Unidad 2-Transformaciones

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Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
1 
 
MATEMÁTICA D y D 1 
Módulo I: Análisis de Variable Compleja 
 
 
Unidad 2 
 
 
Transformaciones 
 
 
Mag. María Inés Baragatti 
 
♦ Transformaciones 
 
Una gran diferencia entre las funciones reales y las complejas reside en su representación 
gráfica. En los primeros cursos de análisis matemático se suele dedicar mucho tiempo en estudiar 
las gráficas de las funciones reales y = f(x) y z = f(x,y) , que representan curvas de R2 y 
superficies de R3 respectivamente. Esto es imposible para las funciones complejas de variable 
compleja, puesto que el gráfico habría que situarlo en un espacio de cuatro dimensiones reales. 
 
Sin embargo es posible, interesante y útil dar una representación geométrica de las funciones 
complejas de variable compleja como aplicaciones de un plano (plano z con variables x,y) en otro 
plano (plano w con variables u, v) 
En general las funciones w = f(z) transforman un recinto A del plano complejo z en un recinto B 
del plano complejo w , por ello se dice que representan una transformación geométrica de un 
subconjunto de C en otro subconjunto de C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes de hacer un estudio detallado de las transformaciones más importantes, definiremos la 
composición de transformaciones y el concepto de punto fijo de una transformación. 
 
 
 
 
 
w=f(z) 
x 
y 
Plano z 
A 
u 
v 
Plano w 
B=f(A) 
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2 
♦ Composición de transformaciones 
 
Si w = f(z) transforma un recinto A1 en otro B1 , y w = g(z) transforma B1 en otro recinto C1 
entonces la función w = g(f(z)) , a la que se denomina (como en la variable real) composición de 
las transformaciones f y g , transforma el recinto A1 en el recinto C1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Dadas las funciones f(z) = 3z + i , g(z) = z2 , podemos componerlas de las dos maneras que 
se indican a continuación: 
 
 g(f(z)) = g(3z + i) = (3z + i)2 = 9z2 +6iz –1 , f(g(z)) = f(z2) = 3z2 + i 
 
como los resultados son distintos, podemos asegurar que la composición, en general, no es 
conmutativa. 
 
2- Dadas las funciones f(z) = ez - 1, de dominio C, y g(z) = Ln z, de dominio C – {0}, 
su composición es : 
 
g(f(z)) = g(ez - 1) =Ln (ez - 1) , cuyo dominio es C – {2kππππi , k = 0, ±±±±1, ±±±±2 …} pues e2kππππi –1 = 0 
y Ln 0 no existe 
 
f(g(z)) =f(Ln z) = eLn z - 1 = z - 1 , cuyo dominio es C – {0} pues Ln 0 no existe y eLn z = z 
 
 
♦ Puntos fijos de una transformación 
 
Si la imagen de un complejo z0 por una función w = f(z) verifica que f(z0) = z0 , se dice que z0 es 
un punto fijo de la transformación f. 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Para hallar los puntos fijos de la transformación f1(z) = (1 - 2i) z – 4 , se plantea f1(z0) = z0, 
obteniendo en este caso la ecuación (1 - 2i) z0 - 4 = z0 , cuya solución es z0 = - 2/ i = 2i . 
El cálculo f1(2i) = (1 - 2i) 2i – 4 = 2i + 4 – 4 = 2i nos verifica que z0 = 2i es punto fijo de f1 . 
x 
y 
Plano z 
u* 
v* 
Plano w* 
w* =f(z) 
A1 
B1 
u 
v 
Plano w 
w =g(w*) C1 
w =g(f(z)) 
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2- Para hallar los puntos fijos de la transformación f2(z) = 1/ z, se plantea f2(z0) = z0 , obteniendo 
en este caso la ecuación 1/ z0 = z0 , cuyas soluciones son z0 = ±±±±1 ; por lo tanto f2 tiene dos 
puntos fijos, el 1 y el –1. 
 
3- Es interesante observar que la función identidad f(z) = id(z) = z tiene todos los complejos 
como puntos fijos. 
 
 
1- Transformación lineal: w = Az + B 
 
Para analizar la transformación w =Az + B , donde A y B son números complejos no nulos, es 
conveniente considerar primero las funciones f(z) = A z y g(z) = z + B pues su composición 
resulta g(f(z)) =g(Az) = Az + B = w. Por ello analizamos a continuación estas dos 
transformaciones por separado. 
 
a) Transformación w = A z , A≠≠≠≠0 
 
Dada la función w = f(z) = A z, resulta evidente que f(0) = 0, por ello 0 es un punto fijo. 
 
Si z ≠≠≠≠ 0 y A es un complejo de módulo a y argumento αααα , es decir A = a eiαααα , entonces el 
módulo y el argumento de su imagen w verifican: 
 
 | w | = | A z | = | A | | z | = a | z | ⇒⇒⇒⇒ | w | = a | z | 
 
arg(w) = arg(A z) = arg(A) + arg(z) = αααα + arg(z) ⇒⇒⇒⇒ arg(w) = αααα + arg(z) 
 
 
Por lo tanto la transformación w = A z consiste en una rotación con centro en el origen dada por 
el ángulo αααα = arg(A) y su módulo depende del módulo de A: 
 
si | A | = a = 1, el complejo w tiene igual módulo que z y decimos que conserva las distancias. 
ai a > 1, el complejo w tiene módulo mayor que z y decimos que hay una dilatación, 
si a < 1, el complejo w tiene módulo menor que z y decimos que hay una reducción, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Ejemplos: 
 
w = Az 
u 
v 
Plano w 
B 
θθθθ + αααα 
w = ar ei (θθθθ + αααα) 
 
 
x 
y 
Plano z 
z=r eiθθθθ 
θθθθ 
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1- La imagen de un complejo z de módulo 3 y argumento ππππ/6 por la transformación w = (1- i) z, 
donde A = 1- i tiene argumento - ππππ/4 y módulo 2 , es un complejo w cuyo módulo es 3 2 
y cuyo argumento es ππππ/6 + (-ππππ/4) = - ππππ/12 
2- La imagen de la franja infinita definida por {(x,y) / x < y < x + 1} por la transformación 
w = 2iz , donde A = 2i tiene argumento ππππ/2 y módulo 2 , es también una franja infinita que 
se obtiene rotando, cada complejo de dicha franja, ππππ/2 radianes con respecto al origen y 
multiplicando su módulo por 2. Es interesante observar que la distancia entre las dos rectas 
que limitan la franja dada es 2 , por lo tanto la distancia entre las dos rectas de la franja 
imagen es 2 2 = 2,82.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si se desea hallar las ecuaciones de las rectas que limitan la franja imagen puede trabajarse la 
transformación en forma binómica como se muestra a continuación: 
 
w = 2iz ⇒⇒⇒⇒ 
2
wi
i2
w
z −−−−======== ⇒⇒⇒⇒ 
2
u
i
2
v
2
i)ivu(
iyx −−−−====++++−−−−====++++ ⇒⇒⇒⇒ 



−−−−====
====
2/u y
2/vx
 
 
Por lo tanto la imagen de la recta y = x es 
2
v
2
u ====−−−− o su equivalente v = -u 
 
y la imagen de la recta y = x + 1 es 1
2
v
2
u ++++====−−−− o su equivalente v = - u - 2 
 
 
b) Traslación: w = z + B 
 
Dado que la función w = z + B es una suma de complejos, no conviene analizarla buscando su 
argumento y su módulo, como en el caso anterior, sino buscando su parte real e imaginaria: 
 
Re(w) = Re(z) + Re(B) 
 
Im(w) = Im(z) + Im(B) 
 
Si B = b1 +i b2 , el complejo w verifica: 
 
Re(w) = Re(z) + b1 
 
w = 2iz 
x 
y 
Plano z 
 ππππ/4 
u 
v 
Plano w 
 
 3ππππ/4 
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Im(w) = Im(z) + b2 
 
Por lo tanto la transformación w = z + B consiste en una traslación de b1 unidades en dirección al 
eje real y b2 unidades en dirección al eje imaginario, o una traslación igual a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- La imagen del complejo z = 3 – 4i por la transformación w = z – 5 + 2i , es el complejo 
w = (3 – 5) + i (-4 + 2) = -2 – 2 i 
2- Para encontrar la imagen del ángulo y ≤≤≤≤ ½ x - 1 , x ≥≥≥≥ 1 por la transformación w = z– 2 + i 
debemos trasladar cada complejo 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si queremos hallar su imagen analíticamente procedemos de la siguiente manera: 
 
Despejamos z de la expresión w = z – 2 + i , obteniendo z = w + 2 – i . 
Si consideramos z = x + i y y w = u + i v entonces reemplazando en la última expresión 
obtenemos: 
 x + i y = u + i v + 2 - i = (u + 2) + i ( v - 1) , de donde 



−−−−====
++++====
1vy
2ux
 
 
Por lo tanto: 
 Si y ≤≤≤≤ ½ x - 1 ⇒⇒⇒⇒ v – 1 ≤≤≤≤ ½ (u + 2) - 1 ⇒⇒⇒⇒ v ≤≤≤≤ ½ u + 1 
 Si x ≥≥≥≥ 1 ⇒⇒⇒⇒ u + 2 ≥≥≥≥ 1 ⇒⇒⇒⇒ u ≥≥≥≥ -1 
 
w = z + B 
x 
y 
Plano z 
z 
B 
u 
v 
Plano w 
B 
w = z + B 
 z 
B 
y 
x 
(1,- ½ ) 
u 
v 
(-1, ½ ) 
w = z - 2 + i 
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Es importante observar que la imagen obtenida analíticamente coincide con la obtenida 
gráficamente al comienzo del ejercicio. 
 
 
c) Rototraslación: w = Az + B 
 
Si consideramos las funciones: 
z* = f1(z) = Az, que representa una rotación, y 
 
w = f2(z*)= z* + B , que representa una traslación, 
 
y hallamos la composición entre ambas obtenemos: 
 
w = f2(f1(z))= f2(Az)= Az + B 
 
 
♦ La transformación w = Az + B se denomina también transformación lineal y podemos 
afirmar, en base al análisis anterior, representa una rototraslación pues consiste en una 
rotación dada por arg(A) y una dilatación o contracción dada por | A | seguida de una 
traslación igual a B. 
 
En particular: La imagen de una recta del plano z por una transformación lineal es una recta del 
plano w, la imagen de una circunferencia del plano z por una transformación lineal es una 
circunferencia del plano w, etc. 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Si queremos hallar la imagen del círculo R: | z – i | ≤≤≤≤ 2 por la transformación 
w = (2 – i) z - 3i , sabemos que su imagen será un nuevo círculo que se obtiene rotando 
(respecto del origen) cada punto de R un ángulo Arg( 2 – i) = arctg (-1/2) , magnificando la 
distancias | 2 – i | = 5 y por último trasladando cada punto 3 unidades hacia abajo. 
 
Si interesa saber exactamente cuál es la imagen de R, se despeja z de la transformación dada, 
que en este caso resulta ser 
i2
i3w
z
−−−−
++++==== , y reemplazando este valor en la definición del 
conjunto R, se obtiene: 
 2i
i2
i3w ≤≤≤≤−−−−
−−−−
++++
 ⇒ 2
i2
)i2(ii3w ≤≤≤≤
−−−−
−−−−−−−−++++
 ⇒ 2
i2
1iw
≤≤≤≤
−−−−
−−−−++++
 ⇒ | w –1 + i | ≤≤≤≤ 2 5 
 
por lo tanto la imagen del círculo R es un círculo centrado en (1,-1) de radio 2 5 . 
 
2- Hallar una función lineal que transforme el triángulo rectángulo limitado por las rectas 
y = - 2x -1, y = ½ x -1, y = - x + 2 en otro triángulo idéntico pero con el cateto menor 
apoyado en el eje horizontal positivo y el cateto mayor contenido en el eje vertical positivo. 
 
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Teniendo en cuenta el gráfico anterior , comenzamos trasladando el triángulo de modo que el 
ángulo recto tenga su vértice en el origen, es decir subimos el triángulo una unidad, para ello 
aplicamos w* = f1(z) = z + i . En el plano w* las pendientes de las rectas que limitan el nuevo 
triángulo son iguales a las de las rectas dadas: - 2, ½ , -1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si αααα es el ángulo de inclinación de la recta que tiene pendiente ½ , sabemos que tg αααα = ½ . 
Si efectuamos una rotación en sentido de las agujas del reloj de amplitud αααα , es decir si 
consideramos un complejo de argumento -αααα , la transformación w = e-i αααα w* rotará todo el 
triángulo y lo llevará a la posición que nos interesa. 
 
Si tg αααα = ½ , ¿cuál es el complejo e-i αααα = cos αααα - i sen αααα? Se deja como ejercicio verificar que 
5
i2
e i
−−−−====αααα−−−− . 
Por lo tanto la rotación que debe realizarse está dada por la función w = f2(w*) = 




 −−−−
5
i2
w* 
Haciendo la composición entre f1 y f2 podemos asegurar que la transformación pedida es 
w = f2(f1(z)) = f2(z + i) = 
5
2
i
5
1
z 
5
i2
)iz(
5
i2 ++++++++




 −−−−====++++




 −−−−
 , que como se observa es una 
rototraslación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
v 
w = f(z) = ? 
x 
y 
w* = f1(z) = z +i 
x 
y 
Plano z Plano w* 
u* 
v* 
αααα 
u 
v 
w* = f1(z) = z +i 
x 
y 
w = f2(z) = (2 -i) w*/ 5 
Plano z Plano w* Plano w 
u* 
v* 
αααα 
5
2
i
5
1
z 
5
i2
w ++++++++




 −−−−==== 
 
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•••• Ejercicios 
 
1- Dada la transformación w = (1 – i) z + 2i , hallar y graficar la imagen de: 
 
a) la recta de ecuación y = ½ x + 2 b) el semiplano x ≤≤≤≤ 1 
c) la circunferencia | z - i |= 2 d) el triángulo de vértices i , -1 + i , -1 
 
2- Hallar una transformación lineal que: 
 
a) envíe el punto z1 = -i en w1 = 1 y z2 = 1 + 2i en w2 = -2i 
b) envíe el punto z0 = 3 e
iππππ/3 en w0 = 2 e
-iππππ/6 y tenga a z1 = -i como punto fijo 
c) envíe la circunferencia | z – 2i| = 3 en la circunferencia | w + 1 | = 5 
 
3- Dada f(z) = Az + B , demostrar que: 
a) Si z0 es punto fijo de f(z) entonces f(z) puede escribirse como f(z) = A (z - z0) + z0 , por lo 
tanto f(z) representa una rotación alrededor del punto fijo z0 
b) |f(z1) – f(z2)| = | A | | z1 – z2| , por lo tanto si d es la distancia entre dos puntos del plano z, la 
distancia entre sus imágenes resulta ser el producto | A | . d 
 
 
2. Inversión: 
z
1
w ==== 
 
La transformación w = 1/z se denomina inversión y establece una correspondencia punto a 
punto entre puntos del plano z y puntos del plano w, excepto para z = 0, que no tiene imagen y 
w = 0, que no es imagen de ningún complejo del plano z. 
 
Si z ≠≠≠≠0 , podemos calcular su módulo y su argumento: 
 
| w | = 1 / | z | 
 
arg(w) = arg(1/z) = arg(1) - arg(z) = - arg(z) 
 
Esto nos permite decir que, si z tiene módulo 3 y argumento ππππ/4 , su imagen tiene módulo 1/3 y 
argumento - ππππ/4 
 
 
� Ejemplos: 
 
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1- Hallar y graficar la imagen del círculo abierto | z – 2 | < 2 por w = 1/z 
 
Si w = 1/z entonces z = 1/w y para hallar la imagen de | z – 2 | < 2 reemplazamos z en función 
de w del siguiente modo: 22
w
1 <<<<−−−− ⇒ 2
w
w21 <<<<−−−− ⇒ 2
w
w21
<<<<
−−−−
 ⇒ w2w21 <<<<−−−− ⇒ 
|1 – 2u – i 2v|2 < 4 |u + iv|2 ⇒ (1 – 2u)2 + 4 v2 < 4 (u2 + v2) ⇒ 1 – 4u < 0 ⇒ u > ¼ 
Por lo tanto la imagen del círculo abierto es un semiplano como se muestra en el siguiente 
dibujo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Hallar e identificar la imagen de la recta 2 x - y = 1 por w = i/z 
 
En este ejercicio, en el que el dato es una ecuación en variables x e y , es conveniente trabajar los 
complejos en la forma binómica como se muestra a continuación: 
 
 
 
vu
u
y , 
vu
v
x 
vu
iuv
vu
iv)-i(u
z 
w
i
z
z
i
w
22222222 ++++
====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
++++====
++++
====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
entonces la imagen de la recta 2 x - y = 1 es 1 
vu
u
 
vu
v2
2222
====
++++
−−−−
++++
 . 
 
 
Si se considera la ecuación equivalente 2v – u = u2+ v2 y se completan cuadrados, se obtiene 
(u + ½ )2 + (v – 1)2 = 5/4 que representa una circunferencia con centro en el punto (- ½ , 1) y 
radio 25 
 
∆∆∆∆ Actividad 1: 
 
a) Justificar que la transformación w = i/z puede pensarse como la composición de una inversión 
w* = f1(z) = 1/z y una rotación f2 (w*) = i w* . 
b) Se deja como ejercicio verificar, utilizando la composición mencionada en a), que la imagen 
de la recta 2x - y = 1 es la circunferencia indicada en el ejemplo anterior. ¿Cuál de los dos 
métodos es más sencillo? 
 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema 
w = 1/z 
x 
y v 
u 1/4 
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10 
 
a) La imagen de una circunferencia por la transformación w = 1/z es una circunferencia o una 
recta. 
b) La imagen de una recta por la transformación w = 1/z es una circunferencia o una recta. 
 
Demostración: 
 
Queremos hallar la imagen por w = 1/z de una circunferencia cualquiera del plano z , para ello 
consideremos la ecuación 
 
Ax2 + A y2 + B x + C y + D = 0 (1) 
 
que representa una circunferencia si A ≠≠≠≠ 0 y representa una recta si A = 0 
 
Para hallar su imagen debemos tratar de expresar x e y en función de u y v y por lo tanto es 
conveniente considerar la transformación inversa z = 1/w y operar como se muestra a 
continuación: 
 
 
 
vu
v
y , 
vu
u
x 
vu
iv-u
iv)-iv)(u-(u
iv)-(u
ivu
1
iyx 
w
1
z
z
1
w
222222 ++++
−−−−====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
========
++++
====++++⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====
 
 
 Reemplazando los valores de x e y en la ecuación (1) obtenemos: 
 
0D
vu
v
C
vu
u
 B
vu
v
A 
vu
u
A
2222
2
22
2
22
====++++
++++
−−−−
++++
++++





++++
−−−−++++





++++
 
 
esta ya es la imagen que buscamos pero observando con cuidado vemos que en algunos términos 
aparecen las variables u y v elevadas a la potencia cuarta y por lo tanto es difícil reconocer qué 
curva es. 
 
Si sacamos A factor común entre los dos primeros términos la expresión anterior toma la forma: 
 
(((( )))) 0Dvu
v
C
vu
u
 B
vu
vu
A
2222222
22
====++++
++++
−−−−
++++
++++
++++
++++
 
 
entonces podemos simplificar en el primer término y perder de ese modo las potencias cuartas 
quedando 
0D
vu
v
C
vu
u
 B
vu
1
A
222222
====++++
++++
−−−−
++++
++++
++++
 
 
multiplicado toda la expresión por u2 + v2 ,obtenemos la imagen que buscábamos: 
 
A + B u - C v + D u2 + D v2 = 0 (2) 
 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
11 
Para completar la demostración requerida te proponemos la siguiente actividad : 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 2: 
 
Completar el siguiente cuadro teniendo en cuenta que (2) es la imagen de (1) por w = 1/z y 
concluir que las afirmaciones a ) y b) del teorema son correctas. 
si La ecuación (1) representa: La ecuación (2) representa: 
A ≠≠≠≠ 0 
D ≠≠≠≠ 0 
una circunferencia que no pasa por el origen una circunferencia que no pasa por el origen 
A ≠≠≠≠ 0 
D = 0 
 
A = 0 
D ≠≠≠≠ 0 
 
A = 0 
D = 0 
una recta que pasa por el origen 
 
 
•••• Ejercicios 
 
4- Dada la transformación w = 1/z , hallar y graficar la imagen de: 
 
a) el segundo cuadrante b) la circunferencia | z + 1 |= 2 
c) el cuadrado limitado por las rectas | y | + | x | =1 d) el conjunto {(x,y) / – x ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 2x } 
 
5- Demostrar que la imagen del semiplano y > k , con k > 0, por w = 1/z es el interior de una 
circunferencia .¿ Cuál es la imagen si k es cero o negativo?. 
 
6- Justificar que w = 1/(z – z0) transforma a las rectas y a las circunferencias del plano z que 
pasan por z0 en rectas del plano w. 
 
7- Hallar la imagen del conjunto {z / | z – i | < 1 , |z + 1| > 1} por w = i / z 
 
 
3. Transformación lineal fraccionaria: 
dcz
baz
w
++++
++++==== 
 
♦ Si a, b, c y d son números complejos que verifican a.d – b.c ≠≠≠≠ 0 , se denomina 
transformación lineal fraccionaria (TLF) a 
dcz
baz
)z(fw
++++
++++======== . 
 
Luego de esta definición surgen algunas preguntas , que presentamos en la siguiente actividad. 
 
∆∆∆∆ Actividad 3: 
 
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Módulo I- Unidad 2 
12 
Dada 
dcz
baz
)z(fw
++++
++++======== , justificar los siguientes ítems y responder teniendo en cuenta las 
indicaciones que se dan en cada caso: 
 
1- Si c = 0 comprobar que la transformación representa una rototraslación. 
 Como ya se ha discutido el comportamiento de esta última, vamos a suponer que c ≠≠≠≠ 0 
 
2- ¿Porqué se exige en la definición de esta transformación que a.d – b.c ≠≠≠≠ 0 ? 
 
Para responder es conveniente hacer la división entre el numerador y el denominador, ya que por ser 
polinomios del mismo grado la división es posible 
 
a z + b cz + d 
--- 
 a z + ad/c a/c 
 b - ad/c 
 Comprobar que si ad – bc = 0 , entonces el resto de la división 
vale cero y f(z) = a/c (constante) , por lo tanto cualquier conjunto 
del plano z se transforma en el complejo a/c y carece de interés. 
 
3- Si a.d – b.c ≠≠≠≠ 0 y llamamos M al resto de la división anterior y llamamos N al cociente a/c, 
justificar que la transformación lineal fraccionaria puede escribirse como: 
dcz
M
N
dcz
baz
)z(f
++++
++++====
++++
++++==== 
 
4- Teniendo en cuenta que 
dcz
M
N)z(f
++++
++++==== , donde M y N son constantes complejas, y 
considerando las funciones f1(z) = cz + d , f2(z) = 1/z , f3(z) = N + Mz que representan, 
respectivamente, una transformación lineal, una inversión y otra transformación lineal, justificar 
que la transformación lineal fraccionaria es una composición de estas transformaciones, es decir 
calcular f3( f2( f1(z))) y comprobar que su resultado es igual a f(z). 
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Dada 
iz
z
w
−−−−
==== , hallar la imagen de a) la circunferencia |z| = 1 , b) el semiplano y ≥≥≥≥ 2x 
 
a) Como 
iz
z
w
−−−−
==== ⇒⇒⇒⇒ w (z – i) = z ⇒⇒⇒⇒ wz - z = iw ⇒⇒⇒⇒ z (w - 1) = iw ⇒⇒⇒⇒ 
1w
iw
z
−−−−
==== 
 
La imagen de |z | = 1 es 1
1w
iw ====
−−−−
 ⇒⇒⇒⇒ | i | | w | = |w - 1| ⇒⇒⇒⇒ 1. |u + i v| = |(u – 1) + i v| ⇒⇒⇒⇒ 
u2 + v2 = (u – 1)2 + v2 ⇒⇒⇒⇒ u2 + v2 = u2 –2u + 1 + v2 ⇒⇒⇒⇒ u = ½ 
 
Por lo tanto la imagen de la circunferencia | z | = 1 es la recta de ecuación u = ½ 
 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
13 
b) Para hallar la imagen del semiplano y ≥≥≥≥ 2x , tenemos que expresar x e y como funciones 
de u y v , por ello consideramos 
1w
iw
z
−−−−
==== ⇒⇒⇒⇒ x + iy = 
1ivu
)ivu(i
−−−−++++
++++
 multiplicando por el 
conjugado del denominador e igualando las partes reales e imaginarias se obtiene: 
22 v)1u(
v
x
++++−−−−
==== , 
22
22
v)1u(
uvu
y
++++−−−−
−−−−++++==== , 
por lo tanto la imagen del semiplano y ≥≥≥≥ 2x es ≥≥≥≥
++++−−−−
−−−−++++
22
22
v)1u(
uvu
22 v)1u(
v2
++++−−−−
 
o su equivalente u2 + v2 – u – 2v ≥≥≥≥ 0 y completando cuadrados se obtiene 
(u – ½ )2 + (v – 1)2 ≥≥≥≥ 5/4 que representa el exterior del círculo de centro ( ½ ,1) y radio 2/5 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 4: 
 
Dada 
dcz
baz
)z(f
++++
++++==== , con a.d – b.c ≠≠≠≠ 0 
1- Hallar los puntos fijos de f(z) y decir cuántos puntos fijos puede tener. 
 
2- Si nos dicen que la TLF f(z) tiene tres puntos fijos, es decir existen tres puntostal que 
f(z1) =z1 , f(z2) =z2 y f(z3) =z3 , justificar que a = d , b = c = 0 y por lo tanto f(z) = z 
 
3- Justificar que la composición de dos TLF es una TLF. Considerar 
11
11
1 dzc
bza
)z(f
++++
++++==== y 
22
22
2 dzc
bza
)z(f
++++
++++==== , componerlas y observar su formato. 
 
4- Justificar que " toda TLF transforma las rectas en rectas o circunferencias y transforma las 
circunferencias en rectas o circunferencias". (Tener en cuenta que ya se ha visto en la 
actividad 3, punto 4, que una TLF es composición de transformaciones ya estudiadas). 
 
5- Si 
c
d
z −−−−≠≠≠≠ , justificar que la transformación 
dcz
baz
w
++++
++++==== admite como inversa a 
acw
bdw
z
−−−−
++++−−−−==== , 
para 
c
a
w ≠≠≠≠ . (para hallar la inversa, simplemente hay que despejar z en función de w) . Por 
ello podemos afirmar que la transformación lineal fraccionaria con dominio }c/d{C −−−−−−−− y 
codominio }c/a{C −−−− es biunívoca. 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
14 
♦ Incorporación del infinito 
 
 
Si se quieren incorporar los complejos – d/c y a/c al dominio y codominio respectivamente de la 
transformación 
dcz
baz
w
++++
++++==== podemos incorporar un nuevo elemento al que denominamos 
infinito, y lo simbolizamos ∞∞∞∞, definiendo la función f del siguiente modo: 
 
}{C }{C f ∞∞∞∞∪∪∪∪→→→→∞∞∞∞∪∪∪∪ 
 ∞∞∞∞→→→→−−−− c/d f 
a/c f→→→→∞∞∞∞ 
 c/a)db)/(cz(az -d/cz 00
f
0 ≠≠≠≠++++++++→→→→≠≠≠≠ 
 
♦ Razón doble 
 
 
Si z1 , z2 y z3 son tres puntos distintos del plano z y w1 , w2 y w3 son tres puntos distintos del 
plano w, entonces existe una única TLF w = f(z) tal que f(z1) = w1 , f(z2) = w2 y f(z3) = w3 . 
Además dicha transformación puede obtenerse despejando w de la fórmula 
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))123
321
123
321
w-ww-w
w-ww-w
z-zz-z
z-zz-z
==== , a la que se denomina razón doble. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La justificación de la fórmula de razón doble la proponemos, con ciertas ayudas en la actividad 
siguiente. 
 
∆∆∆∆ Actividad 5: 
 
Sea 
dcz
baz
)z(fw
++++
++++======== tal que f(z1) = w1 , f(z2) = w2 y f(z3) = w3 
 
a) Comprobar que f(z) - f(z1) = 
)dcz)(dcz(
)zz)(bcad(
1
1
++++++++
−−−−−−−−
 
 
b) Teniendo en cuenta el resultado de a) ,indicar el resultado de las siguientes diferencias 
f(z2) - f(z3) , f(z) - f(z3) y f(z2) - f(z1) 
 
z1 
z2 
z3 x 
y 
 w1 
w3 
u 
v 
w2 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
15 
c) Comprobar que 
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))123
321
123
321
z-zz-z
z-zz-z
)f(z-)f(z)f(z-f(z)
)f(z-)f(z)f(z-f(z)
==== y por lo tanto w = f(z) verifica 
la razón doble indicada en el enunciado 
 
d) Para demostrar que es única suponer que hay otra TLF w = g(z) tal que g(z1) = w1 , 
g(z2) = w2 y g(z3) = w3 , considerar la transformación h(z) = g
-1(f(z)) y justificar que: 
d1) h(z) es una TLF 
d2) z1 , z2 y z3 son tres puntos fijos de h(z) , es decir h(z1) = z1 , h(z2) = z2 y h(z3) = z3 
 
Conclusión: Como h(z) es una TLF que tiene tres puntos fijos entonces h(z) = z (¿porqué?) , de 
donde g-1(f(z)) = z y por lo tanto f(z) = g(z) (¿porqué?). 
Se supuso que había otra TLF y se demostró que coincide con la f(z) , por lo tanto existe una 
única TLF que envía tres puntos distintos del plano z en tres puntos distintos del plano w y dicha 
TLF se halla planteando la razón doble y despejando w. 
 
 
 
� Ejemplos 
 
1- Hallar una TLF w = f(z) que envíe los puntos z1= 0, z2= 2i , z3= 1 del plano z en los puntos 
w1= -1, w2= 1 - 2i , w3= 0 respectivamente 
 
Reemplazamos los valores dados en la razón doble, en este caso tenemos: 
 
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))12i-10-w
0-2i-11w
0-2i1-z
1-2i0-z
++++
++++==== y despejando w (hacer el despeje) se obtiene 
1iz
1z
w
++++
−−−−==== 
 
2- Hallar una TLF w = f(z) que envíe los puntos z1= 1, z2= i , z3= -1 del plano z en los puntos 
w1= 0, z2= i , z3= ∞∞∞∞ respectivamente 
 
Se puede utilizar la razón doble, como no se sabe operar con infinito, se toma z3= 1/z* y 
luego se toma el límite para z* tendiendo a cero: 
 
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))0-i
*z
1
-w
*z
1
-i0-w
1-i1z
1i1-z












====
++++
++++ ⇒⇒⇒⇒ (((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
 
*z
-1*wz
*z
-1*iz
0-w
1-i1z
i1i1-z












====
++++
++++ ⇒⇒⇒⇒ 
(((( ))))(((( ))))
(((( )))) -1)*(wz
-1)*(iz w
1)-(i 1z
i1-1-z ====
++++
++++
 
si z* →→→→ 0 entonces esta última expresión se convierte en (((( ))))(((( )))) (-1)
(-1) w
 1z
1-z ====
++++
 , y despejando w 
encontramos: 
 1z
1z
w
++++
−−−−==== que verifica , como es sencillo comprobar, las condiciones pedidas. 
 
3- Hallar una TLF w = f(z) que envíe la circunferencia | z | =1 en la recta u = 0 
 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
16 
Recordando que las TLF transforman las circunferencias en circunferencias o rectas, y 
recordando que por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia, alcanza con elegir 
tres puntos de | z | = 1 , por ejemplo los puntos z1= 1, z2= i , z3= -1, y elegir en el plano w 
tres puntos de la recta u = 0, por ejemplo w1= 0, z2= i , z3= ∞∞∞∞ , y se busca una TLF w = f(z) 
de modo que f(zk) = wk para k = 1,2,3 , como esa transformación fue hallada en el ejemplo 
anterior, podemos asegurar que 
 1z
1z
w
++++
−−−−==== es una transformación que realiza lo que se ha 
pedido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observación: 
 
Es sencillo verificar que los puntos del círculo | z | ≤≤≤≤ 1 se transforman en los puntos del 
semiplano u ≤≤≤≤ 0 . 
Al elegir los puntos z1 , z2 y z3 de la circunferencia | z | =1 , le hemos asignado una orientación 
antihoraria; al elegir los puntos w1 , w2 y w3 se la recta u = 0, le hemos asignado una orientación 
de abajo hacia arriba Puede afirmarse que la imagen de los puntos que están a la izquierda de 
circunferencia |z | = 1 se transforman en puntos que están a la izquierda de la recta u = 0 y puntos 
que están a la derecha de la circunferencia se transforman en puntos que están a la derecha de la 
recta u = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
••••Ejercicios 
 
8- Hallar por w = 
3z
i2z
++++
−−−−
 la imagen de: 
 
a) el segmento de extremos z0 = 3 e
iππππ y z1= 2 e
iππππ/2 b) la recta y = 2x -6 
c) el sector circular |z – 3| ≤≤≤≤ 4 , |Arg z | ≤≤≤≤ ππππ /3 d) semiplano x > 1 
 
xx 
y 
z1 = 1 
z2 = i 
z3 = -1 
ux 
v 
w1 = 0 
w2 = i 
z3= ∞∞∞∞ 
 1z
1z
w
++++
−−−−==== 
 1z
1z
w
++++
−−−−==== 
v 
u
x 
x
x 
y 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
17 
9- Hallar una transformación lineal fraccionaria tal que: 
 
a) z1 = 2i y z2 = 3 – i sean puntos fijos 
b) envíe la terna (1, i, -2) en la terna (0,-1, ∞∞∞∞) 
c) envíe el semiplano x ≤≤≤≤ 0 en el círculo | w | ≤≤≤≤ 1 
d) envíe el círculo | z – i | ≤≤≤≤ 2 en el semiplano Re(w) ≥≥≥≥ Im(w) 
 
10- Dadas las transformaciones 
i2z
2z
)z(T1 −−−−
++++==== ,1z
iz
)z(T2 −−−−
−−−−==== 
a) Si la imagen de la circunferencia | z – 3 – i k | = k por la transformación T1(z) es una recta , 
¿qué posibles valores puede tomar la constante k ? 
b) Hallar la transformación w =T2(T1(z)) , justificar que es una rotación y describirla. 
 
11- Hallar la imagen de los complejos que verifican | z – 2 | = | z + i | por 
iz
2i-z i
)z(T
++++
==== 
y graficar el conjunto y su imagen. 
 
12- Hallar la imagen del conjunto A= { z / | z - i | ≥≥≥≥ 1 y | z | ≤≤≤≤ 2 } por 
i2z
4
w
−−−−
==== 
 
 
4. Transformación potencia: w = zn , n ∈∈∈∈N 
 
 
Dados z = r eiθθθθ y w = ρρρρ eiϕϕϕϕ , entonces la transformación w = zn toma la forma 
 
ρρρρ eiϕϕϕϕ = rn einθθθθ ⇒⇒⇒⇒ 



θθθθ====ϕϕϕϕ
====ρρρρ
n
r n
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Hallar la imagen del segundo cuadrante por w = z2 
 
Si w = z2 ⇒⇒⇒⇒ 



θθθθ====ϕϕϕϕ
====ρρρρ
2
r 2
 
Como los puntos del segundo cuadrante verifican ππππ/2 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ ππππ , r ≥≥≥≥ 0 ⇒⇒⇒⇒ ππππ ≤≤≤≤ 2θθθθ ≤≤≤≤ 2ππππ , r2 ≥≥≥≥ 0 ⇒⇒⇒⇒ 
ππππ ≤≤≤≤ ϕϕϕϕ ≤≤≤≤ 2ππππ , ρρρρ ≥≥≥≥ 0 , por lo tanto la imagen del segundo cuadrante es el semiplano inferior v ≤≤≤≤ 0 
 
 
 
 
 
 
v 
x
x 
y 
u
x 
w=z2 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
18 
 
2- Hallar una transformación que envíe | Arg(z) | ≤≤≤≤ ππππ/4 , | z | ≤≤≤≤ 2 en el semiplano u ≤≤≤≤ 0 
 
 
 
 
 
 
La transformación buscada es la composición de las transformaciones que se indican a 
continuación y que ya fueron estudiadas con anterioridad: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: w = T(z) =T3(T2(T1(z)))= T3(T2(z
4)) = T3(z
4/16) = 
 1
16
z
1
16
z
4
4
++++
−−−−
= 
 16z
16z
 
4
4
++++
−−−−
 
 
 
•••• Ejercicios 
 
13- Hallar mediante las transformaciones T1(z) = z
2 , T2(z) = z
3 y T3(z) = z
4 la imagen de: 
 
a) la semirecta y = x , y ≥≥≥≥ 0 b) el cuadrante x > 0, y < 0 
c) el ángulo 0 ≤≤≤≤ Arg(z) ≤≤≤≤ ππππ/6 d) el sector circular | Arg(z)| ≤≤≤≤ ππππ/6 , | z | ≤≤≤≤ 2 
 
14- Indicar gráficamente las transformaciones sucesivas que sufre el sector ππππ//4 ≤≤≤≤ Arg(z) ≤≤≤≤ 3ππππ/4 
por la aplicación de w = i z2 + 1 – i 
 
u 
v 
x 
y 
2 
y* 
x* 16 x** 
y** 
1 
T2(w*) =w*/16 
T1(z) = z
4 
 1**w
1**w
*)*w(T 3 ++++
−−−−====
W=T(z)=? 
u 
v 
x 2 
W=T(z)=? 
y 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
19 
15- Hallar la imagen del triángulo de vértices z1 = -2 – 2 i , z2 = -2 + 2i , z3 = 0 por w = i z
2 
 
16- Hallar una transformación que envíe el conjunto A = {z / |z – 2i| ≤≤≤≤ 1 , Im(z) ≤≤≤≤ 2} en el 
conjunto B = { w / | w + 1 | ≥≥≥≥ 1} 
 
5. Transformaciones trigonométricas e hiperbólicas 
 
 
A modo de ejemplo se va a analizar con cierto detalle la transformación w = sen z, las 
transformaciones w = cos z , w = sh z y w = ch z son análogas y proponen como un ejercicio al 
final de esta sección. 
 
Si w = sen z ⇒⇒⇒⇒ u + iv = sen (x + iy) = sen x chy + i cos x shy ⇒⇒⇒⇒ 



====
====
y shx cosv
y ch x senu
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Hallar, por w = sen z la imagen de los segmentos : 
 
 a) L1 : x = 0 , -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 b) L 2 : y = 0 , ππππ/2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ 
 c) L 3 : x = ππππ/2 , -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 2 d) L 4 : y = 1 , ππππ/4 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5ππππ/4 
 e) L5 : x = ππππ/4 , -2 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 
 
a) Si z ∈∈∈∈ L 1 : x = 0 , -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 y w = sen z ⇒⇒⇒⇒ 



====
====
y sh 0 cosv
y ch 0 senu
 ⇒⇒⇒⇒ 



====
====
y sh v
0u
 
 
Como sh y es estrictamente creciente sabemos que: 
si -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 ⇒⇒⇒⇒ sh(-1) ≤≤≤≤ sh y ≤≤≤≤ sh 1 ⇒⇒⇒⇒ - sh1 ≤≤≤≤ v ≤≤≤≤ sh 1 
 
Por lo tanto la imagen de L 1 son los complejos w = u + iv que verifican: 



≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
====
1 shv1 sh 
0u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Si z ∈∈∈∈ L 2 : y = 0 , ππππ/2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ y w = sen z ⇒ 



====
====
0 shx cosv
0 ch x senu
 ⇒ 



====
====
0 v
senxu
 
 
x 
y 
-1 
1 
u 
v 
-sh 1 
sh1 
w=sen z 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
20 
Como sen x es estrictamente decreciente si ππππ/2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ , sabemos que: 
 
si ππππ/2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ ⇒⇒⇒⇒ sen ππππ/2 ≥≥≥≥ sen x ≥≥≥≥ sen ππππ ⇒⇒⇒⇒ 1 ≥≥≥≥ u ≥≥≥≥ 0 
Por lo tanto la imagen de L 2 son los complejos w = u + iv que verifican: 



====
≤≤≤≤≤≤≤≤
0v
1u0
 
 
 
c) Si z ∈∈∈∈ L 3 : x = ππππ/2 , -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 2 y w = sen z ⇒ 



ππππ====
ππππ====
y sh /2)cos(v
y ch )2/(senu
⇒⇒⇒⇒ 



====
====
0 v
y chu
 
 
Como ch y decrece si -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 0 y crece si 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 2 , para encontrar su variación buscamos su 
máximo y su mínimo absoluto en el intervalo cerrado [-1, 2] , que se producen en y = 2 y en y = 0 
respectivamente ⇒⇒⇒⇒ ch 0 ≤≤≤≤ ch y ≤≤≤≤ ch 2 ⇒⇒⇒⇒ 1 ≤≤≤≤ u ≤≤≤≤ ch 2 
 
Por lo tanto la imagen de L 3 son los complejos w = u + iv que verifican: 



====
≤≤≤≤≤≤≤≤
0v
2 chu1
 
 
 
 
 
 
 
 d) Si z ∈∈∈∈ L4 : y = 1 , ππππ/4 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5ππππ/4 y w = sen z ⇒⇒⇒⇒ 



====
====
1 shx cosv
1 ch senxu
 ⇒⇒⇒⇒ 





====
====
x cos
sh1
v
 senx
1ch
u
 
 
elevando al cuadrado estas últimas expresiones y sumando miembro a miembro se logra eliminar 
la variable x obteniendo 1
1sh
v
1ch
u
2
2
2
2
====++++ , que representa una elipse. Es importante observar 
que en el razonamiento anterior no se ha utilizado el dato ππππ/4 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5ππππ/4 , como este intervalo 
tiene amplitud ππππ, se desprende que la imagen será sólo un trozo de la elipse indicada.. Para 
encontrar ese trozo se busca el punto inicial de curva imagen, el punto final y si es necesario la 
imagen de algún otro punto del segmento dado como se muestra a continuación: 
 
Si z = (ππππ/4 , 1) ⇒⇒⇒⇒ 






====ππππ====
====ππππ====
1sh
2
2
1 sh /4)( cosv
1ch
2
2
1 ch )4/(senu ⇒⇒⇒⇒ 








==== 1sh
2
2
,1ch
2
2
w 
 
Si z = (5ππππ/4 ,1) ⇒⇒⇒⇒






−−−−====ππππ====
−−−−====ππππ====
1sh
2
2
1 sh /4)(5 cosv
1ch
2
2
1 ch )4/5(senu ⇒⇒⇒⇒ 








−−−−−−−−==== 1sh
2
2
,1ch
2
2
w 
 
x 
y 
ππππ/2 ππππ u 
v 
0 1 
w=sen z 
u 
v 
1 ch2 
w=sen z 
x 
y 
-1 
ππππ/2 
2 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
21 
Si z = (ππππ , 1) ⇒⇒⇒⇒ 



−−−−====ππππ====
====ππππ====
1sh1 sh cosv
01 ch senu ⇒⇒⇒⇒ w = (((( ))))1sh,0−−−− 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Si z ∈∈∈∈ L 5 : x = ππππ/4 , -2 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 y w = sen z ⇒ 
 



ππππ====
ππππ====
y sh /4)( cosv
y ch )4/( senu
 ⇒ 






====
ππππ
====
ππππ
shy 
/4)cos(
v
chy
)4/(sen
u
 
 
Como sen (ππππ/4) = cos (ππππ/4) = 2/2 y recordando que ch2 y - sh2 y = 1 , se puede eliminar la 
variable y elevando al cuadrado estas últimas expresiones y restándolas miembro a miembro 
obteniendo 1
2/1
v
2/1
u 22 ====−−−− , que representa una hipérbola. Como en el razonamiento anterior no 
se ha utilizado el dato -2 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 , se desprende que la imagen será sólo un trozo de la hipérbola 
y para encontrarlo se busca el puntoinicial de curva imagen, el punto final y si es necesario la 
imagen de algún otro punto del segmento dado como se muestra a continuación: 
 
Si z = (ππππ/4 , -2 ) ⇒ 






−−−−====ππππ====
====ππππ====
2sh
2
2
(-2) sh /4)( cosv
2ch
2
2
(-2) ch )4/( senu
 ⇒⇒⇒⇒ 








−−−−==== 2sh
2
2
,2ch
2
2
w 
 
Si z = (ππππ/4 , 1 ) ⇒ 






====ππππ====
====ππππ====
1sh
2
2
1 sh /4)( cosv
1ch
2
2
ch1 )4/( senu
 ⇒⇒⇒⇒ 








==== 1sh
2
2
,1ch
2
2
w 
 
Si z = (ππππ/4 , 0 ) ⇒ 




====ππππ====
====ππππ====
00 sh /4)( cosv
2
2
0 ch )4/( senu ⇒⇒⇒⇒ 








==== 0,
2
2
w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w=sen z 
x 
y 
 1 
ππππ/4 
 -2 
u 
v 








0,
2
2








1sh
2
2
,1ch
2
2








−−−− 2sh
2
2
,2ch
2
2
w=sen z 
x 
y 
 1 
ππππ/4 5ππππ/4 u 
v 
(0,- sh1) 
v 








1sh
2
2
,1ch
2
2








−−−−−−−− 1sh
2
2
,1ch
2
2 
ππππ 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
22 
 
•••• Ejercicios 
 
17- Hallar por w = sen z la imagen de: 
 
a) el segmento de extremos z0 = 0 y z1= 2 e
iππππ b) el segmento y = 2 , 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ/6 
c) el rectángulo 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ ππππ/2 , 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 1 d) la franja 0 < x < ππππ/2 , y < 0 
 
18- Justificar en cada caso que el conjunto B es la imagen del conjunto A por w = sen z 
 
a) A = {(x,y) / | x | < ππππ/2, y > 0} , B = {(x, y) / y > 0} 
b) A = {(x,y) / | x | < ππππ/2} , B = C - {(x, y) / y = 0 , | x | ≥≥≥≥ 1 } 
c) A = {(x,y) / | x | ≤≤≤≤ ππππ/2} , B = C 
 
19- a) Justificar que cos z = sen (z + ππππ/2) y deducir que la transformación w = cos z es la 
composición de la transformación w = sen z precedida de una traslación a la derecha de 
ππππ/2 unidades. 
b) Justificar que sh z = -i sen(iz) , ch z = sen(iz + ππππ/2), y describirlas como composición 
entre la transformación w = sen z y otras que debe indicar. 
 
 
6. Transformación exponencial y logaritmo 
 
 
Para analizar la transformación exponencial se considera w en forma exponencial, es decir w = 
ρρρρ eiϕϕϕϕ , y z en forma binómica, es decir z = x + iy , entonces: 
 
w = ez ⇒⇒⇒⇒ ρρρρ eiϕϕϕϕ = ex +iy = ex eiy ⇒⇒⇒⇒ 



ππππ++++====ϕϕϕϕ
====ρρρρ
k2y
ex
 donde k es un número entero 
 
 
Para analizar la transformación logaritmo se considera w en forma binómica, es decir w = 
u + iv , y z en forma exponencial, es decir z = r eiθθθθ , entonces: 
 
w = Ln z ⇒⇒⇒⇒ u + iv = ln r + i θθθθ ⇒⇒⇒⇒ 



θθθθ====
====
v
r lnu
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Hallar por w = ez la imagen de la recta y = 0, analizando su imagen si x ≥≥≥≥ 0 o si x ≤≤≤≤ 0 
 
Sabemos que si w = ez ⇒⇒⇒⇒ 



ππππ++++====ϕϕϕϕ
====ρρρρ
k2y
ex , entonces la imagen de la recta y = 0 es 



ππππ====ϕϕϕϕ
====ρρρρ
k2
ex 
 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
23 
Como ϕϕϕϕ = 2k ππππ , los complejos w tienen argumento 0 , 2ππππ , -2ππππ, 4ππππ ,….y por lo tanto todos los 
complejos w se encuentran en el eje real positivo. 
 
Como ex es creciente ⇒⇒⇒⇒ 



≤≤≤≤ρρρρ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤
≥≥≥≥ρρρρ⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥
1ee0x si
1ee0x si
0x
0x
 
 
Entonces se puede afirmar que: 
La imagen de la semirecta y = 0 , con x ≥≥≥≥ 0 son los complejos del eje real positivo que tienen 
módulo mayor o igual a 1, es decir su imagen es la semirecta v = 0 con u ≥≥≥≥ 1 
La imagen de la semirecta y = 0 , con x ≤≤≤≤ 0 son los complejos del eje real positivo que tienen 
módulo menor o igual a 1, es decir su imagen es el segmento v = 0 con 0 ≤≤≤≤ u ≤≤≤≤ 1 
Por lo tanto la imagen de la recta y = 0 es la semirecta v = 0 con u ≥≥≥≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagen de y = 0 con x ≥≥≥≥ 0 Imagen de y = 0 con x ≤≤≤≤ 0 Imagen de la recta y = 0 
 
 
 
2- Hallar la imagen de la zona sombreada por w = Ln z 
 
La región sombreada puede describirse como | z | ≥≥≥≥ 2, 
-ππππ/2 ≤≤≤≤ Arg(z) ≤≤≤≤ ππππ/2 , es decir r ≥≥≥≥ 2 , -ππππ/2 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ ππππ/2 
 
 
Se sabe que u + i v = Ln (r ei θθθθ) ⇒ 



θθθθ====
====
v
r lnu
 entonces 
como r ≥≥≥≥ 2 ⇒⇒⇒⇒ ln r ≥≥≥≥ ln 2 , y por lo tanto u ≥≥≥≥ ln 2 
 
como -ππππ/2 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ ππππ/2 y v = θθθθ ⇒⇒⇒⇒ -ππππ/2 ≤≤≤≤ v ≤≤≤≤ ππππ/2 
por lo tanto la imagen de zona sombreada es la franja 
semi infinita definida por u ≥≥≥≥ ln 2 y -ππππ/2 ≤≤≤≤ v ≤≤≤≤ ππππ/2 
 
 
•••• Ejercicios 
 
20- Hallar por w = ez la imagen de: 
 
 a) el rectángulo -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 3 , 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ ππππ/4 b) la franja x > 0 , 0 < y < ππππ 
 
21- Hallar por w = Ln z la imagen de: 
2 
x 
y 
ππππ/2 
 
u 
v 
-ππππ/2 
Ln 2 
y 
0 x 0 u 
1 
v y 
0 x 
y 
0 x 0 u 
1 
v 
0 u 
1 
v 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
24 
 
a) la corona 2 ≤≤≤≤ | z | ≤≤≤≤ 4 b) el círculo abierto | z | < 3 
c) el ángulo - ππππ < Arg(z) < ππππ/2 d) el sector |z | < 2 , |Arg(z)|< ππππ/4 
 
 
7. Transformación conforme 
 
♦ Un arco C1 en el plano es cualquier conjunto de puntos que puede describirse por la ecuación 
paramétrica 



====
====
)t(yy
)t(xx
, con t parámetro real perteneciente a un intervalo I , donde x(t) e y(t) 
son funciones continuas en I. En el plano complejo los puntos del arco C1 son los complejos 
z(t) = x(t) + i y(t) , con t ∈∈∈∈ I . 
 
♦ Se dice que un arco C1 de ecuación z(t) es suave si la función z’(t) = x’(t) + i y’(t) no se 
anula y es continua para t ∈∈∈∈ I . 
 
♦ Se dice que un arco es suave por tramos o suave por partes (spp) si consiste en un número 
finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si C1 es spp entonces las funciones x(t) e y(t) 
son continuas pero sus derivadas son seccionalmente continuas. 
 
♦ Un arco C1 es simple si no se corta a sí mismo, es decir si z(t1) = z(t2) ⇔⇔⇔⇔ t1 = t2 
 
♦ Un arco es cerrado si el punto inicial coincide con el punto final. Si una curva es simple y 
cerrada se denomina curva de Jordán. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ Rotación de tangentes 
 
 
Sea C1 una curva suave de ecuación z(t), con t∈∈∈∈ I y sea C1* su imagen por la transformación 
w = f(z) entonces C1* tiene ecuación parámetrica w(t) = f(z(t)), con t ∈∈∈∈ I . 
 
Si C1 pasa por el punto de coordenadas (x0, y0) entonces existe un número real t0 ∈∈∈∈ I tal que 
z(t0) = x(t0) + i y(t0) = x0 + i y0 = z0 y C1* pasa por w0 = f(z0)= u0 + i v0 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
Arco simple y suave Arco simple y suave spp Curva de Jordán 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
25 
Como C1 es suave admite vector tangente no nulo y continuo en cada uno de sus puntos, en 
particular en el punto de coordenadas (x0, y0) , su vector tangente tiene componentes (x’(t 0), 
y’(t 0)) , por lo tanto z’(t0) = x’(t0)+ i y’(t 0) es un complejo cuyo argumento da la inclinación del 
vector tangente en z0 y lo indicamos αααα = arg(z’(t0)). 
 
Veamos que si f(z) es analítica en z0 y f’(z0) ≠≠≠≠ 0 entonces la curva C1* admite vector tangente 
no nulo enw0 cuya inclinación está dada por ββββ = arg(w’(t0)): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 derivando w (t) = f(z(t)) por regla de la cadena y evaluando en t0 obtenemos: 
 
w’(t 0) = f’(z(t0)). z’(t0) = f’(z0). z’(t0) 
 
Como f’(z0) ≠≠≠≠ 0, por lo supuesto, y z’(t0) ≠≠≠≠ 0 , por ser C1 suave, entonces w’(t 0) ≠≠≠≠ 0 y tiene 
sentido tomar argumento a ambos miembros obteniendo: 
 
arg(w’(t 0)) = arg(f’(z0)) + arg(z’(t0)) 
 
que es equivalente a afirmar que: ββββ = arg(f’(z0)) + αααα 
 
 Por lo tanto el ángulo de inclinación de la tangente a la curva C1* , trazada en w0 = f(z0) , difiere 
del ángulo de inclinación de la tangente a la curva C1 ,trazada en z0 , en el ángulo 
γγγγ0 = arg(f’(z0)), al que suele denominarse ángulo de rotación de la tangente. 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- Dada f(z) = 1/z , hallar el ángulo que giran las tangentes a las curvas que pasan por 1 + i, es 
decir si αααα es el ángulo de inclinación de una curva en el punto z0 = 1 + i, hallar el ángulo de 
inclinación de su imagen en el punto f(1 + i) 
 
Como f’(z) = -1/z2 entonces 
 
arg(f’(z)) =arg(-1/z2) = arg(-1) –arg(z2) = ππππ - 2 arg z , 
 
por lo tanto si αααα es el ángulo de inclinación de una curva en el punto 
z0 = 1 + i y ββββ es el ángulo de inclinación de su imagen en el punto 
w0 = f(1 + i) = ½ - i ½ , sabemos que: 
 
 
 
 
ββββ = arg(f’(1 + i)) + αααα = ππππ - 2 arg(1+i) + αααα = ππππ - 2 ππππ/4 + αααα = ππππ/2 + αααα 
 
x 
w=f(z) 
αααα 
y C1 
x0 
y0 
ββββ 
u 
v 
C1* 
u0 
v0 
x 
αααα 
y C 
1 
1 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
26 
Como ββββ = ½ ππππ + αααα , podemos afirmar que el ángulo que giran las tangentes a cualquier curva 
que pase por 1 + i es ππππ/2 
 
2- Teniendo en cuenta la respuesta del ejercicio anterior, hallar sin hacer cuentas la imagen de la 
recta y = x por f(z) = 1/z 
 
Como la recta y = x pasa por el origen, su imagen por f(z) = 1/z es una recta que pasa por el 
origen del plano w, como además pasa por el punto 1 + i , sabemos por el ejemplo anterior que 
sus tangentes giran un ángulo igual a ππππ/2 . 
Como el ángulo de inclinación de la recta y = x es igual a ππππ/4 , el ángulo de inclinación de su 
imagen es ππππ/2 + ππππ/4 = 3ππππ/4 , por lo tanto su imagen es la recta v = tg(3ππππ/4) u , o v = -u 
 
 
♦ Conservación de ángulos 
 
Sean C1 y C2 dos curvas suaves que pasan por z0 y sean αααα1 y αααα2 los ángulos de inclinación de 
sus respectivas tangentes trazadas en z0 entonces sabemos que : 
 
ββββ1 = arg(f’(z0)) + αααα1 
ββββ2 = arg(f’(z0)) + αααα2 
 
donde ββββ1 y ββββ2 son los ángulos de inclinación de las tangentes trazadas en w0 = f(z0) de las curvas 
C1* y C2* , imágenes de C1 y C2 respectivamente, siempre que f(z) sea analítica y f’(z0) ≠≠≠≠ 0. 
 
Restando miembro a miembro las expresiones anteriores se obtiene: ββββ1 - ββββ2 = αααα1 - αααα2 
 
Por lo tanto el ángulo ββββ1 - ββββ2 , medido desde C2* hasta C1* , es el mismo en magnitud y sentido 
que el ángulo αααα1 - αααα2 , medido desde C2 hasta C1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ Transformación conforme 
 
Sean C1 y C2 dos curvas cualesquiera , suaves y orientadas del plano z que se cortan en z0 y sean 
C1* y C2* sus respectivas imágenes por w = f(z) , se dice que esta transformación es conforme 
en z0 si conserva el tamaño y la orientación de los ángulos, es decir: el ángulo entre C1 y C2 
coincide en magnitud y sentido con el ángulo entre C1* y C2* . 
 
w=f(z) 
x 
αααα1 - αααα2 
C1 
C2 
y 
u 
v 
 ββββ1 - ββββ2 
C1* C2* 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
27 
 
∆∆∆∆ Actividad 6: 
 
Justificar el siguiente enunciado: si f(z) es analítica en z0 y f’(z0) ≠≠≠≠ 0 entonces f(z) es 
conforme en z0 
 
 
 
� Ejemplos: 
 
1- La transformación w = ez es analítica y su derivada nunca se anula, por lo tanto es conforme 
para todo z . 
 
2- La transformación w = z2 es analítica y su derivada f’(z) = 2z se anula sólo en z = 0, por lo 
tanto es conforme para todo z ≠≠≠≠ 0. ¿Puede ser conforme en z = 0?, la respuesta es inmediata 
pues si se consideran dos rectas que pasen por el origen cuyos ángulos de inclinación son θθθθ1 y 
θθθθ2, sus imágenes son dos rectas que también pasan por el origen y cuyos ángulos de 
inclinación son 2θθθθ1 y 2θθθθ2 , por lo tanto el ángulo entre las curvas imágenes es el doble del 
ángulo entre las curvas dadas. 
 
 
 
 
 
 
•••• Ejercicios 
 
22- Hallar el ángulo que giran las tangentes a las curvas que pasan por z0 cuando son 
transformadas por w = f(z) 
 
a) f(z) = 3z2 – 2z , z0 = i/3 b) f(z) = e
z , z0 = ππππi c) 
3z
1z 
)z(f
2 ++++
++++==== , z0 = 1 
 
23- Dada la transformación f(z) = z2 
 
a) Demostrar que w = f(z) cambia las direcciones de las curvas que pasan por z0 = 2 + i en el 
ángulo ββββ = arc tg ½ 
b) Hallar la imagen de las rectas y = 1 , x = 2 , y = ½ x por w = f(z) y comprobar lo demostrado 
en a) 
 
24-Demostrar que la transformación w = zn , n ∈∈∈∈ N , cambia las direcciones en el punto 
z0 = r0 0
ie θθθθ en el ángulo ββββ = (n – 1)θθθθ0 
 
25- Indicar dónde son conformes las siguientes transformaciones: 
 
x 
y 
θθθθ1=ππππ/4 
θθθθ2=3ππππ/4 
u 
v 
2 θθθθ1=ππππ/2 2θθθθ2=3ππππ/2 
w= z2 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
28 
a) w = 1 – cos z b) w = z3 – 3z c) w = 2/z d) w = e2z 
 
26- Dada g(z) = 3 cos z - i sen z , expresarla en función de exponenciales complejos y averiguar 
para qué valores de z es conforme. 
 
27- Dados los conjuntos A = { z = r eiθθθθ / -ππππ/4 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ ππππ /4 , r ≥≥≥≥ 2 } , B = { w = ρρρρ ei ϕϕϕϕ / ρρρρ ≥≥≥≥ 2 } 
 
a) Hallar una función que transforme A en B de modo que z0 = 2 e
iππππ/4 sea punto fijo . 
b) Comprobar que la transformación hallada en a) es conforme en el punto z1 = 2 e indicar qué 
ángulo giran las tangentes en dicho punto. Mostrar gráficamente lo que afirma considerando la 
circunferencia r = 2 y la semirecta θθθθ = 0 y sus imágenes luego de aplicada la función. 
 
 
•••••••• Ejercicios adicionales 
 
 
28- Hallar una transformación que envíe el conjunto {z / |z – 2i| ≤≤≤≤ 2 , Im(z) ≤≤≤≤ 2 , Re(z) ≥≥≥≥ 0} en 
el conjunto { w / | w - 1 | ≥≥≥≥ 1}. 
 
29- Dada la región A = {z / 0 < Arg z < ππππ/4 , 2 < | z | < ∞∞∞∞ } 
 
a) Hallar su imagen mediante la transformación w = 2i Ln z. Graficar 
b) Hallar una transformación que envíe la región A en B = { w / Re(w) > 2 Im(w)} 
 
30- Si R es la región limitada por las circunferencias |z| = 1 y |z +1/2 i | = 3/2 , hallar su imagen 
por la transformación w = 1 / (z - i) 
 
 
8. Solución de la ecuación diferencial de Laplace usando transformaciones 
conformes 
 
Se sabe que si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en un conjunto D , sabemos que u(x,y) y v(x,y) 
son armónicas en D y por lo tanto verifican las ecuación diferencial de Laplace: 
 
0
y
u
x
u
2
2
2
2
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 , 0
y
v
x
v
2
2
2
2
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 , para (x,y) ∈∈∈∈D 
 
por ello se pueden encontrar montones de soluciones de la ecuación diferencial de Laplace en D 
considerando la parte real o imaginaria de un función analítica en D. 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
29 
Por ejemplo Re(z2) = x2 - y2 , Im(sen z) = cos x sh y , Re(e3z) = e3x cos(3y) son armónicas en 
todo el plano complejo por ser las componentes reales o imaginarias de funciones analíticas y por 
ello son soluciones de la ecuación diferencial de Laplace. 
 
¿ Cómo encontrar soluciones de la ecuación de Laplace en un dominio D que verifique ciertas 
condiciones constantes sobre la frontera de D a las que se denominan condiciones de contorno? 
 
Veremos a continuación que si el recinto D es un ángulo con vértice en el origen o es una corona 
circular también centrada en el origen de coordenadas o es una franja horizontal o vertical , es 
muy sencillo encontrar la solución. 
 
♦ Caso I: El dominio D es un ángulo con vértice en el origen que no 
contiene al eje real negativo 
 
 Queremos encontrar una función que sea solución de la 
ecuación de Laplace en el recinto 
 
D = {z / z = r eiθθθθ, r > 0 , θθθθ0 < θθθθ < θθθθ1 con θθθθ0 > - ππππ} 
y las condiciones de contorno se dan sobre las semirectas 
θθθθ = θθθθ0 y θθθθ = θθθθ1 . 
La función armónica que hay que encontrar en este caso dependerá sólo de θθθθ. 
 
Se propone una función de la forma V(r, θθθθ) = A θθθθ + B , que evidentemente es armónica por ser la 
componente imaginaria de la función analítica A Ln z + B i , y se determinan las constantes 
reales A y B de modo que verifiquen las condiciones de contorno establecidas en el ejercicio. 
 
 
� Ejemplo: 
Hallar una función armónica V(x,y) definida en 
D = {z = r eiθθθθ / r > 0 , - ππππ/2 < θθθθ < 3ππππ/4} tal que 
V(x,y ) = -7 sobre la semirecta θθθθ = 3ππππ/4 
V(x,y ) = 3 sobre la semirecta θθθθ = -ππππ/2 
 
Se propone V = A θθθθ + B y se determinan las constantes A y B razonando del siguiente modo: 
Si θθθθ = 3ππππ/4 entonces - 7 = A 3ππππ/4 + B , si θθθθ = -ππππ/2 entonces 3 = A (- ππππ/2) + B 
Restando estas dos ecuaciones se obtiene - 10 = 5ππππ/4 A , despejando se obtiene que A = -8/ ππππ y 
reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones se determina que B = -1 
θθθθ0 
θθθθ1 
x 
y 
V = -7 
V= -3 x 
y 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
30 
Por lo tanto V = -8/ ππππ θθθθ - 1 , que expresada en función de x, y resulta ser: 
 
(((( ))))
(((( ))))[[[[ ]]]]





>>>>====
>>>><<<<−−−−ππππ++++ππππ−−−−
>>>>−−−−ππππ−−−−
====
0y , 0x si5-
xy , 0x si1xy arctg 8
0x si1xy arctg 8
)y,x(V 
para ello se ha tenido en cuenta que: 
� si (x,y) pertenece a D y está en el primer o cuarto cuadrante entonces -ππππ/2 < θθθθ < ππππ/2 , por 
lo tanto θθθθ = arctg(y/x) 
� si (x,y) pertenece a D y está en el segundo cuadrante entonces ππππ/2 < θθθθ < 3ππππ/4 , por lo tanto 
θθθθ = arctg(y/x) + ππππ 
� si (x,y) pertenece al eje imaginario positivo entonces θθθθ = ππππ/2 
 
Se deja como ejercicio la verificación que V(x,y) es armónica en D y satisface las condiciones de 
contorno pedidas. 
 
 
 
♦ Caso II: El dominio D es una corona circular 
 
Queremos encontrar una función que sea solución de la 
ecuación de Laplace en la corona circular centrada en el origen 
D = {z / z = r eiθθθθ, r0 < r < r1 } y las condiciones de contorno 
 se dan sobre las circunferencias r = r0 y r = r1 . 
 
 
La función armónica que hay que encontrar en este caso dependerá sólo de r. 
 
Proponemos una función de la forma V(r, θθθθ) = A ln r + B , que evidentemente es armónica por 
ser la componente real de la función A Ln z + B , que si bien no es analítica en el eje real 
negativo, su componente real es continua y derivable salvo en z = 0, y determinamos las 
constantes reales A y B de modo que verifiquen las condiciones de contorno establecidas en el 
ejercicio. 
 
� Ejemplo: 
Hallar una función armónica V(x,y) definida en 
D = {z = r eiθθθθ / , 3 < r < 6} tal que 
V(x,y ) = 4 sobre la circunferencia r = 3 
V= -2 
V= 4 x 
y 
r = r 1 
r = r 0 x 
y 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
31 
V(x,y ) = -2 sobre la circunferencia r = 6 
 
Se propone V = A lnr + B y se determinan A y B razonando del siguiente modo: 
Si r = 3 entonces 4 = A ln 3 + B 
Si r = 6 entonces -2 = A ln 6 + B 
Resolviendo estas dos ecuaciones se encuentra que A = 
2
1ln
6
6ln3ln
6 ====
−−−−
 , B = 
2
1ln
3ln6
4 −−−− . 
Por lo tanto V = 
2
1
2
1 ln
3ln6
4rln
ln
6 −−−−++++ , que expresada en función de x, y resulta ser: 
2
1
22
2
1 ln
3ln6
4yxln
ln
6
)y,x(V −−−−++++++++==== 
 
Se deja como ejercicio la verificación de que V(x,y) es armónica en D y satisface las condiciones 
de contorno pedidas. 
 
 
♦ Caso III: El dominio D es una franja horizontal o vertical infinita 
 
 
a) Queremos encontrar una solución de la ecuación de Laplace en la 
 franja horizontal infinita D = {(x,y) / - ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞ , a < y < b } y 
 las condiciones de contorno se dan sobre las rectas y = a y y = b . 
La función armónica que hay que encontrar eneste caso dependerá sólo de y. 
 
Se propone una función de la forma V(x, y) = A y + B , que evidentemente es armónica por ser la 
componente imaginaria de la función analítica A z + B i , y se determinan las constantes reales A 
y B de modo que verifiquen las condiciones de contorno establecidas en el ejercicio. 
 
 
c) Si D = {(x,y) / a < x < b , - ∞∞∞∞ < y < ∞∞∞∞ } es una franja vertical 
infinita y las condiciones de contorno se dan sobre las rectas 
x = a y x = b , la función armónica que hay que encontrar en este 
caso dependerá sólo de x. 
 
 
Se propone una función de la forma V(x, y) = A x + B , que evidentemente es armónica por ser la 
componente real de la función analítica A z + B , y se determinan las constantes reales A y B de 
modo que verifiquen las condiciones de contorno establecidas en el ejercicio. 
 
 
� Ejemplo 
 
Hallar una función f(x,y) que satifaga la ecuación de Laplace 
en el conjunto D = {(x,y) / - ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞ , -2 < y < 4 } y 
y = a 
y = b 
x 
y 
-2 
4 
x 
y 
x = a 
x = b 
x 
y 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
32 
verifique f(x, 4) = -3 , f(x,-2) = 9 
 
La función armónica que hay que encontrar en este caso 
dependerá sólo de y, proponemos f(x,y) = Ay + B y la evaluamos sobre la frontera de D: 
 



====++++−−−−====−−−−
−−−−====++++====
9B)2(A)2,x(f
3B4A)4,x(f
 y resolviendo este sistema obtenemos A = -2 , B = 5 
 
por lo tanto f(x,y) = -2y + 5 , que seguro es armónica por ser la parte imaginaria de la función 
analítica -2 z + 5i y cumple las condiciones exigidas sobre la frontera de D. 
 
 
•••• Ejercicios 
 
31- a) Hallar una función armónica G(x,y) definida en el 
semiplano x > 0 que verifique: 
 
 G(0,y) = 1 si y > 0 
 G(0,y) = 2 si y < 0 
 
 
b) Hallar una función armónica M(x,y) definida en el semiplano 
 y > 0 que verifique: 
 M(x,0) = 1 si x > 0 , M(x,0) = 2 si x < 0 
 
 
c) Hallar una función armónica K(x,y) definida en el primer 
cuadrante que verifique: 
 K(x,0) = 1 si x > 0 
 K(0,y) = 2 si y > 0 
 
 
 
 
 
d) Hallar una función armónica H(r, θθθθ) definida en 
 A = {(r, θθθθ) / r > 0 , 3/6/ ππππ<<<<θθθθ<<<<ππππ } que verifique: 
 
 (((( )))) 26/,rH −−−−====ππππ (((( )))) 33/,rH ====ππππ 
 Expresar H en función de x e y 
 
 
e) Hallar uns función arnónica V(x,y) definida en 
 B = {(x,y) / 1 < x2 + y2 < 4} que verifique: 
 V = 5 sobre x2 + y2 = 1 
 V = 1 sobre x2 + y2 = 4 
 
K=1 
K=2 
x 
y 
G=1 
G=2 
x 
yM=1 M=2 x 
y 
H=-2 
H=3 
x 
y 
V=1
x 
y 
1 2 
V=5 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
33 
 
f) ¿Qué función armónica propondría en los ejercicios anteriores si los valores sobre la 
frontera fueran: 
a1) G(0,y) = 6 , para todo y b1) M(x,0) = -2 , para todo x 
c1) K(0,y) = K(x,0) = 0 , para x > 0 , y > 0 
 
32- Hallar una función armónica H(x,y) definida en la franja: - ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞ , a < y < b que 
verifique: 
 



====
====
====
by si4
ay si2
)y,x(H 
 
33- Resolver el ejercicio 31- c) transformando el primer cuadrante en el semiplano superior y 
luego aplicar el ejercicio 31-b) 
 
34- Hallar la expresión de la temperatura estacionaria en el 
interior de un cilindro cuya sección transversal es x2 + y2 = 1 
de modo que verifique: 
T(x,y) = 100 en x2 + y2 = 1 con y > 0 
T(x,y) = 0 en x2 + y2 = 1 con y < 0 
 
 
Indicación: La ecuación diferencial que debe satisfacer una temperatura estacionaria T(x,y) es 
(((( )))) ====∇∇∇∇ y,xT2 0. Transformar el círculo en el semiplano superior de manera que la 
semicircunferencia inferior se transforme en el eje real positivo 
 
35- Hallar la expresión de la temperatura estacionaria 
T(x,y) en la región exterior de un cilindro cuya 
sección transversal es x2 + (y-1)2 = 1 de modo que 
verifique: T(x,y) = 100 en x2 + (y-1)2 = 1 
 T(x,y) = 0 en y = 0 
Indicación: Transformar el recinto utilizando w = 1/z 
 
 
 
 
 
 
 
36- Hallar la expresión del potencial electrostático V(x,y) en 
el espacio comprendido entre dos cilindros conductores 
coaxiales | z | = 1 , | z | = 2 cuando se sabe que: 
 
(((( )))) ====∇∇∇∇ y,xV2 0 en 1 < | z | < 2 
V(x,y) = 0 en |z | = 1 , V(x,y) = 10 en |z | = 2 
 
 
T = 0 T=0 
T=10
0 
x 
y 
i 
T=0 
T=100 
x 
y 
V=10 
x 
y 
1 2 
V=0 
 Matemática D y D1 
 
Módulo I- Unidad 2 
34 
37- Hallar la distribución estacionaria de la temperatura 
T(x,y) en la región sombreada de la figura que verifique: 
T(x,0) = 0 en | Re(z) | >1 
V(x,y) = 400 en |z | = 1 , Im(z) > 0 
 
 
 
 
 
 
•••••••• Ejercicios adicionales 
 
38- a) Hallar la imagen del conjunto A= { z / | z + 1 | ≥≥≥≥ 1 y | z | ≤≤≤≤ 2 } por 
2z
i4
w
++++
==== 
b) Hallar una función armónica T(x,y) en el interior del conjunto A de modo que: 
T(x,y) = -2 sobre | z + 1 | = 1 , T(x,y) = 3 sobre | z | = 2 donde z = x + i y 
 
39a) Hallar una transformación w = f(z) que envíe el conjunto A= {(x,y) / 1 – y ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ y -1 } en el 
conjunto B= { w / Im (w) ≤≤≤≤ 0 } de modo que f(i) = 0 
b) Hallar, una función armónica T(x,y) en el interior del conjunto A de modo que: 
 T = -1 sobre la semirrecta y = 1 + x , x > 0 ; 
 T = -2 sobre la semirrecta y = 1 – x , x < 0. 
 Justificar que es armónica. 
 
 
 
 
T = 0 
x 
y 
-1 1 T=0 
T=40