Clase-3-Limites-(C)1

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°: 3 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
• Estudiar el concepto central del análisis matemático (límite funcional). 
• Utilizar correctamente diferentes técnicas algebraicas para resolver 
ejercicios de límite de las indeterminaciones ∞ − ∞ y 1∞. 
• Reconocer las asíntotas de la gráfica de una función y comprender su 
significado. 
• Observar y analizar el comportamiento de la gráfica de una función 
aprovechando los medios tecnológicos al alcance (calculadoras, 
graficadoras, aplicaciones del celular, softwares) 
• Aplicar conocimientos de la escuela media a la resolución de ejercicios. 
• Realizar la lectura comprensiva del material brindado como así también de 
la bibliografía indicada y links recomendados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Límite 
Funcional 
 
Indeterminaciones 
 1ꚙ 
ꚙ - ꚙ 
 Asíntotas 
Asíntota 
Vertical 
Asíntota 
Horizontal 
Asíntota 
Oblicua 
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3. Desarrollo: 
Indeterminación ∞ − ∞ 
Recordamos que (→ +∞) + (→ −∞) simboliza una suma de funciones en la cual uno 
de los términos tiende a +∞ y el otro tiende a −∞ . Comúnmente la escribimos como 
“∞ − ∞”. 
En esta clase sólo veremos dos tipos especiales de ejercicios donde aparecerá esta forma 
indeterminada: 
• Diferencia de expresiones racionales 
• Diferencia con alguna expresión irracional (raíz cuadrada). 
 
Diferencia de expresiones racionales 
Para calcular estos límites debemos primero resolver la diferencia (factorizar todos los 
denominadores posibles y hallar denominador común) y luego analizar si nos 
encontramos con otra forma indeterminada o ya podemos presentar la solución del 
ejercicio. Si nos encontramos con otra forma indeterminada utilizamos la técnica 
correspondiente a esa situación. 
Ejemplo: 
 lim
x→1+
( 
3
x−1
−
2
x2−1
 ) = lim
x→1+
( 
3
x−1
−
2
(x+1)(x−1)
 ) = lim
x→1+
 
3(x+1)−2
(x−1)(x+1)
 =
 lim
x→1+
 
3x+3−2
(x−1)(x+1)
 = lim
x→1+
 
3x+1
(x−1)(x+1)
= lim
x→1+
 
3x+1
x2−1
=
4
→0+
= +∞ 
En este ejemplo, luego de resolver la diferencia no nos encontramos con otra forma 
indeterminada y pudimos presentar la solución directamente. 
 
Diferencia con alguna expresión irracional (raíz cuadrada) 
Para calcular estos límites debemos multiplicar por el conjugado de la expresión. Se busca 
lograr un producto de una suma por su diferencia ( (a+b) (a-b) ) para formar una diferencia 
de cuadrados ( a2 - b2 ) que nos llevará a encontrarnos con otra forma indeterminada o ya 
podemos presentar la solución del ejercicio. Si nos encontramos con otra forma 
indeterminada utilizamos la técnica correspondiente a esa situación. 
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Ejemplo: 
 lim
x→+∞
( x − √x2 + 2 ) = lim
x→+∞
( x−√x2+2 )∙(x+√x2+2)
x+√x2+2
=
 lim
x→+∞
 x2−(√x2+2 )
2
 
x+√x2+2
= lim
x+∞
x2−(x2+2)
x+√x2+2
= lim
x+∞
x2−x2−2
x+√x2+2
= lim
x+∞
−2
x+√x2+2
= 0 
Ejemplos más elaborados podés encontrar en el material complementario de la clase. 
 
Indeterminación 𝟏∞ 
(→ 1)→∞ simboliza una potencia en la cual la función de la base tiende a 1 y la del 
exponente tiende a infinito. 
¿Te acordás los límites básicos que detallamos en la primera clase? 
Bueno, ahora agregaremos otros dos límites notables que debemos recordar para resolver 
esta forma indeterminada. 
• Queremos calcular el siguiente límite: lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)𝑥 
Al igual que lim
x→0
senx
x
= 1, el resultado de este límite presenta una demostración formal 
que no la veremos en la cursada, pero para hallarlo estudiaremos, con tabla de valores, la 
tendencia de la función para x tendiendo a +∞: 
 f(x) = (1 +
1
x 
 )x 
x f(x) 
10 2,59374246 
100 2,70481382 
1000 2,71692393 
100000000 2,718281815 
 
 𝑥 → +∞ 
 
 Los valores de la función se aproximan al número irracional e. 
 
Si hallás con la calculadora las primeras cifras del número e te encontrarás con 
2,718281828. Si lo comparás con el último número de la tabla tiene 7 decimales comunes. 
Y de esta manera cuanto más elevado sea el valor de x, más cifras decimales compartirán. 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f914.svg
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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f914.svg
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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 Conclusión: lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x = e 
 
Generalización: 
(1) lim
x→+∞
(1 +
1
f(x)
)
f(x)
= e si f(x) → +∞ cuando x → +∞ 
 
Esta estructura se aplica en la resolución de algunos ejercicios de límite de la forma 
indeterminada 𝟏∞ que aparecen en el Trabajo Práctico de Límites. 
 
En un ejercicio debemos observar que en la base haya dos términos, uno de ellos debe ser 
un “uno” y el otro la “función recíproca” 
1
f(x)
. Además, en el exponente nos debe aparecer 
la función f(x). 
Siempre que el ejercicio tenga la estructura (1) y que f(x) → +∞ cuando x → +∞, 
el resultado será el número e. 
 
Veamos un ejemplo sencillo: 
 
Hallar lim
x→+∞
(1 +
1
2x+2
)
2𝑥+2
 ; f(x) = 2 x + 2 
 2𝑥 + 2 → +∞ cuando 𝑥 → +∞, entonces 
1
2x+2
→ 0 y la base (1 +
1
2x+2
) → 1. 
El exponente 2𝑥 + 2 → +∞ . 
Por lo tanto, la expresión (1 +
1
2x+2
)
2𝑥+2
 es una forma indeterminada 1∞. 
Ahora bien, si analizamos lim
x→+∞
(1 +
1
2x+2
)
2𝑥+2
 nos encontramos con la estructura (1). 
Y como conclusión podemos terminar el ejemplo presentando la respuesta 
correspondiente. 
lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)
2x+2
= e 
 
¡No siempre será tan simple como en el ejemplo! 
¿Hacemos otro ejercicio de mayor dificultad? ¿Te animás? 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Twemoji_1f627.svg
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Segundo ejemplo: lim
x→+∞
(
1+5x
3+5x
)
2x−1
 
En primera instancia: 
Aplicando la propiedad de límite que vimos en la Clase 1: 
 lim
x→x0
[f(x)]g(x) = [ lim
x→x0
f(x)] 
 lim
x→x0
g(x) 
 , si lim
x→x0
f(x) > 0 
Calculamos los límites de la base y del exponente por separado: 
 lim
x→+∞
1+5𝑥
3+5𝑥
= 1 y lim
𝑥→+∞
(2𝑥 − 1) = +∞ 
Es decir, nos encontramos con la forma indeterminada 1∞. 
Ahora debemos convertir la base en dos términos: 1 y 
1
f(x)
. 
¿Como lo haremos? ¡El álgebra viene en nuestra ayuda! 
Hay varias maneras de lograrlo. Te explicamos una y encontrarás otra en el material 
complementario. 
Vamos a dividir el polinomio (1+5x) con el polinomio (3+5x). Repasá división de 
polinomios en el material del ingreso, en el de la secundaria, o buscalo por internet! 
Para que el artificio funcione ambos polinomios deben tener el mismo término lineal 
(aquí 5 x). 
Ordená en forma decreciente y completá los polinomios. 
 5 x + 1 5 x + 3 
 -5 x - 31 
 - 2 
 
 
𝑃
𝑄
= 𝐶 +
𝑅
𝑄
 
5𝑥+1
5𝑥+3
= 1 +
−2
5𝑥+3
 
C: cociente de la división 
R: resto de la división 
Uno de los términos es el 1 que buscábamos. Ahora vamos a dividir al numerador y al 
denominador de la fracción por -2: 
 
−2
5x+3
=
−2
−2
5x+3
−2
=
1
5x+3
−2
 
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¡Listo! ¡Lo logramos! Ya tenemos que 
5x+1
5x+3
= 1 +
1
5x+3
−2
 , es decir 
5x+1
5x+3
= 1 + 
1
f(x)
 
donde f(x) =
5x+3
−2
 . 
Entonces hasta ahora el ejercicio nos queda: 
 lim
x→+∞
(
1+5x
3+5x
)
2x−1
= lim
𝑥→+∞
( 1 +
1
5𝑥+3
−2
 )2𝑥−1 
Ahora necesitamos que el exponente de esta base sea la función 
5𝑥+3
−2
. 
Para obtenerlo multiplicamos a (2 x -1) que ya figura en el exponente por 
5𝑥+3
−2
∙
−2
5𝑥+3
 . 
Nos queda: lim
𝑥→+∞
(1 +
1
5𝑥+3
−2
 )
(2𝑥−1)∙
5𝑥+3
−2
 ∙ 
−2
5𝑥+3 = 
 = lim
𝑥→+∞
(1 +
1
5𝑥+3
−2
 )
5𝑥+3
−2
 ∙(2𝑥−1)∙
−2
5𝑥+3
 
 
 Reordenando con la propiedad de la potenciación: 𝑎𝑏∙𝑐∙𝑑 = (𝑎𝑏)𝑐∙𝑑 
 = lim
𝑥→+∞
[(1 +
1
5𝑥+3
−2
)
5𝑥+3
−2
]
(2𝑥−1)∙
−2
5𝑥+3
 
Y utilizando lim
x→x0
[f(x)]g(x) = [ lim
x→x0
f(x)] 
 lim
x→x0
g(x) 
 , si lim
x→x0
f(x) > 0 
Podemos escribir: 
 = lim
𝑥→+∞
[(1 +
1
5𝑥+3
−2
)
5𝑥+3
−2
]
lim
𝑥→+∞
−2
 5𝑥+3
∙(2𝑥−1)
 
 = lim
𝑥→+∞
[(1 +
1
5𝑥+3
−2
)
5𝑥+3
−2
]
lim
𝑥→+∞
−4𝑥+2
 5𝑥+3
∙
 
 
Resolviendo ambos límites por separado llegamos al resultado final: 
 
 lim
x→+∞
(
1+5x
3+5x
)
2x−1
= 𝑒−
4
5 
 
 
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Entonces algunos ejercicios del Trabajo Práctico de límites pueden resolverse llevando al 
enunciado a la forma (1 +
1
f(x)
)
f(x)
. 
 
• El otro límite notable que se corresponde a la forma indeterminada 1∞ es 
 lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 
Para calcularlo estudiaremos, con tabla de valores, la tendencia de la función para x 
tendiendo a 0 por derecha: 
 f(x) = (1 + x )
1
𝑥 
x f(x) 
1 2 
0,1 2,59374246 
0,01 2,704813829 
0,0000001 2,718281693 
 
 𝑥 → 0+ 
 
 Los valores de la función se aproximan al número irracional e. 
Si hallás con la calculadora las primeras cifras del número e te encontrarás con 
2,718281828. Si lo comparás con el último número de la tabla tiene 6 decimales comunes. 
Y de esta manera cuanto más pequeño sea el valor de x, más cifras decimales compartirán. 
Si lo hiciéramos para x tendiendo a cero por izquierda llegamos también al número e . 
 
 Conclusión: lim
x→0
(1 + x)
1
𝑥 = e 
 
Generalización: 
(2) lim
x→0
(1 + f(x))
1
𝑓(𝑥) = e si f(x) → 0 cuando x → 0 
 
Esta otra estructura se aplica en la resolución de algunos ejercicios de límite de la forma 
indeterminada 𝟏∞ que aparecen en el Trabajo Práctico de Límites. 
 
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En un ejercicio debemos observar que en la base haya dos términos, uno de ellos debe ser 
un “uno” y el otro la función f(x). Además, en el exponente nos debe aparecer la “función 
recíproca” (
1
f(x)
). 
Siempre que el ejercicio tenga la estructura (2) y que f(x) → 0 cuando x → 0, el 
resultado será el número e. 
 
Veamos un ejemplo: 
Hallar lim
x→0
(1 + 𝑥2)
3
𝑥 ; 
 𝑥2 → 0 cuando 𝑥 → 0, entonces la base (1 + 𝑥2) → 1 
El exponente 
3
𝑥
→ +∞ cuando 𝑥 → 0 . 
Por lo tanto, la expresión (1 + 𝑥2)
3
𝑥 es una forma indeterminada 1∞. 
Ahora bien, si analizamos (1 + 𝑥2)
3
𝑥 , no nos encontramos con la estructura (2). 
La base de la potencia debe tener dos términos: un “uno” y la función f(x). El uno ya lo 
tenemos y la función es f(x) = x2. 
En cambio, en el exponente debe aparecer la función 
1
𝑥2
 lo cual observamos que no 
ocurre. 
¿Cómo procedemos entonces? 
Para obtenerlo multiplicamos a 
3
𝑥
 que ya figura en el exponente por 
1
𝑥2
∙
𝑥2
1
 
Nos queda: lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2 )
3
𝑥
 ∙ 
1 
𝑥2
 ∙ 
𝑥2
1 = 
 = lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2 )
1
𝑥2
 ∙ 
3
𝑥
∙ ∙ 
𝑥2
1
 
 
 Reordenando con la propiedad de la potenciación: 𝑎𝑏∙𝑐∙𝑑 = (𝑎𝑏)𝑐∙𝑑 
 = lim
𝑥→0
[(1 + 𝑥2)
1
𝑥2]
3
𝑥
∙∙
𝑥2
1
 
Y utilizando lim
x→x0
[f(x)]g(x) = [ lim
x→x0
f(x)] 
 lim
x→x0
g(x) 
 , si lim
x→x0
f(x) > 0 
Podemos escribir: 
 = lim
𝑥→0
[(1 + 𝑥2)
1
𝑥2]
lim
𝑥→0
 ( 
3
𝑥
∙∙
𝑥2
1
 )
 
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 = lim
𝑥→0
[(1 + 𝑥2)
1
𝑥2]
lim
𝑥→0
 3𝑥
 
 Resolviendo ambos límites por separado llegamos al resultado final: 
 lim
x→+0
(1 + 𝑥2)
3
𝑥 = 𝑒0 = 1 
Entonces algunos ejercicios del Trabajo Práctico de límites pueden resolverse llevando al 
enunciado a la forma (1 + 𝑓(𝑥))
1
𝑓(𝑥). 
Conclusión: 
En la resolución de ejercicios de la forma indeterminada 1∞ en el T. P. debemos llevar 
al enunciado a la forma: (1 +
1
f(x)
)
f(x)
 o a la forma (1 + f(x))
1
f(x) según x tienda a infinito 
o a cero. 
Más ejercicios resueltos podés encontrar en el material complementario. 
 
Asíntotas: 
Una asíntota es una recta a la cual la función se acerca indefinidamente. Puede ser vertical, 
horizontal u oblicua. 
 
Asíntota vertical: 
Definición: 
La recta que tiene ecuación cartesiana 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la función f (x) 
⟺ lim
𝑥⟶𝑎+
f(x) = ±∞ o lim
𝑥⟶𝑎−
f(x) = ±∞ o lim
𝑥⟶ 𝑎
f(x) = ∞ 
(El símbolo ⟺ se lee “si y sólo si”. Significa “es equivalente a”, “es lo mismo que”) 
Algunos gráficos posibles: 
 
 A.V: x = a 
 
 
f 
a 
x 
y 
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 A.V: x =a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A.V: x = a 
 
 
 
 
¿Cómo encontramos la asíntota vertical de una función? 
Por ejemplo, si nos dan f(x) =
x+3
x2−9
 
 
Importante empezar hallando el dominio de f . 
Para ello, como la función es racional (cociente de polinomios), hallamos las raíces del 
denominador resolviendo 𝑥2 − 9 = 0. Obtenemos x = 3 y x = -3. 
 Por lo tanto: 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {−3, 3} 
Nuestras “posibles” asíntotas verticales son dos rectas cuyas ecuaciones podrían ser 
 x = -3 y x = 3. 
f 
a x 
y 
a x 
y 
f 
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➢ Para descubrir si x = -3 es la ecuación de una asíntota vertical debemos calcular 
los límites mencionados en su definición. La tendencia será precisamente -3 y el 
resultado debe ser infinito. Si el límite nos llegara a dar de resultado un número 
real no tenemos asíntota vertical. 
 
 lim
𝑥⟶−3
x+3
x2−9
= lim
𝑥⟶−3
x+3
(x+3)∙(x−3)
= lim
𝑥⟶−3
x+3
(x+3)∙(𝑥−3)
= lim
𝑥⟶−3
1
x−3
=
1
−6
= −
1
6
 
 
Este límite es una indeterminación 
0
0
 . Tuvimos que usar los artificios algebraicos 
correspondientes y como obtuvimos un número real ( −
1
6
 ) decimos que no existe asíntota 
vertical conecuación x = -3, y escribimos ∄ A. V. 
¿Podrías imaginar qué pasa con la gráfica en x = - 3? 
 
➢ Para descubrir si x = 3 es la ecuación de una asíntota vertical debemos calcular 
los límites mencionados en la definición. La tendencia será precisamente 3 y el 
resultado debe ser infinito. Si el límite nos llegara a dar de resultado un número 
real no tenemos asíntota vertical. 
 lim
𝑥⟶3
 
x+3
x2−9
= 
6
→0
= ∞ 
 
Este límite no es una indeterminación, lo podemos calcular directamente, y como 
obtuvimos infinito decimos que existe asíntota vertical de f cuya ecuación es x = 3 y 
escribimos A.V.: x = 3 
 
Curiosidad: Si hubieses querido saber el signo del infinito tendrías que calcular límites 
laterales: lim
𝑥⟶3+
 
x+3
x2−9
= 
6
→0+
= + ∞ y lim
𝑥⟶3−
 
x+3
x2−9
= 
6
→0−
= − ∞ 
Esto sería un soporte para graficar. La función al acercarse por derecha a la asíntota 
vertical “se va para arriba” y al acercarse por izquierda “ se va para abajo”. 
También, por definición, calculando alguno de estos límites laterales alcanzaría para 
justificar la existencia de asíntota vertical. 
1 
1 
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Observación: Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. 
Buscá, por ejemplo, el gráfico de la función tan x. 
 
Asíntota horizontal: (b ∈ ℝ) 
Definición: 
La recta que tiene ecuación cartesiana 𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal de la función f(x) 
⟺ lim
𝑥⟶+∞
f(x) = 𝑏 o lim
𝑥⟶−∞
f(x) = 𝑏 
Algunos gráficos posibles: 
 
 A.H: y = b 
 
 
 
 
 A.H: y = b 
 
 
 
 
 
 A.H+ꚙ : y=b 
 
 
 A.H-ꚙ : y=c 
 
 
 
x 
y 
b 
f 
f 
x 
y 
b 
x 
y 
b 
c 
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¿Cómo encontramos la asíntota horizontal de una función? 
Por ejemplo, si nos dan f(x) =
x+3
x2−9
 , dom f = ℝ − {−3, 3} 
Debemos calcular dos límites como lo dice la definición. Las tendencias de ellos serán, 
al + ꚙ y al - ꚙ. El resultado debe ser un número real b para establecer la existencia de 
asíntota horizontal y se escribe la ecuación y = b aclarando hacia cuál de los infinitos 
ocurrió. Si alguno de los límites nos diera ꚙ no existe asíntota horizontal hacia ese infinito 
y escribimos ∄ 𝐴. 𝐻. 
 
➢ lim
𝑥⟶+∞
x+3
x2−9
= 0 entonces podemos decir que tenemos asíntota horizontal al + ꚙ 
y una forma de escribirlo es : A.H+ꚙ: y = 0 
➢ lim
𝑥⟶−∞
x+3
x2−9
= 0 entonces podemos decir que tenemos asíntota horizontal al - ꚙ 
y una forma de escribirlo es : A.H-ꚙ: y = 0 
 
Curiosidad: ¡Nos dio lo mismo! ¿Entonces para qué lo hacemos dos veces, al + ꚙ y al 
- ꚙ? Tenés razón! 
Si una función racional tiene asíntota horizontal al más infinito entonces tendrá la misma 
asíntota horizontal al menos infinito. No hace falta que resuelvas el límite para menos 
infinito. Podemos decir que existe una única asíntota horizontal y en particular, en este 
ejemplo podríamos escribir A.H. : y = 0 
Pero ¡CUIDADO! Otro tipo de funciones, irracionales, logarítmicas, exponenciales, etc 
pueden tener asíntotas distintas al + ꚙ y al - ꚙ, o sólo tener una de ellas o no tener. En 
estos casos si calcularas sólo una de ellas el ejercicio estaría incompleto. 
 
Observación: Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales. 
Buscá, por ejemplo, el gráfico de la función arc tan x. 
 
 
 
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El primero de los gráficos con los que ilustramos la definición tiene asíntota horizontal al 
+ ꚙ y no tiene asíntota horizontal al - ꚙ. 
El segundo de los gráficos tiene asíntota horizontal al - ꚙ y no tiene asíntota horizontal 
al + ꚙ. 
El tercero de los gráficos tiene una asíntota horizontal al - ꚙ y otra asíntota horizontal al 
+ ꚙ. 
 
Para tener en cuenta: Una función puede cortar a su asíntota horizontal, como se 
muestra en el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Asíntota oblicua: (m ∈ ℝ, m ≠ 0, b ∈ ℝ) 
Definición: 
La recta que tiene ecuación cartesiana 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una asíntota oblicua de la función 
f (x) ⟺ lim
x⟶+∞
[f(x) − (mx + b)] = 0 o lim
x⟶−∞
[ f(x) − (mx + b)] = 0 
 
 Siendo para la asíntota oblicua al más infinito: 
 m = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
[f(x) ∙
1
x 
 ] y b = lim
x→+∞
[f(x) − mx] 
 
 y para la asíntota oblicua al menos infinito: 
 m = lim
x→−∞
f(x)
x
= lim
x→−∞
[f(x) ∙
1
x 
 ] y b = lim
x→−∞
[f(x) − mx] 
 
 
x 
y 
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Los dos primeros renglones de la definición nos explican en forma simbólica que, por 
ejemplo, a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes (al más infinito), 
la diferencia que existe entre la función y la recta es cada vez más pequeña (tiende a 0), 
es decir, las gráficas se van “pegando” cada vez más . Lo mismo ocurrirá si tenemos 
asíntota oblicua al menos infinito. No utilizaremos dichos límites en la resolución de los 
ejercicios, sino los límites que nos permiten hallar la pendiente m y la ordenada al origen 
b de la recta. 
 
Algunos gráficos posibles: 
 
 
 
 
 
 
 
A.O: y = m x + b A.O: y = m x + b 
 
 
 
 
 
 A.O1: y = m1 + b1 
 A.O2: y = m2 + b2 
 
 
 
 
 
x x 
y 
y 
x 
y 
A.O+ꚙ : y=m x + b 
A.H-ꚙ: y = b 
x 
y 
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¿Cómo encontramos la asíntota oblicua de una función? 
Por ejemplo, si nos dan f(x) =
x2+1
x
 ; dom f = ℝ − {0} 
Debemos calcular el valor de la pendiente y de la ordenada al origen con las fórmulas 
correspondientes: 
 m = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
[f(x) ∙
1
x 
 ] 
 m = lim
𝑥→+∞
(
𝑥2+1
𝑥
∙ 
1
𝑥
) = lim
𝑥→+∞
𝑥2+1
𝑥2
=1 ; m = 1 
 
y b = lim
x→+∞
[f(x) − m ∙ x] 
 b = lim
x→+∞
(
x2+1
x
− 1 ∙ x) = lim
x→+∞
x2+1−x2
x
= lim
x→+∞
1
x
= 0 ; b = 0 
 
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua al más infinito es: 
 y = 1 x + 0 
 y = x 
 
Curiosidad: Si una función racional tiene asíntota oblicua al más infinito entonces tendrá 
la misma asíntota oblicua al menos infinito. No hace falta que resuelvas el límite para 
menos infinito. Podemos decir que existe una única asíntota oblicua y en particular, en 
este ejemplo podríamos escribir A.O. : y = x 
Pero ¡CUIDADO! Otro tipo defunciones, irracionales, logarítmicas, exponenciales, etc 
pueden tener asíntotas distintas al + ꚙ y al - ꚙ, o sólo tener una de ellas o no tener. En 
estos casos si calcularas sólo una de ellas el ejercicio estaría incompleto. 
 
Observación: Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas oblicuas. 
Los dos primeros gráficos con los que ilustramos la definición tienen la misma asíntota 
oblicua al + ꚙ y - ꚙ. 
El tercero de los gráficos tiene asíntota oblicua al + ꚙ y tiene asíntota horizontal al - ꚙ. 
El cuarto de los gráficos tiene una asíntota oblicua al - ꚙ y tiene otra asíntota oblicua al 
+ ꚙ. 
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¡ATENCIÓN! Una función no puede tener simultáneamente asíntotas horizontal y 
oblicua al más infinito, o simultáneamente al menos infinito, pues dejaría de ser función. 
Por lo tanto, por ejemplo, si ya encontraste asíntota horizontal al más infinito no se calcula 
la oblicua al más infinito. 
Esto nos haría más sencillo la búsqueda de asíntotas como te muestro en el siguiente 
ejemplo: 
 f(x) =
2𝑥
𝑥2+1
 ; dom f = ℝ 
 
➢ ∄A. V. porque es una función racional cuyo denominador no tiene raíces reales. 
➢ lim
𝑥⟶+∞
2𝑥
𝑥2+1
= 0, entonces A.H.: y = 0 
(acordate que no hace falta calcular al menos infinito porque daría lo mismo) 
➢ ∄A. O. pues ya encontramos que la función tiene asíntota horizontal. 
___________________________________________________________ 
Esta fue nuestra tercera clase teórica. Volvé a leerla con atención y profundidad. 
Y luego a trabajar con las actividades… 
¡Ah! ¡¡¡Y también terminamos con la teoría de límite funcional!!! 
 
 
 
 
 
 
 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SMirC-party.svg
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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4. Bibliografía: 
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – Thomson 
Editions 
[2] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, Buenos 
Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
 
5. Actividad pedagógica: 
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del Trabajo Práctico de Límites: 
 8), 9), 14). 
De los cuales son ejercicios obligatorios: 
8) a, d 
9) a, c, e, f, i 
14) a, c, d 
 
 
Ayuda con el 10) b): 
 lim
𝑥→0
(x cot x) = lim
𝑥→0
( x ∙
cosx
sin x
 ) = lim
𝑥→0
( 
x
sin𝑥
∙ cos 𝑥 ) = lim
𝑥→0
( 
x
sin𝑥
) ∙ lim
𝑥→0
cos 𝑥 = 1 ∙ 1 = 1 
 
Ayuda con el 10) f): 
lim
x→0
ln (1 + 𝑥)
𝑥
= lim
x→0
l
𝑥
∙ ln(1 + x) = lim
𝑥→0
ln(1 + 𝑥)
1
𝑥 = ln lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = ln 𝑒 = 1 
 
 
 
El 8) b), d), 9) c), h) están resueltos en la explicación del desarrollo de la teoría. 
También encontrarás resuelto al 14) e). 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO: LIMITES 
1) Demostrar que el límite indicado es correcto utilizando la definición. 
Hallar  en función de . 
 
a) 142)(3xlim
4x
=+
→
 c) 14x)(9lim
2x
=−
→
 
b) 115)(6xlim
1x
=+
→
 d) 51)2x(lim
3x
−=+−
→
 
 
2) Caso 1: Ausencia de Indeterminación: 
 
a) 
5
x 2
3x 8
lim
x 4→
− +
+
 g) ( )
x 2
1-xlim x
→
 
b) 
64xx
1x
lim
2
3
1x −+
−
→
 h) 1)ln(xlim
3x
+
→
 
c) 
22x
125x
lim
3
5
0x +
−
→
 i)
2
x 0
(x 5) (x 1)
lim
2 cosx→
+ +

 
d) 
2x
2
x 3
x 2x 3
lim
x 1→
 − −
 
+ 
 j)
2
x 3
3 x
lim
x 1→
−
+
 
e) 
38x
12x
lim
0x −
−
→
 k)
1t sentcos
5t cos 3tsen
lim
3
2
2
π
t ++
++
→
 
f) 
2
e1
lim
t
0t
+
→
 l)
1x 6
x cos-x 3
0x x cosx-
cos(5x)-sen(4x)
lim
+
→






+ 
 
3) Caso 2: Límites laterales: 
a) 
x
1
lim
0x→
 c)
20x x
1
lim
→
 e)
|5x|
5-x
lim
5x −→
 
b) 
3x
5
lim
3x −→
 d) xlnlim
+→0x
 f)
4x
13x
lim
4x −
−
→
 
 
 g)
2x-
1
lim
-2x +→
 h) 





+→ x
1
ln
0x
lim i) xe
1
-0x
lim
→
 
 
 j) x
3
0x
lim 3
+→
 k)
x
1
0x 5
1
lim
-






→
 l)
x
x
0x
lim
→
 
 
 
 
 
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4) Caso 3: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
: 
a) 
158xx
65xx
lim
2
2
3x +−
+−
→
 f)
2
x
1
2
2
3x 32xx
34xx
lim
+
→ 






−−
+−
 
b) 
2xx
1512x3x
lim
2
2
1x −+
−+
→
 g) 
ax
ax
lim
33
ax −
−
→
 
c) 
8x
4x
lim
3
2
2x −
−
→
 h) 
1x
21x x
1-x
lim
+
→






−1
 
d) 
12x7xx
45xx
lim
23
2
4x +−
+−
→
 i)
t
xt)(x
lim
33
0t
−+
→
 
e) 234
23
2x 8x2xx
812x6xx
lim
−+
−+−
→
 
 
5) Caso 4: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
 (irracionales): 
 a) 
x2
4x
lim
4x −
−
→
 f) 
9x
16x
lim
0x +−
+−
→ 3
4
 
 b)
3x
3x
lim
3x −
−
→
 g)
23 −+→ 21x x
1-x
 lim 
 c) 
2x
3x
lim
0x −+→ 4
 h)
2x
4x
lim
2
2x −
−
+→
 
 d)
2x
2x
lim
2
2x −
−
→
 i) 
1-x
x
lim
2
1x
23 −+
→
 
 e) 
x
x2x2
lim
0x
+−−
→
 j) 
1
2
−
−
+→ x
xx
1x
lim 
 
6) Caso 5: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
(trigonométricos), para utilizar: 
 
 00)(1
f(x)
f(x) sen
→→=
→
xcuandoxfsi lim
0x
 
 
 
0
0)(1
f(x)
f(x) sen
xxcuandoxfsi →→=
→
 lim
0xx
 
 
a) 
x
(4x) sen
 lim
0x→
 f) 
20x x
1- xcos
 lim
→
 
 
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b) 
x
 xtan
 lim
0x→
 g)
x
x sen
2
2
23x-x
32x-x 






+
+
→
 lim
0x
 
c) 
6-x-x
6)-x-(x sen
2
2
 lim
3x→
 h)
x senx
x sen-x
+→
 lim
0x
 
d) 
3x
(5x) sen2
 lim
0x→
 i)
x-
x) -sen(x cos3



 lim
x→
 
e) 
sen(5x)
x) tan(2
 lim
0x→
 j)
x
(x) sen
 lim
0x +→
 
 k) 
( )
( )2
42
−
−
→ xsen
xtg
2x
lim l)
)cos1
2
x
x
−→0x
lim 
 
7) Caso 6: Indeterminación →
→
( )
( )
: 
 a) 
4x
6x3x
lim
2
x +
+
+→
 g) 
14x
23x
lim
2
x −
+
+→
 
b) 
12x
8xx
lim
5
35
x +
+
+→
 h) 
2
2x 1
2 3x 6
2x
5x 10
lim
x 1
+
−
→+
 +
 
− 
 
c) 
52xx
2x
lim
3x −+
−
+→
 i) 
x
x
2x 1
lim
5x 2→+
− 
 
+ 
 
d) 
7x
10xx
lim35
x +
+
−→
 j) xx
xx
x 44
44
lim
−
−
+→ +
−
 
e) 
x
xx
lim
2
x
+
−→
 k) 
4 82
3 462
x 1x6x
3xx513x
lim
++
−++−
+→
 
f) 
3x25x
5x3x
lim
x −+
+−
+→
 l)
x
x
1
1
37
73
+
−
+→0x
lim 
 
8) Caso 7: Indeterminación  → + + → −( ) ( ) : 
 a) 3
x 1
3 1
lim
x 1x 1→
 
− 
−− 
 e) ( )
x
lim 2x x 4
→+
− + 
b) 2
x 1
3 2
lim
x 1 x 1+→
 
− 
− − 
 f) ( )2
x
lim x 3x x
→+
+ − 
c) 
2 3
2
x 2
x 1 x x 2
lim
x 2 x 2x+→
 + + −
− 
− − 
 g) ( )
x
lim x 1 x
→+
+ − 
d) ( )2
x
lim x x 2
→+
− + 
 
 
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9) Caso 8: Indeterminación ( )
→
→
( )
1 para utilizar: 
 
 +→+→=





+
+→
xcuandoxfsie )(
f(x)
x f(x)
1
1lim 
 ( ) 00)( →→=+
→
xcuandoxfsief(x)
1
0x
f(x)1lim 
 
a) 
x
x x
1
1lim 





−
+→
 e) ( )x
3
0x
2x1lim −
→
 
b) 
x
x 22x
12x
lim 





+
+
+→
 f) x
2
0x
x) sen1(lim +
→
 
c) 
12x
x 5x3
5x1
lim
−
+→






+
+
 g) 
x
1
0x 33x
32x
lim 





+
+
→
 
d) 
2x
x 3x
1x
lim
+
+→






+
−
 h) ( )x
3
2
0x
x1lim +
→
 
 
 i) ( )x
7
0x
sen(5x)1lim +
→
 j) ( ) x+
→
+ 2x
3
0x
senx1lim 
 
 k) ( )sen(x)
2
0x
(x)tg31lim +
→
 l) ( )tg(x)
1
0x
5sen(4x)1lim +
→
 
 
 
10) Caso 9: Indeterminaciones varias: 
a) 





+→ x
1
sinx lim
x
 d)
8x
3x7
lim
3
8x −
−+
→
 
b) xcotx lim
x 0→
 e)  
x
lim x ln(x 1) lnx
→+
 + − 
c) 
x tan-1
x cos -x sen
lim
4

→x
 f)
x
x)ln(1
lim
0x
+
→
 
 
11) Caso 10: Límite de funciones por tramos: 
 
a) Hallar el límite para 𝑥→2 de 




−
=
2xsi,0
2xsi,x3
f(x) 
 
b) Hallar el límite para 𝑥→0 de 




+
=
0xsi,x
0xsi,2x
f(x)
3
 
 
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c) Hallar el límite para 𝑥→9 de 



−
−
=
9xsi,2x18
9xsi,9x
f(x) 
 
d) Hallar el límite para 𝑥→1 de 




=

−
−
=
1xsi,5
1xsi,
1x
33x
f(x) 
 
e) Hallar el límite para 𝑥→0 y 𝑥→3 de 





−
−
−
=
3xsi,x4
3x0si,1x
0xsi,12x
f(x) 2 
12) Si 
x5x7
xx3
)x(f
−
+
= , hallar: 
 
a) ( )xflim
x +→
 b) ( )xflim
x −→
 c) ( )xflim
0x →
 
 
13) ¿Existe 
x
xcos1
lim
2
0x
−
→
? 
14) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones: 
 
a) ( )
3 2
2
3x 9x 12
f x
2x 2x 4
+ −
=
+ −
 g) ( )
x
f x
4x 2
=
+
 
b) ( )
3 2
2
2x 6x 8
f x
3x 9x 6
+ −
=
+ +
 h) ( ) ( )= +f x ln x 3 
c) ( )
2
3 2
2x 4x 6
f x
3x 12x 3x 12
+ −
=
+ − −
 i) 
4x
sen(3x)
(x) f = 
d) ( )
3 2
2
x 2x 5x 20
f x
x 4
+ + +
=
−
 j) ( ) x 5f x e− += 
e) ( ) 2
2x
f x
x 1
=
+
 
f) ( )
22x 4x 6
f x
3x 6
− + +
=
+
 
15) Hallar una función que tenga como asíntota horizontal a la recta 𝑦 = 2, 
y como asíntotas verticales a 𝑥 = 5 y a x = 4. 
16) Deducir la ecuación de una función, cuya A.O. sea y 2x 5= + y su A.V. 
sea x 2= 
 
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APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
17) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) 20000 5x= + , donde 
x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado 
por C(x)o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra dividiendo C(x) entre x. Encontrar: 
 
a) C(1000) 
b) (10000)C 
c) (x)Clim
100000x→
 
d) 
x
lim C(x)
→+
 
 
18) La Demanda de un artículo viene dada por la fórmula 
3000
p
3q 4
=
+
. Si la 
cantidad demandada crece indefinidamente, ¿a cuánto tiende el Ingreso? 
 
19) Los costos variables por unidad de un determinado producto ascienden 
a $35.Los costos fijos anuales ascienden a $125.000. Encontrar a qué valor 
tiende el Costo medio cuando el número de unidades tiende a infinito. 
 
20) La función Costo medio está dada por ( )
q
1206q
 qC
+
= , donde q es la 
cantidad de artículos producidos: 
 a) Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario. 
 b) ¿Cuál es el significado de la pendiente del 𝐶𝑇.? 
 c) ¿A cuánto tiende el Costo total cuando 𝑞 se acerca a 5? 
 
21) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se 
estima un costo fijo en $300. Con estos datos: 
 a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que 
 ambas coinciden en 𝑞 = 20. 
 b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable. 
 c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio 
 medio? 
 
 
 
 
 
 
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RESPUESTAS 
1) a)  = 
3
 b)  = 
6
 c)  = 
4
 d)  = 
2
 
2) a) 
3
44
− b) 0 c) -6 d) 0 e) 
3
3
 f) 1 g) 
2
1 h) ln 4 i) 
2
25 j) 0 
 k) 3 l) ∄ 
 
3) a)  b)  c) + d) - e) ∄ f) g)+h) + i) 0 j) + 
 k) + l) 1 
4) a) 
2
1
− b) 6 c) 
3
1 d) 
4
3 e) 0 f) 
3
7
2
1






 g) 3 a2 h)
4
1 i) 3 x2 
 
5) a) -4 b) 
6
3
 c) 12 d) 
4
2
 e) 
2
2
− f) 
4
3 g) 2 h) + i)
2
1 j)0 
 
6)a) 4 b) 1 c) 1 d) 0 e) 
5
2 f) -
2
1 g) 
2
3 h) 0 i) -1 j)0
 k) 4 l) 0 
 
7) a) + b) 
2
1 c) 0 d) + e) -1 f) 
5
3 g) 
4
3
 h) 1 i) 0 j) 1 k) 
7
8
 l) 1 
 
8) a) -1 b) + c) + d) 0 e) + f) 
2
3 g) 0 
9) a) 1−e b) 2
1
−
e c) 5
4
−
e d) 
4−e e) 
6−e f) 2e g) 3
1
−
e h) 1 
 i) 35e 
j) 3e k) 6e l) 20e 
 
10) a) 1 b) 1 c) 
2
2
− d) 
72
1
e) 1 f) 1 
11) a)  b)  c) 0 d) 3 e) -1 y  
 
12) a) 2 b) 
6
1
 c)  13)  
14) a) A.O.:𝑦 =
3
2
𝑥 + 3 g) A.H.:
1
y
2
= ; A.V.:
2
1
x −= 
 b) A.V.: 𝑥 = −1; A.O.:𝑦 =
2
3
𝑥. h) A.V.:𝑥 = −3 
 c) A.V.: x 1 ; x 4= − = − ; A.H.:𝑦 = 0 i) A.H.:𝑦 = 0 
 d) A.V.:𝑥 = −2; 𝑥 = 2 ; A.O.:𝑦 = 𝑥 + 2 j) A.H.:𝑦 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 → +∞ 
 e) A.H.:𝑦 = 0. 
 f) A.V.:𝑥 = −2 ; A.O.:𝑦 = −
2
3
𝑥 +
8
3
 
 
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15) Ejemplo: 
( )( )4x5x
1x2
y
2
−−
+
= 
 
16) Ejemplo: 
1
y 2x 5
x 2
= + +
−
y sacando común denominador resulta:
22x x 9
y
x 2
+ −
=
−
 
 
APLICACIONES ECONOMICAS: 
 
17) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5 
 
18) 1000 
 
19) 35 
 
20)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario c) 
150 
 
21) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Material complementario de la clase: 
 
Aquí encontrarásejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y 
enriquecerte mucho más: 
 
 LIMITE DE FUNCIONES 
 
 
INDETERMINACIÓN: (→ ∞) − (→ ∞) 
 
Ejercicio 1: lim
𝑥→2
(
1
𝑥−2
−
4
𝑥2−4
) 
 
Evaluando el límite, tenemos: 
 
lim
𝑥→2
(
1
𝑥−2
−
4
𝑥2−4
) = (
1
→0
−
4
→0
) = (→ ∞) − (→ ∞) Indeterminado. 
 
Recomendación: para resolver este tipo de límites, hay que realizar el cálculo 
matemático de lo que se encuentra dentro de los paréntesis. 
 
Para resolver la sustracción que se encuentra dentro de los paréntesis, tenemos que 
determinar el denominador común. Para ello debemos factorizar ambos denominadores: 
= lim
𝑥→2
(
1
𝑥 − 2
−
4
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
) = 
Una vez factorizados, debemos sacar el mínimo común denominador. 
El mismo se conforma de los factores comunes elevados al mayor exponente por los 
factores no comunes, en este caso nos queda: 
 
= lim
𝑥→2
(
(𝑥 + 2) − (4)
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
) = lim
𝑥→2
𝑥 + 2 − 4
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
= 
 
Evaluando el límite, tenemos: 
= lim
𝑥→2
𝑥 − 2
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
= 
(→ 0)
(→ 0)
 
 
Simplificando (𝑥 − 2) en el numerador y en el denominador, y evaluando nuevamente, 
nos queda: 
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lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
= lim
𝑥→2
 
1
𝑥 + 2
= 
1
4
 
 
∴ lim
𝑥→2
(
1
𝑥 − 2
−
4
𝑥2 − 4
) =
4
7
 
 
Ejercicio 2: lim
𝑥→+∞
(√𝑥2 + 3𝑥 − √𝑥2 + 𝑥) = (→ +∞) − (→ +∞) 
 
Si multiplicamos por el conjugado: 
(√𝑥2+3𝑥+√𝑥2+𝑥)
(√𝑥2+3𝑥+√𝑥2+𝑥)
= 1 , el ejercicio no cambia: 
 
= lim
𝑥→+∞
(√𝑥2 + 3𝑥 − √𝑥2 + 𝑥). (√𝑥2 + 3𝑥 + √𝑥2 + 𝑥)
(√𝑥2 + 3𝑥 + √𝑥2 + 𝑥)
= 
Resulta en el numerador una diferencia de cuadrados, (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2 , 
luego: 
(√𝑥2 + 3𝑥 − √𝑥2 + 𝑥) . (√𝑥2 + 3𝑥 + √𝑥2 + 𝑥) = (√𝑥2 + 3𝑥)
2
− (√𝑥2 + 𝑥)
2
= 
 
= (𝑥2 + 3𝑥) − (𝑥2 − 𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 
Tenemos entonces: 
= lim
𝑥→+∞
 
𝑥2+3𝑥−𝑥2−𝑥
√𝑥2+3𝑥+√𝑥2+𝑥
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
√𝑥2+3𝑥+√𝑥2+𝑥
= 
→∞
→∞
 Indeterminado. 
 
Si dividimos por 𝑥 el numerador y el denominador resulta: 
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥
√𝑥
2
𝑥2
+
3𝑥
𝑥2
+ √
𝑥2
𝑥2
+
𝑥
𝑥2
= 
Recordar que: 
√𝑥2+3𝑥+√𝑥2+𝑥
𝑥
=
√𝑥2+3𝑥
𝑥
+
√𝑥2+𝑥
𝑥
= √
𝑥2
𝑥2
+
3𝑥
𝑥2
+ √
𝑥2
𝑥2
+
𝑥
𝑥2
 
Pues 𝑠𝑖 𝐵 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
√𝐴
𝐵
= √
𝐴
𝐵2
 
Simplificando todo lo posible queda: 
= lim
𝑥→+∞
2
√1 +
3
𝑥⏟
→0
+ √1 +
1
𝑥⏟
→0
=
2
√1 + 0 + √1 + 0
=
2
1 + 1
=
2
2
= 1 
 
∴ lim
𝑥→+∞
(√𝑥2 + 3𝑥 − √𝑥2 + 𝑥) = 1 
 
 
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Ejercicio 3: lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎) − 𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝜖𝑅 
Evaluando el límite, tenemos: 
 
lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎) − 𝑥) = (→ ∞) − (→ ∞) 
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado de: 
 √𝑥. (𝑥 + 𝑎) − 𝑥 tenemos: 
= lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎)
2
− 𝑥) ∙ (
√𝑥. (𝑥 + 𝑎)
2
+ 𝑥
√𝑥. (𝑥 + 𝑎)
2
+ 𝑥
) = 
El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de 
cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que: 
 
(𝐴2 − 𝐵2) = (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵) 
Nos queda: 
= lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎))
2
− 𝑥2
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= 
 
Simplificando índice cuadrado con exponente al cuadrado, nos queda: 
 
= lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎) )
2
− 𝑥2
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥. (𝑥 + 𝑎) − 𝑥2
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= 
 
Aplicando propiedad distributiva en el numerador y asociando monomios de igual grado, 
tenemos: 
 
= lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑥2
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑥2
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= 
 
Evaluando el límite, nos queda: 
 
= lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
= 
(→ ∞)
(→ ∞)
 
 
Dividiendo numerador y denominador por 𝑥, y aplicando propiedad distributiva en el 
radicando, tenemos: 
 
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= lim
𝑥→+∞
𝑎 ∙
𝑥
𝑥
√𝑥. (𝑥 + 𝑎) + 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑎 ∙
𝑥
𝑥
√𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑥
𝑥
= 
 
Distribuyendo la 𝑥 en el denominador, e ingresándola dentro de la raíz cuadrada, tenemos: 
= lim
𝑥→+∞
𝑎 ∙
𝑥
𝑥
√𝑥
2
𝑥2
+ 𝑎 ∙
𝑥
𝑥2
+ +
𝑥
𝑥
= 
Simplificando: 
= lim
𝑥→+∞
𝑎 ∙
𝑥
𝑥
√𝑥
2
𝑥2
+ 𝑎 ∙
𝑥
𝑥2
+ +
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑎
√1 + 𝑎 ∙
1
𝑥 + 1
= 
 
Sabiendo que sí 𝑥 → ∞ → 
1
𝑥
→ 0 y evaluando el límite, nos queda: 
 
lim
𝑥→+∞
𝑎
√1 + 𝑎 ∙
1
𝑥 + 1
=
𝑎
√1 + 𝑎 ∙ (→ 0)
2 + 1
=
𝑎
√1
2
+ 1
=
1
2
∙ 𝑎 
 
∴ lim
𝑥→+∞
(√𝑥. (𝑥 + 𝑎) − 𝑥) =
1
2
∙ 𝑎 
 
INDETERMINACIÓN: (→ 1)(→∞) 
 
Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, recordar: 
 
➢ lim
𝑥→0
(1 + 𝑓(𝑥))
1
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠í 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 (1) 
➢ lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑓(𝑥)
)
𝑓(𝑥)
= 𝑒 𝑠í 𝑓(𝑥) → +∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → +∞ (2) 
 
Ejercicio 4: lim
𝑥→0
(
2𝑥+1
3𝑥+1
)
3
4𝑥
 
 
Evaluando el límite, tenemos: 
lim
𝑥→0
(
2𝑥+1
3𝑥+1
)
3
4𝑥
= (
2.(→0)+1
3.(→0)+1
)
3
4.(→0)
= (→ 1)(→∞) Indeterminado. 
 
La idea es trabajar con la expresión inicial del límite y llevarla a una expresión parecida 
a (1). 
Sumando y restando 𝑥 en el numerador de la base, tenemos: 
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= lim
𝑥→0
(
2𝑥 + 1 + 𝑥 − 𝑥
3𝑥 + 1
)
3
4𝑥
= 
 
Asociando convenientemente, nos queda: 
= lim
𝑥→0
(
(2𝑥 + 1 + 𝑥) − 𝑥
3𝑥 + 1
)
3
4𝑥
= 
 
Distribuyendo el denominador: 
= lim
𝑥→0
(
3𝑥 + 1
3𝑥 + 1
+
(−𝑥)
3𝑥 + 1
)
3
4𝑥
= 
Simplificando: 
= lim
𝑥→0
(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
)
3
4𝑥
= lim
𝑥→0
(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
 )
3
4𝑥
= 
 
Multiplicando el exponente por 
3𝑥+1
(−𝑥)
 .
(−𝑥)
3𝑥+1
= 1 
 
= lim
𝑥→0
(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
 )
3
4𝑥
 .
3𝑥+1
(−𝑥)
 .
(−𝑥)
3𝑥+1
.
= 
Reordenando 
= lim
𝑥→0
[(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
)
3𝑥+1
(−𝑥)
]
(−𝑥)
3𝑥+1
∙(
3
4𝑥
)
= 
Sabiendo que: 
lim
𝑥→0
(1 + 𝑓(𝑥))
1
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠í 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 
 
Observar que: 𝑓(𝑥) =
(−𝑥)
3𝑥+1
 y 
1
𝑓(𝑥)
=
1
(−𝑥)
3𝑥+1
=
3𝑥+1
(−𝑥)
 
 
Entonces aplicando propiedades de los límites obtenemos: 
 
lim
𝑥→0
[(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
)
3𝑥+1
−𝑥
]
lim
𝑥→0
−𝑥
3𝑥+1
∙(
3
4𝑥
)
= 𝑒𝑡 (𝐴) 
 
Llamando 
𝑡 = lim
𝑥→0
−3𝑥
(3𝑥 + 1). 4𝑥
= 
(→ 0)
(→ 0)
 
Hallando el valor de 𝑡, tenemos: 
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𝑡 = lim
𝑥→0
−3𝑥
(3𝑥 + 1). 4𝑥
= lim
𝑥→0
−3
12𝑥 + 4
= −
3
4
 
 
Reemplazando 𝑡 en (𝐴), obtenemos finalmente que: 
lim
𝑥→0
[(1 +
(−𝑥)
3𝑥 + 1
)
3𝑥+1
−𝑥
]
lim
𝑥→0
−𝑥
3𝑥+1
∙(
3
4𝑥
)
= 𝑒−
3
4 
 
∴ lim
𝑥→0
(
2𝑥 + 1
3𝑥 + 1
)
3
4𝑥
= 𝑒−
3
4 
 
Ejercicio 5: lim
𝑥→+∞
(
2𝑥−3
2𝑥−5
)
3𝑥+4
= (→ 1)(→∞) Indeterminado 
 
La idea es trabajar con la expresión inicial del límite y llevarla a una expresión parecida 
a (2). 
Sumando y restando 2 al numerador de la base, tenemos: 
 
 lim
𝑥→+∞
(
2𝑥 − 3 − 2 + 2
2𝑥 − 5
)
3𝑥+4
= 
 
Asociando convenientemente el numerador de la base nos queda: 
 
= lim
𝑥→+∞
(
(2𝑥 − 3 − 2) + 2
2𝑥 − 5
)
3𝑥+4
= lim
𝑥→+∞
(
(2𝑥 − 5) + 2
2𝑥 − 5
)
3𝑥+4
= 
 
Distribuyendo el denominador de la base y simplificando: 
 
= lim
𝑥→+∞
(
2𝑥 − 5
2𝑥 − 5
+
2
2𝑥 − 5
)
3𝑥+4
= 
 
Dividiendo numerador y denominador de 
2
2𝑥−5
 por 2, tenemos: 
 
= lim
𝑥→+∞
(1 +
1
2𝑥 − 5
2
)
3𝑥+4
= 
 
Multiplicando el exponente por 
2𝑥−5
2
. 
2
2𝑥−5
= 1 para no modificar la igualdad, nos queda: 
 
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= lim
𝑥→+∞
(1 +
1
2𝑥 − 5
2
)
3𝑥+4. 
2𝑥−5
2
.
2
2𝑥−5
= 
Reordenando: 
= lim
𝑥→+∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
2𝑥 − 5
2
)
2𝑥−5
2
]
 
 
 
 
2
2𝑥−5
∙(3𝑥+4)
= 
 
Sabiendo que: 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑓(𝑥)
)
𝑓(𝑥)= 𝑒 𝑠í 𝑓(𝑥) → +∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → +∞ 
 
Entonces aplicando propiedades de los límites obtenemos: 
 
lim
𝑥→+∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
2𝑥 − 5
2
)
2𝑥−5
2
]
 
 
 
 
lim
𝑥→+∞
2.(3𝑥+4)
2𝑥−5
= 𝑒𝑡 (𝐵) 
 
Llamando: 
𝑡 = lim
𝑥→+∞
2. (3𝑥 + 4)
2𝑥 − 5
=
(→ ∞)
(→ ∞)
 
 
Dividiendo numerador y denominador por 𝑥: 
 
𝑡 = lim
𝑥→+∞
2 ∙ (3
𝑥
𝑥 +
4
𝑥)
2 ∙
𝑥
𝑥 −
5
𝑥
 
 
Simplificando, y sabiendo que: 𝑠í 𝑥 → ∞ → 
1
𝑥
→ 0 tenemos: 
𝑡 = lim
𝑥→+∞
2 ∙ (3
𝑥
𝑥 +
4
𝑥)
2 ∙
𝑥
𝑥 −
5
𝑥
= lim
𝑥→+∞
2. (3 + (→ 0))
2 − (→ 0)
= 3 
 
Finalmente, reemplazando 𝑡 en (𝐵) obtenemos: 
lim
𝑥→+∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
2𝑥 − 5
2
)
2𝑥−5
2
]
 
 
 
 
lim
𝑥→+∞
2.(3𝑥+4)
2𝑥−5
= 𝑒3 
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∴ lim
𝑥→+∞
(
2𝑥 − 3
2𝑥 − 5
)
3𝑥+4
= 𝑒3 
 
Ejercicio 6: lim
𝑥→+∞
(
𝑥+3
𝑥−1
)
𝑥+3
=(→ 1)(→+∞) 
 
Si sumamos y restamos 1 en el numerador el ejercicio no altera: 
 
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥 − 1 + 3 + 1
𝑥 − 1
)
𝑥+3
= 
 
luego aplicamos la propiedad distributiva de la división respecto del denominador 
 
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥 − 1
𝑥 − 1
+
4
𝑥 − 1
)
𝑥+3
= 
 Simplificamos 
= lim
𝑥→+∞
(1 +
4
𝑥 − 1
)
𝑥+3
= 
 
“reacomodamos” la expresión: 
4
𝑥−1
=
1
𝑥−1
4
 ya que: 
𝐴
𝐵
=
1
𝐵
𝐴
 entonces: 
 
= lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥 − 1
4
)
𝑥+3
= 
 
sí multiplicamos el exponente por 
𝑥−1
4
.
4
𝑥−1
= 1 el ejercicio no cambia, entonces: 
= lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥 − 1
4
)
(
𝑥−1
4
).(
4
𝑥−1
).(𝑥+3)
= lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥 − 1
4
)
(
𝑥−1
4
).(
4𝑥+12
𝑥−1
)
= 
 
= lim
𝑥→+∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
𝑥 − 1
4
)
(
𝑥−1
4
)
]
 
 
 
 
(
4𝑥+12
𝑥−1
)
= 
 
Ordenando obtenemos la forma del número 𝑒: 
 
= 𝑒
lim
𝑥→+∞
(
4𝑥+12
𝑥−1
)
= 𝑒4 
 
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Recordar que lim
𝑥→+∞
(
4𝑥+12
𝑥−1
) = 4 por ser cociente de polinomios de igual grado, que 
tienden a infinito, luego su límite es el cociente de los coeficientes principales. 
∴ lim
𝑥→+∞
(
𝑥 + 3
𝑥 − 1
)
𝑥+3
= 𝑒4 
 
Ejercicio 7: Encontrar las asíntotas de la siguiente función: 𝑓(𝑥) =
 2𝑥−1
𝑥−3
 
Calculamos la Asíntota vertical: lim
𝑥→3
 2𝑥−1
𝑥−3
= ∞, por lo tanto, existe 𝐴𝑉 en 𝑥 = 3 
Calculamos la asíntota horizontal: lim
𝑥→∞
 2𝑥−1
𝑥−3
= 2, por lo tanto, existe 𝐴𝐻 en 𝑦 = 2 
 
______________________________________________________________________ 
 
No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en internet, 
utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. 
 
 En particular te recomendamos los siguientes links: 
• S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral. 
Selección de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e 
Internet: 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-
2019.pdf 
 
• PERMANENT CITATION Aori Nevo 
“Limits: A Graphical and Numerical Approach” 
Wolfram Demostrations Project Published: December 20 2011 
 
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/ 
 
 
 
 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/