Clase-6--Derivadas-(B)1

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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°6: Derivadas (Parte B) 
 
 
1. Objetivo de la clase: 
Estudio de aplicaciones analíticas de la derivación, de aplicación directa en las 
Ciencias Económicas. 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
3. Desarrollo: 
Derivada de la función compuesta 
Supongamos que tenemos una función "𝑦" que depende de una variable "𝑢": 𝑦 = 𝑓(𝑢), 
y a su vez "𝑢" es una función que depende de la variable "𝑥": 𝑢 = 𝑔(𝑥). Podemos 
escribir 
𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) 
Se dice que 𝑦 es la función compuesta de 𝒇 con 𝒈. 
Por ejemplo, 𝑦 = sen(𝑥 ) es la función compuesta de 𝑦 = sen(𝑢) con 𝑢 = 𝑥 . 
Se puede demostrar que la derivada de la función compuesta 𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) es 
𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
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Como 𝑢 = 𝑔(𝑥), podemos escribir 
𝑦 ′ = 𝑓 ′(𝑢) ∙ 𝑢′ 
A la derivada de la función compuesta se la conoce como regla de la cadena. 
Ejemplos: Hallar la derivada de las siguientes funciones 
(1) 𝑦 = sen(𝑥 ) 
Llamando 𝑢 = 𝑥 , tenemos que 𝑦 = sen 𝑢 
Aplicando la regla de la cadena 𝑦 ′ = (sen 𝑢)′ ∙ 𝑢′ 
𝑦 ′ = cos 𝑢 ∙ 𝑢′ 
Como 𝑢 = 𝑥 , entonces 𝑢′ = 2𝑥 
Sustituyendo queda 𝑦 ′ = cos(𝑥 ) ∙ (2𝑥) 
Es decir 𝑦 ′ = 2𝑥 cos(𝑥 ) 
 
(2) 𝑦 = 15𝑥 + 1 
Llamamos 𝑢 = 15𝑥 + 1 y obtenemos 𝑢′ = 30𝑥 
Entonces tenemos que 𝑦 = √𝑢 
Derivando 𝑦 ′ =
1
2√𝑢
∙ 𝑢′ 
Sustituyendo queda 𝑦 ′ =
1
2√15𝑥 + 1
∙ 30𝑥 
Es decir 𝑦 ′ =
15𝑥
√15𝑥 + 1
 
(3) 𝑦 = ln
1
1 + 𝑥
 
Sabemos que 𝑦 = ln
1
1 + 𝑥
 
Llamamos 𝑢 = ln
1
1 + 𝑥
 
Tenemos así que 𝑦 = 𝑢 
Derivando 𝑦 ′ = 2𝑢 ⋅ 𝑢′ 
Sustituyendo 𝑦 ′ = 2 ln
1
1 + 𝑥
⋅ 𝑢′ 
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Nos falta 𝑢′. Tenemos que drivar 𝑢 = ln
1
1 + 𝑥
. Para ello llamamos 𝑡 =
1
1 + 𝑥
 
Tenemos así que 𝑢 = ln 𝑡 
Derivando 𝑢′ =
1
𝑡
⋅ 𝑡′ 
Es decir 𝑢′ =
1
⋅ 𝑡′ ⇒ 𝑢′ = (1 + 𝑥) ∙ 𝑡′ 
Sabemos que 𝑡 =
1
1 + 𝑥
, entonces aplicando la derivada de un cociente tenemos 
𝑡′ =
(1)′ ∙ (1 + 𝑥) − (1) ∙ (1 + 𝑥)′
(1 + 𝑥)
=
0 ∙ (1 + 𝑥) − 1 ∙ 1
(1 + 𝑥)
=
−1
(1 + 𝑥)
 
Sustituyendo tenemos 𝑢′ = (1 + 𝑥) ∙
−1
(1 + 𝑥)
 ⇒ 𝑢′ =
−1
1 + 𝑥
 
Sabemos que 𝑦 ′ = 2 ln
1
1 + 𝑥
⋅ 𝑢′ 
Sustituyendo 𝑦 ′ = 2 ln
1
1 + 𝑥
⋅
−1
1 + 𝑥
 
Es decir 𝑦 ′ = −
2
1 + 𝑥
∙ ln
1
1 + 𝑥
 
 
En forma práctica podemos proceder así 
(1) 𝑦 = sen(𝑥 ) 
𝑦 ′ = [sen(𝑥 )]′ ∙ (𝑥 )′ = cos(𝑥 ) ∙ 2𝑥 = 2𝑥 cos(𝑥 ) 
𝑦 ′ = 2𝑥 cos(𝑥 ) 
(2) 𝑦 = 15𝑥 + 1 
𝑦 ′ = 15𝑥 + 1
′
∙ (15𝑥 + 1)′ =
1
2√15𝑥 + 1
∙ 30𝑥 =
30𝑥
2√15𝑥 + 1
 
𝑦 ′ =
15𝑥
√15𝑥 + 1
 
(3) 𝑦 = ln
1
1 + 𝑥
= ln
1
1 + 𝑥
 
𝑦 ′ = ln
1
1 + 𝑥
′
∙ ln
1
1 + 𝑥
′
∙
1
1 + 𝑥
′
 
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𝑦 ′ = 2 ln
1
1 + 𝑥
∙
1
∙
(1)′ ∙ (1 + 𝑥) − (1) ∙ (1 + 𝑥)′
(1 + 𝑥)
 
𝑦 ′ = 2 ln
1
1 + 𝑥
∙ (1 + 𝑥) ∙
−1
(1 + 𝑥)
 
𝑦 ′ = −
2
1 + 𝑥
∙ ln
1
1 + 𝑥
 
(4) 𝑦 = ln(sen(3𝑥 + 1)) 
𝑦 ′ = ln(sen(3𝑥 + 1))
′
∙ [ln(sen(3𝑥 + 1))]′ ∙ [sen(3𝑥 + 1)]′ ∙ (3𝑥 + 1)′ 
𝑦 ′ =
1
2 ln(sen(3𝑥 + 1))
∙
1
sen(3𝑥 + 1)
∙ cos(3𝑥 + 1) ∙ 3 
𝑦 ′ =
1
2 ln(sen(3𝑥 + 1))
∙
1
sen(3𝑥 + 1)
∙ cos(3𝑥 + 1) ∙ 3 
𝑦 ′ =
3
2 ln(sen(3𝑥 + 1))
∙
cos(3𝑥 + 1)
sen(3𝑥 + 1)
 
𝑦 ′ =
3 cotg(3𝑥 + 1)
2 ln(sen(3𝑥 + 1))
 
Método de derivación logarítmica 
Este método permite deducir algunas reglas de derivación y la derivada de algunas 
funciones. 
(1) Derivada del producto 
Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica. 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥) y 𝑣 = 𝑣(𝑥). Si 𝑦 = 𝑢 ⋅ 𝑣 entonces 𝑦 ′ = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣 ′ 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑢 ⋅ 𝑣 con 𝑢 > 0, 𝑣 > 0 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln(𝑢 ⋅ 𝑣) 
Por la propiedad del logaritmo de un producto, tenemos 
ln 𝑦 = ln 𝑢 + ln 𝑣 
Derivamos miembro a miembro 
(ln 𝑦)′ = (ln 𝑢 + ln 𝑣)′ 
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Como la derivada de la suma es la suma de las derivadas, tenemos 
(ln 𝑦)′ = (ln 𝑢)′ + (ln 𝑣)′ 
Derivamos utilizando la regla de la cadena y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ =
1
𝑢
⋅ 𝑢′ +
1
𝑣
⋅ 𝑣 ′ 
𝑦 ′
𝑦
=
𝑢′
𝑢
+
𝑣′
𝑣
 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅
(𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣 ′)
𝑢 ⋅ 𝑣
 
Como 𝑦 = 𝑢 ⋅ 𝑣, lo sustituimos 
𝑦 ′ = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅
(𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣 ′)
𝑢 ⋅ 𝑣
 
Simplificamos 𝑦 ′ = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣 ′∎ 
(2) Derivada del cociente 
Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica. 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥) y 𝑣 = 𝑣(𝑥). Si 𝑦 = 𝑢 ⋅ 𝑣 entonces 𝑦 ′ =
𝑢′ ⋅ 𝑣 − 𝑢 ⋅ 𝑣 ′
𝑣
 
Deducción. 
Sea𝑦 =
𝑢
𝑣
 con 𝑢 > 0, 𝑣 > 0 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln
𝑢
𝑣
 
Por la propiedad del logaritmo de un cociente, tenemos 
ln 𝑦 = ln 𝑢 − ln 𝑣 
Derivamos miembro a miembro 
(ln 𝑦)′ = (ln 𝑢 − ln 𝑣)′ 
Como la derivada de la resta es la resta de las derivadas, tenemos 
(ln 𝑦)′ = (ln 𝑢)′ − (ln 𝑣)′ 
Derivamos utilizando la regla de la cadena y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ =
1
𝑢
⋅ 𝑢′ −
1
𝑣
⋅ 𝑣 ′ 
𝑦 ′
𝑦
=
𝑢′
𝑢
−
𝑣′
𝑣
 
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𝑦 ′ = 𝑦 ⋅
(𝑢′ ⋅ 𝑣 − 𝑢 ⋅ 𝑣 ′)
𝑢 ⋅ 𝑣
 
Como 𝑦 =
𝑢
𝑣
, lo sustituimos𝑦 ′ =
𝑢
𝑣
⋅
(𝑢′ ⋅ 𝑣 − 𝑢 ⋅ 𝑣 ′)
𝑢 ⋅ 𝑣
 
Operamos y simplificamos 𝑦 ′ =
𝑢′ ⋅ 𝑣 − 𝑢 ⋅ 𝑣 ′
𝑣
 ∎ 
(3) Derivada de la función potencial 
Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica. 
Si 𝑦 = 𝑥 con 𝑛 ∈ ℝ entonces 𝑦 ′ = 𝑛𝑥 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑥 con 𝑥 > 0 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln 𝑥 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos 
ln 𝑦 = 𝑛⏟ ln 𝑥 
Derivamos miembro a miembro y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ = 𝑛
1
𝑥
 
𝑦 ′
𝑦
=
𝑛
𝑥
 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅
𝑛
𝑥
 
Como 𝑦 = 𝑥 , lo sustituimos 
𝑦 ′ = 𝑥 ⋅
𝑛
𝑥
= 𝑛 ⋅
𝑥
𝑥
 
Restamos los exponentes 𝑦 ′ = 𝑛𝑥 ∎ 
(4) Derivada de la función potencial generalizada 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥). Si 𝑦 = 𝑢 con 𝑛 ∈ ℝ entonces 𝑦 ′ = 𝑛𝑢 ⋅ 𝑢′ 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑢 con 𝑢 > 0 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln 𝑢 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos 
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ln 𝑦 = 𝑛⏟ ln 𝑢 
Derivamos miembro a miembro y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ = 𝑛
1
𝑢
⋅ 𝑢′ 
𝑦 ′
𝑦
=
𝑛
𝑢
⋅ 𝑢′ 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅
𝑛
𝑢
⋅ 𝑢′ 
Como 𝑦 = 𝑢 , lo sustituimos 
𝑦 ′ = 𝑢 ⋅
𝑛
𝑢
⋅ 𝑢′ = 𝑛 ⋅
𝑢
𝑢
⋅ 𝑢′ 
Restamos los exponentes 𝑦 ′ = 𝑛𝑢 ⋅ 𝑢′∎ 
Ejemplo: Dada la función 
𝑦 = (6𝑥 + 1) 
su derivada es 
𝑦 ′ =
3
2
(6𝑥 + 1) ∙ (6𝑥 + 1)′ =
3
2
(6𝑥 + 1) ∙ 12𝑥 = 18𝑥(6𝑥 + 1) 
(5) Derivada de la función exponencial 
Si 𝑦 = 𝑎 , con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, entonces 𝑦 ′ = 𝑎 ln 𝑎 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑎 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln 𝑎 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia,tenemos 
ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑎 
Derivamos miembro a miembro y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ = ln 𝑎 
𝑦 ′
𝑦
= ln 𝑎 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅ ln 𝑎 
Como 𝑦 = 𝑎 , lo sustituimos 𝑦 ′ = 𝑎 ln 𝑎 ∎ 
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Ejemplo: Dada 𝑦 = 2 , su derivada es 𝑦 ′ = 2 ln 2 
Observación. Si 𝑎 = 𝑒, tenemos que𝑦 = 𝑒 . Derivamos aplicando la fórmula obtenida 
𝑦 ′ = 𝑒 ⋅ ln 𝑒 = 𝑒 como ya sabíamos 
(6) Derivada de la función exponencial generalizada 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥). Si 𝑦 = 𝑎 , con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, entonces 𝑦 ′ = 𝑎 ln 𝑎 ∙ 𝑢′ 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑎 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln 𝑎 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos 
ln 𝑦 = 𝑢 ln 𝑎 
Derivamos miembro a miembro y operamos 
1
𝑦
⋅ 𝑦 ′ = 𝑢′ ⋅ ln 𝑎 
𝑦 ′
𝑦
= ln 𝑎 ∙ 𝑢′ 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅ ln 𝑎 ∙ 𝑢′ 
Como 𝑦 = 𝑎 , lo sustituimos 𝑦 ′ = 𝑎 ⋅ ln 𝑎 ∙ 𝑢′∎ 
Ejemplo: Dada 𝑦 = 5 , su derivada es 𝑦 ′ = 5 ln 5 ∙ (𝑥 + 1)′ = 5 ∙ 2𝑥 ln 5 
(7) Derivada de la función potencial exponencial 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥) y 𝑣 = 𝑣(𝑥). Si 𝑦 = 𝑢 entonces 𝑦 ′ = 𝑢 ⋅ 𝑣 ′ ⋅ ln 𝑢 +
𝑣
𝑢
⋅ 𝑢′ 
Deducción. 
Sea 𝑦 = 𝑢 con 𝑢 > 0 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
ln 𝑦 = ln 𝑢 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos 
ln 𝑦 = 𝑣 ln 𝑢 
Derivamos miembro a miembro y operamos 
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𝑦
⋅ 𝑦 ′ = 𝑣 ′ ⋅ ln 𝑢 + 𝑣 ⋅
1
𝑢
⋅ 𝑢′ 
𝑦 ′
𝑦
= 𝑣 ′ ⋅ ln 𝑢 +
𝑣
𝑢
⋅ 𝑢′ 
𝑦 ′ = 𝑦 ⋅ 𝑣 ′ ⋅ ln 𝑢 +
𝑣
𝑢
⋅ 𝑢′ 
Como 𝑦 = 𝑢 , lo sustituimos 𝑦 ′ = 𝑢 ⋅ 𝑣 ′ ⋅ ln 𝑢 +
𝑣
𝑢
⋅ 𝑢′ ∎ 
Ejemplo: Derivar la función 𝑦 = 𝑥 
Llamamos 𝑢 = 𝑥 entonces 𝑢′ = 1 
𝑣 = sen 𝑥entonces𝑣 ′ = cos 𝑥 
Aplicando la fórmula obtenida 
𝑦 ′ = 𝑥 ⋅ cos 𝑥 ⋅ ln 𝑥 +
sen 𝑥
𝑥
⋅ 1 = 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑥 +
sen 𝑥
𝑥
 
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 
La función inversa del seno es el 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 (arco seno) y se define como 
𝑓: [−1,1] → −
𝜋
2
,
𝜋
2
/𝑓(𝑥) = arc sen 𝑥 
Así, por ejemplo: 
∘ arc sen
1
2
=
𝜋
6
 entonces sen
𝜋
6
=
1
2
 
∘ arc sen −
√3
2
= −
𝜋
3
 entonces sen −
𝜋
3
= −
√3
2
 
Podemos escribir: 𝑦 = arc sen 𝑥 entonces 𝑥 = sen 𝑦 
Calculamos la derivada de 𝑦 = arc sen 𝑥 
Sabemos que 𝑥 = sen 𝑦 
Derivamos miembro a miembro 1 = cos 𝑦 ⋅ 𝑦 ′ 
𝑦 ′ =
1
cos 𝑦
 
Recordando que sen 𝑦 + cos 𝑦 = 1, obtenemos que cos 𝑦 = 1 − sen 𝑦 
Sustituimos 
𝑦 ′ =
1
1 − sen 𝑦
 
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Como sen 𝑦 = 𝑥, lo sustituimos 
𝑦 ′ =
1
√1 − 𝑥
 ∎ 
𝐓𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐚𝐬í 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐢 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝒚′ =
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
La función inversa del coseno es el 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬 (arco coseno) y se define como 
𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋]/𝑓(𝑥) = arc cos 𝑥 
Análogamente se prueba que 
𝐬𝐢 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝒚′ = −
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
La función inversa de la tangente es el 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐚𝐧 (arco tangente) y se define como 
𝑓: ℝ → −
𝜋
2
,
𝜋
2
/𝑓(𝑥) = arc tan 𝑥 
Análogamente se prueba que 
𝐬𝐢 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝒚′ =
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
Ejemplo: Derivar la función 𝑦 = 2𝑥 ∙ arc tan(5𝑥 ) 
𝑦 ′ = (2𝑥)′ ∙ arc tan(5𝑥 ) + 2𝑥 ∙ [arc tan(5𝑥 )]′ 
𝑦 ′ = 2 ∙ arc tan(5𝑥 ) + 2𝑥 ∙
1
1 + (5𝑥 )
∙ (5𝑥 )′ 
𝑦 ′ = 2 ∙ arc tan(5𝑥 ) + 2𝑥 ∙
1
1 + 25𝑥
∙ 25𝑥 
𝑦 ′ = 2 ∙ arc tan(5𝑥 ) +
50𝑥
1 + 25𝑥
 
 
Derivada de la función implícita 
Si la dependencia entre 𝑥 e 𝑦 viene dada por la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 podemos obtener 
𝑦′ considerando que la variable 𝑦 depende de la 𝑥, es decir que 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Cuando se deriva hay que tener en cuenta que la 𝑦, al depender de la 𝑥, es una función 
compuesta 
Ejemplo: Hallar la derivada de 4𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 = 0 
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Derivamos miembro a miembro (4𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 )′ = (0)′ 
8𝑥 + (2 ⋅ 𝑦 + 2𝑥 ⋅ 𝑦 ′) − (1 ∙ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 3𝑦 𝑦 ′) = 0 
8𝑥 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦 ′ − 𝑦 − 3𝑥𝑦 𝑦 ′ = 0 
Despejamos 𝑦 ′2𝑥𝑦 ′ − 3𝑥𝑦 𝑦 ′ = 𝑦 − 8𝑥 − 2𝑦 
𝑦 ′ ⋅ (2𝑥 − 3𝑥𝑦 ) = 𝑦 − 8𝑥 − 2𝑦 
𝑦 ′ =
𝑦 − 8𝑥 − 2 ⋅ 𝑦
2𝑥 − 3𝑥𝑦
 
 
Derivada de orden superior o Derivadas sucesivas 
Dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) podemos calcular su función derivada 𝑦 ′, que 
denominaremos derivada primera. Si a esta función se la deriva nuevamente se 
obtiene lo que se denomina derivada segunda, que simbolizamos 𝑦 ′′. Volviendo a 
derivar obtenemos la derivada tercera 𝑦 ′′′, y así sucesivamente. 
Ejemplos 
(1) Obtener las derivadas sucesivas de 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 6 
𝑦 ′ = 5𝑥 − 6𝑥 
𝑦 ′′ = 20𝑥 − 6 
𝑦 ′′′ = 60𝑥 
𝑦 = 120𝑥 
𝑦 = 120 
A partir de aquí las sucesivas derivas valen 0 
(2) Encuentre la derivada primera y segunda de 𝑦 = 𝑥 cos 𝑥 
𝑦 ′ = 1 ⋅ cos 𝑥 + 𝑥 ⋅ (− sen 𝑥) 
𝑦 ′ = cos 𝑥 − 𝑥 ⋅ sen 𝑥 
𝑦 ′′ = − sen 𝑥 − (1 ⋅ sen 𝑥 + 𝑥 ⋅ cos 𝑥) = − sen 𝑥 − sen 𝑥 − 𝑥 ⋅ cos 𝑥 
𝑦 ′′ = −2 sen 𝑥 − 𝑥 ⋅ cos 𝑥 
 
 
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Notaciones para las derivadas 
Derivada Notación 1 Notación 2 Notación 3 
Notación de 
Leibnitz 
primera 𝑓′(𝑥) 𝑦′ 𝐷 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
segunda 𝑓′′(𝑥) 𝑦′′ 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
tercera 𝑓′′′(𝑥) 𝑦′′′ 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
cuarta 𝑓 (𝑥) 𝑦 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
quinta 𝑓 (𝑥) 𝑦 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
sexta 𝑓 (𝑥) 𝑦 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
n-ésima 𝑓( )(𝑥) 𝑦( ) 𝐷 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
 
 
4. Bibliografía: 
[8] PURCELL, E; VARBERG, D (1993). Cálculo con Geometría Analítica. 
México. Prentice-Hall; 6ª ed. 
[9] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[11] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – 
Thomson Editions 
[12] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
5. Actividad pedagógica: 
TRABAJO PRÁCTICO : DERIVADAS (B) 
Los ejercicios indicados con (†) son obligatorios. 
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4) Derivar las siguientes funciones aplicando la “regla de la cadena”: 
 
(†) ln(3x)cos(5x) ya)  (†) 




3
x
arcsen 9x-9x yf) 2 
 x)cotln(csc x yb)  
x
1
x) (arcsen yg) 
 
2
2



x
x
ln yc) 1xx yh)  h) 𝑦 = 𝑥 
(†) 






x
x
ln yd)
2
 
(†)
 
x x)(cos yi)  
cot(5x)e ye) cos(3x) x sen
xcosxsen
yj)
22 
 
k) 𝑦 = ln (†) l) 𝑦 = 
(†) m) 𝑦 = 𝐿𝑛 n) 𝑦 = 𝑒 ln (𝑥) 
o) 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 √ p) 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑙𝑛(𝑥)) 
5)Sea 𝑓: 𝑅 − [0 ; 1]→𝑅 ; 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 𝑥) + 4, Hallar todos los puntos (𝑥; 𝑓(𝑥)) en 
los cuales la recta tangente tiene pendiente − . 
6) Teniendo la siguiente función 𝑓(𝑥) = ln(25 x + 4) se pide encontrar los puntos 
donde la pendiente de la recta tangente al gráfico en dichos puntos sea igual a 2. 
 
7) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑒𝑛 𝑥 = 1 . Graficar 
 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑒𝑛𝑥 = −1 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥𝑠𝑖𝑥 < 1
𝑥 − 4𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥 ≥ 1
𝑒𝑛𝑥 = 1 
 
8) Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas: 
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 (†) a) 1)-arcsen(xy 2 
 b) x arccosx arcseny  
 (†) c)




x
1
arctany 
d) (2x)]arctan[seny  
 
9) Calcular las derivadas de las siguientes funciones implícitas: 
 
(†)a) √𝑥 + 𝑦 = 2 
 b) b) 𝑦 =
 
 (†) c) 2x − 3x 𝑦 + 4xy + 𝑦 = 0 
 d) 𝑦 − 2x 𝑦 = 𝑥 
 e) arctan(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 
 f) ln y + = 𝑐
 
10) Escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica 2 3y x y 6  en el punto de 
ordenada 𝑦 = 2 
11) Escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica 023 3  x
x
y
xy en el punto 
de abscisa 𝑥 = 1 
12) Calcular derivadas sucesivas: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)Hallar 𝑦´´´ (†) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥)Hallar 𝑦´´´ 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(2𝑥)Hallar 𝑦 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 Hallar 𝑦´´ 
 
Respuestas: 
4)a)
x
1
sen(5x) 5y´  








(5x)sen
5
sen(5x)
cos(5x) sen(3x) 3
e y´e)
2
cos(3x) 
b) y’ = - csc x 
2x92 y´f)  
x 4)(x
1
 y´c)

 h) 1)x xln(x xy´ x 
 
 x2
3
 y´d)  x x)(cos x)tan( x x)ln(cos 
x2
1
 y´i) 






 
j) 
xsen
x cos
y´
2

 k) 𝑦´ =
( )
 
l) 𝑦´ =
( ) √
 m) 𝑦´ = 
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n) 𝑦´ = 𝑒 2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + o) 𝑦´ = 𝑆𝑒𝑛( √ ) 
√ ( )
 
p)𝑦´ = ( ( )) 
5)  1;4,7 6) 1 2
4 1
P ( ;ln20) P ( ;ln5)
5 5
  
7) a) 𝑦 = 2𝑥𝑦 = − 𝑥 + b) 𝑦 = −7𝑥 − 5 𝑦 = 𝑥 + 
c) 𝑦 = −𝑥 − 1 𝑦 = 𝑥 − 3 
8) a) 
22 1)(x1
2x
Y´

 c) 
)x(1
1
Y´
2
 
b) 0Y´ d) 
2xsen1
cos(2x) 2
Y´
2

 
9) a) 
x
y
y´  d) 
34
22
2x5y
y6x3x
y´



 
b) 
xy)y(x
y
y´
2 

 e) 2y)(xy´  
c) 
24
232
3y4xy6x
4yy12x6x
y´


 f) 
yx
y
y´

 
10)
5
16
x
5
6
y  11) y = 5 x - 4 
12) a) 𝑦´´´ = −6𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) b) 𝑦´´´ = c) 𝑦 = 32 cos(2𝑥) 
d) 𝑦´´ = (𝑥 + 4𝑥 + 2)𝑒 
 
6. Material complementario de la clase: 
a) Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la 
guía y enriquecerte mucho más: 
 
Ejercicio 1: Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥) 
 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑈[𝑣(𝑥)] una función compuesta, su derivada es: 𝑓´(𝑥) = 𝑈´[𝑣(𝑥)]. 𝑣´(𝑥) 
 
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Entonces: 𝑓´(𝑥) =
( . )
∙
. ( . )
∙ 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 2 
 
Efectuando el producto: 
 
𝑓´(𝑥) =
. ( . )
. ( . )
⇒ 𝑓´(𝑥) =
( . )
( . )
⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(2. 𝑥) 
 
Ejercicio 2: Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛
.
 
 
𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛
𝑥
2. 𝑥 + 1
.
1
.
∙
2. 𝑥. (2. 𝑥 + 1) − 𝑥 . 2
(2. 𝑥 + 1)
 
𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛
.
∙
.
∙
. . .
( . )
 
 
𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑛
𝑥
2. 𝑥 + 1
∙
2. 𝑥 + 2. 𝑥
2. 𝑥 + 1
 
 
Ejercicio 3: Hallar la derivada de 𝑦 = √𝑥 
Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad: 
 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 √𝑥 
 
En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de la potencia: 
 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛 √𝑥 
 
Derivamos a ambos miembros. Para el primer miembro debemos tener en cuenta 
que, si 𝑦 es una función de variable 𝑥, entonces 𝑙𝑛𝑦 es una función compuesta y su 
derivada es: 
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(𝑙𝑛𝑦)´ = ∙ 𝑦´ =
´
 , entonces: 
 
𝑦´
𝑦
= 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑙𝑛 √𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
1
√𝑥
∙
1
2. √𝑥
 
 
Operando en el segundo miembro: 
 
𝑦´
𝑦
= 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑙𝑛 √𝑥 +
𝑠𝑒𝑛𝑥
2. 𝑥
 
 
Multiplicamos a ambos miembros por y para obtener 𝑦´: 
 
𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑙𝑛 √𝑥 +
𝑠𝑒𝑛𝑥
2. 𝑥
∙ 𝑦 
 
Remplazamos 𝑦 en el segundo miembro: 
 
𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑙𝑛 √𝑥 +
𝑠𝑒𝑛𝑥
2. 𝑥
∙ √𝑥 
 
Ejercicio 4: Hallar la derivada de la siguiente función implícita: 
𝑥 . 𝑦 + 2. 𝑥 . 𝑦 − 3. 𝑦 = 0 
 
La variable y es función de variable 𝑥 (𝑦 = 𝑓(𝑥)), entonces tanto 𝑦 como 𝑦 son 
funciones compuestas de variable 𝑥, y sus respectivas derivadas son: 
 
(𝑦 )´ = 4. 𝑦 . 𝑦´ 
 
(𝑦 )´ = 6. 𝑦 . 𝑦´ 
 
Aplicando las reglas de derivación en la función implícita tenemos: 
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3. 𝑥 . 𝑦 + 𝑥 . 4. 𝑦 . 𝑦´ + 4. 𝑥. 𝑦 + 2. 𝑥 . 𝑦´ − 18. 𝑦 . 𝑦´ = 0 
 
⇒ 4. 𝑥 . 𝑦 . 𝑦´ + 2. 𝑥 . 𝑦´ − 18. 𝑦 . 𝑦´ = −3. 𝑥 . 𝑦 − 4. 𝑥. 𝑦 
 
⇒ 𝑦´. (4. 𝑥 . 𝑦 + 2. 𝑥 − 18. 𝑦 ) = −3. 𝑥 . 𝑦 − 4. 𝑥. 𝑦 
 
⇒ 𝑦´ =
−3. 𝑥 . 𝑦 − 4. 𝑥. 𝑦
4. 𝑥 . 𝑦 + 2. 𝑥 − 18. 𝑦
 
 
Ejercicio 5: Hallar la derivada de la siguiente función implícita: 
 
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦) + 4. 𝑦 = 0 
 
Aplicando las reglas de derivación: 
 
𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 2. 𝑙𝑛(3. 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥) ∙
1
3. 𝑦
∙ 3. 𝑦´ + 4. 𝑦´ = 0 ⇒ 
 
⇒
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥). 𝑦´
𝑦
+ 4. 𝑦´ = −2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦) 
 
⇒ 𝑦´ ∙
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥)
𝑦
+ 4 = −2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦) 
 
⇒ 𝑦´ ∙
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥) + 4. 𝑦
𝑦
= −2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦) 
 
⇒ 𝑦´ = −2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦) ∙
𝑦
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥) + 4. 𝑦
 
 
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⇒ 𝑦´ =
−2. 𝑦. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑥). 𝑙𝑛(3. 𝑦)
𝑠𝑒𝑛(2. 𝑥) + 4. 𝑦
 
 
b) No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en 
internet, utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. 
En particular te recomendamos los siguientes links: 
https://www.youtube.com/watch?v=9xfxCNC4E5E&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8b
ldIMzOEi3ws&index=48 (composición de funciones) 
https://www.youtube.com/watch?v=KbLG3UIvYT8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8
bldIMzOEi3ws&index=49 (regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68 (regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=LkWxSDjA_3E&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=65(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=kuOUwYDeEao&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=68(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=K2Ebd0Z44Gc&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=69(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=eAlRGsCR_nY&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=71(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=k8w8P03VqNA&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=72(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=OUHmGkjGmeg&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=74(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=PXd29eRScbQ&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=75(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=XwRWG3P15zM&list=PLECEF5D37F414A8A5&
index=76(regla de la cadena) 
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https://www.youtube.com/watch?v=5qs-
GIIJUy0&list=PLECEF5D37F414A8A5&index=77(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=CtfVPGWQgrw&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=79(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=vMd4Gogj37Q&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=81(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=Ph6yqSKglNA&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=85(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=tyoPXhzGzrE&list=PLECEF5D37F414A8A5&ind
ex=87(regla de la cadena) 
https://www.youtube.com/watch?v=5p8XXEvjIcM&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=62&t=0s (derivadas de funciones trigonométricas inversas) 
https://www.youtube.com/watch?v=tGYdMuEU7s4&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=78(derivada de funciones trigonométricas inversas) 
https://www.youtube.com/watch?v=K7GMOxp18Lo&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=104 (derivación logarítmica) 
https://www.youtube.com/watch?v=7y8GPW7wqfw&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=106(derivación logarítmica) 
https://www.youtube.com/watch?v=WHq9UAsmMY0&list=PLECEF5D37F414A8A5
&index=91 (derivadas sucesivas) 
https://www.youtube.com/watch?v=I0f3629NjmI&list=PLECEF5D37F414A8A5&inde
x=92(derivadas sucesivas) 
https://www.youtube.com/watch?v=mvpBs_D1XKk&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=93(derivadas sucesivas) 
https://www.youtube.com/watch?v=z0UTm6RNOU8&list=PLECEF5D37F414A8A5&index=94(derivadas sucesivas) 
https://www.youtube.com/watch?v=0oxHLivx75g&list=PLECEF5D37F414A8A5&ind
ex=107(derivadas sucesivas) 
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https://www.youtube.com/watch?v=-
6INhoRgINs&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=50 (derivada de 
la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=96(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=PjaYdAERPXQ&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=97(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=EbdnTyIlYpY&list=PLECEF5D37F414A8A5&ind
ex=98(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=AubDaDXIbzg&list=PLECEF5D37F414A8A5&in
dex=99(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=lXd9ghgxD54&list=PLECEF5D37F414A8A5&ind
ex=100(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=gD1sGwU0-
ME&list=PLECEF5D37F414A8A5&index=101(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=xuw3lbkEJ0o&list=PLECEF5D37F414A8A5&ind
ex=102(derivada de la función implícita) 
https://www.youtube.com/watch?v=MbZweYyez5Q&list=PLECEF5D37F414A8A5&i
ndex=103(derivada de la función implícita)