Clase-94

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°9: Estudio de funciones 
 
1. Objetivo/s de la clase: Estudio de recursos analíticos imprescindibles para el análisis de 
funciones 
 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudio de funciones 
Crecimiento y 
decrecimiento de 
una función 
Extremos de una 
función 
Dominio, 
ceros, asíntotas 
Condiciones necesarias y 
suficientes 
Concavidad, puntos 
de inflexión 
Estudio completo y grafico 
de la función 
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3. Desarrollo 
Función estrictamente creciente en un intervalo 
Sea una función𝑓(𝑥) continua en un intervalo(𝑎; 𝑏). 
Se dice que dicha función es estrictamente creciente en el intervalo(𝑎; 𝑏) 
 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏) ∶ 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). 
 
 
Definición de función estrictamente decreciente en un intervalo 
Sea una función 𝑓(𝑥) continua en un intervalo(𝑎; 𝑏). 
Se dice que dicha función es estrictamente decreciente en el intervalo(𝑎; 𝑏) 
 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
 
 
Ahora, a través de un ejemplo iremos relacionando el concepto del crecimiento de una 
función con el signo de la derivada de la función en un punto. 
Tomaremos una función 𝑓(𝑥) derivable sobre en un intervalo (−12; 12) 
 
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Nos interesa saber, en primera medida, qué le ocurre a la función en los puntos marcados. 
 
 
Nótense que hay puntos verdes y puntos rojos 
 
¿Cómo se comporta dicha función en los puntos rojos y cómo se comporta en los puntos 
verdes?¿Puede decir algo de la función en esos puntos? ¿Cómo es? 
 En los puntos rojos la función es creciente. 
 En los puntos verdes la función es decreciente. 
 
Ahora bien, lo siguiente que haremos es vincular de manera intuitiva el crecimiento y 
decrecimiento de la función con el signo de la derivada primera de la función. 
 
Esto lo vamos a hacer de la siguiente manera… 
Trazaremos primero la recta tangente en cada uno de los puntos rojos 
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¿Cómo es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto rojo? 
Rta.: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangente es positivo. 
No estamos preguntando ¿cuánto vale la pendiente?, solamente sino ¿cuál es el signo de la 
pendiente de cada recta tangente? 
(Recuerde que se puede conocer el signo de la pendiente de una recta observando el 
crecimiento de la función lineal.) 
 
Ahora toca el turno de trazar las rectas tangente en los puntos verdes 
 
¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto verde? 
Rta.: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangente es negativo. 
 
Reunamos ahora los datos obtenidos en un cuadro. Para eso pondremos nombre a los puntos 
rojos y verdes para hacer más fácil y ordenada la lectura: 
 
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Recuerde que es lo mismo decir que dado cierto punto de la función la recta tangente a la 
curva en ese punto tiene pendiente positiva, o que la función tiene derivada positiva en ese 
punto. Observando los gráficospodemos ampliar el cuadro y completarlo aún más incluyendo 
el crecimiento de 𝑓(𝑥): 
 
Punto Pendiente Sg 𝑓′(𝑥) Función 
A Positivo Positivo Creciente 
B Positivo Positivo Creciente 
C Positivo Positivo Creciente 
D Negativo Negativo Decreciente 
E Negativo Negativo Decreciente 
F Negativo Negativo Decreciente 
G Negativo Negativo Decreciente 
H Negativo Negativo Decreciente 
I Positivo Positivo Creciente 
J Positivo Positivo Creciente 
K Positivo Positivo Creciente 
 
Entonces, vinculemos ahora sólo el crecimiento de la función y su derivada. 
¿Puede aventurar alguna conclusión? Podemos inferir que: 
 Si la derivada es positiva la función es estrictamente creciente. 
 Si la derivada es negativa la función es estrictamente decreciente. 
 
Esto que acabamos de afirmar no es gracias a este ejemplo. Es gracias a la teoría que 
demuestra esto, el ejemplo sólo sirvió para ilustrar y hacer más accesible la teoría. Visto 
lo anterior, necesitamos ahora precisar ciertos conceptos. 
 
Criterio de la Derivada Primera para determinar el crecimiento de una función 
Sea 𝑓(𝑥)una función es continua [𝑎; 𝑏] y derivable en un intervalo (𝑎; 𝑏). 
 
I)Si 𝒇′(𝒙) > 0 para toda 𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃) entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente creciente en (𝒂; 𝒃). 
 
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Justificación: Recordemos la definición de función derivada: 
 𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Por hipótesis esta derivada es positiva, por lo tanto el cociente es positivo. Si un cociente es 
positivo tenemos dos posibilidades: 
• denominador y numerador ambos positivos:ℎ > 0 ∧ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) > 0 
Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) > 0 entonces podemos escribir 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥) 
O sea, con ℎ > 0 llegamos a que 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥) pero además también podemos decir que 
si ℎ > 0 ocurre que 𝑥 + ℎ > 𝑥. En un gráfico se vería así: 
 
Reuniendo lo anterior en una sola expresión: 
si 𝑥 + ℎ > 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥) pero esta no es otra cosa que la definición de 
función estrictamente creciente en un intervalo (fue la primera definición que vimos en este 
capítulo). 
• denominador y numerador ambos negativos: ℎ < 0 ∧ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) < 0 
Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) < 0 entonces podemos escribir 𝑓(𝑥 + ℎ) < 𝑓(𝑥) 
O sea, con ℎ < 0 llegamos a que 𝑓(𝑥 + ℎ) < 𝑓(𝑥) pero además también podemos decir que 
si ℎ < 0 ocurre que 𝑥 + ℎ < 𝑥. En un gráfico se vería así: 
 
imágen 
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Reuniendo lo anterior en una sola expresión: si 𝑥 + ℎ < 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ) < 𝑓(𝑥) pero 
esta no es otra cosa que la defininión de función estrictamente creciente en un intervalo (fue la 
primera definción que vimos en este capítulo). 
 
II)Si 𝒇′(𝒙) < 0 para toda 𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃) entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente decreciente en 
(𝒂; 𝒃). 
Se puede justificar de manera análoga. 
Dejamos al lector su justificación junto a los dos gráficos posibles de referencia. 
En esta caso la derivada tiene signo negativo y por tanto el cociente deberá ser negativo, es 
decir o denominador positivo y numerador negativo o al revés. 
 
 
 
 
Función creciente 
Sea una función continua en un intervalo (𝑎; 𝑏) y derivable en (𝑎; 𝑏) 
 si 𝑓 ′(𝑐) ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) entonces f(x) es creciente en (𝑎; 𝑏) 
 
Función decreciente 
Sea una función continua en un intervalo (𝑎; 𝑏) y derivable en (𝑎; 𝑏) 
 si 𝑓 ′(𝑐) ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) entonces f(x) es decreciente en (𝑎; 𝑏). 
 
 
 
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Máximo relativo 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥). 
Decimos que 𝑓(𝑐) es un máximo relativo o local de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si existe un 
entorno 𝐸(𝑐; 𝑟) tal que𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐸(𝑐; 𝑟) 
(mayor valor que toma la función es ese intervalo) 
 
Mínimo relativo 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥). 
Decimos que 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo o local de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si existe un 
entorno 𝐸(𝑐; 𝑟) tal que𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐸(𝑐; 𝑟) 
(Menor valor que toma la función en ese intervalo) 
 
Extremo relativo 
Decimos que 𝑓(𝑐) es un extremo relativo de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) es un mínimo o 
un máximo relativo de la función 𝑓(𝑥). 
 
Recordamos, del capítulo anterior el “Teorema de Fermat” 
Si una función 𝑓(𝑥)tieneun extremo relativo en𝑥 = 𝑐 y además existe 𝑓′(𝑐)entonces 𝑓′(𝑐) =
0. 
 
 
El recíproco de este teorema es falso, ya que no es cierto que si 𝑓′(𝑐) = 0 implica que existe 
un extremo local en 𝑥 = 𝑐 . 
Ponemos como ejemplo de lo anterior el Gráfico 5 de abajo. 
Aclaración importante para entender el gráfico: se ha trazado con rojo ciertas rectas tangentes 
a la curva. Como se observa todas son horizontales, por lo tanto todas tienen pendiente cero, 
por lo tanto también es cero la derivada de la función en cada punto de tangencia. 
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Gráfico 5 
Nótese en el gráfico que no es cierto que si la derivada se anula en un punto existe en él un 
extremo. 
Pero probablemente usted me dirá: 
- ¡Pero yo veo que 𝑓′(𝑎) = 0 y allí hay un extremo! 
Y yo le contesto: 
- ¡Es cierto!, pero fíjese también lo que ocurre en 𝑥 = 𝑏. Allí 𝑓′(𝑏) = 0 y sin embargo en 
𝑥 = 𝑏 no hay extremo alguno. 
Para determinar entonces en qué puntos del dominio de una función será posible que existan 
máximos o mínimos locales deberemos encontrar los puntos “sospechosos” o “candidatos” a 
ser extremos de dicha función. Los mencionados “candidatos” se conocen como Puntos 
Críticos de 1ª especie. Lo que sigue es la definición de Punto Crítico de 1ª especie. 
 
Puntos Críticos de 1ª especie 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥). 
Decimos que 𝑥 = 𝑐 es un punto crítico de 1ª especie, si está en algunos de estos casos: 
Tipo 1: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 𝑓
′(𝑐) = 0 
Tipo 2: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 ∄𝑓
′(𝑐) (no existe la derivada primera en 𝑥 = 𝑐) 
 
En el siguiente gráfico mostramos las diferentes posibilidades de puntos críticos que 
podríamos encontrar al estudiar una función. 
condición
necesaria
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Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑎 o 𝑥 = 𝑏 en donde la derivada 
se anula (se hace cero) y en donde luego se comprobará que existen allí extremos. 
Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑐 en donde la derivada no existe 
(derivadas laterales finitas y distintas) y en donde luego se comprobará que existen allí 
extremos. 
Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑑 en donde la derivada tampoco 
existe (derivadas laterales infinitas de distinto signo) y en donde luego se comprobará que 
existen allí extremos. 
Pero también puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑒 en donde si 
bien la derivada se anula luego se comprobará que no existen allí extremos. 
Y finalmente puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en : 𝑥 = 𝑓 en donde si 
bien la derivada no existe (derivadas laterales infinitas de igual signo) luego se comprobará 
que no existen allí extremos. 
 
Que un punto sea critico no significa que deba alcanzar un extremo necesariamente, 
simplemente quiere decir que puede haber en el un extremo. Luego hay que verificar, con 
algún criterio, si hay o no extremo. Para determinar esto utilizaremos dos criterios: 
o Criterio de la Primera Derivada 
o Criterio de la Segunda Derivada (para extremos). 
 
 
 
no hay máximo
 ni mínimo 
tipo 1
tipo 2
todos son puntos críticos 
extremos:
a, b, c, d
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Criterio de la Derivada Primera (para la determinación de extremos relativos) 
Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏)que contiene a un único punto crítico de 
1ª especie:𝑥 = 𝑐. Si la derivada a izquierda de 𝑥 = 𝑐 es positiva (función creciente) y la 
derivada a derecha de 𝑥 = 𝑐 es negativa (función decreciente) entonces en (𝑐; 𝑓(𝑐)) existe 
un máximo relativo de 𝑓(𝑥). 
 
 
Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏) que contiene a un único punto 
crítico 𝑥 = 𝑐. Si la derivada a izquierda de 𝑥 = 𝑐 es negativa (función decreciente) y la 
derivada a derecha de 𝑥 = 𝑐 es positiva (función creciente) entonces en 
(𝑐; 𝑓(𝑐)) existe un mínimo relativo de 𝑓(𝑥). 
 
Ponemos a continuación un ejemplo de cómo se hallan los extremos de una función. 
 
EJEMPLO: 
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
𝑥2 − 6𝑥 + 1 se pide hallar sus extremos relativos. 
1°) Primero hallemos la Derivada Primera: 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 − 6 
2°) Hallemos los Puntos Críticos de 1ª especie, plateando la condición necesaria, ( como es 
un polinomio con dominio todos los reales, solo tenemos de tipo 1) 
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𝑓′(𝑥) = 0 
Analicemos primero qué valores del dominio verifican 𝑓′(𝑥) = 0 
3𝑥2 − 3𝑥 − 6 = 0 ↔ 𝑥1 = 2 ∨ 𝑥2 = −1 
entonces el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´ = {2; −1} 
 
3°) Ahora aplicamos el Criterio de la Derivada Primera para determinar el crecimiento en 
cada uno de los intervalos determinados por los puntos críticos. 
 
 
𝑓 ′(−2) = 3 ⋅ (−2)2 − 3 ⋅ (−2) − 6 = +12 
𝑓 ′(0) = 3. 02 − 3.0 − 6 = −6 
𝑓 ′(3) = 3. 32 − 3.3 − 6 = +12 
 
Luego, existen un máximo en 𝑥 = −1 y un mínimo en 𝑥 = 2. 
 
Hallemos las imágenes para cada valor reemplazando en la función (sí, en la función original) 
y concluyamos el ejercicio. 
 
𝑓(−1) = (−1)3 −
3
2
(−1)2 − 6(−1) + 1 =
9
2
𝑓(2) = 23 −
3
2
. 22 − 6.2 + 1 = −9 
 
Respuesta: La función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
𝑥2 − 6𝑥 + 1 posee : 
un punto máximo en 𝑀 = (−1;
9
2
) y un punto mínimo en 𝑚 = (2; −9) 
 
Avancemos un poco más con la teoría. ¡Nuevas definiciones que se suman! 😊 
 
 
 
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Criterio de la Derivada Segunda (para extremos relativos) 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto crítico de la función 𝑓(𝑥)/ 𝑓´(𝑥) = 0 entonces: 
• si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑐) es un máximo relativo de la función 𝑓(𝑥) 
• si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo de la función 𝑓(𝑥) 
En el caso de que ocurra 𝑓′′(𝑐) = 0 o bien en el caso de que ∄𝑓′′(𝑐) el criterio no aporta 
información. En este caso se deberá emplear el criterio anterior (el de la Derivada Primera). 
 
EJEMPLO: 
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒−𝑥
2
 se pide hallar sus máximos y mínimos relativos. 
 
Calculemos primero 𝑓′(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 1. 𝑒−𝑥
2
+ 𝑥. 𝑒−𝑥
2
. (−2𝑥) = 𝑒−𝑥
2
. (1 + 𝑥. (−2𝑥)) = 𝑒−𝑥
2
. (1 − 2. 𝑥2) 
 
Busquemos ahora los Puntos críticos: 
Tipo 1: 
Analizaremos la primera derivada: 𝑓′(𝑥) = 0 
𝑒−𝑥
2
. (1 − 2. 𝑥2) = 0 entonces: 
𝑒−𝑥
2
≠ 0 ∨ 1 − 2. 𝑥2 = 0 ↔ 𝑥1 =
√2
2
 y 𝑥2 = −
√2
2
 
 
De la primera ecuación no obtenemos nada y de la segunda dos valores 
Tipo 2: 
No hay, ya que no ocurre para ningún valor de 𝑥 que ∄𝑓′(𝑥), ya que dicha derivada existe 
para todo número real. 
 
Por lo tanto, el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´ = {
√2
2
; −
√2
2
} 
 
Analizamos ahora cada punto crítico: 
Utilizaremos el Criterio de la Segunda Derivada. Encontremos primero esta derivada: 
𝑓′′(𝑥) = (𝑒−𝑥
2
. (1 − 2. 𝑥2))
′
= 𝑒−𝑥
2
. (−2𝑥). (1 − 2. 𝑥2) + 𝑒−𝑥
2
. (−4. 𝑥) 
Sacando factor común obtenemos 
solo para puntos 
crit. de tipo1
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𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥
2
. [(−2𝑥). (1 − 2. 𝑥2) + (−4. 𝑥)] = 𝑒−𝑥
2
. [4. 𝑥3 − 6𝑥] 
 
Evaluemos ahora 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados. 
𝑓′′ (
√2
2
)=𝑒
−(
√2
2
)
2
. [4. (
√2
2
)
3
− 6 (
√2
2
)] < 0 ⟹ en 𝑥 =
√2
2
 existe un máximo 
𝑓′′ (−
√2
2
)=𝑒
−(−
√2
2
)
2
. [4. (−
√2
2
)
3
− 6 (−
√2
2
)] > 0 ⟹ en 𝑥 = −
√2
2
 existe un mínimo 
 
Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder el ejercicio. 
𝑓 (
√2
2
) = (
√2
2
) . 𝑒
−(
√2
2
)
2
=
√2
2
. 𝑒− 
1
2 ≈ 0,429 
𝑓 (−
√2
2
) = (−
√2
2
) . 𝑒
−(−
√2
2
)
2
= −
√2
2
. 𝑒− 
1
2 ≈ −0,429 
 
Respuesta: 
El máximorelativo de 𝑓(𝑥) es 𝑀 = (
√2
2
; 0,429 ) y el mínimo relativo es 
 𝑚 = (−
√2
2
; −0,429) 
 
Máximo absoluto 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥) . Decimos que 𝑓(𝑐) es el máximo 
absoluto de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓. 
 
 Gráfico 1 Gráfico 2 
 
En el Gráfico 1 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio son todos los 
números reales, se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el máximo absoluto de esa función. 
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En el Gráfico 2 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio ya no es el conjunto 
de los números reales, sino que el dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏]. Se muestra allí que 
𝑓(𝑏) es el máximo absoluto de esa función. 
 
Mínimo absoluto 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥) . Decimos que 𝑓(𝑐) es el mínimo 
absoluto de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓. 
 
 Gráfico 3 Gráfico 4 
En el Gráfico 3 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio son todos los 
números reales, se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el mínimo absoluto de esa función. 
En el Gráfico 4 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio ya no es el conjunto 
de los números reales, sino que el dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏]. Se muestra allí que 
𝑓(𝑎) es el mínimo absoluto de esa función. 
 
Extremos absolutos en un intervalo cerrado 
Tenemos que recordar que si la función 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏] por el 
teorema de Weierstrass 𝑓(𝑥) tiene un máximo y mínimo absolutos en [𝑎; 𝑏] razón por la cual, 
cuando querramos determinar los máximos y/o mínimos absolutos de una función, deberemos 
determinar los máximos y/o mínimos relativos y compararlos con los valores que toma la 
función en los valores 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. 
• Si buscamos el mínimo absoluto elegiremos el menor valor obtenido entre el mínimo 
relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). 
• Si buscamos el máximo absoluto elegiremos el mayor valor obtenido entre el máximo 
relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). 
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Observación: Por lo tanto si 𝑫𝒇 = [𝒂; 𝒃] los extremos del intervalo 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒃 
son puntos críticos donde puede haber un extremo absoluto y habrá que revisarlos. 
EJEMPLO: 
Hallar los valores máximos y mínimos absolutos que alcanza la función si: 
𝑓: [0; 3] → 𝑅 / 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 
Como 𝑓(𝑥) es una función polinómica, continua en el intervalo [0; 3] sabemos que tendrá un 
máximo y un mínimo absolutos en él. 
Por otro lado como 𝑓(𝑥) es derivable en el intervalo (0; 3) y el teorema de Fermat nos afirma 
que si alcanza algún extremo en el intervalo (0; 3), la derivada de la función en ese punto 
valdrá cero. 
Luego los puntos críticos “sospechosos” de ser extremos absolutos surgirán de: 
• Los puntos donde la derivada primera sea igual a cero 
• Y también de los extremos del intervalo [0; 3] 
Como 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥2 − 3 tendremos 3𝑥2 − 3 = 0 de donde salen 
𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1 
Luego el conjunto de los puntos “sospechosos” será: PC´= {0; 1; −1; 3}. 
 
Para saber donde se alcanzan el mayor y menos valor de la función, basta con reemplazar en 
ella y comparar: 
𝑓(0) = 5 ; 𝑓(1) = 3 ; 𝑓(−1) = 7 ; 𝑓(3) = 23 
El máximo absoluto se alcanza en 𝑥 = 3, extremo del intervalo[0; 3] 
El mínimo absoluto se alcanza en 𝑥 = 1, interior al intervalo[0; 3]. 
 
Respuesta: 
El máximo absoluto de la función es en: [3; 𝑓(3)] = [3; 23] 
El mínimo absoluto de la función es en : [1; 𝑓(1)] = [1; 3] 
 
Concavidad de una función en un intervalo 
Sea una función 𝑓(𝑥) continua en el intervalo (𝑎; 𝑏). 
Se dice que dicha función es cóncava hacia arriba, cuando las rectas tangentes a la función en 
cada punto de tangencia se encuentran por debajo de la curva de 𝑓(𝑥). 
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Sea una función 𝑓(𝑥) continua en el intervalo (𝑎; 𝑏). 
Se dice que dicha función es cóncava hacia abajo, cuando las rectas tangentes a la función en 
cada punto de tangencia se encuentran por arriba de la curva de 𝑓(𝑥). 
 
Hay un criterio para la concavidad en un intervalo, relacionado con la derivada segunda. Se 
demuestra que: 
• Si 𝒇′′(𝒙) > 0 ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃)entonces 𝒇(𝒙) es cóncava hacia arriba en (𝒂; 𝒃) 
• Si 𝒇′′(𝒙) < 0 ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃)entonces 𝒇(𝒙) es cóncava hacia abajo en (𝒂; 𝒃) 
 
Punto de Inflexión 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).Se dice que 𝑥 = 𝑐 es un punto de 
inflexión de la función 𝑓(𝑥) cuando en 𝑥 = 𝑐 cambia la concavidad de la curva. 
 
Para hallar los puntos de inflexión de una función se hallará, en primera medida, los puntos 
“sospechosos” de ser puntos de inflexión y luego se aplicará algún criterio para la 
confirmación o no del punto de inflexión. 
 
Puntos Críticos de 2ª especie 
Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥). 
Los puntos donde puede haber punto de inflexión se llaman Puntos críticos de segunda 
especie, pueden ser: 
Tipo 1: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 𝑓′′(𝑐) = 0 
Tipo 2: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 ∨ ∄𝑓
′′(𝑐) ( no existe la derivada segunda) 
 
 
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Criterio de la Derivada Segunda (para puntos de inflexión) 
Sea una función continua en el intervalo abierto(𝑎; 𝑏)que contiene a un único punto crítico de 
2ª especie 𝑥 = 𝑐. 
Si la derivada segunda a izquierda de 𝑥 = 𝑐 es positiva (cóncava hacia arriba) y la derivada 
segunda a derecha de 𝑥 = 𝑐 es negativa (cóncava hacia abajo) o la derivada segunda a 
izquierda de 𝑥 = 𝑐 es negativa (cóncava hacia abajo) y la derivada segunda a derecha de 𝑥 =
𝑐 es positiva (cóncava hacia arriba) entonces en (𝑐; 𝑓(𝑐)) existe un punto de inflexión de 
𝑓(𝑥). 
 
Si al atravesar el punto 𝒙 = 𝒄 la derivada segunda cambia de signo, entonces en (𝒄; 𝒇(𝒄)) 
hay un punto de inflexión. 
 
Criterio de la Derivada Tercera 
Si en 𝑥 = 𝑐 , punto del dominio de la función 𝑓(𝑥) se cumple que : 𝑓′′(𝑐) = 0 𝑦 
𝑓′′′(𝑐) ≠ 0 entonces en (𝑐; 𝑓(𝑐)) existe un punto de inflexión de 𝑓(𝑥). 
 
En el caso de que ocurra 𝑓′′′(𝑐) = 0 o bien en el caso de que ∄𝑓′′′(𝑐) el criterio no aporta 
información. En este caso se deberá emplear el criterio anterior, el de la Derivada Segunda 
para puntos de inflexión. 
 
EJEMPLO: 
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 hallar sus puntos de inflexión. 
1°) Hallamos 𝑓 ′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 y luego 𝑓 ′′(𝑥) = 6𝑥 − 2 
2°) Buscamos los puntos críticos, tipo 1 y tipo 2: 
Tipo 1: entonces planteamos: 𝑓′′(𝑥) = 0 → 6𝑥 − 2 = 0 ↔ 𝑥 =
1
3
 
Tipo 2: no hay ya que 𝑓′′(𝑥) es un polinomio. 
 Luego el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´´ = {
1
3
} 
 
3°) Ahora apliquemos el Criterio de la Derivada Segunda (para puntos de inflexión) 
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2400 - Matemática I 
 
 
19 
 
Recordemos que analizamos a izquierda y a derecha de 𝑥 =
1
3
 la derivada segunda. 
 
Luego, al existir cambio de concavidad a izquierda y a derecha de 𝑥 =
1
3
se confirma que en 
𝑥 =
1
3
 hay un punto de inflexión. 
La función tiene un punto de inflexión en (
1
3
; 𝑓(
1
3
)) = (
1
3
; −
2
27
) 
 
Bien, ¡al fin llegamos! El objetivo de todo este análisis es, entre es otros, entre otros poder 
realizar un gráfico aproximado de una función cualquiera. Este gráfico se realizará 
encontrando: 
• Dominio de la función 
• Cortes con los ejes 
• Asíntotas 
• Intervalos de Crecimiento 
• Intervalos de Concavidad 
• Puntos extremos 
• Puntos de inflexión 
EJEMPLO: 
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8 realizar el estudio completo y graficar.Dominio: 𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
Las funciones polinómicas carecen de asíntotas. 
Corte con el eje y: 𝑓(0) = −8(0; −8) 
Cortes con el eje x: 
𝑓(𝑥) = 0 
𝑥4 − 2𝑥2 − 8 = 0 
De esta ecuación se obtienen 4 raíces (pero puede que no todas sean reales). Es una ecuación 
especial, tan especial que tiene nombre particular se llama bicuadrada. Les muestro el paso a 
paso: 
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2400 - Matemática I 
 
 
20 
 
Por propiedades de la potencia se puede escribir 𝑥4 = (𝑥2)2 
(𝑥2)2 − 2𝑥2 − 8 = 0 
Luego aplicamos cambio de variable. Sea 𝒕 = 𝒙𝟐, entonces... resolvemos esta ecuación 
cuadrática donde la variable es t: 
 
𝑡2 − 2𝑡 − 8 = 0 ↔ 𝑡1 = 4 𝑜 𝑡2 = −2 
 
¡Pero debemos obtener 𝑥! Entonces tomamos los valores obtenidos de 𝒕 y volvemos a la 
variable original: 𝒙 / 
 
Si 𝑡1 = 4 entonces : 𝑥
2 = 4 → |𝑥| = √4 = 2 
es decir tenemos dos soluciones: 𝑥1 = 2 o 𝑥2 = −2 
Si 𝑡2 = −2 entonces : 𝑥
2 = −2 → |𝑥| = √−2 pero este resultado no pertenece a los 
números reales. 
Solo tenemos dos soluciones: los cortes son (2; 0) 𝑦 (−2; 0). 
 
Extremos: 
Buscamos los puntos críticos: 
Tipo 1: entonces 𝑓′(𝑥) = 0 → 4𝑥3 − 4𝑥 = 0 
Analicemos primero 
𝑥 ⋅ (4𝑥2 − 4) = 0 
𝑥1 = 0 ∨ 4𝑥
2 − 4 = 0 ↔ 𝑥2 = 1 ∨ 𝑥3 = −1 
 
Tipo 2: No hay de este tipo ya que la derivada primera es un polinomio 
 Luego el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´´ = {0 ; 1 ; −1} 
 
Los analizamos con el criterio de cambio de signo de la primer derivada: 
 
 
Y concluimos que : 
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2400 - Matemática I 
 
 
21 
 
Existe Máximo Relativo en: 𝑀𝑅 = (0; −8) 
Existen mínimos relativos en : 𝑚𝑅1 = (−1; −9) 𝑚𝑅2 = (1; −9) 
 
Crecimiento: 
La función crece en (−1; 0) ∪ (1; +∞) 
La función decrece en (−∞; −1) ∪ (0; 1) 
 
Puntos de inflexión: 
Buscamos los puntos críticos: 
Tipo 1: Analicemos: 𝑓′′(𝑥) = 0 
→ 12𝑥2 − 4 = 0 ↔ 𝑥1 = −
√3
3
≈ −0,577 ∨ 𝑥2 = 
√3
3
≈ +0,577 
 
Tipo 2: No hay ya que la derivada segunda es un polinomio 
 
Luego el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´´ = {−0,577 ; +0,577 } 
Si aplicamos el criterio del cambio de signo de la derivada segunda: 
 
 
Encontramos dos puntos de inflexión: 
𝐼1= (−
√3
3
; −
77
9
) e 𝐼2 = (
√3
3
; −
77
9
) 
Concavidad: 
La función es cóncava hacia arriba en (−∞; −
√3
3
) ∪ (
√3
3
; +∞) 
La función es cóncava hacia abajo en (−
√3
3
;
√3
3
) 
Llevamos todos estos datos y los volvamos en los ejes cartesianos. 
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2400 - Matemática I 
 
 
22 
 
 
Los puntos rojos son los extremos 
Los puntos azules los puntos de inflexión 
Y los puntos negros los cortes con los ejes. 
 
 
 
 
4. Bibliografía: 
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – Thomson Editions 
[2]RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, Buenos Aires – 
Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, Buenos Aires – Ed. 
Prometeo, 4ª edición 
 
5. Actividades pedagógicas 
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del TP 
TRABAJO PRÁCTICO: ESTUDIO DE FUNCIONES 
Los ejercicios obligatorios son: 1) a. 2) b,d. 3) a,c,d. 
 4) a,b. 5) a,e,f,h,p,r. 
 
1) Estudia el crecimiento o decrecimiento de las funciones en los puntos que se 
indican: 
a) ( ) 2f x 5x 3x 1= − + en 𝑥 =
 1 
b) ( )f x 1 x 3= + + en 𝑥 = 0 
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2400 - Matemática I 
 
 
23 
 
c) ( )f x x= en 𝑥 = −2 d) ( )
1
f x 
x
= en 𝑥 = 3 
2) Encontrar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: 
a)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝐿𝑛(𝑥) 
3) Hallar los máximos y mínimos relativos de: 
a) ( ) 3f x x 3x 2= − + 
b) ( ) 5 2f x x 20x 3= − + 
c) ( )
( )
3
2
x
f x
x 1
=
−
 
d) ( ) 3 2f x x 6x 9x 2= − + + 
4) Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión: 
a) f(x) = x3 + 4 x2 – 6 x + 3 
b) 
3x
2
)x(f
−
= 
c) 
2
4
x
1x
)x(f
+
=
d) 3 2f(x) x 6x 1= − + 
e) 8 x2xf(x) 24 −−= 
f) 
2xe)x(f −= 
g) xe 1)(xf(x) −−= 
 
5) Dadas las siguientes funciones realizar el estudio completo y graficarlas: 
a) f (x) = x 4 – 2 x2 
 
b) f (x) = 
3 2x 
 
c) f(x) = x (x - 3) 2 
 
d) f(x) = 2 x 3 – 3 x 2 
 
e) f(x) = x 3 – 3 x 2 – 2 
f) 
1 x2
1x
f(x)
+
−
= 
g) 
x
x1
)x(f
+
= 
h) 
x
2xx
)x(f
2 +−
= 
i) 
1x
x
)x(f
2
3
−
= 
j) 
2
3
)1x(
x
)x(f
−
= 
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2400 - Matemática I 
 
 
24 
 
k) 
x
2
x)x(f −= 
l) 
)1x(
x
)x(f
2 −
= 
m) 
4x
4x
)x(f
2
2
+
−
= 
n) 
1x
x
)x(f
2 +
= 
 
o) 
2xe)x(f −= 
 
p) f(x) = (1 - x) e x 
 
q) 
12
12
)x(f
x
x
+
−
= 
 
r) f(x) = x e x 
 
s) f(x) = x 2 e-x 
 
 t) f(x)= 
)4x(
6
2 −
 
u) 
x
xln
)x(f = 
v) x42)x(f −+= 
w) 
x1
x1
ln)x(f
−
+
=
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2400 - Matemática I 
 
 
25 
 
 
 
RESPUESTAS 
1) reciente. b- Creciente. 
c-Decreciente. 
d- Decreciente. 
2) a) Crece:(2; +∞) Decrece: (−∞; 2) 
b)Crece: (−∞; −
1
3
) ∪ (1; +∞) Decrece: (−
1
3
; 1) 
c) Crece. (−∞; 0) ∪ (3; +∞) Decrece:(0; 3) 
d) Crece:(𝑒−1; +∞) Decrece: (0; 𝑒−1) 
3) a-Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0) 
 b- Máximo (0, 3) Mínimo (2, -45) 
c- Mínimo (3,
27
4
)d- Máximo (1, 6) Mínimo (3, 2) 
4) a-Cóncava hacia arriba:(−
4
3
; +∞) Cóncava hacia 
abajo:(−∞; −
4
3
) 
 b- Cóncava hacia arriba:(3; +∞) Cóncava hacia 
abajo:(−∞; 3) 
 c- Cóncava hacia arriba: );0()0;( +− 
 d- Cóncava hacia abajo:(−∞; 2) Cóncava hacia 
arriba:(2; +∞) 
 Punto de inflexión: (2, −15) 
 e- Cóncava hacia arriba:(−∞;
√3
3
) ∪ (
√3
3
; +∞) 
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2400 - Matemática I 
 
 
26 
 
Cóncava hacia abajo:(−
√3
3
;
√3
3
) 
 Puntos de inflexión:(−
√3
3
; −8,55) 𝑦 (
√3
3
; −8,55) 
 f- Cóncava hacia arr iba:(−∞; −
√2
2
) ∪ (
√2
2
; +∞) 
 Cóncava hacia abajo:(−
√2
2
;
√2
2
) 
 Puntos de inflexión:(−
√2
2
; 𝑒−
1
2) 𝑦 (
√2
2
; 𝑒−
1
2) 
 g- Cóncava hacia arriba:(3; +∞)Cóncava hacia abajo:(−∞; 3) 
 Punto de inflexión:(3;
2
𝑒3
) 
5) 
a) 𝑀 = (0; 0) 𝑚 = (1; −1) 𝑚 = (−1; −1)P. )
9
5
;
3
3
(I1 −= P. )
9
5
;
3
3
(-I2 −= 
b) 𝑚 = (0,0) 
c) (1;4)M = 𝑚 = (3; 0)𝑃𝐼(2; 2) 
d) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 0) 𝑚𝑖𝑛 = (1; −1)𝑃𝐼 = (
1
2
; −
1
2
) 
e) 𝑀(0; − 2) 𝑚(2; − 6) 𝑃𝐼(1; − 4) 
f) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos. de inflexión. 
Asíntotas:𝑦 =
1
2
 , 𝑥 = −
1
2
 
g) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos. de inflexión. 
Asíntotas:𝑦 = 1 , 𝑥 = 0 , 
h) 𝑀𝑎𝑥 = (−√2; −2√2 − 1)𝑀𝑖𝑛 = (√2; 2√2 − 1) 
Asíntotas:𝑦 = 𝑥 − 1 , 𝑥 = 0 
i) 𝑀𝑎𝑥 = (−√3; −
3√3
2
) 𝑚𝑖𝑛 = (√3;
3√3
2
) 𝑃𝐼 = (0; 0) 
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2400 - Matemática I 
 
 
27 
 
Asíntotas : 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1 
j) 𝑚𝑖𝑛 = (3;
27
4
) 𝑃𝐼 = (0; 0)Asíntotas:𝑦 = 𝑥 + 2 , 𝑥 = 1 
k) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos. de inflexión 
Asíntotas:𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 0 
l) No tiene Máximos ni mínimos, 𝑃𝐼 = (0; 0) 
Asíntotas: 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = − 1 
m) 𝑚𝑖𝑛 = (0; −1)𝑃𝐼1 = (
2
√3
; −
1
2
) 𝑃𝐼2 = (−
2
√3
; −
1
2
)Asíntotas:𝑦 = 1 
n) 𝑀𝑎𝑥 = (1;
1
2
) 𝑀𝑖𝑛 = (−1; −
1
2
) 𝑃𝐼1 = (0; 0)𝑃𝐼2 = (√3;
√3
4
) 𝑃𝐼3 = (−√3; −
√3
4
) 
Asíntotas: 𝑦 = 0 
o) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 1)𝑃𝐼1 = (
√2
2
; 𝑒−
1
2) 𝑃𝐼2 = (−
√2
2
; 𝑒−
1
2)Asíntotas: 𝑦 = 0 
p) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 1)𝑃𝐼 = (−1;
2
𝑒
)Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a − 
q) No tiene Máximo ni mínimo,𝑃𝐼 = (0; 0) 
Asíntotas: 𝑦 = 1 cuando x tiende a + ; 𝑦 = −1 cuando x 
tiendea − 
r) 𝑚𝑖𝑛 = (−1; −
1
𝑒
) 𝑃𝐼 = (−2; −
2
𝑒2 
)Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a 
− 
s) 𝑀𝑎𝑥 = (2;
4
𝑒2
) 𝑚𝑖𝑛 = (0; 0)𝑃𝐼1 = (2 − √2;
1
5
) 𝑃𝐼2 = (2 + √2;
2
5
) 
Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a + 
t) 𝑀𝑎𝑥 = (0; −
3
2
)Asíntotas: 𝑦 = 0 , 𝑥 = − 2 , 𝑥 = 2 
u) 𝑀𝑎𝑥 = (𝑒;
1
𝑒
) 𝑃𝐼 = (𝑒
3
2;
3
2
𝑒
3
2
)Asíntotas: 𝑦 = 0cuando x tiende a + ; x 
= 0 
 v)𝑚𝑖𝑛 = (4; √2) 
 w) 𝑃𝐼 = (0; 0) Asíntotas: 𝑥 = − 1 , 𝑥 = 1 
 
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2400 - Matemática I 
 
 
28 
 
6. Material complementario de la clase: 
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y enriquecerte 
mucho más: y links de videos relacionados con el tema. 
Ejercicio Resuelto 
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y enriquecerte 
mucho más: 
1) Dada la función 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5 , calcula sus extremos. 
Sabemos que en los valores de 𝑥 en donde la derivada primera resulte igual a cero podrán 
existir máximos y/o mínimos relativos de una función. 
Recordemos que esta es parte de la CONDICIÓN NECESARIA para la existencia de 
máximos y/o mínimos relativos y recordemos también que a dichos valores de 𝑥 se los 
conoce con el nombre de Puntos críticos de primera especie Tipo 1.. 
 Bien, ahora calculemos primero 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = (
1
4
𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5)
′
= 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 
Igualemos a cero dicha derivada: 
𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0 
Resolvemos esta ecuación. Para hacerlo basta con dividir por Ruffini por alguna raíz que 
obtengamos por otro medio, como ser el Teorema de Gauss. 
Aplicamos el teorema al ejercicio siendo las posibles raíces racionales los valores: 
±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 
Reemplazando estos valores encontramos que 𝑥 = 2 es una de las raíces, por lo cual la 
utilizamos para encontrar las restantes raíces utilizando la Regla de Ruffini: 
𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0 
 1 -3 -4 12 
2 2 -2 -12 
 1 -1 -6 0 
 
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
Resolvemos esta ecuación y obtenemos las soluciones 𝑥 = 3 y 𝑥 = −2 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
29 
 
Hemos encontrado entonces que los puntos críticos (los valores para los cuales la primera 
derivada se anula) son 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 3. 
Ahora veamos si en algunos de ellos existe un máximo o un mínimo. 
Utilizaremos el criterio de la Segunda Derivada. 
Encontremos primero esta derivada: 
𝑓′′(𝑥) = (𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12)′ = 3𝑥2 − 6𝑥 − 4 
Evaluemos 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados: 
 
𝑓′′(2)=3. 22 − 6.2 − 4 = −4 < 0 ⟹ en 𝑥 = 2 existe un máximo 
𝑓′′(−2) = 3(−2)2 − 6(−2) − 4 = +20 > 0 ⟹ en 𝑥 = −2 existe un mínimo 
𝑓′′(3) = 3. 32 − 6.3 − 4 = +5 > 0 ⟹ en 𝑥 = 3 existe un mínimo 
 
Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder correctamente el ejercicio. 
𝑓(2) =
1
4
. 24 − 23 − 2. 22 + 12.2 + 5 = 17 
𝑓(−2) =
1
4
. (−2)4 − (−2)3 − 2. (−2)2 + 12. (−2) + 5 = −15 
𝑓(3) =
1
4
. 34 − 33 − 2. 32 + 12.3 + 5 =
65
4
 
Respuesta: 
La función 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5 posee un máximo en 𝑀 = (2; 17), posee 
un mínimo en 𝑚1 = (−2; −15) y otro mínimo en 𝑚1 = (3;
65
4
). 
 
 
2) Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥
 , calcula los máximos y los mínimos de la misma. 
Sabemos que en los valores de 𝑥 en donde la derivada primera resulte igual a cero o la 
derivada no exista pueden existir máximos y/o mínimos relativos de una función. 
Lo que hay que tener en cuenta aquí es que esta función NO ESTÁ DEFINIDA PARA 
TODOS LOS REALES, por lo tanto, cuando dibujemos la recta numérica para estudiar su 
crecimiento habrá que sacar de ella los valores que NO SON del DOMINO. 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
30 
 
¡Hallemos entonces primero su dominio! 
Sabemos que todo denominador debe ser siempre distinto de 0. ′ 
Entonces el dominio será 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − {0} 
Ahora continuemos… 
1°) Buscamos Puntos críticos: 
Tipo 1: Hallamos 𝑓′(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = (
𝑥2 + 1
𝑥
)
′
=
2𝑥. 𝑥 − (𝑥2 + 1). 1
𝑥2
=
𝑥2 − 1
𝑥2
 
 
 Analicemos primero la condición 𝑓′(𝑥) = 0 
𝑥2 − 1
𝑥2
= 0 
𝑥2 − 1 = 0 
𝑥1 = 1 ∨ 𝑥2 = −1 
 
Tipo 2: Analicemos ahora cuando ∄𝑓′(𝑥) 
Para esto miremos la derivada y preguntémonos si esta derivada NO EXISTE para algún 
valor del dominio de la función. 
La respuesta es NO, ya que si bien en 𝑥 = 0 la derivada no existe, este valor no pertenece 
al dominio de 𝑓(𝑥). 
Nuestros puntos críticos son entonces 𝑃𝐶´ = {1; −1} 
 
2°) Analicemos cada uno de los puntos críticos: 
Veamos ahora cómo cambia el signo de la derivada a izquierda y a derecha de cada 
número, ya que el mismo nos indicará cómo crece o decrece la función en los intervalos 
determinados por los puntos críticos (criterio de la Primera Derivada). 
 
Analicemos el signo de 𝑓′(𝑥) en cada intervalo. 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
31 
 
Para esto tomaremos un valor cualquiera de dicho intervalo y lo reemplazaremos en la 
derivada. 
Para que esto resulte ágil veamos que muchas veces NO ES NECESARIO OBTENER EL 
VALOR DE LA DERIVADA sino SOLAMENTE el SIGNO de la derivada en dicho 
punto. 
Por ejemplo: 
𝑓′(−2) =
(−2)2−1
(−2)2
> 0 es evidente que el numerador es positivo y que el denominador 
también lo es, por lo tanto, aplicando la regla de los signos de una división vemos que el 
cociente es positivo, es decir, MAYOR QUE 0. 
𝑓′(−0,5) =
(−0,5)2 − 1
(−0,5)2
< 0 
𝑓′(0,5) =
(0,5)2 − 1
(0,5)2
< 0 
𝑓′(0,5) =
(0,5)2 − 1
(0,5)2
< 0 
𝑓′(2) =
(2)2 − 1
(2)2
> 0 
 
Luego, en 𝑥1 = 1 existe un mínimo y en 𝑥2 = −1 existe un máximo. 
Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder correctamente el ejercicio. 
𝑓(−1) =
(−1)2+1
−1
= −2 y 𝑓(1) =
12+1
1
= 2 
Respuesta: 
La función 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥
 posee un máximo en 𝑀 = (−1; −2) y posee un mínimo en 
𝑚 = (1; 2) . 
 
 
También pueden consultar los siguientes links: 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
32 
 
 
➢ Puntos críticos. Crecimiento / Decrecimiento. Máximos y Mínimos. 
− https://www.youtube.com/watch?v=ml8x6DBMjZ8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bl
dIMzOEi3ws&index=47&t=0s 
− https://www.youtube.com/watch?v=EpIzvUA9yQY&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bl
dIMzOEi3ws&index=62 
− https://www.youtube.com/watch?v=XNOBzLAiGrw 
− https://www.youtube.com/watch?v=Li5LBqjHKUI 
− https://www.youtube.com/watch?v=YHE81T4b7KU 
− https://www.youtube.com/watch?v=sE5jdoJd97g 
− https://www.youtube.com/watch?v=TyImHCEj7Bg&list=PL71h9nkUDIJePPFRIQmCI
DXo_uMScaNvw&index=15&t=0s 
 
➢ Concavidad y punto de inflexión. 
− https://www.youtube.com/watch?v=-g-Hf1JxH5s 
− https://www.youtube.com/watch?v=twmEBaHhESk 
− https://www.youtube.com/watch?v=kMfePhuclxw 
− https://www.youtube.com/watch?v=VWEukE0M0bI&list=PLRenu6lMxFiKCwMloa7ca
veqDIM3OATei&index=16&t=0s 
 
➢ Estudio completo de funciones. 
− https://www.youtube.com/watch?v=Q73XxigqTP8 
− https://www.youtube.com/watch?v=GIWiUWvwl-E 
− https://www.youtube.com/watch?v=0TecY5-sWpY 
− https://www.youtube.com/watch?v=K5vmrxaLfCo 
− https://www.youtube.com/watch?v=AJ7YEjBE9YA&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8b
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https://www.youtube.com/watch?v=ml8x6DBMjZ8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=47&t=0s
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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
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