GUIA DE EJERCICIOS APLICACIONES DE PRIMER ORDEN MATEMATICA IV

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GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA IV Prof. Alain Núñez Lazo 
 
TEMA 2: Aplicaciones de primer orden 
 
 
Geometría 
 
[1] Elimine las constantes indicadas. 
a) bayx  22 
 a1) a R:   xyybx  '2 
 a2) b R: xayy ' 
 a3) a y b R:   0''''  yxyyxyy 
 
b) byax  22 
b1) a R: byxyy  2' 
b2) b R: axyy ' 
b3) a y b R:   0''''  yxyyxyy 
 
c) 
2
1 2
x xy Ce Ce  , 1 2 y CC R: 2 0y y y    
 
d)  cosy wt   , y   R: 2 0y w y  
 
 
[2] Hallar la ecuación diferencial asociada a la familia dada. 
a) Parábolas con focos sobre el eje y. R: ''' yxy  
b) Círculos que pasan por (0,3) y con centro sobre el eje y. R:    '2 26 9 2 3y y x y x y     
c) Círculos con centro sobre la recta xy . R:    2'' ' ' '1 1 0y x y y y y      
  
 
d) Círculos que pasan por (0,1) y con centro sobre la recta xy 1 . R: 
2 2
2 2
2 2 2 1'
2 2 2 1
y x xy x y
y x xy x y
y     
    
 
e) Parábolas con vértice en el origen y focos sobre el eje y. R: 2xy y 
f) Círculos con centro en el eje x y que pasan por el origen. 
g) Círculos con centro en la recta xy y que pasan por el origen. R: 
2 2
2 2
2
2
y xy x
y xy x
y  
 
 
 
 
 
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[3] Hallar la familia de curvas isogonales a la familia dada, con el ángulo indicado. 
 a) axy 42  , º90 R: 2 22y x k  
 b) kyx  22 , º90 R: kxy 
 c) kxy , º90 R: kxy  22 
d) Círculos con centro sobre el eje y que pasan por el origen, º90 R: kyyx  22 
 e) Rectas que pasan por (-1,1), º90 R:     222 11 ryx  
 f) Rectas que pasan por el origen, 
 f1) º30 R:   xykyx arctan32ln 22  
 f2) º45 R:   xykyx arctan2ln 22  
 f3) 90º R: 2 2 2x y r  
 g) axy 2 , º60 R: 2 3 2 26arctan 23ln 3 2 3 0
23
y x y xy x
x
      
 
 
 h) cosar , º30 R:  6cos br 
 i) Rectas con pendiente 1, 90º R: 1y C x  
 j) Parábolas cúbicas que pasan por el origen, 90º R: 2 2 223x y C  
 k) Círculos concéntricos en (2,3), 90º R:  2 3y C x   
 
[4] Hallar la trayectoria ortogonal a la familia dada que pasa por el punto indicado. 
 a) kyxy  22 , (1,-2) R:   133 22  yxx 
 b) cxxy 323 2  , (0,10) R: 
3
10 xey 
 c) yceyx  , (0,10) R: xey x   28 
 d)  2
2
1

x
kye , (-1,1) R:    22 1ln  xy 
 e) 2y x kx  , 22( ,0) R: 
2y x 
 f) 
2 22 2 1 yx y Ce   , (1,1) R: 22 1 2y x  
 
[5] Hallar la trayectoria isogonal que intercepta a la familia dada con un ángulo de 45º y que pasa por el 
 punto indicado. 
 
 a) 1 xkey , (-1,1) R:    2 1 11 1 x yy e     
 
 b)   kye yx  1 , (1,1) R:   11  xyy o  xey  1212 
 
 c) xkey  , (1,-1) R:    yxey  41 2 o 1y 
 d) cxyy  332 3 , (1,1) R:  2 1 1y y x  o 8 arctan4x y y
   
 
 
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 Mecánica-Cinemática 
 
 
[6] Los frenos de un auto son aplicados cuando se mueve a 100 km/h y proporcionan una desaceleración de 
10 2/sm . ¿Cuánto avanzará el auto antes de detenerse? R: 39 m 
 
[7] Una pelota se arroja hacia arriba desde el suelo a 160 ft/s. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza? 
¿Cuánto tiempo permanece en el aire? R: 400 ft, 10 s 
 
[8] Una pelota es arrojada hacia abajo a 10 m/s desde lo alto de un edificio y llega al suelo con una rapidez 
de 60 m/s. ¿Cuál es la altura del edificio? R: 175 m 
 
[9] Una pelota de béisbol es arrojada hacia abajo a 40 ft/s desde una altura de 555 ft. ¿Cuánto tardará en 
llegar al suelo y con qué velocidad llega? R: 4.8 s, 193 ft/s 
 
[10] Una bomba se deja caer desde un globo a una altitud de 800 ft. Un cañón que está en el suelo debajo 
del globo, dispara un proyectil hacia la bomba, dos segundos después que esta es soltada. ¿Con qué 
velocidad debe ser disparado el proyectil, de modo que intercepte la bomba a 400ft de altura? R: 181 ft/s 
 
[11] Un auto que va a 60 mi/h patina durante 176 ft cuando los frenos son aplicados. Halle la 
desaceleración constante que produce el sistema de frenado. ¿Cuánto durará el derrape? R: 22ft/s², 4 s 
 
[12] Las marcas del derrape de un auto, con desaceleración de 50 ft/ 2s , indican que los frenos fueron 
aplicados durante 225 ft antes de detenerse. ¿A qué velocidad iba cuando se le aplicaron los frenos? R: 150 ft/s 
 
[13] Un auto patina 15 m al aplicar los frenos a 50 km/h. Suponiendo que el auto tiene la misma 
desaceleración constante, ¿cuánto patinará si se mueve a 100 Km/h cuando los frenos son aplicados? R: 72 m 
 
[14] En el planeta X se deja caer una pelota desde 20 ft de altura y toca suelo en 2 seg. Si se dejara caer 
desde 220 ft en ese planeta, ¿qué tiempo tardaría en llegar al suelo y con qué velocidad caerá? R: 6.6 s, -66 ft/s 
 
[15] Una persona puede arrojar una pelota hacia arriba desde la superficie de la tierra hasta una altura 
máxima de 144ft. ¿Hasta que altura podría arrojarla en el planeta X del ejercicio anterior? 
 
[16] Si una mujer tiene suficiente resorte en sus piernas para saltar verticalmente a una altura de 225 ft 
sobre la tierra, ¿a qué altura podría saltar en la luna, donde la aceleración gravitacional es 5,3 ft/ 2s ? 
 
[17] Una pelota se deja caer desde 400ft de altura. ¿Cuánto tarda en tocar suelo y con qué velocidad llega? 
 
[18] Un bote se mueve a 40 ft/s cuando se apaga el motor. Diez segundos después su velocidad es 20 ft/s. La 
resistencia del agua es proporcional a la velocidad. ¿Qué distancia recorrerá desde que se apagó? R/ 571 ft 
 
[19] Una tabla muy lisa está inclinada 30 grados. Un peso se halla en reposo a 10 ft del extremo inferior y 
comienza a bajar. ¿Cuánto demora en llegar a la base y con qué velocidad llega? 
 
 
 
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[20] Una flecha de masa unitaria se dispara desde el suelo a 288 ft/s. Si el coeficiente de resistencia del aire 
es 0.04, halle la altura máxima, el momento en que la alcanza, el momento en que llega al suelo y la 
velocidad con que llega. Obs.: No es posible despejar t, necesita un método aproximado. R/ 7.7, y 1050mt ftam  
 
[21] Un cuerpo se desliza desde el reposo sobre una superficie inclinada 45º con respecto a la horizontal. 
a) Si a los dos segundos ha recorrido 2 m, ¿cuál es el coeficiente de rozamiento? R/ 0.89 
b) Si el coeficiente de roce es 0,3 y llega al suelo a 7 2 m/s, ¿cuánto demorará en caer y cuál es la 
 longitud de la superficie? R/ t = 2.04s, l = 10.1 m 
 
[22] Una mujer de 130 lb de masa salta en paracaídas desde una altura de 60000 ft, y cae durante 2s antes 
de abrirlo. ¿Cuánto demorará en llegar al suelo? El coeficiente de resistencia del aire es 0,15 con el 
paracaídas cerrado y 1,5 con el paracaídas abierto. Obs.: Se necesita un método numérico para hallar el tiempo. 
 
[23] Un paracaidista sobrevivió a un salto de 1200 ft, aunque falló su paracaídas, debido al movimiento de 
sus brazos que ofreció resistencia. Si la rapidez límite es 100 mi/h, ¿Qué tiempo pasó en el aire? R/ 2.4 s 
 
[24] Un peso de 192 lb cae desde el reposo con una rapidez límite de 16 ft/s. Hallar la velocidad al cabo de 
1s. ¿A qué distancia del suelo está cuando su rapidez es 15 ft/s? La altura inicial es 20ft. R/ v(1)=-13,8ft/s; d=5,4ft 
 
[25] Un objeto de 3 kg de masa se suelta, a partir del reposo, a 500 m por encima del suelo. El coeficiente 
de resistencia del aire es 3.¿Cuándo llegará al suelo? R/ 52 s 
 
[26] Un paracaidista de 75 unidades de masa se deja caer desde un helicóptero a 4000 m de altura. El 
coeficiente de resistencia del aire es 15 con el paracaídas cerrado y 105 con el paracaídas abierto a los 
60seg.¿Cuándo y con qué velocidad llegará al suelo? R/ 
 
[27] Si una mujer de masa 90 lb puede saltar sobre la tierra, verticalmente hacia arriba, durante dos 
segundos, ¿Qué tiempo estaría ascendiendo en el aire si saltara sobre la luna, donde la gravedad es 5,3. 
Tomar el coeficiente de resistencia del aire 0,8 en ambos casos. R/ 13.4 s 
 
[28] Una flecha de 2 lb de masa se dispara hacia arriba a 200 ft/s desde el suelo. Si el coeficiente de 
resistencia del aire es 0.03, hallar la altura máxima y el momento en que la alcanza. 
 
[29] Un cuerpo se deja caer con cierta resistencia del aire. Si la rapidez límite es 25 m/s y toca suelo a 
23m/s, ¿qué tiempo estuvo en el aire, desde qué altura fue lanzado y qué distancia ha recorrido en 1 seg? 
 R/ t = 6.3s, y = 101m, d = 4.4m 
 
[30] Un cuerpo se desliza sobre una tabla recta inclinada 45º. Si estaba en reposo a 10 ft de la base y el 
coeficiente de roce es 0.8, ¿cuánto demora en llegar a la base y con qué velocidad llega? R/ t=2.1s, v=9.5ft/s 
 
[31] Una pelota de 1 kg de masa se lanza hacia abajo a 20 m/s desde la azotea de un edificio. Si llega al 
piso con una rapidez de 47 m/s, ¿cuál es la altura del edificio? ( 2,0 ) R/ 522 m 
 
 
 
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[32] Una pelota de 2 lb de masa se deja caer desde cierta altura. Si el coeficiente de resistencia del aire es 
0,2 y demora 2 s en llegar al suelo, ¿desde qué altura fue lanzado? R/ 60 ft 
 
[33] En cierto planeta una pelota de 2 lb de masa se deja caer a 30 ft de altura y llega al suelo en 3 s. Si 
demora 6 s en llegar al suelo, ¿desde qué altura se dejó caer? ( 2,0k ) R/ 109 ft 
 
[34] Una masa se deja caer desde 20 ft. La rapidez límite es 16 ft/s, el coeficiente de resistencia 0,2. ¿A qué 
altura está cuando su rapidez sea 15 ft/s? ¿Qué distancia ha recorrido en 1seg.? R: D(15) = 5.3ft, DR(1) = 9,1 ft 
 
[35] Una mujer de 150 lb cae desde el reposo 20 s antes de abrir el paracaídas. ¿Cuánto demora en tocar 
suelo a 2300ft/s. El coeficiente de resistencia es 2 con el paracaídas abierto. R: 215 s 
 
[36] Un cuerpo de 50 lb inicialmente en reposo se desliza sobre una superficie recta que forma un ángulo de 
30º con la horizontal y de 200 ft de longitud. Si el coeficiente de rozamiento es 0.2, ¿cuánto demorará en 
deslizarse de un extremo a otro de la superficie y con qué velocidad llegará a la base? R/t = 6.2s, v = 65ft/s 
 
[37] La fuerza que la resistencia del agua ejerce sobre un bote, es proporcional a su velocidad en cada 
instante. Suponga que el bote pesa 150 N y que lleva un pasajero que pesa 75 N. El motor del bote 
desarrolla una fuerza de 50 N en la dirección y sentido del movimiento. Para una velocidad de 10 m/s, la 
resistencia del agua es 20 N. ¿Cuál es la máxima velocidad a la que se acerca el bote? R/ 25 
 
[38] Se lanza una piedra verticalmente desde el suelo a 100 ft/s. Halle la altura máxima y el momento en 
que la alcanza, velocidad final y momento en que llega al suelo. ¿Cuánto a recorrido alos 5s? 
 R: 156 , 3.1 , 100 / , 6.2 , (5) 213y ft t s v ft s t s DRm m f f     
[39] Un cuerpo de masa unitaria se encuentra en reposo sobre la superficie libre de un lago profundo. De 
repente se suelta y comienza a hundirse. La resistencia del agua es numéricamente igual al cuadrado de la 
velocidad. Halle la rapidez para un tiempo grande. R/ 3.1 
 
[40] Un paracaidista con 150 lb de masa se lanza en caída libre. En el momento de abrir el paracaídas la 
rapidez es 30 ft/s. El coeficiente de resistencia con el paracaídas abierto es 4. Halle la velocidad limitante y 
la distancia recorrida desde el momento de apertura hasta el momento en que su rapidez es 36 ft/s. 
 R/ v = -37.4 ft/s, d = 6.37 ft 
 
[41] Un cuerpo de masa 100 kg, está a medio metro de la parte más alta de un plano inclinado 30º y se deja 
deslizar. La resistencia del aire es numéricamente igual a la velocidad y el coeficiente de fricción 0,2. ¿A 
qué distancia está de la parte más alta cuando su velocidad es 10 m/s? R/ 20.3 m 
 
[42] Un cuerpo de masa 4 parte del reposo desde la parte más alta de un plano de de longitud 64 inclinado 
45º. El coeficiente de resistencia es 2 y llega a la base en 5s. ¿Cuál es el coeficiente de roce (g = 32)? R/ 0.55 
 
[43] El motor de un bote de 200kg de masa en movimiento se enciende, produciendo una aceleración 
constante de 220 /m s . A los 10s de encendido ha avanzado 2000m. La fuerza de resistencia del agua es 
cuatro veces la velocidad. ¿Cuál era la velocidad del bote al encender el motor? R/ 117m/s 
 
 
 
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[44] Desde qué altura debe ser lanzado verticalmente hacia arriba a 60 m/s un objeto de 5 un. de masa, 
para que llegue al suelo a 70 m/s si el coeficiente de resistencia del aire es 0.5? R/ 2030 m 
 
[45] ¿Con qué velocidad debe ser lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo de 3 un. de masa, desde 50 
m de altura, para que se mantenga en el aire 12s? El coeficiente de resistencia del aire es 0,7. R/ 70 m/s 
 
[46] Un bote de 180kg de masa se mueve a 100m/s cuando se enciende el motor, provocando una 
aceleración constante tal que a los 10s ha avanzado 1900m. Si el coeficiente de resistencia del agua es 3, 
¿cuál es la aceleración que produce el motor? R/ 216.7 /m s 
 
[47] Un cuerpo se encuentra a 50m sobre el suelo y se lanza verticalmente hacia arriba a 20m/s. El 
coeficiente de resistencia del aire es 0.6. Si la rapidez límite es 100m/s, ¿qué distancia ha recorrido a los 3s? 
R/ 23.4m 
 
[48] Desde cierta altura se lanza un cuerpo de 2lb de masa hacia arriba a 20ft/s. Cuando está a 60ft del 
suelo su rapidez es 10ft/s. La fuerza de resistencia del aire es dos veces la velocidad. Halle la altura desde la 
que fue lanzado. ¿Qué distancia ha recorrido a los 0.7s? R/ y(0) = 57.5ft, DR(0.7) =98,9ft 
 
[49] Un objeto de 10 un. de masa se lanza verticalmente hacia arriba desde cierta altura. El coeficiente de 
resistencia del aire es 0.3 y g = 32. Si a los 5s alcanza la altura máxima, ¿qué distancia ha recorrido a los 
7s? R/ 480ft 
 
[50] Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba a 220ft/s desde un helicóptero, permaneciendo en el 
aire 20s. Hallar la altura máxima y la altura del helicóptero en el momento del lanzamiento si la rapidez 
límite es 1600ft/s. R/ , ym hy ft ft  
 
[51] Desde una altura de 1040m sobre el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 10un. de 
masa, demorando 3s en alcanzar la altura máxima. Si hay resistencia del aire y la rapidez límite es 90m/s, 
halle la distancia recorrida cuando la velocidad es -70m/s. R/ 649m 
 
[52] Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde cierta altura. A los 5s ha recorrido 1000ft y aún 
no ha alcanzado la altura máxima. Halle la velocidad a la que fue lanzado el cuerpo de 3 un. de masa si el 
coeficiente de resistencia del aire es 0,3. R/ 341ft/s 
 
[53] Un objeto de 4 un. de masa se lanza hacia abajo a 30 ft/s. Cuando la velocidad es el 60% de la 
velocidad terminal ha recorrido dos terceras partes de la altura inicial. ¿A qué altura fue lanzado? El 
coeficiente de resistencia del aire es 2. R/ 29,4ft 
 
[54] Desde cierta altura se lanza un cuerpo de 3 unidades de masa verticalmente hacia arriba. Si alcanza la 
altura máxima a los 8s y el coeficiente de resistencia del aire es 0.6, ¿qué distancia ha recorrido cuando su 
rapidez es la mitad de la velocidad inicial durante el ascenso? (g = 32) R/ 1171ft 
 
[55] Al ser lanzado verticalmente hacia abajo, un cuerpo de 2 un. de masa se opone a una resistencia del 
aire con coeficiente 4. Si partió del reposo, ¿qué distancia ha recorrido cuando su velocidad es el 90% de la 
velocidad terminal? (g = 32) R/ 4.7ft 
 
 
 
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Circuitos (RL y RC, serie) 
 
[56] Hallar el tiempo en que la corriente alcanza el 96 % de su valor límite si la entrada de voltaje es 
constante, 20R , L=1H y no hay corriente inicialmente. R: 0.16 s 
 
[57] Hallar el voltaje constante suministrado a un circuito con 40R y 20L , tal que la corriente sea el 
97 % de su valor límite en 1s si I(0) = 2A. Calcule la corriente transitoria en 0.5s R/ E = 98 v,  0.5 0.17I Atr  
 
[58] Hallar la corriente inicial tal que en 0,5 s la corriente sea 6A, si 30R , HL 4 y se conecta a una 
batería de 110 v. R/ 103 A 
 
[59] Hallar la resistencia talque a los 2s la corriente alcance el 0,6% de su valor inicial, si 61C f y la 
entrada de voltaje es constante. R/ 2.3 Ω 
 
[60] Hallar la corriente, la corriente de régimen permanente a los 5 s y la corriente transitoria en 1s si 
8R , HL 6 ,   tsentE 10080 y no hay corriente al cerrar el circuito. R/  1 0.03Itr  ,  5 0.1Ipe  ,  4 /30.003 100 0.133cos100 0.133I tsen t t et    
[61] Hallar la corriente y la corriente de régimen permanente a los 2 s si 8R ,   00 q , 61C f y la 
entrada de voltaje es sinusoidal con amplitud 10 y período 60
 . R: I(2) = 1.136 A, Ie(2) = 1.137 A 
 
[62] Hallar la corriente para cualquier tiempo grande en un circuito con 12R y HL 5 , si la entrada 
de voltaje es cosinusoidal con frecuencia 1 y con valor inicial 100 v. R/    1,14 2.4cos2 2 2I t t sen t  
 
[63] Hallar la corriente inicial con los datos del ejercicio anterior talque a los π s la corriente sea el 90 % 
de su valor inicial. R/ 1,3 A 
 
[64] Considere un circuito R-L en serie con L = 9 e I(0) = 1. La entrada de voltaje es 9
Rt
R e . Halle la 
resistencia talque en un segundo la corriente transitoria sea el uno porciento de la corriente. R/ 22 Ω 
 
[65] Hallar el voltaje de entrada constante en un circuito simple R-C, tal que la carga a los 2s sea el 80% 
de la carga permanente. La carga inicial es 50c, R = 4Ω y C = 0,5 F. R/ 219 v 
 
[66] En un circuito con 1
5C F
, ¿cuál es el voltaje constante suministrado para que la carga permanente sea 
22c? ¿Cuánto es la resistencia para que en 3s la corriente sea el 0.4% de su valor inicial? R/ E=110v, R=2.7Ω 
 
[67] Hallar la corriente correspondiente a una carga de 4 un. en un circuito R-C con R = 2, C = 1 e I(0) = 
1 si a los 3s la carga alcanza el 90% de su valor límite y la entrada e voltaje es constante. R/ 0.25 A 
 
[68] Un circuito con R = 20 y C = 1/10, se conecta a una fuente de 30sen2t voltios. Halle la carga 
transitoria a los 7s si q(0) = 2. R/ 1.34c 
 
 
 
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[69] Halle la carga transitoria a los 2s, para un circuito con R = 6 y C = 1/12, si  4 0q   y la fuente es de 
48cos6t voltios. R/ 0.1c 
 
[70] Un circuito con R = 8 y L = 4 se conecta a una fuente sinusoidal de voltaje con amplitud 90 y período 
3π. Halle las corrientes transitoria y permanente a los 4s si I’(0) = 44. R/    4 0.006 , 4 7.63I A I AT P  
 
[71] Hallar la inductancia en un circuito simple con R = 30Ω, talque en 1s la corriente sea el 50% de la 
corriente límite, si se conecta a una fuente de 330v y la corriente inicial es 1A. R/ 50H 
 
Mezcla Homogénea 
 
[72] Se bombea cerveza con 6 % de alcohol hacia un tanque que inicialmente contiene 400 gal de cerveza 
con 3 % de alcohol. La cerveza entra a 3 gal/min y sale a 4 gal/min. ¿Qué cantidad de alcohol hay dos horas 
antes de vaciarse? R/ 7,1 
 
[73] Se bombea aire con 0.06 % de anhídrico carbónico (AC) dentro de una habitación cuyo volumen es 
800 3f t , a razón de 2000 min/3ft . El aire circula y se extrae con la misma rapidez. Si la concentración 
inicial de AC es del 0.2 %, ¿cuál es la concentración a los 10 min? ¿Cuál es la concentración 
correspondiente al estado estacionario? R: C(10) ≈ Ce = 0.0006 
 
[74] Un tanque contiene 100 l de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia adentro a 5 
l/s y la mezcla (homogénea) se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo pasará antes que queden solamente 
10 kg de sal en el tanque? R/ 20ln10 
 
[75] A un estanque de 3910·8 ft (lleno) y 0,25 % de contaminantes, ingresan diariamente 3810·5 ft de agua 
con 0,05 % de contaminantes y egresa la misma cantidad. ¿Cuánto tiempo pasará para que la concentración 
de contaminantes se reduzca al 0,1 %? R: 22.2 días 
 
[76] A un tanque con 60 gal de agua pura comienza a entrar salmuera con 1 lb de sal por galón a 2 gal/min 
y sale a 3 gal/min. ¿Qué cantidad de sal contiene cuando el volumen se ha reducido a la mitad? ¿Cuál es la 
máxima cantidad de sal que llega a contener el tanque? R/ 22.5 lb, máx = 23 lb 
 
[77] Un tanque de 400 gal contiene inicialmente 100 gal de sal. Entra salmuera con 1 lb/gal a 5 gal/s y sale 
a 3 gal/s. ¿Qué cantidad de sal contiene el tanque cuando se llena? Obs.: 1 litro de sal = 2,16 Kg. R: 657 lb 
 
[78] Un tanque contiene 80 gal de agua pura. Entra sal a 2 lb/gal y 2 gal/min y sale la mezcla a igual 
velocidad. ¿Cuándo la solución que abandona el tanque contendrá 1 lb/gal? R/ 40ln2 
 
[79] Un tanque lleno con 100 l de salmuera y 3 % de sal recibe 3 l/s de salmuera y salen 3 l/s. Si a los 100s 
hay 2 kg de sal en el tanque, ¿cuál es la concentración de entrada? R/ 0,02 
 
[80] El contenido de sal de un tanque de 72l inicialmente lleno es 3 kg. Si se mantiene el volumen de mezcla 
en el tanque constante, ¿cuántos l/s de una solución de sal al 1 % deben inyectarse para que el contenido de 
sal en el tanque sea 1 kg a los 20 s? R/ 7.6l/s 
 
 
 
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[81] El aire de un salón recién vaciado contiene una cantidad de 2CO equivalente al 0,12 %. Las 
dimensiones de la habitación son 12x8x4. Se requiere renovar el aire en 10 min de manera que la 
proporción de 2CO baje 0,06 %. Para esto se inyecta mezcla desde el exterior, el cual contiene 0,04 % de 
2CO. Sabiendo que el aire es homogéneo y que las velocidades de entrada y salida de aire al salón son 
iguales, ¿cuántos min/3m deben renovarse? R/ 156,3 3 /minm 
 
[82] Un lago tiene un volumen de 458 3km , y el flujo de entrada y salida se realizan ambos a razón de 
175 3km /año. Suponga que en cierto momento la concentración de contaminantes es del 0.05 %, y la 
concentración de contaminantes que ingresa al lago es del 0.01 %. ¿Cuánto tiempo pasará para que la 
concentración de contaminantes en el lago se reduzca al 0.02 %? R/ 3.6 años 
 
[83] Un tanque de 120 gal contiene 90 lb de sal disueltas en 90 gal de salmuera, en el momento en que 
comienza a fluir salmuera hacia el tanque a razón de 4 gal/min, conteniendo 2 lb de sal por galón. Si la 
mezcla sale a 3 gal/min, ¿cuánta sal contiene el tanque cuando se llena? R/ 202 lb 
 
[84] Una droga se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con una rapidez de 20 mg/s. 
Simultáneamente, la droga se elimine con rapidez proporcional a la cantidad de droga que queda en la 
sangre. ¿Cuándo la cantidad de droga en sangreserá la mitad de su valor final? 
 
[85] A un recipiente entra salmuera a 5 l/s y sale a 4 l/s. Inicialmente había 1g de sal y 2l de mezcla. ¿Cuál 
es la concentración de entrada si a los 2s la concentración en el interior es del 50%? R/ ½ g/l 
 
[86] A un tanque que contiene 10lb de sal, mezcladas con agua, ingresan 0.2 lb/l a 0.04l/s y salen 0.02l/s. 
Halle la cantidad inicial de mezcla talque a los 10s la concentración de sal coincida con la de entrada. R/ 50 l 
 
[87] Halle la concentración de sal en la mezcla que ingresa a un tanque, que contiene inicialmente 45gal de 
salmuera con sal al 1%, si entran 0.3gal/min, salen 0.6gal/min y 10min antes de vaciarse la concentración 
en el tanque es del 2%. R: 2% 
 
[88] Una piscina contiene 626g de cloro disueltos en agua, cuando comienza a entrar agua pura a 2l/s y a 
salir mezcla a 1l/s. ¿Cuál debe ser el volumen inicial de mezcla, tal que a los 3s la concentración de cloro en 
la piscina sea del 25%? R/ 2500l 
 
[89] Se tienen 4l de mezcla en un tanque cuando comienza a entrar 1l/s con 0.5 g de soluto por litro, y a 
salir a 2l/s. ¿Cuánto debe ser la cantidad inicial de soluto, tal que al segundo la concentración en el interior 
sea del 20%? R/ 0.4g 
 
[90] A un tanque entra y sale salmuera sin variar el volumen de mezcla en el interior. Inicialmente se tienen 
1g de sal y 3l de salmuera. Halle los flujos de entrada y salida, talque a los 2s la concentración de sal en el 
interior sea del 90%, si entran 2g/l. R/ 0.6l/s 
 
 
 
 
 
 
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Vaciado de tanques 
 
[91] Un tanque con forma de cilindro vertical inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 ft, 
cuando un tapón en el fondo es retirado. Después de 1 h la profundidad es de 4 ft. ¿Cuánto tardará el agua 
en salir totalmente? R: 3 h 
 
[92] Considere en el ejercicio anterior un radio de 3ft y un agujero en el fondo de 1” de radio. 
 
[93] Un tanque cilíndrico de 5 ft de largo y 3 ft de radio está colocado con el eje en posición horizontal. Si 
el radio del agujero circular en el fondo es 1” y el tanque inicialmente contiene tres cuartas partes de 
líquido, ¿cuánto demorará en contener solamente una cuarta parte de líquido? (k = 0,6) 
 
[94] Un tanque esférico de 4 ft de radio lleno de líquido, tiene un agujero en el fondo de área 0,5 unidades. 
¿Cuánto demorará en vaciarse desde que se abre el agujero?  62,0k R: 63.3 
 
[95] En el momento t=0 se quita el tapón en el fondo, en el vértice, de un tanque cónico de 16 ft de altura 
lleno de líquido. Después de 1 h el líquido tiene 9 ft de profundidad. ¿Cuánto demora en vaciarse si el radio 
mayor es 5 pies? R: t = 1,3 h 
 
[96] Un tanque hemisférico con radio mayor 4ft contiene líquido y se vacía en 1 min a través de un agujero 
de 0,5 cm de diámetro en el polo. ¿Cuál es la altura inicial del líquido? (k=1/5) R: 2 3 5 440 9 240 9/16h h h   , h = 0.07 
 
[97] Un tanque tiene forma de cubo con arista de 2m y en su base hay un agujero de área 1/10 unidades. Si 
inicialmente el tanque contiene tres cuartas partes de líquido, ¿cuándo contendrá la mitad de su capacidad 
de agua?  5,0k 
 
[98] Un tanque cilíndrico con eje en posición vertical y 29 gal de agua, se vacía en 2 min a través de un 
agujero en el fondo. ¿Cuál será el volumen de agua en el tanque después de 1 min? R: 29/4 gal. 
 
[99] A un tanque cónico invertido de 16 ft de altura que está lleno de agua se le hace un agujero de área 0,5 
2ft en el vértice. Hallar el tiempo de vaciado si el ángulo entre dos generatrices sobre un mismo plano es 
60º.  6,0k R: 179 
 
[100] Un tanque semiesférico con 4 ft de radio mayor está lleno de agua y se le abre en el fondo un agujero 
circular de 1’’ de diámetro. Halle el tiempo de vaciado  6,0k . R: 3584 
 
[101] Se tiene un tanque cilíndrico con el eje en posición vertical lleno de agua, al cual se le abre un 
agujero en el fondo de 
20.5 cm de área. Halle las dimensiones del tanque para que a los 5s el líquido esté a 
49cm de altura y se vacíe a los 12s si k = 0,6. R/ r = 1.4cm, h = 132cm 
 
[102] A un tanque cilíndrico con el eje en posición vertical, 1m de altura y lleno de agua (k = 0.6) se le abre 
un agujero en el fondo. Si el radio del tanque es 0.2m, halle el área del agujero y el tiempo de vaciado talque 
a los 4s el líquido esté por la mitad. R: a = 0.007m², t = 14 s 
 
 
 
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Temperatura 
 
[103] Diez minutos después de sacar un termómetro de una habitación cuya temperatura es 80º, este marca 
25º. Otros 10 min después marca 23º. ¿Cuál es la temperatura exterior? R: 22.9º 
 
[104] Un pastel es retirado del horno a 210º y dejado enfriarse a la temperatura ambiente de 70º. Después 
de 30 min la temperatura del pastel es 140º. ¿Cuándo estará a 100º? R: 67 min 
 
[105] Un termómetro que está en una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es 5º. Al minuto 
marca 55º y a los 5 min 30º. Hallar la temperatura de la habitación. R/ 64,5º 
 
[106] Una barra de metal cuya temperatura es 20º se deja caer en un recipiente con agua a 100º. Si su 
temperatura aumentó 2º en 1s, ¿cuánto demorará en alcanzar los 90º? R/ 83,2s 
 
[107] A las 9:00 am un termómetro que marca 70º se lleva al aire libre donde la temperatura es 15º. A las 
9:05 am marca 45º. A las 9:10 am se regresa al interior donde la temperatura se mantiene. ¿Cuánto marca a 
las 9:20 am? ¿Cuándo la lectura al grado más cercano será 70º? R: 58,5º, 9:00:09 y 9:40 am 
 
[108] Una chuleta de 5 lb, originalmente a 50 F, se pone en el horno a 375 F a las 5:00 pm. Después de 75 
min tiene 125 F. ¿A qué hora estará medio cocida (150 F)? R: 6:45 pm 
 
[109] Una barra de metal a 20º se deja caer en agua y en 1s su temperatura aumenta 2º. ¿Cuánto demorará 
en duplicar su temperatura inicial si a los 2s su temperatura es la mitad de la del agua? R: 18,3s 
 
[110] Un plasma sanguíneo está almacenado a 40º. Si se colocara en un horno a 120º, demoraría 45 min 
para que su temperatura se eleve a 90º. ¿Cuántodemorará en alcanzar esa temperatura si la temperatura 
del horno se fija en 100º 0 140º? R: 85 min o 33 min resp. 
 
[111] Un cuerpo al aire libre tiene una temperatura ambiente de 50º y se introduce a una habitación. A los 
4.5s su temperatura se ha duplicado. Hallar la temperatura de la habitación ( |k| = 2/3 ). R/ 103º 
 
[112] Un termómetro con una temperatura de 20º, se lleva a una habitación a las 5:10. Tres minutos más 
tarde marca la mitad de la temperatura de la habitación. ¿A qué hora le faltará 1º para llegar a la 
temperatura de la habitación? ( |k| = 0.1 ) R/ 5:47 
 
[113] Un termómetro que está al aire libre se lleva a una habitación donde la temperatura es 40º. La 
velocidad (en valor absoluto) con que varía la temperatura del termómetro es una tercera parte de la 
diferencia (en valor absoluto) entre la temperatura del termómetro y la de la habitación. A los 6s de llevado 
al interior la lectura del termómetro se ha triplicado. ¿Cuál era la temperatura del aire? R/ 12º 
 
[114] Un alimento que estaba a una temperatura ambiente de 25º, se puso en un refigerador a las 3:02. 
Después de 2min su temperatura es tres veces la del refigerador. ¿A qué hora le faltará 4º para la 
temperatura del refrigerador? ( |k| = 0.2) R/ 3:09:43 
 
 
 
 
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[115] Un pastel está en el horno a 200º. A las 8:05 am se saca a una temperatura de 100º. A las 8:07am su 
temperatura a disminuido 50º. ¿A qué hora le faltará 30º para la temperatura limitante? R/ 8:08:30 
 
[116] A las 12:10:00pm se pone a descongelar un alimento cuya temperatura es 2º. A las 12:15:00pm su 
temperatura ha aumentado 3º. ¿A qué hora estará a 20º de la temperatura ambiente de 40º? R/ 12:50 
 
[117] Un pastel es retirado del horno y dejado enfriar a una temperatura de 60º. Después de 20 min. su 
temperatura es de 120º y a los 30 min es de 100º. ¿Cuál era la temperatura del horno? R/ 195º 
 
Química 
 
[118] 50 y 32 gramos de dos sustancias A y B se combinan para formar C. Por cada gramo de A se usan 4 
de B y en 10 min se forman 30 g de C. ¿Qué cantidad de C hay después de 15 min? Interprete cuando 
t. ¿Cuánto demorará en formarse la mitad del total de C que se forma? R/ 5.17 min1t  ,  15 34.3 gC  
 
[119] Durante una reacción de segundo orden, por cada unidad de una sustancia 1S se usa media unidad 
de otra sustancia 2S . Inicialmente se tenían 10 y 6 unidades de 1S y 2S respectivamente. A los 2s se han 
formado 12 un. del producto de la reacción. ¿Cuánto queda de 1S y 2S a los 2s y cuánto al final de la 
reacción? R/    2 2, 2 2, 0, 1
1 2 1 2
S S S S
f f
    
 
[120] 20 y 30 gramos de dos sustancias 1 2 y SS respectivamente, se combinan para formar un producto. 
Por cada gramo de 1S se usan 2g de 2S . En 6 min se forman 9g del producto. ¿Cuánto demora en formarse 
el 98% de la cantidad límite de producto y cuánto queda de 1S en ese momento? R/ t = 258 min, 1 5.3S g 
 
[121] Dos sustancias A y B se combinan para formar una tercera sustancia C. Inicialmente se tienen 40g de 
A y 50g de B. Por cada gramo de B se usan 2g de A y en 5min se forman 10g de C. ¿Cuánto se forma en 20 
min? ¿Cuánto queda y cuánto se ha consumido de A y de B en ese momento? ¿Qué cantidad total de C se 
forma? ¿Cuánto queda de A y de B al final de la reacción? ¿Cuánto demorará en formarse el 95% del total 
de C que se forma? R/      20 27g, 20 22g, 20 41g, 60g, 0g, 30g, 109min95C A B C A B tT f f       
 
 Obs.: Note que A(0)<B(0) pero B se acaba. ¿Qué pasa si A(0)>B(0)? ¿Qué ocurre si se usan 2 g de B por cada gramo de A cuando A(0)<B(0) y cuando 
 A(0)>B(0)? ¿Qué cantidad mínima o máxima de A o B debe usarse por cada gramo de B o A respectivamente para que se acabe A (B)?