CLASE-5---Ejercicios-Obligatorios3

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1 
 
CLASE N°5 - Ejercicios obligatorios - TRABAJO PRÁCTICO N°4: DERIVADAS 
EJERCICIO 1 
Derivar las siguientes funciones por definición: 
Utilizar la definición de 
derivada en un punto 𝒇´(𝒙𝟎) = 𝒍𝒊𝒎⁡⁡
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙)−𝒇(𝒙𝟎)
𝒙−𝒙𝟎
 
o bien de 
función derivada 𝒇´(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎⁡⁡
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
 
EJERCICIO 1B 
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 
Como el ejercicio no dice en qué punto hallar la derivada, entonces está pidiendo que hallemos la 
función derivada. Por lo tanto habrá que usar la fórmula: 
𝑓´(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Lo primero es cambiar 𝑓(𝑥 + ℎ) y 𝑓(𝑥) por lo que corresponde: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = 𝟑. (𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟐 
Entonces llevando esto al límite nos queda: 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉)⁡⁡− ⁡⁡𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝟑. (𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟐⁡⁡⁡ − ⁡⁡(3𝑥2 − 2)
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
3. (𝑥2 + 2. 𝑥. ℎ + ℎ2) − 2 − 3𝑥2 + 2
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 2 − 3𝑥2 + 2
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
6𝑥ℎ + 3ℎ2
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡
ℎ→0
6𝑥ℎ + 3ℎ2
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
ℎ. (6𝑥 + 3ℎ)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(6𝑥 + 3ℎ) = 6𝑥 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2⁡⁡es ⁡⁡𝑓′(𝑥) = 6𝑥 
 
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EJERCICIO 1C 
𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔 
Recordemos que como no nos pide derivar en un punto lo que nos pide es que hallemos la función 
derivada. Por lo tanto usamos la fórmula: 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 − 6 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = 𝟒. (𝒙 + 𝒉)𝟑 − 𝟐. (𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟔 
 
Armando el cociente incremental y operando en el numerador nos queda 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
[𝟒. (𝒙 + 𝒉)𝟑 − 𝟐. (𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟔] − (4𝑥3 − 2𝑥2 − 6)
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
4. (𝑥3 + 3𝑥2. ℎ + 3. 𝑥. ℎ2 + ℎ3) − 2. (𝑥2 + 2. 𝑥. ℎ + ℎ2) − 6 − 4𝑥3 + 2𝑥2 + 6
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
4𝑥3 + 12𝑥2. ℎ + 12𝑥. ℎ2 + 4ℎ3 − 2𝑥2 − 4𝑥. ℎ − 4ℎ2 − 6− 4𝑥3 + 2𝑥2 + 6
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
12𝑥2. ℎ + 12𝑥. ℎ2 + 4ℎ3 − 4𝑥. ℎ − 4ℎ2
ℎ
 
Aplicamos el límite con ℎ → 0 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
12𝑥2. ℎ + 12𝑥. ℎ2 + 4ℎ3 − 4𝑥. ℎ − 2ℎ2
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
 
Esta es una indeterminación del tipo 
→0
→0
. 
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Resolvamos el límite teniendo en cuenta este tipo de indeterminación, aplicando casos de factoreo 
en el numerador, en este caso será factor común ℎ. 
 
𝑓´(𝑥) = lim
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ→0
12𝑥2. ℎ + 12𝑥. ℎ2 + 4ℎ3 − 4𝑥. ℎ − 2ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ. (12𝑥2 + 12𝑥ℎ + 4ℎ2 − 4𝑥 − 2ℎ)
ℎ
= 
 
= lim
ℎ→0
(12𝑥2 + 12𝑥ℎ + 4ℎ2 − 4𝑥 − 2ℎ) = 12𝑥2 − 4𝑥 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 − 6⁡⁡⁡es ⁡⁡𝑓´(𝑥) = 12𝑥2 − 4𝑥 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 1D 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
 
Utilizamos nuevamente la definición de función derivada. 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Donde 
𝑓(𝑥) = ⁡𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = ⁡𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉) 
 
Si armamos el cociente incremental tenemos: 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
ℎ
= 
 
Aplicamos el límite con ℎ → 0 y resolvemos 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥+ℎ)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
ℎ
=
→0
→0
 (Es una indeterminación) 
 
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4 
 
Utilizamos la siguiente identidad trigonométrica 
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼). 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼). 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 
nos queda: 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ→0
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒄𝒐𝒔(𝒙). 𝒔𝒆𝒏(𝒉) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
ℎ
= 
 
Sacamos factor común 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entre el primer y tercer término 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1] + 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
 
 
Si⁡distribuimos⁡“ℎ" respecto a la suma y nos queda 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
⁡+⁡
𝑐𝑜𝑠(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
) 
 
Por álgebra de límites tenemos 
= 𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
⁡⁡⁡+ ⁡⁡ 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
⁡𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
[𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
+ 𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
= 
 
Sabiendo que 
𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Pues 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no depende de ℎ 
 
𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) Pues 𝑐𝑜𝑠(𝑥) no depende de ℎ 
 
𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
[𝑐𝑜𝑠(ℎ)−1]
ℎ
= 0 y lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
=1 (límites básicos) 
 
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5 
 
Nos queda 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 0 + cos(𝑥) . 1 = cos⁡(𝑥) 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)es 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 1E 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
 
Utilizamos nuevamente la definición de función derivada. 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Donde 
𝑓(𝑥) = ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = ⁡𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉) 
 
Si armamos el cociente incremental tenemos 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
⁡𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
Es una indeterminación 
Resolvemos el límite trigonométrico. 
 
Utilizamos la identidad 
𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼). 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼). 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 
nos queda 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ→0
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
⁡𝒄𝒐𝒔(𝒙). 𝒄𝒐𝒔⁡(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒔𝒆𝒏(𝒉) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
ℎ
= 
 
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6 
 
Sacamos factor común 𝑐𝑜𝑠(𝑥) en el primer y tercer término 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥). [cos(ℎ) − 1] − 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
 
 
Si⁡distribuimos⁡“ℎ" respecto a la resta nos queda 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
(
⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
−
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
) 
 
Por álgebra de límites tenemos 
 
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥). [𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
⁡⁡⁡− ⁡⁡ 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
[𝑐𝑜𝑠(ℎ) − 1]
ℎ
− 𝑙𝑖𝑚
⁡ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ
= 
 
Sabiendo que 
𝐥𝐢𝐦
⁡𝒉→𝟎
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) Pues 𝒄𝒐𝒔(𝒙) no depende de 𝒉 
 
𝐥𝐢𝐦
⁡𝒉→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) Pues 𝒔𝒆𝒏(𝒙) no depende de 𝒉 
 
𝐥𝐢𝐦
⁡𝒉→𝟎
[𝒄𝒐𝒔(𝒉)−𝟏]
𝒉
= 𝟎 y 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉
=𝟏 ( Límites básicos) 
Nos queda 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ∙ 0 − sen(𝑥) . 1 = −sen⁡(𝑥) 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)es 𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
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EJERCICIO 1F 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) 
Para derivar esta función logarítmica, vamos a utilizar 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Donde 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = ⁡𝒍𝒏(𝒙 + 𝒉) 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim⁡⁡
ℎ→0
𝒍𝒏(𝒙 + 𝒉) − 𝑙𝑛(𝑥)
ℎ
 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑙𝑛(𝑥 + ℎ) − 𝑙𝑛(𝑥)
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
 
Salvamos la indeterminación 
Sabiendo que log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 = log𝑎
𝑏
𝑐
 nos queda 
 
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
𝑙𝑛 (
𝑥+ℎ
𝑥
)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
ℎ→0
[
1
ℎ
∙ 𝑙𝑛 (
𝑥 + ℎ
𝑥
)] = 
 
 Utilizando 𝑛 ∙ log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑏
𝑛 tenemos que 
= lim
ℎ→0
[𝑙𝑛 (
𝑥 + ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] 
Por propiedad del límite de un logaritmo sabemos que 𝒍𝒊𝒎⁡⁡
𝒙→𝒙𝟎
[𝒍𝒏𝒇(𝒙)] = 𝒍𝒏 [𝒍𝒊𝒎⁡⁡
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙)] por lo 
tanto tenemos: 
= 𝑙𝑛 [⁡lim
ℎ→0
(
𝑥 + ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] 
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8Resolvemos el límite de indeterminación (→ 1)(→∞) 
= 𝑙𝑛⁡ [lim
ℎ→0
(
𝑥 + ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] = 𝑙𝑛 [⁡lim
ℎ→0
(
𝑥
𝑥
+
ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] = 𝑙𝑛 [⁡lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] 
Multiplicamos y dividimos por 𝑥 en el exponente 
= 𝑙𝑛 [⁡lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
∙⁡
1
𝑥
=] 
Aplicamos la propiedad de potencia de otra potencia y la propiedad del límite y el logaritmo de 
una potencia respectivamente, luego resolvemos el límite exponencial 
 
= 𝑙𝑛 lim
ℎ→0
[(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
]
1
𝑥
=𝑙𝑛 [lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
]
lim
ℎ→0
1
𝑥
= 
Calculamos aparte 
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟏
𝒙
=
𝟏
𝒙
 
= 𝑙𝑛 [lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
]
1
𝑥
=
1
𝑥
∙ 𝑙𝑛 lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
=
1
𝑥
∙ ln 𝑒 =
1
𝑥
∙ 1 =
1
𝑥
 
En lo resuelto anteriormente tuvimos en cuenta: lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
𝑥
ℎ
= 𝑒 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) es 𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 1H 
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
 
𝒇(𝒙 + 𝒉) =
𝟏
𝒙 + 𝒉
 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝟏
𝒙+𝒉
−
1
𝑥
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
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𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝟏
𝒙+𝒉
−
1
𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑥−(𝑥+ℎ)
(𝑥+ℎ)⁡∙⁡𝑥
ℎ
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑥−𝑥−ℎ
(𝑥+ℎ)⁡.⁡⁡𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
−
ℎ
(𝑥+ℎ)⁡∙⁡𝑥
ℎ
= 
 
= lim⁡⁡
ℎ→0
−
ℎ
(𝑥+ℎ)⁡.⁡⁡𝑥
ℎ
= lim⁡⁡
ℎ→0
−
ℎ
(𝑥+ℎ)⁡.⁡⁡𝑥
𝒉
𝟏
= lim⁡⁡
ℎ→0
−ℎ
(𝑥 + ℎ)⁡. 𝑥
∙
𝟏
𝒉
= lim⁡⁡
ℎ→0
−1
(𝑥 + ℎ). 𝑥
= −
1
𝑥2
 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 es 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥2
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 1J 
𝒚 = √𝒙 + 𝟐 
En este caso tenemos que derivar una función irracional. Aplicamos la definición de función 
derivada 𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 
Tenemos que 
𝒇(𝒙 + 𝒉) = √𝒙 + 𝒉 + 𝟐 
 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
√𝑥 + ℎ + 2 − √𝑥 + 2
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
 
Salvamos la indeterminación, multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
√𝑥 + ℎ + 2 − √𝑥 + 2
ℎ
= 
 
= lim
ℎ→0
(
√𝑥 + ℎ + 2 − √𝑥 + 2
ℎ
∙
√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2
√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2
) = 
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10 
 
Como en el numerador el producto es una diferencia de cuadrados, nos queda 
𝑓′(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
(√𝑥 + ℎ + 2)
2
− (√𝑥 + 2)
2
ℎ. (√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2)
 
Simplificando la potencia con la raíz y operando convenientemente tenemos 
 
𝑓´(𝑥) = lim⁡⁡
ℎ→0
𝑥 + ℎ + 2 − (𝑥 + 2)
ℎ. (√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2)
= lim⁡⁡
ℎ→0
𝑥 + ℎ + 2 − (𝑥 + 2)
ℎ. (√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2)
= 
 
= lim⁡⁡
ℎ→0
𝑥 + ℎ + 2 − 𝑥 − 2
ℎ. (√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2)
= lim⁡⁡
ℎ→0
ℎ
ℎ. (√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2)
= 
 
lim⁡⁡
ℎ→0
1
√𝑥 + ℎ + 2 + √𝑥 + 2
=
1
√𝑥 + 2 + √𝑥 + 2
=
1
2⁡√𝑥 + 2
 
 
Por lo tanto la función derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 es 𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥+2
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 1N 
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟑 en 𝒙𝟎 = 𝟏 
En este caso, debemos ser muy cuidadosos al momento de elegir la definición a utilizar para 
derivar la función polinómica dada. 
Como lo que se nos pide es hallar la derivada de la función en un punto, para este caso en 𝑥0 = 1, 
vamos a utilizar la definición de⁡derivada⁡“en⁡un⁡punto” 
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝒍𝒊𝒎⁡⁡
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
 
Donde 
𝑥0 = 1 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 3 
𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 1
3 − 2.1 + 3 = 2 
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11 
 
𝑓′(1) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
𝑥→1
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
𝑥→1
𝑥3 − 2𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
𝑥→1
𝑥3 − 2𝑥 + 1
𝑥 − 1
 
𝑓′(1) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
𝑥→1
𝑥3 − 2𝑥 + 1
𝑥 − 1
=
→ 0
→ 0
 
Salvamos la indeterminación factoreando el numerador 
𝑓´(1) = 𝑙𝑖𝑚⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥→1
(𝑥 − 1). (𝑥2 + 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
⁡𝑥→1
(𝑥2 + 𝑥 − 1) = 1 
 
Por lo tanto la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 3⁡ en 𝑥0 = 1 es 𝑓´(1) = 1 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2A 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = 𝟔𝒙𝟑 + 𝐥𝐧 𝒙 
Por tabla tenemos 
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 
𝑘. 𝑔(𝑥) 𝑘⁡. 𝑔′(𝑥) 
𝑥𝑛 𝑛. 𝑥𝑛−1 
ln 𝑥 1
𝑥
 
 
 Teniendo en cuenta que la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus 
derivadas, derivando nos queda 
𝑦´ = 6.3𝑥2 +
1
𝑥
= 18𝑥2 +
1
𝑥
 
 
Por lo tanto si 𝑦 = 6𝑥3 + ln 𝑥 ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑦´ = 18𝑥2 +
1
𝑥
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
 
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12 
 
EJERCICIO 2B 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = √𝒙
𝟓 + √𝒙
𝟑 − √𝒙 
Por tabla tenemos la derivada de la raíz cuadrada, por lo tanto escribimos las otras raíces como 
potencias de exponente fraccionario 
𝑦 = √𝑥
5 + √𝑥
3 − √𝑥 = 𝑥
1
5 + 𝑥
1
3 − √𝑥 
Por tabla tenemos 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑥𝑛 𝑛. 𝑥𝑛−1 
√𝑥 1
2√𝑥
 
 
 Teniendo en cuenta que la derivada de la suma o la resta de dos funciones es igual a la suma o la 
resta de sus derivadas, derivando nos queda 
 
𝑦´ =
1
5
𝑥
1
5
−1 +
1
3
𝑥
1
3
−1 −
1
2√𝑥
=
1
5
𝑥−
4
5 +
1
3
𝑥−
2
3 −
1
2√𝑥
 
Si bien la función ya está derivada podemos escribirla también 
𝑦´ =
1
5√𝑥4
5 +
1
3√𝑥2
3 −
1
2√𝑥
 
 
Por lo tanto si 𝑦 = √𝑥
5 + √𝑥
3 − √𝑥 ⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑦´ =
1
5 √𝑥4
5 +
1
3 √𝑥2
3 −
1
2√𝑥
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2C 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = 𝟔 ∙ 𝒍𝒏⁡𝒙 − 𝐭𝐚𝐧𝒙 
Por tabla tenemos 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que la derivada de la suma o la resta de dos funciones es igual a la suma o la 
resta de sus derivadas, derivando nos queda 
𝑦´ = 6 ∙
1
𝑥
− 𝑠𝑒𝑐2𝑥 =
6
𝑥
− 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
Por lo tanto si 𝑦 = 6 ∙ 𝑙𝑛⁡𝑥 − tan 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑦´ =
6
𝑥
− 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2D 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = 𝟐. 𝒆𝒙 − 𝟑 ∙ 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 
Por tabla tenemos 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que la derivada de la suma o la resta de dos funciones es igual a la suma o la 
resta de sus derivadas, derivando nos queda 
𝑦´ = 2 ∙ 𝑒𝑥 − 3 ∙
1
𝑥
+ 1 = 2 ∙ 𝑒𝑥 −
3
𝑥
+ 1 
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 
𝑘. 𝑔(𝑥) 𝑘⁡. 𝑔′(𝑥) 
𝑙𝑛⁡𝑥 1
𝑥
 
𝑡𝑎𝑛⁡𝑥 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑘. 𝑔(𝑥) 𝑘. 𝑔´(𝑥) 
𝑒𝑥 𝑒𝑥 
𝑙𝑛𝑥 1
𝑥
 
𝑥 1 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
14 
 
Por lo tanto si 𝑦 = ⁡2. 𝑒𝑥 − 3 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑦´ = 2 ∙ 𝑒𝑥 −
3
𝑥
+ 1 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2F 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = √𝒙
𝟓 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒙 
Escribiendo la raíz quinta como potencia de exponente fraccionario nos queda 
𝑦 = 𝑥
1
5 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Por tabla tenemos 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que tenemos que derivar el producto de dos funciones, consideramos 
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 
𝑢. 𝑣 𝑢´. 𝑣 + 𝑢. 𝑣´ 
Donde 
𝑢 = 𝑥
1
5 ⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑢´ =
1
5
∙ 𝑥−⁡
4
5 
 
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑣´ = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
Derivando nos queda 
𝑦´ =
1
5
∙ 𝑥−
4
5 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥
1
5 ⁡⁡ ∙ (−𝑠𝑒𝑛𝑥) =
𝑐𝑜𝑠𝑥
5√𝑥4
5 − √𝑥
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
Por lo tanto si 𝑦 = ⁡ √𝑥
5 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦´ =
𝑐𝑜𝑠𝑥
5 √𝑥4
5 − √𝑥
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 
_________________________________________________________________________________________________________________𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑥𝑛 𝑛. 𝑥𝑛−1 
𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
15 
 
EJERCICIO 2H 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 = (𝟓𝒙𝟑 − 𝟐) ∙ 𝒍𝒏𝒙 
 Por tabla tenemos 
 
 
 
 
 
 
 
 Teniendo en cuenta que tenemos que derivar el producto de dos funciones, consideramos 
 
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 
𝑢. 𝑣 𝑢´. 𝑣 + 𝑢. 𝑣´ 
 
Donde 
𝑢 = ⁡5𝑥3 − 2⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑢´ = 15𝑥2 
 
𝑣 = 𝑙𝑛(𝑥) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑣´ =
1
𝑥
 
Derivando nos queda 
𝑦´ = 15𝑥2 ∙ ⁡𝑙𝑛𝑥 + (5𝑥3 − 2) ∙
1
𝑥
 
 
Por lo tanto si 𝑦 = (5𝑥3 − 2) ∙ 𝑙𝑛(𝑥) ⁡⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦´ = 15𝑥2 ∙ ⁡𝑙𝑛𝑥 + (5𝑥3 − 2) ∙
1
𝑥
 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑘 0 
𝑘. 𝑔(𝑥) 𝑘. 𝑔´(𝑥) 
𝑥𝑛 𝑛. 𝑥𝑛−1 
𝑙𝑛𝑥 1
𝑥
 
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16 
 
EJERCICIO 2I 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 =
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒙 + 𝟏
 
 Por tabla tenemos 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que tenemos que derivar el cociente de dos funciones, consideramos 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑢
𝑣
 
𝑢´. 𝑣 − 𝑢. 𝑣´
𝑣2
 
Donde 
𝑢 = 1 + 𝑥2 ⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑢´ = 2𝑥 
𝑣 = 𝑥 + 1⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑣´ = 1 
Derivando nos queda 
𝑦´ =
2𝑥 ∙ (𝑥 + 1) − (1 + 𝑥2) ∙ 1
(𝑥 + 1)2
 
Operamos en el numerador y obtenemos 
 
𝑦´ =
2𝑥2 + 2𝑥 − 1 − 𝑥2
(𝑥 + 1)2
=
𝑥2 + 2𝑥 − 1
(𝑥 + 1)2
 
 
Por lo tanto si 𝑦 =
1+𝑥2
𝑥+1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦´ =
𝑥2+2𝑥−1
(𝑥+1)2
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑘 0 
𝑥𝑛 𝑛. 𝑥𝑛−1 
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17 
 
EJERCICIO 2J 
Derivar la siguiente función por tabla: 
𝒚 =
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙
 
 Por tabla tenemos 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que tenemos que derivar el cociente de dos funciones, consideramos 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑢
𝑣
 
𝑢´. 𝑣 − 𝑢. 𝑣´
𝑣2
 
Donde 
𝑢 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑢´ = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑣 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡⁡𝑣´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Derivando nos queda 
𝑦´ =
−𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) − (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)2
 
Operamos en el numerador y obtenemos 
 
−𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥)
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)2
=
−𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)2
= 
 
=
−𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)2
=
−2𝑐𝑜𝑠𝑥
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)2
 
 
Por lo tanto si 𝑦 =
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦´ =
−2𝑐𝑜𝑠𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)2
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) 
𝑘 0 
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 
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18 
 
EJERCICIO 3A 
Analizar la existencia de la derivada y clasificar: 
En 𝒙 = 𝟐 si 𝒇(𝒙) = {𝟒 − 𝒙
𝟐⁡⁡⁡𝒔𝒊⁡⁡⁡𝒙 ≤ 𝟐
𝒙 − 𝟐⁡⁡⁡𝒔𝒊⁡⁡⁡𝒙 > 𝟐
 
Recordemos el teorema: 
Si 𝒇(𝒙) es derivable en 𝒙 = 𝒙𝟎 ⁡⇒ 𝒇(𝒙)⁡ es continua en 𝒙 = 𝒙𝟎 
Y ahora recordemos el Contrarecíproco del teorema de dicho teorema: 
Si 𝒇(𝒙) no es continua en 𝒙 = 𝒙𝟎 ⁡⁡⁡⇒ no es derivable en 𝒙 = 𝒙𝟎 
Esto⁡quiere⁡decir⁡que⁡“si⁡⁡una⁡función⁡no es continua en un punto, nos asegura que no es derivable 
en él” 
Para analizar la existencia de la derivada de la función dada, vamos a utilizar esto último que 
hemos dicho, siguiendo estos pasos: 
• Analizamos la continuidad de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0, y tendremos dos posibilidades: 
1) La función no es continua en 𝑥 = 𝑥0 entonces tampoco es derivable en 𝑥 = 𝑥0 
2) La función es continua en 𝑥 = 𝑥0. Aquí obtenemos algo que no nos sirve ya que no 
implica que sea derivable, razón por la cual habrá que analizar la existencia de la 
derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0 calculando sus derivadas laterales. 
Dicho esto analicemos que sucede con la continuidad de la función dada. 
Estudiamos la continuidad en 𝒙 = 𝟐: 
1°) ∃𝑓(2) = 4 − 22 = 4 − 4 = 0 
2°) Calculamos 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥). Como la función cambia sus tramos justamente en 𝑥 = 2 habrá que 
calcular sus límites laterales. 
⁡ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
(𝑥 − 2) = 0 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
(4 − 𝑥2) = 0 
Como 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ⁡⁡⁡⁡⇒ ⁡⁡⁡ ∃ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 0 
3°) 𝒇(𝟐) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝟎 entonces 𝒇(𝒙) es continua en 𝒙 = 𝟐 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
19 
 
Como ya dijimos antes, que sea continua en ese punto, no implica que también sea derivable, por 
lo tanto para analizar la existencia de la derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 2, vamos a hallar las derivadas 
laterales en ese punto, siendo 
Derivada por derecha de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0⁡: 𝑓
′(𝑥0
⁡⁡⁡+) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
 
Derivada por izquierdade 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0⁡: 𝑓
′(𝑥0
⁡⁡⁡−) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
 
Siempre que estos límites existan. 
Hallemos entonces para esta función las derivadas laterales 
𝑥0 = 2 
𝑓(𝑥) = {4 − 𝑥
2⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡𝑥 ≤ 2
𝑥 − 2⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡𝑥 > 2
 
 
𝑓(𝑥0) = 𝑓(2) = 4 − 2
2 = 4 − 4 = 0 
 
𝑓´(2)+ = 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡𝑥→2+
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
⁡= 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡𝑥→2+
𝑥 − 2 − 0
𝑥 − 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑥 − 2
𝑥 − 2
= 1 
 
𝑓´(2)− = 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡𝑥→2−
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
⁡= 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡𝑥→2−
4 − 𝑥2 − 0
𝑥 − 2
= 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡𝑥→2−
−(𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
⁡⁡𝑥→2−
−(𝑥 + 2) = −4 
 
 Tenemos que las derivadas laterales son finitas y distintas, por lo tanto la derivada de la función 
en 𝑥 = 2 no⁡existe⁡y⁡estamos⁡en⁡presencia⁡de⁡un⁡“PUNTO⁡ANGULOSO”. 
 
𝑓´(2)+ = 1 
𝑓´(2)− = −4 
𝑓´(2)+ ≠ 𝑓´(2)− ⇒ ∄𝑓´(2) 
A continuación el gráfico de la función para que comprendamos como se comporta en 𝑥 = 2 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
20 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
 
EJERCICIO 3D 
Analizar la existencia de la derivada y clasificar: 
En 𝒙 = 𝟏 si 𝒇(𝒙) = { 𝒙
𝟑 − 𝟏⁡⁡⁡𝒔𝒊⁡⁡⁡𝒙 ≤ 𝟏
−𝒙𝟐 + 𝟑⁡⁡⁡𝒔𝒊⁡⁡⁡𝒙 > 1
 
Recordemos el siguiente teorema 
Si 𝑓(𝑥)es derivable en 𝑥 = 𝑥0 ⁡⁡⁡⇒⁡es continua en 𝑥 = 𝑥0 
Esto quiere decir que la derivabilidad de una función en un punto nos asegura la continuidad en 
ese punto, (aunque el reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto 𝑥0 no 
tiene porque necesariamente ser derivable en ese punto). 
El contra recíproco si es cierto, 
 Si 𝑓(𝑥)no es continua en 𝑥 = 𝑥0 ⁡⁡⁡⇒ no es derivable en 𝑥 = 𝑥0 
Esto⁡ quiere⁡ decir⁡ que⁡ “si⁡ ⁡ una⁡ función⁡no es continua en un punto, esto nos asegura que no es 
derivable en el” 
Para analizar la existencia de la derivada de la función dada, vamos a utilizar esto último que 
hemos dicho, siguiendo estos pasos: 
• Analizamos la continuidad de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0, y tendremos dos posibilidades: 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
21 
 
1) La función no es continua en 𝑥 = 𝑥0 entonces tampoco es derivable y por lo tanto no 
existe la derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0 
2) La función es continua en 𝑥 = 𝑥0, como esto no implica que sea derivable, analizo la 
existencia de la derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0 calculando sus derivadas laterales. 
Dicho esto analicemos que sucede con la función dada 
Debemos analizar como se comporta la función en 𝑥 = 1 
Sin dudas esta función es continua para ℝ − {1} 
Analizamos continuidad de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 1 
1) ∃𝑓(1) = 13 − 1 = 0 
2) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(−𝑥2 + 3) =2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ∧ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥3 − 1) =0 
Como lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥)⁡⁡⁡⁡ ⇒ ⁡⁡⁡ ∄ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
Entonces 𝑓(𝑥) presenta una discontinuidad esencial de 1° especie con salto finito en 𝑥 = 1 
Por lo dicho anteriormente,que no sea continua en 𝑥 = 1 implica que no sea derivable en ese 
punto. 
Por lo tanto, no existe la derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 1 
A continuación el gráfico de la función para que comprendamos como se comporta en 𝑥 = 1 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
 
22 
 
 
EJERCICIO 7A 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 en 𝒙𝟎 = 𝟏. Graficar 
La recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto de coordenadas (𝑥0, 𝑦0), es aquella recta cuya pendiente es 
igual a la derivada de la función en 𝑥 = 𝑥0(𝑓´(𝑥0))⁡que pasa por el punto (𝑥0, 𝑦0). Por lo tanto y 
teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por un punto es 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)⁡donde⁡“𝑚" es la pendiente de la recta, nos queda 
Ecuación de la recta tangente a⁡𝑓(𝑥)⁡𝑒𝑛⁡𝑥 = 𝑥0 , la llamamos 𝑦𝑇: 
𝑦𝑇 − 𝑦0 = 𝑓´(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Como la recta normal es aquella recta perpendicular a la recta tangente que pasa por (𝑥0, 𝑦0), 
teniendo en cuenta que dos rectas perpendiculares tienen pendientes opuestas e inversas, nos 
queda 
Ecuación de la recta normal a⁡𝑓(𝑥)⁡𝑒𝑛⁡𝑥 = 𝑥0 , la llamamos 𝑦𝑁: 
𝑦𝑁 − 𝑦0 = −
1
𝑓´(𝑥0)
∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Resolvamos entonces el ejercicio propuesto 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1en 𝑥0 = 1 Donde Dom⁡𝑓 = ℝ 
Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente, para esto necesitamos conocer su pendiente, 
y el punto por donde pasa. 
Hallamos el punto por donde pasa la recta tangente 
Reemplazamos 𝑥0 = 1⁡en la función y obtenemos 𝑦0 
𝑦0 = 𝐹(1) = 1
2 + 1 = 2 
La recta tangente pasa por el punto (1; 2) 
 
Hallamos la pendiente de la recta tangente 
Derivamos la función 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 
 Reemplazamos la derivada por 𝑥0 = 1 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
23 
 
𝑓´(1) = 2.1 = 2 
De esta manera ya obtuvimos la pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en 𝑥0 = 1 
𝑓´(1) = 𝑚 = 2 
Hallamos la ecuación de la recta tangente con 𝑓´(1) = 𝑚 = 2⁡ que pasa por (1; 2) 
𝑦𝑇 − 𝑦0 = 𝑓´(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazamos por los datos obtenidos 
𝑦𝑇 − 2 = 2 ∙ (𝑥 − 1) 
Operando obtenemos 
𝑦𝑇 = 2𝑥 − 2 + 2 
 
 
Para hallar la ecuación de la recta normal sabemos su pendiente es 𝑚𝑛 = −
1
2
 (opuesta y 
reciproca a la pendiente de la recta tangente) y pasa por el mismo punto, es decir (1; 2) 
Si 
𝑦𝑁 − 𝑦0 = −
1
𝑓´(𝑥0)
∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazando obtenemos 
𝑦𝑁 − 2 = −
1
2
∙ (𝑥 − 1) 
Operando nos queda 
𝑦𝑁 = −
1
2
𝑥 +
1
2
+ 2 
 
 
 
A continuación la gráfica de la función, y las rectas tangente y normal en 𝑥0 = 1 
 
𝑦𝑇 = 2𝑥 
 
𝑦𝑁 = −
1
2
𝑥 +
5
2
 
 
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24 
 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
 
EJERCICIO 7B 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función: 
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 +
𝟏
𝒙
 en 𝒙𝟎 = −𝟏. 
La recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto de coordenadas (𝑥0, 𝑦0), es aquella recta cuya pendiente es 
igual a la derivada de la función en 𝑥 = 𝑥0(𝑓´(𝑥0))⁡que pasa por el punto (𝑥0, 𝑦0). Por lo tanto y 
teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por un punto es 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)donde⁡“𝑚" es la pendiente de la recta, nos queda 
Ecuación de la recta tangente a⁡𝑓(𝑥)⁡𝑒𝑛⁡𝑥 = 𝑥0 , la llamamos 𝑦𝑇: 
𝑦𝑇 − 𝑦0 = 𝑓´(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Como la recta normal es aquella recta perpendicular a la recta tangente que pasa por (𝑥0, 𝑦0), 
teniendo en cuenta que dos rectas perpendiculares tienen pendientes opuestas e inversas, nos 
queda 
Ecuación de la recta normal a⁡𝑓(𝑥)⁡𝑒𝑛⁡𝑥 = 𝑥0 , la llamamos 𝑦𝑁: 
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2400 - Matemática I 
 
 
 
25 
 
𝑦𝑁 − 𝑦0 = −
1
𝑓´(𝑥0)
∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Resolvamos entonces el ejercicio propuesto 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 +
1
𝑥
 en 𝑥0 = −1 donde Dom⁡𝑓 = ℝ − {0} 
Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente, para esto necesitamos conocer su pendiente, 
y el punto por donde pasa. 
Hallamos el punto por donde pasa la recta tangente 
Reemplazamos 𝑥0 = −1⁡en la función y obtenemos 𝑦0 
𝑦0 = 𝑓(−1) = 3. (−1)
2 +
1
−1
= 3 − 1 = 2 
La recta tangente pasa por el punto (−1; 2) 
Hallamos la pendiente de la recta tangente 
Derivamos la función 
𝑓´(𝑥) = 6𝑥 −
1
𝑥2
 
 Reemplazamos la derivada por 𝑥0 = −1 
𝑓´(−1) = 6. (−1) −
1
(−1)2
= −6 − 1 = −7 
De esta manera ya obtuvimos la pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en 𝑥0 = −1 
𝑓´(−1) = 𝑚 = −7 
Hallamos la ecuación de la recta tangente con 𝑓´(−1) = 𝑚 = −7 que pasa por (−1; 2) 
𝑦𝑇 − 𝑦0 = 𝑓
′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazamos por los datos obtenidos 
𝑦𝑇 − 2 = −7 ∙ (𝑥 − (−1)) 
Operando nos queda 
𝑦𝑇 = −7 ∙ (𝑥 + 1) + 2 
𝑦𝑇 = −7𝑥 − 7 + 2 
𝑦𝑇 = −7𝑥 − 5 
 
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26 
 
 
Para hallar la ecuación de la recta normal sabemos que su pendiente es 𝑚𝑛 =
1
7
 (opuesta e inversa 
a la pendiente de la recta tangente) y pasa por el mismo punto, es decir (−1; 2) 
𝑦𝑁 − 𝑦0 = −
1
𝑓´(𝑥0)
∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazando obtenemos 
𝑦𝑁 − 2 =
1
7
∙ (𝑥 + 1) 
Operando nos queda 
𝑦𝑁 =
1
7
𝑥 +
1
7
+ 2 
 
𝑦𝑁 =
1
7
𝑥 +
15
7
 
No se pide graficar en la consigna, pero podemos hacerlo con algún graficador para visualizar la 
función y sus rectas tangente y normal en 𝑥0 = −1 
 
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27 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
EXTRAS… 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 en 𝑥 = 1 y graficar. 
Respuestas: 𝑦𝑇 = 𝑥 − 3 𝑦𝑁 = −𝑥 − 1 Punto de tangencia: (1⁡;−2) 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6 en 𝑥 = −2 y graficar. 
Respuestas: 𝑦𝑇 = 𝑥 + 2 𝑦𝑁 = −𝑥 − 2 Punto de tangencia: (−2⁡; 0) 
 
 
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28 
 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 8 en 𝑥 = 2 y graficar. 
Respuestas: 
𝑦𝑇 = −2𝑥 + 12 
𝑦𝑁 =
1
2
𝑥 + 7 
Punto de tangencia: (2⁡; 8)