GUIA DE EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN MATEMATICA IV

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GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA IV Prof. Alain Núñez Lazo 
 
TEMA 1: EDO de primer orden 
 
 
[1] Dado el PVI 3 26 yy  ,   04 y . 
 a) Comprobar que  32 Cxy  , C constante, es solución de la ecuación diferencial. Clasifíquela y 
 justifique. 
b) Determine dos soluciones del PVI , clasifíquelas y justifique. 
 
[2] Hallar la solución general. 
Variables separables:    y f x f y 
a)   xyx  '1 R: yxkex 1 
b)   xxxyy  ' R:   22 11 xky  , 0k 
c)     011 32   dyeedxee xxyx R:  1ln  xy eke 
d)       0coscos  dyyxdxsenysenx R:  xkarcseny cos 
e)     014
2
2 

 dx
x
yy
dyx R:     12arctan22 333 3164  yexkx 
Reducibles a variables separables:  'y f ax by  
f) 322'  xyy R:  21284 xkxy  
g)   01 2  dxyxdy R:   1tan  xxky 
h)   0122'  yxx R: ykeyx 21  
i)   5' 1  yx eye R:   15  xyexk 
 j)    ydxdyxdydxdx 2332  , y(3) = 2 R:   yxeyx 323 81  
 k)     2133262  xyeyxy , y(1) = 2 R:  213ln  xyx 
 l)  6 9 8 12 2 3 0x y x y dx dy      , y(0) = -1/3 R:  xeyx 32 252323  
 m)    dxdyxdxdyydx 812463  R:     xyexyC 231692163  
 n) ybxa
cybxay
11
111



 , 
 n1) 0,, 111 cba ,  1,0,  ,  
 R:         2ln1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 111b a a x b y bc b a a x b y bc x K b a                  
 n2) Además, 011   ba R:  
2
1 1 1 1
2ax by bc K    
 
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[3] Determine el grado si son homogéneas. 
 a)   yxyxf , b)   223 56, yxxyyxg xy  c)   2, 22  yxyxh 
 d)   32
2
4,  x
xx
y
xeyyxa e) yx
xyyxb 
),( f)   yxyxr ln2ln, 2 
 g) 3 55),( yxyxf  h)  
yx
yxyx
yxm
8
,
223


 i) yxyxyxz 32),(  
 j) yxyxd  2),( 
 
 [4] Hallar la solución general. 
Homogéneas:  yy f x  
 a)    ' ln ln ln lnx x y y y x x x y    R:     kxyyxyx  ln1ln 
 b) ' 2xy xy y  R:  2xy k x  
 c)     02  xdyydxsenxdx xy R:  22 sen 4lnyxy x x k x   
 d) (ln ln 1) 0ydx x x y dy    R: Cyxy  )ln(ln 
 e) 
y
xydx xdy xe dx  R:  ln lny x c x  
 f) 
2 2xy y x y   R:  lny xsen C x  
 g)  2 23 2x y y xy  R: 2 2 3y x y  
 h) 
2 2xy y y x   
 i)    2 22 0y yx xy xye dx xy x e dy    
 j)  2 2 0yxy x e dx xydy   
 j1) 
2 2 ( ) 0y x f x dx xydy     R:  
2 1 2 22x f x x dx Cx y   
Coeficientes lineales 
 k)     031092910  dyxydxyx R:   xykeyx  548910 
 l)   0123 '  xyyx R:      kxyx  213112 
 m)     0342  dyyxdxyx R:    32 321  xykxy 
 n)   02122 '  yxyyx R:   yxkeyx  231 
 o) 
3
1'



yx
yx
x R:     kyyx  22 123 
 p) 0)4()2(  dyyxdxyx R:   Cyyx  22 )3(22 
 q) ydydxyxdydx 9)61()64(  R: Kyyx  12)164( 2 
 
 
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Exactas 
[5] Hallar k tal que las siguientes ecuaciones sean exactas y calcule la solución general. 
a)     02032 32243  dyyxxydxxkxyy R:  3 45 , 10x y xy x C k    
b)     0cos6 223  dyxsenyykxdxyxy R:   Cyxyx cos3 3 
c)     0coscos 22  dykyxyxkxedxxyye yy R: 2 2yxe y senxy C   
d)    2 22 sec 0xy x dx x ky dy    R:  22 2tan ,y x ky x C k    
e)    2 0x x xk ye xye dx xe dy     R: 2 , 1xx y xye C k    
f)    3 2 22 3 0x x x kxy e ye dx y e e dy    R:  2 , 2x xye y e C k   
Reducibles a exacta 
[6] Hallar la solución general. 
a)   042 2  xdydxxy R:   Cxyx  22 2 
b)    ' 2 33 2x xy e y y ye   R:  2x xye y e C  
c)     0234 22  dyyxxdxxyxy R:   Cxyxyx  23 44 
d)    ' 2cosx seny x y sen y  R:  x y seny  
e) 0)cos()3( 43  dyyxdxsenyxx R: 3senx x y C  
f)  2 22y xy dx x dy  R:  x x y ky  
g)     0324 234  dyxxydxxyy ,    xyyx  , R:   Cxyyx 3332 
h)     022 2222  dyxxyydxyxyx ,    yxyx  , R:  yxyx  22 
i)     022  dyxydxyx ,    221, yxyx  R: arctan2 2
x
yx y ke  
j) 0)43()62(
2
 dyxdxxy y
x
 ,    2, xyyx   
Lineales:   y a x y b xo  
[7] Hallar la solución general o resolver. 
 a) 505  yy R: xkey 510  
 b) xeyy 2 R: xx ekey 2 
 c) xexyxy 6' 4  R:    41 xexky x 
 d)   024 2  ydxdyyx R:   Cyyx  245 
 e)   01 2'  xxxy R: xkxy ln 
 f)   032 2  dyyxydx R:  27y y x y C  
 g)
31   xyxy , y(1) = -1 R: 2 xy 
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 h) 132  xyyx , y(1) = ½ R: y = 1/ 2x 
 i)   22 1   yxy , y(3) = -3 R: 24
2

 x
xxy 
 j) 
2
2 xexyy  , y(1) = e R: 
2xxey 
 k) xxyyx cos2 3 R: 22 xsenxxy  
 l)  2 2 3 ,xy y x cte    R:   123 2 9y x x     
 m) 
21   xyxy R: xCxy ln 
 n) 2( 2 2 ) 0ydx x xy y dy    R: 
2
1 ykexy  
Bernoulli:     ny a x y b x yo  
ñ) 
32 23 yxyxy  R:  23 xxy 
 o) 22' yxyxy  R:   1xkxy 
 p) xxyyy  2' R: 
22 1 xy ke  
 q)   026 32  dyyxxdxy R:  ykxy  23 
 r) 
3 52 10xy x y y  R:  2 4 54x y x  
s) x
y
x
yy 63 2
4
 ,  4 1y  R:   32 yxx  
t)  2 46 2 0y x dx xydy   R:  2 4 82 1y x x  
u) 
22xyy x y  R:  2 lny x k x  
 Ricatti:      2y a x y b x y c x   
 v)   021 22'  xx eyeyy , xs ey  R:  xekxey  11 
 w) 0166 2'  yyy R: 
6
5
6
5
3
1
x
ke
y

 
 x)   96'  yyy R: 31  xky 
 y)   112 2'  yyyxy R:    111   xkey x 
 z)  2'2 4 xyxyyx  , xsy 2 R:  442 xc xcxy  
 
[8] Hallar la solución general y soluciones singulares si existen. 
Lagrange:    y f x y g y   
a)  ''' ln22 yyxyy  R: SG: 
2(ln ) 1
2
22
kx p
p
ky p
p
   


  

 , 
*p R  
b)    2'' 2212 yyxy  R: SG: 
 
2 2 1
2 2 11 2 4
2 2
px ke p
pky p e p
   
    
, p R 
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c)    22 2'  xyy R: SS: 21 xy  , 0y , SG: 
 
 
2
21 2
22
21 2
kx
p
kpy
p
  
 

  
 , p R \ 1 ,02 
d) yyxy  ln2 R: SG: 
1 1
2( 1) ln
cx
p p
cy p
p
       
   

 , p R
 
Clairaut:  y xy g y  
e)  2'' 22 yyxy  R: SG:  CxCy 2 , SS: 22xy  
f)   12  yyyx R: SG: 1ky kx  , SS: 2 4y x 
g)   033 '2'  xyyy R: SG:  3kxky  , SS: 43 2xy 
h) 2)()4( xxyx  R: SG: 24x cy c c   , SS:  24 4x y  
i)   322 2  yxyy R: SG: 3)(2 kxyk , SS: xy 62  
j)     0123  yyyx R: SG: 21cy cx  , SS: 
3 24 27y x 
k)  2y xy y   R: SG: 2y cx c  , SS: 24y x 
l) 2 2 yy xy e   R: SG: 2 2 Cy cx e  , SS:  1y x x  
 
[9] Clasifique de dos formas diferentes cada ecuación y resuelva. 
a)     dydxydxdyx 912623  ,   12 y R: 03102 2  yxx 
b)  yyxy 12'  ,   20 y R:  22122 xey  
c) 02 '2  yxxy ,   13 y R:   114 22 yxy 
d) xxx dx
dy
y
y 22 sec4tan3tan
'
 R: kxye
y
2tan2
3
 
e)    dxydydxdyx 224  ,   22 y R:  7342  yxx 
f)   0223  ydxdyysenxxR:  ycxy 2cos2 2  
g)   dydxdydx xyx  23 ,   3135 y R:     32324 3  xyx 
 obs.: Resolver g) de tres maneras diferentes. 
h) 0)13()42(  dyydxx R: Kyx  22 )13()2(6 
i) 0)1(2 2  dyxxydx R: Cyx  )1( 2 
j) 0)2()22( 2  dyxxydxyy 
k) 0)2( 22  dyxdxxyy R: 2)( xyxC  
 
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[10] Reducir a lineal 
a) 
2
3
'2 x yy ysenx  R:  
2' 22 xzsenxz  
b)  '' cosyyyx  R: 
2
1
22
5
2






 

pp
senp
pp
x
dp
dx
 
 
[11] Reducir a variables separables y resolver. 
a)     dydydxdyydxdyx  22436 ,   12 y , R:    3 4 2312 8 9 7 y xx y e    
b)    dydxydxdydxdyx 2 R:     kxxyy  22 1122 
c)     212' 212  yxeyyx R:  2122  yxekx 
d)    dxyxydydxx  44 ,   0
2
1 y , R:   xyex xy 12 2 
e)    yxxxx 69462 '''  R:    xykeyx 3213463926  
 f) 5
14
32 ' 


y
yx
yx R:    81554 5  yxkyx 
 
[12] Resolver usando cada solución estacionaria (a, b constantes). 
 dxaybydxdy 2 R: bxcea
by 
 
 
[13] Dada   ''32 yeyxyx  
a) Hallar una solución estacionaria. R:   1xy 
b) Hallar una solución singular. R:   1xy 
c) Hallar la solución general. R: 
 
3
1 1 1
px ke
py k p e
  
       
 , p R 
d) Hallar una solución particular. 
 obs.: En la solución general la constante arbitraria no puede tomar cierto valor, justifique. 
e) Comprobar que     13ln3  xxy es solución particular. 
f) Comprobar que 
 
 





p
p
epy
ex
1
3
 , Rp , es solución particular. 
g) Escriba en forma explícita no paramétrica la función anterior. R:     13ln3  xxy 
h) Halle dos soluciones que pasen por (0,1) R:       3ln13ln34  xxy 
 1y 
 
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[14] Resolver. 
a)    dyxydxydyxdx 122cos2 2  R:  senxykyx 221  
b)    ' '6 4 3 12 8y y xy x    R:    2316933216  ykexy 
c)    ' 3 2xye yx x yy x    ,   30 y R: 43 2  xyeyx 
d)   3 2 3 9x x y x y x    ,   01 y R:   6612 xyex xy  
e)    ' 2 2cos 3x y y x y x     R:  senxkyyx 3 
f) 01111
2222
1111 



 



 

dydxx
xyy
x
xy
 R: Carcsenxx y
x  222 
g)     ''' 3414 yyyxy  R: kyx  54 
h)     xeyxyx  2'2 11 R: xx keye arctan221  
i)    ' 2 33 2x xy y e y ye   R:   keeyy xx 2 
j)   '33824 xxyyxxyxy  R:      243 xyexyk  
k) 
     2 2 2' 2 2 211 11 2 2
x x x
y y yy y y e x e xye    
 
 R: 
 2111 y
x
eky  
l)     03 222 2112   dysendxsenx yxyxyx yyxyyx R:     kyxx yx  cosln 23 
m)   011 2'2  yyx R:  xky arctantan  
n) xdyysenxdxexdye yy coscos2  R: 
yyesenhykex
 2cos 
ñ)     033  dyxyxdxyxy R:  xycyx 222  
 
[15] Hallar la solución general, una solución singular y una particular. 
a)   yyyx  '' 101 ,   101 y , R: SS: 0y , SG: 
 
 
51 ln 1
2
510 ln
2
x c p
p
y p c p
   

   
 , 0p , SPVI: para c=0 
b)    3'92' 222  yyxy R: SS:   251  yx , SG: 
    
2
3 2 2
3 2 231 2 2 2
9 2 2
p kx
p
p k p
y p
p
  
          
 , 1p 
 
c)  2''
422
yy
yx  R: SS: xy 82  , SG: xkky 22 
d)  '221 3' yx yy R: SS: 26 xy  , SG: 23 2kkxy  
e) yyxyx  53102 R: SS: 0y , SG:   452 4 yxkx  
f)     0123  yyyx R: SS:  3 223 xy SG: 1)(2 kyk 
g) 
2)(2 yyxy  R: SS: 28 xy  SG: 22kkxy  
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[16] Dada   dxdxyydy 622  
a) Hallar y clasificar las soluciones que pasan por (0,-3) y (0,1) respectivamente. 
b) Use las soluciones anteriores para hallar la solución general. R: xkey 81
41  
 
[17] Dada   04322 ''2'  yyyyx 
a) Compruebe que 3
4xy es solución particular. 
b) Hallar la solución singular. R:  23232  yx 
c) Hallar dos soluciones del PVI para cada punto, 
 c1)  23,1 R: 12 2y x  , 
1
2
y x  
 c2)  0,329 R:  232 2 3x y  ,  8 33 4xy  
d) ¿Cuántas soluciones tiene el PVI correspondiente a   230 y ? 
 
[18] Reducir a linealy resolver 2' 4 yy  R:  
1
1
4
4
2

 x
x
ke
key 
[19] Hallar las soluciones general y singular de     012'2'  yyxy . R: SS: 2 2 1x y  o 2 11
2 1
px
p
y
p
 
 

 
 , p R 
 SG:  2 2 1y kx k   
[20] Reducir a variables separables. 
a)     2'2' 12 yyxy  
 a1) Hallar una solución que pase por  21,2 . R:    21121  xy 
 a2) Hallar dos soluciones que pasen por  21,1 . R:    21121  xy 
    21121  xy 
b)   '' 3133 '' yeeyxy yy  
 b1) Hallar una solución estacionaria. R:   31xy 
 b2) Hallar una solución singular. R:   31xy 
c)   '''' 444 ysenysenyyxy  
 c1) Hallar una solución estacionaria. R:   0xy 
 c2) Hallar una solución singular que pase por (-1,0). R:   0xy 
 c3) Resolver el PVI para (-2,2). R: 4xy 
 c4) ¿Cuántas soluciones tiene el PVI para (-4,0) .