira,	Gran	Eje,	Museo	Íbero,	Cristo	Rey,	Maris-
tas, Corte Chino .
3.2.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
41
El gran problema de los cuatro colores
Hay problemas en matemáticas que son míticos . Normalmente esto su-
cede cuando tras ser planteado el dilema son muchos los años (incluso si-
glos) y muchos los matemáticos que pasan por él sin que ni unos ni otros 
sean capaces de darle solución . Estos problemas ‘correosos’ se incorporan 
así a la leyenda, al mito . Tienen nombres sugerentes, normalmente el del 
que los ideó, han sido inspiración de novelas o películas y permanecen 
imperturbables por largo tiempo a la espera de que aparezca el genio ca-
paz de doblegarlos . La hipótesis de Riemann, la conjetura de Poincaré o 
la de Goldbach, el teorema de empaquetamiento de Kepler, el de Fermat 
y, cómo no, el que nos ocupa ahora, el teorema de los cuatro colores . Algu-
nos de ellos han podido ser resueltos y cuando esto sucede el revuelo es 
grande, la noticia cunde rápido y todos los matemáticos del planeta se 
apresuran en averiguar sobre el, a partir de ahora, insigne que obró la 
proeza . Otros resisten, como si de un acantilado sobre el mar se tratara, el 
azote de las oleadas de matemáticos de toda calaña que lo atacan sin cesar .
El teorema de los cuatro colores que nos ocupa ha sido, no lo dudemos, 
mítico entre los míticos . Reúne características que hacen que esto sea así . 
Por un lado su formulación, como veremos, es extraordinariamente sen-
cilla mientras que, por otro, su resolución es en sobremanera compleja, de 
tal suerte que desde que fue planteado a mediados del siglo XIX han sido 
muchos los matemáticos que trataron de resolverlo sin tener éxito en el 
empeño . Pero contemos ya la historia .
Francis Guthrie fue un matemático, abogado y botánico sudafricano . En 
1852 mientras trataba de colorear un mapa de los condados de Inglaterra 
se planteó el problema de determinar cuántos colores eran realmente ne-
cesarios para hacerlo de modo que cada condado quedara diferenciado de 
los vecinos mediante tonos diferentes .
En esta imagen observamos únicamente los condados del sudeste de In-
glaterra pero es suficiente para darnos cuenta de lo que Guthrie trataba 
de hacer . Si pintamos dos condados contiguos del mismo color no podre-
mos identificar su frontera y en el mapa no quedará claro dónde empieza 
y termina cada uno . Por el contrario, si tenemos cuidado de pintar en 
4
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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color diferente los condados fronterizos obtendremos un mapa en el que 
cada región es claramente identificable . 
Guthrie se planteó la siguiente cuestión (es normal, también era mate-
mático): ¿cuántos colores necesito para asegurar que condados vecinos se 
pinten con color diferente? Esta, veremos, es la pregunta, el enigma ex-
traordinario . Lo cierto es que si observamos el mapa de arriba, es evidente 
que, al menos los condados del sudeste, pueden pintarse utilizando úni-
camente tres colores (azul, amarillo y rojo, en este caso) . Pero, ¿será esto 
cierto para cualquier mapa?, ¿podríamos haberlo hecho con solo dos co-
lores? De hecho el propio Guthrie intrigado probó con diferentes mapas, 
incluyendo todos los condados o solamente una parte como hemos hecho 
nosotros, intentando así dar con la respuesta . De inmediato se percató de 
que utilizando cuatro siempre era posible dibujar 
los colores correctamente mientras que tres eran 
insuficientes para muchos mapas . En efecto si aña-
dimos algunos condados más, entonces el mapa no 
se puede pintar con solamente tres colores y debe-
mos sumar a los que ya teníamos el verde . Retamos 
al lector a que intente colorear este último mapa 
con solamente tres colores y sin mucha dificultad 
advertirá que ello es imposible .
Después de probar con diferentes mapas, no solo de Inglaterra, Guthrie 
formuló la siguiente conjetura que desde entonces pasó a denominarse 
“Teorema de los cuatro colores”:
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
43
Teorema de los cuatro colores
Cualquier mapa puede ser coloreado utilizando únicamente cuatro colores 
de modo que regiones colindantes tienen siempre color diferente.
La dificultad radica en que la conjetura afirma su validez no solamente 
para los mapas de los condados ingleses, o para los mapas que Guthrie 
puso ante sí con el propósito de satisfacer su curiosidad . La conjetura es, 
en principio, válida para cualquier mapa, fácil o difícil, grande o pequeño, 
de Asia, África o América, de terrenos conocidos o aún por descubrir, 
real o inventado . No importa de dónde saquemos el mapa, ya lo hayan 
retrasmitido telepáticamente los miembros de una especie superior desde 
Ganímedes, lo encontremos en el atlas de la biblioteca o nos lo hayamos 
inventado nosotros mismo, si hacemos caso a la conjetura, ha de poder 
pintarse con solo cuatro colores .
Pero claro, aquí hay una palabra clave que estamos pasando por alto como 
si tal cosa: ¡conjetura! Una conjetura es un resultado matemático del cual 
desconocemos la demostración . Guthrie, después de efectuar diferentes 
pruebas y conseguir en todas pintar el mapa con cuatro colores, formuló 
el teorema pero, a pesar de ser matemático, no consiguió encontrar una 
demostración para su propia afirmación . Y, en matemáticas, sin demos-
tración estamos vendidos, no hay tema, no tenemos negocio . Ha de sa-
berse que los matemáticos son por naturaleza desconfiados y podríamos 
decir que su máxima es “si no lo veo, no lo creo” . Si Guthrie asegura que 
cuatro colores son suficientes y no es capaz de demostrarlo de modo con-
vincente, matemáticamente, su afirmación no vale nada, es papel mojado . 
Sin demostración clara, siempre estaríamos expuestos a que tarde o tem-
prano apareciera alguien con un mapa bajo el brazo y asombrara a todos 
gritando: mirad, lo tengo, he encontrado un mapa que no se puede pintar 
con los cuatro dichosos colores .
En defensa de la conjetura de Guthrie había un hecho importante . Es 
cierto que no pudo conseguir una demostración pero también lo es que 
tampoco nadie pudo encontrar un mapa que se escapara de la regla que él 
encontró . Todos, todos, absolutamente todos los mapas que se probaron 
pudieron pintarse con cuatro colores . Esto es lo que hace que el teorema 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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de Guthrie fuera una conjetura válida ya que aunque no tenía demostra-
ción tampoco fue posible encontrar un ejemplo que lo refutara .
De una manera o de otra el teorema de los cuatro colores cayó en las 
manos de algunos de los más importantes matemáticos de la época . Se-
gún parece, el propioGuthrie remitió el problema a August de Morgan, 
famoso aún hoy por sus resultados en lógica matemática, y asimismo el 
gran Arthur Cayley (considerado el padre de los estudios en matemática 
pura en el Reino Unido) intentó también encontrar una prueba . De he-
cho, fue este último el que hizo saltar a la fama el teorema cuando lo pro-
puso como conjetura en la London Mathematical Society destacándolo 
así como un reto para el resto de matemáticos de su época y, en realidad, 
también de las posteriores .
El mito era ya un hecho . Un teorema cuya formulación es tan sencilla que 
cualquiera, matemático o no, puede comprenderlo, grandes figuras que 
intentan resolverlo sin éxito . El teorema de los cuatro colores se situó así 
en el orbe de los grandes desafíos de la matemática . Además, con pleno 
derecho ya que desde que fuera planteado en 1852 pasaron década tras 
década, incluso un siglo sin que nadie fuera capaz de encontrar una de-
mostración que permitiera aceptar el teorema definitivamente o un ejem-
plo que lo rechazara . De hecho, fueron muchos los que creyeron haber 
encontrado demostraciones que después mostraron ser incorrectas . Fue 
especialmente sonado el fiasco de Alfred Bray Kempe, matemático alum-
no de Cayley, quien en 1879 publicó en la archiconocida revista Nature 
una demostración que inicialmente fue dada por válida por la comunidad 
matemática internacional y por la cual Kempe fue nombrado Fellow of the 
Royal Society . Once años más tarde el también matemático Percy John 
Heawood puso de manifiesto que la demostración obtenida por Kempe 
contenía errores y no era, por tanto, válida devolviendo nuevamente al 
teorema de los cuatro colores a la categoría de conjetura . De todos modos, 
como veremos de inmediato, el intento de Kempe no fue totalmente en 
vano . 
No fue hasta 1976, 124 años más tarde de su formulación, que los ma-
temáticos Kenneth Appel y Wolfgang Haken consiguen una demostra-
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
45
ción definitiva del resultado . Para ello aprovecharon parte de las ideas de 
Kempe (ya dijimos que el trabajo de Kempe no fue del todo inútil) en 
combinación con técnicas de computación . Y nuevamente, no podía ser 
de otra manera, la herramienta central de la demostración son los grafos . 
Tanto aquí, como en el problema de los puentes de Königsberg, la clave 
está en deshacerse de la información superflua .
Estamos con mapas y colores, pero, ¿dónde, por el amor de Dios, apare-
cen ahora los grafos? No es demasiado difícil ya que en realidad es similar 
a lo que ya hicimos en el caso de los puentes . Veamos la idea .
Nuestro objetivo es convertir el mapa que queremos colorear en un grafo . 
Para ello consideraremos, en cada una de las regiones del mapa un punto 
destacado que bien podría ser la capital del condado el o país correspon-
diente .
Uniremos mediante una línea las capitales de aquellos condados o paí-
ses que tengan frontera común y que por lo tanto deberán pintarse con 
colores diferentes . Si eliminamos todo y nos quedamos únicamente con 
los puntos y líneas que hemos trazado, aparece de inmediato el grafo que 
andábamos buscando . Ahora en lugar de colorear la región completa de-
beremos colorear únicamente los puntos de manera que los puntos que 
estén unidos por una línea del grafo tengan color diferente .
Utilizando esta técnica podemos convertir cualquier mapa en un grafo, 
no importa lo complejo que el mapa sea .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
46
Una vez que tenemos un grafo podemos realizar un tratamiento matemá-
tico del problema aplicando los resultados y algoritmos de la teoría de gra-
fos . Al contrario de lo que sucede en el caso de los puentes de Königsberg 
y Euler o en el caso del algoritmo de Dijkstra, no es posible explicar de 
manera sencilla el modo en que Appel y Haken consiguieron demostrar 
el teorema de los cuatro colores . Ni tan siquiera es posible dar una lista 
simple de pasos que permita decidir cómo colorear un mapa . La realidad 
es que la demostración que ellos dos dieron es compleja y debe ser par-
cialmente comprobada mediante el uso de computadoras . En realidad lo 
que hicieron fue reducir todos los posibles mapas que podemos imaginar 
a una larga lista de alrededor de 1500 configuraciones posibles y luego 
idear un algoritmo informático que fuera capaz de comprobar una a una 
cada una de esas posibilidades . Fueron necesarias más de 1000 horas de 
computación hasta que finalmente el algoritmo determinó que todas ellas 
podían ser coloreadas con solamente cuatro colores . Es por esto mismo 
que la demostración no estuvo exenta de polémica ya que no se trata de 
un razonamiento al estilo matemático clásico con una lista clara y explí-
cita de pasos que pueden ser comprobados uno a uno . Por el contrario, la 
prueba en su conjunto no puede ser completamente escrita ya que la parte 
más larga de ella se desarrolla dentro de un computador . 
Nosotros por nuestra parte no iremos más lejos . Tan solo hemos viajado 
en el tiempo siguiendo las curiosas vicisitudes de un problema que surgió 
cuando un matemático que se dedicó a la botánica (y también a las leyes 
que Guthrie estudio en el University College de Londres) intentaba sim-
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
47
plemente colorear un mapa . Seguramente él nunca fue consciente del al-
cance de lo que era una simple curiosidad . Tras ejercer como abogado en 
Londres, Guthrie terminó siendo profesor de matemáticas en Sudáfrica . 
Cabe terminar señalando que, si bien como matemático jamás consiguió 
publicar ningún resultado de importancia, al menos como botánico mere-
ció que una variedad de brezo lleve su nombre: la erica guthriei .
Carecemos en esta sección de algoritmos o pasos a seguir pero aun así 
podemos ponernos a prueba ejercitando nuestra intuición en los siguien-
tes ejercicios mientras imaginamos ser el propio Guthrie en la Inglaterra 
del siglo XIX con un puñado lápices de colores en la mano, seguramente 
solamente cuatro . ¿Qué hubiera pasado si aquella mañana alguien hubie-
ra irrumpido en la habitación depositando sobre su mesa de trabajo una 
caja con 10 o 15 lápices más? Quizás todo este jaleo jamás hubiera tenido 
lugar .
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Ejercicios
 Ejercicio 1:
Colorear con solamente cuatro colores el siguiente mapa:
4.1.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
49
 Ejercicio 2:
Dibujar el mapa más sencillo posible (con el menor número posible de 
países) que no pueda ser pintado con solamente tres colores .
Soluciones
Ejercicio 1:
Son muchas las posibles respuestas y dejamos al lector que ensaye y 
encuentre las suyas propias .
Ejercicio 2:
La solución más sencilla es el siguiente mapa con tan solo cuatro países
Puede comprobarse que es imposible colorear el mapa con tres colores 
al tiempo que es evidente que cualquier mapa más sencillo (con menos 
países) tendría tres o menos regiones que obviamente se podrían pintar 
con tres colores .
4.2.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
50
Rompecabezas matemáticos
¿Qué hay más simple en matemáticas que un número? Puede ser que a 
ciertas alturas las matemáticas sean indescifrables pero cualquiera entien-
de y maneja sin temor el 5, el 4, el 7 e incluso el 10 . Así, sueltos, parecen 
inofensivos pero si los agrupados forman un enjambre amenazador que 
ya no se deja tratar tan fácilmente . Agrupar números de una manera u 
otra ha sido pasión humana que ha dejado rastro visible ya en los prime-
ros vestigios de la civilización .
En todas las culturas, desde América hasta China, desde Europa hasta 
Asia se han desarrollado sistemas de numeración y se han organizado 
los números formando estructuras más complejas . Encontramos así se-
ries de huesos con números tallados, de cuerdas plagadas de nudos que 
representan números, diagramas grabados en metal o también en piedra . 
Los sacerdotes los consagraban dándole carácter mágico,los ingenieros 
los portaban trazando con ellos las líneas de la nueva obra .
Hoy, esa fascinación continúa . Basta con abrir cualquier periódico por la 
sección de entretenimientos o comprar una revista de pasatiempos para 
encontrar decenas de cuadros con números, algunos para completar, algu-
nos para calcular, otros para descifrar .
Repasaremos ahora los más famosos cuadrados de números, hablaremos 
de su historia, de cómo han sido unas veces sagrados, otras pasatiempos 
de cortesanos y desentrañaremos algunos de sus misterios .
Cuadrados mágicos
El nombre en sí mismo es enigmático y su historia veremos que también . 
De todos los cuadrados matemáticos que estudiaremos en este capítulo, 
los cuadrados mágicos son, desde luego, a los que se les ha atribuido ma-
yor simbolismo religioso y esotérico . Entender qué es un cuadrado má-
gico no es problema, construirlos o resolverlos es otra cuestión . Vayamos 
con la primera tarea y expliquemos de qué se trata:
5
5.1.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
51
Cuadrado mágico
Un cuadrado mágico es un cuadrado de números dispuestos de tal modo que 
la suma de todas las filas, de todas las columnas y de las diagonales arroja 
siempre un mismo valor al que se denomina constante mágica del cuadrado.
Dice la leyenda que en China, hace ahora más de 4000 años, el río Lo se 
desbordaba constantemente arruinando las cosechas de los campesinos . 
Un día, el emperador Fu Hsi observó cómo del temible río apareció una 
tortuga en cuyo caparazón lucían unas extrañas marcas . Pronto advir-
tió que se trataban de números dispuestos en cuadro, de tal modo que 
no importaba en qué dirección se sumaran, siempre suponían el mismo 
resultado de 15 . La tortuga indicó de esa manera el número de ofrendas 
que su padre el río demandaba para calmar su ira . Ese particular cuadro 
de números fue denominado desde entonces “Lo Shu” (hija del río, ya que 
shu es río en chino) .
Podríamos poner la mano en el fuego defendiendo que ninguna tortuga 
se le apareció a ningún emperador pero, en fin, teniendo la historia más 
de 4000 años y procediendo de China, ¿quién sabe? Lo que sí es cierto es 
que ya en aquella época eran conocidos los cuadrados mágicos y además 
se les atribuía un simbolismo sagrado que estaba intrincado con leyendas 
y creencias profundas . En la imagen de arriba observamos, a la izquierda, 
una reproducción del Lo Shu procedente de una compilación de docu-
mentos chinos antiguos realizada alrededor del año 1460, véase que a 
falta de caracteres para los números se emplean conjuntos de puntos para 
representar cada cifra, a la derecha vemos una recreación de la mágica 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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tortuga y en el centro, carente ya de romanticismo alguno, el cuadrado 
mágico puro y duro . 
No son únicamente los chinos los que reivindican la ‘invención’ de los cua-
drados mágicos . Otras importantes culturas como la hindú, igualmente 
antes de nuestra era, idearon métodos para generar cuadrados mágicos 
(uno de ellos lo veremos más adelante) . Persas y árabes por su parte sir-
vieron de puente transmitiendo y acrecentando los conocimientos que 
recibieron de la India . Según ellos, poseían poderes mágicos y de sanación 
llegando a afirmar que algunos cuadrados eran capaces de curar enferme-
dades con su simple aplicación sobre la parte enferma o que un cuadrado 
mágico de plata colgado al cuello era una eficaz prevención contra la peste . 
Asimismo su presencia en talismanes era esencial y así los encontramos 
con profusión en este tipo de objetos . 
Los musulmanes fueron los primeros en estudiarlos de forma sistemáti-
ca desde un punto de vista más matemático existiendo una importante 
tradición en este sentido plasmada en diferentes tratados escritos entre 
los siglos IX al XIII que versan sobre técnicas para su construcción y 
resolución . Esta tradición se extendió incluso hasta Al-Ándalus donde 
encontramos los manuscritos del legendario astrónomo Azarquiel o Al-
Zarqali	(Toledo,	1029	–	Sevilla,	1087)	conservados	en	la	actualidad	en	
Viena y Londres en los que hace una recopilación de cuadrados y méto-
dos relacionados con ellos . El siguiente cuadrado mágico aparece en el 
manuscrito de Viena: 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
53
Aparte de ello, también les concedieron significado astrológico, talismá-
nico y religioso y diseñaron diferentes cuadrados mágicos que de una 
manera u otra estaban vinculados con Alá y la concepción islámica del 
universo . Así muchos de ellos partían de la cifra 1 que simbolizaba a Alá 
como origen o principio o en otros se haya presente la cifra 66 (número de 
Alá) tal y como vemos en el siguiente que aparece en diversos manuscritos 
antiguos y en el que la constante mágica es justamente 66 .
A través de los autores musulmanes los cuadrados mágicos y su estudio 
se introducen en occidente en donde, a partir del siglo XIV, podemos en-
contrar también tratados dedicados a ellos en los que, como continuación 
de las tradiciones anteriores, siguen rodeados de esoterismo y vinculados 
a la astrología y las técnicas adivinatorias . En realidad, parte de la termi-
nología que se utiliza para clasificarlos pone claramente de manifiesto este 
carácter . Así, a título de ejemplo, véanse algunas terminologías habituales:
Cuadrados mágicos de magia simple: Son aquellos que únicamente 
cumplen la regla básica de sumar igual filas, columnas y diagonales .
Cuadrados hipermágicos: Son aquellos que adicionalmente presen-
tan alguna propiedad especial como, por ejemplo, la posibilidad de ser 
descompuestos, a su vez, en otros cuadrados mágicos menores .
Cuadrados diabólicos: Son aquellos cuadrados ‘hipermágicos’ que con-
tinúan siendo mágicos cuando trasladamos una columna que se haya a la 
derecha hacia la izquierda o cuando pasamos una línea de abajo a arriba .
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Ciertamente, la terminología en sí misma 
es inquietante y si bien parece preten-
cioso llamar ‘diabólico’ a un cuadrado de 
números al menos sí que es cierto que en 
algunos casos las propiedades que satisfa-
cen bien pueden invitar a pensar (por su-
puesto, sin fundamento alguno) en algo 
que va más allá de la casualidad . Como 
muestra, véase este cuadrado mágico de 
tipo ‘diabólico’ en el que no solamente la 
suma de las filas, columnas y diagonales conduce a la constante mágica 
que en este caso asciende a 34, sino que además muchas otras configu-
raciones dentro del cuadrado arrojan también este mismo resultado en 
tal variedad de casos que resulta, al menos, llamativo . En los siguientes 
gráficos mostramos otras combinaciones dentro del cuadrado mágico que 
también ofrecen la misma suma, como por ejemplo, las cuatro esquinas, 
los cuatro números centrales, etc . Hemos señalado, en cada caso, en re-
cuadro del mismo color las combinaciones que mantienen la suma de 34:
Y, por si esto fuera poco, además es, como decimos, ‘diabólico’: si pasamos 
la última columna al principio o ponemos la de abajo arriba tal y como 
se muestra en los gráficos, obtenemos nuevamente un cuadrado mágico:
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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Realmente inquietante .
Desde que hicieron su entrada en escena, han sido varios los matemáticos 
y científi cos de prestigio que se han sentido atraídos por los cuadrados 
mágicos y por el estudio de sus propiedades . Entre ellos podemos contar 
a Fermat, Pascal, Leibnitz o al mismísimo Euler . Cabe destacar que, en 
general, todos ellos, de una manera u otra, coincidieron en subrayar el ca-
rácter absolutamente inútil y puramente lúdico de los cuadrados mágicos 
ya que no se conocía, y aún en nuestros días no se ha encontrado, aplica-
ción alguna en la que puedan tener algún tipo de utilidad . Desprovistos 
de su vertiente mágica quedan, pues, en puro divertimento . No nos extra-
ñemos, ¿quién no dedica alguna hora a la semana a resolver crucigramas u 
otro tipo de pasatiempos cuya única virtud conocidaes la de hacer honor 
a su nombre?
Como curiosidad adicional a ser 
añadida a estas notas históricas, 
diremos que los cuadrados mági-
cos aparecen de forma más o me-
nos evidente en diversas obras de 
arte . Como ejemplo mostramos 
el cuadrado mágico que se pue-
de observar en la fachada de la 
Sagrada Familia de Barcelona . 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
56
Como se ve en la ampliación, la constante 
mágica del cuadro es 33, la edad con la que 
murió Cristo . Si bien Gaudí gustaba de in-
cluir elementos matemáticos en sus obras, 
en el caso de la Sagrada Familia no dejó, a 
su muerte, instrucciones muy claras sobre 
como recubrir la fachada del templo . Este 
cuadrado es obra del escultor Josep María 
Subirachs que en 1987 recibió el encargo 
de proseguir con el montaje escultórico de 
la llamada Fachada de la Pasión . Al igual que el cuadrado diabólico que 
antes hemos mostrado, este otro también presenta, aparte de fi las, colum-
nas y diagonales, un sinfín de combinaciones más que también suman la 
constante mágica .
Construcción de cuadrados mágicos
Pero, ya está bien de que se distraigan otros y hagámoslo nosotros ahora . 
Veremos de inmediato cómo construir cuadrados mágicos . 
Desde el punto de vista matemático, los cuadrados mágicos se clasifi can 
de forma básica por su tamaño . Así un cuadrado con tres fi las y tres co-
lumnas se denomina cuadrado de orden o tamaño tres y uno con cinco 
fi las y cinco columnas de orden o tamaño cinco . Es interesante señalar 
que en general la construcción de los cuadrados de tamaño impar (3, 5, 7, 
etc .) es mucho más sencilla que la de los de orden par (4, 6, …) . Nosotros 
veremos un método razonablemente sencillo para la construcción de cua-
drados impares . Según parece, este método era ya conocido en la antigua 
India y hablamos, por tanto, de una técnica milenaria . Sin embargo, el 
método es conocido también como método siamés debido a que fue Si-
món de la Loubere, quien fuera embajador de Francia en Siam durante el 
reinado de Luis XIV, el que publicara por primera vez la técnica allá por 
el año 1691 .
Como se ve en la ampliación, la constante 
mágica del cuadro es 33, la edad con la que 
murió Cristo . Si bien Gaudí gustaba de in-
cluir elementos matemáticos en sus obras, 
en el caso de la Sagrada Familia no dejó, a 
su muerte, instrucciones muy claras sobre 
como recubrir la fachada del templo . Este 
cuadrado es obra del escultor Josep María 
Subirachs que en 1987 recibió el encargo 
de proseguir con el montaje escultórico de 
5.2.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
57
La idea es sencilla . Para construir el 
cuadrado mágico simplemente situa-
mos un número, a nuestro gusto, en 
la casilla central de la fila superior (de 
aquí que el cuadrado tenga que ser de 
tamaño impar ya que en caso contra-
rio no tendremos casilla central) y sim-
plemente hemos de ir rellenando las 
casillas vacías con números consecuti-
vos ascendiendo en diagonal (hacia la 
izquierda o la derecha, es lo de menos, 
pero una vez que empecemos siempre 
lo haremos igual) . 
Podemos toparnos con dos problemas al completar el cuadrado:
•	Una	casilla	ya	rellena	obstaculiza	nuestro	camino: Simplemente 
descendemos a la casilla de abajo y seguimos con nuestra historia 
como si nada .
•	Nos	salimos	del	cuadrado	mágico: Puesto que el cuadrado tiene 
unas dimensiones finitas, avanzando en diagonal llegará un mo-
mento que, ya sea por el borde superior o ya sea por el derecho, 
nos salgamos del cuadro . 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
58
La técnica es también simple: si nos salimos por el borde superior, ima-
ginaremos que hemos pegado el borde superior con el inferior formando 
un rollo o cilindro con el cuadrado . Visto así, cuando salimos por el borde 
superior, sencillamente entraremos, siguiendo en diagonal, por el inferior . 
Si nos salimos por el borde derecho, la idea es la misma pero formaremos 
el cilindro uniendo los bordes izquierdo y derecho . 
Por supuesto, no tenemos que andar doblando nuestro cuadrado para 
formar figuritas . Pero esta idea nos indica cómo continuar cuando cru-
zamos los límites del cuadrado al avanzar en diagonal . En nuestra mente 
imaginaremos el cilindro correspondiente para decidir cómo continuar . 
Puede parecer difícil pero es suficiente intentarlo uno mismo para darse 
cuenta de que todo encaja sin demasiados inconvenientes . Veamos cómo 
se ponen en práctica estos pasos en un ejemplo concreto . Vamos a inten-
tar, aún más, vamos a conseguir, un cuadrado mágico de tamaño 9 . Co-
menzaremos siguiendo las instrucciones que acabamos de dar . El punto 
de arranque será entonces la casilla central de la primera fila que hemos 
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
59
marcado en color rojo . En esta casilla debemos situar un número, el que 
deseemos . Nosotros pondremos un 1 . A partir de aquí se trata de avanzar 
en diagonal teniendo en cuenta las reglas para resolver los posibles tropie-
zos . El trazado que debemos seguir será, de este modo, el siguiente:
Tal y como hemos dicho, observamos que cada vez que tropezamos con 
una casilla completada con anterioridad descendemos a la casilla inme-
diatamente debajo de la que estemos . 
Hemos aplicado también la regla para determinar cómo continuar cuan-
do salimos del cuadrado por arriba o por la derecha . Para ver esto último 
con mayor claridad incluimos los últimos dos gráficos en los que dobla-
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
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mos el cuadrado para unir los bordes superior e inferior, por un lado, y el 
derecho e izquierdo, por otro . Plegados de esta forma puede verse cómo, 
en realidad, cuando pasamos del borde superior al inferior o del dere-
cho al izquierdo, lo que hacemos es simplemente continuar avanzando 
en diagonal . Obtenemos así un cuadrado cuya constante mágica es 369 
lo cual puede comprobarse sumando cualquiera de las filas, columnas o 
diagonales .
Por supuesto, hay muchas otras técnicas para construir cuadrados mági-
cos . Esta que hemos visto es solamente válida para cuadrados de tamaño 
impar pero nosotros nos contentaremos con ella ya que, al menos, nos 
brinda la oportunidad de entretenernos creando nuestros propios cua-
drados .
Más por el mismo precio
Para construir un cuadrado mágico podemos aplicar métodos diversos . 
Acabamos de presentar uno de ellos . La cuestión es que una vez que con-
seguimos nuestro cuadrado, sin realizar más cálculos, sin necesidad de 
seguir extrañas diagonales, es posible obtener a partir de él otros muchos . 
Esto es debido a que hay varias transformaciones que podemos aplicar 
sobre un cuadrado mágico que directamente nos proporcionan otro cua-
drado de números que sigue siendo mágico . 
Ilustremos esto con un ejemplo . Tomemos nuestro cuadrado mágico 
diabólico, el que introdujimos unas páginas atrás . No hay necesidad de 
pensar demasiado para darse cuenta de que si giramos el cuadrado, cier-
tamente obtenemos otro distinto:
5.3.
La magia de los números Antonio Jesús López Moreno
61
Sin embargo, también es evidente que en el nuevo cuadrado encontrare-
mos exactamente los mismos números y, lo que es más, la configuración 
de filas y columnas es la misma (solo que lo que antes eran columnas aho-
ra serán filas) . En consecuencia, si al principio filas y columnas sumaban 
todas exactamente 34 (la constante mágica de este cuadrado), después de 
la transformación seguirán sumando también 34 . Es decir, el nuevo cua-
drado es también un cuadrado mágico .
Vemos, pues, que no es preciso realizar ninguna cuenta adicional . Basta 
con girar y obtenemos un nuevo cuadrado mágico . Esto que hemos he-
cho aquí es válido para este pero también para cualquier otro cuadrado 
mágico . 
Podemos girar una o más veces, en un sentido o en otro y siempre obten-
dremos un cuadrado mágico . No solamente podemos girar respecto al 
centro del cuadrado como hemos hecho antes . Podemos también efectuar 
el giro respecto a un