GUIA DE EJERCICIOS TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SUS APLICACIONES MATEMATICA IV

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GUÍA DE EJERCICIOS MATEMATICA IV Prof. Alain Núñez 
 
TEMAS 5 Y 6: Transformada de Laplace y sus aplicaciones 
 
 
 
[1] Hallar, sin usar propiedades de la integral, 
0
( )I f t dt
+¥
= ò si 
 ()( ) ( ) ( )[ ]6 2 3 124( ) 5 9 8 2 2 2cos 2t tf t e u t t sen t t e pp p p p- - - += - - + - + . R/ 25 1626 25e  
 
[2] Una masa unitaria que cuelga de un resorte en reposo, comienza a moverse desde el equilibrio debido a 
una fuerza externa de 8 unidades, la cual se cambia a los dos segundos por otra de 6 unidades. Si las 
constantes elásticas y de amortiguación son 9 y 6 respectivamente, halle la posición al cabo de un segundo y 
la velocidad a los 3 segundos. R/    381 1 49y e  ,    3 63 2 12 1v e e   
 
[3] Una masa de 9 unidades se suspende de un resorte y este se estira 288 unidades. Estando en reposo en 
esa posición comienza a moverse forzado por una excitación de 5226 te- unidades y sin resistencia del medio. 
Si a los 0,5 segundos el movimiento se hace libre, determine la posición a los 0,25 segundos y el sentido del 
movimiento a los 0,8 segundos (g = 32). 
 
[4] Halle L[f(t)] si 
, 3
( ) 1, 3 6
0, 6
t t
f t t
t
ìï <ïïïï= < <íïïï >ïïî
 
 
[5] A un resorte de módulo 2 se le coloca una masa unitaria y comienza a moverse desde la posición de 
equilibrio a 10 m/s, en un medio cuya constante de amortiguación es 2. A los 2π segundos el movimiento se 
perturba por una fuerza muy grande que le imprime un impulso de 4 unidades. Hallar la posición en π/2 y la 
velocidad en 3π. R/   /22 10y e   ,    33 2 2 5v e e     
 
[6] Usando saltos e impulsos unitarios escriba la función que representa la señal (voltaje) de entrada de un 
circuito cuyo gráfico se muestra. 
 
 
 E 
 
 4 
 3 
 7 
 
 
 2 4 5 6 t 
 
 -3 
 
 
 
 
 
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2 
 
[7] Sabiendo que   3 sL h t    halle     2 03 3tL e t h t  . 
1
3/3 3
s
R

 
 
[8] Halle  L f t   si f es T-periódica con T<15 y parte de su gráfico es como el de la figura. 
 
 
 4 
 
 
 
 
 3 6 9 12 15 t 
 
 -3 
 
 
[9] Un circuito L-C con 2141 y L C   , se conecta a una fuente que suministra un voltaje de magnitud 4t, 
la cual se sustituye a los 4s por un generador de 16v. Si en el momento de cerrar el circuito no hay corriente 
ni carga, halle la carga a los 5s. 
 
[10] Calcule  4 2 53
0
t
sen u sen u
uL du

 
 
 
 R/ 
    32 5 54arctan arctan
3
s s
s
 
 
 
[11] Exprese en términos de pasos unitarios la función cuyo gráfico se muestra. 
 
 
 3 
 R/  2 4 251 43 s ss s e e     
 
 
 
 ½ 
 2 4 t 
 
[12] Hallar  L h t   si 
 1, 0,3
( )
, 3
t
h t
t t


 
 
[13] Calcular  8L tf t   si   3L f t s   R/ 23 212 s 
 
[14] Calcular 1 8
3 24 8
L
s s s
   
  
 R/  21 cos2 sen2te t t  
 
 
 
 
 
 
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3 
[15] Un circuito L-C en serie con L = 1 y C = 1/8, se encuentra inactivo   0 0, (0) 0q I  en el 
momento en que ocurre una descarga eléctrica que produce un impulso eléctrico de 6 unidades. A los dos 
segundos ocurre otra descarga pero con un impulso de 4 unidades. Halle la función carga antes y después 
de la segunda descarga. R/    32 sen 8 sen 8 222 t u t t
    
 
 
[16] Resolver la siguiente ecuación integro-diferencial si (0) 0y  
  
0
1
t
y sent y u du    2/ 1 sentR t 
 
[17] A un resorte en reposo en la posición de equilibrio, se le aplica una fuerza constante de dos unidades y 
comienza a moverse, oponiéndose a una resistencia del medio cuyo coeficiente es 4. A los dos segundos la 
fuerza se duplica y a los tres segundos se golpea fuertemente la masa de 4 unidades que cuelga del resorte, 
provocando un impulso de 2 unidades. Halle la posición a las 2.5s si el módulo del resorte es 1. 
R/ 
5 1
1 4 4
24 9 5e e
  
   
 
 
[18] Hallar  3 5tL te sen t 
 
[19] Calcular  1 2ln 1sL s     R/ 
2t te e
t
 
 
 
[20] Un circuito R-LC con 1160, 1 y R L C   , se cierra al conectársele una fuente de 
4te voltios, la 
cual cesa a los dos segundos. Si no hay corriente ni carga iniciales, halle q(t) para 0 2 y 2t parat   . 
 R/    
    
41 cos4 sen4 , 0 2
32
8 81 cos4 sen4 cos 4 8 sen 4 8 , 2
32
te t t t
q t
t t e t e t t
            

 
[21] Exprese en términos de funciones de Dirac y de Heaviside la función cuyo gráfico se muestra. 
 
 y 
 
 5 6 
 
 2 
 
 1 
 
 
 2 3 4 7 t 
 
 
[22] Resolver usando TL 
 
 
13 2
1 1
1 0
ty y y e
y
y
    

 
 
 
 
 
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4 
[23] Un circuito con un resistor de un ohmio, un condensador de medio faradio y una batería de ciento diez 
voltios se cierra en el momento en que no hay carga. Un segundo después ocurre una descarga eléctrica que 
produce un voltaje muy grande y un impulso eléctricode k unidades. ¿Para qué valor de k la corriente, 
medio segundo después de ocurrida la descarga, es la mitad de la corriente inicial? 
 
[24] Empleando la función de Heaviside halle  f t  L si el gráfico de f(t) es como se muestra: 
 f 
2cos t 
2sen t 
 
 
 R/  2
1 1
2 2 4
sses s
   
  
 
 
 
 
 π t 
 
[25] Sabiendo que    16ln sg t    -1=L y  
1
2
f t
s
  L , halle, sin usar propiedades de la integral, 
    
0
3 · · ·
tf t g t dt

 R/ 12 
 
[26] Empleando la función de Heaviside, halle  f t  L si el gráfico de f(t) es como se muestra: 
 y 
 
 4 
 
2
y t R/ 2
2
2 1 1 2se
s ss
       
 
 
2 t 
 
[27] Un sistema masa-resorte no amortiguado que cuelga, cuya frecuencia angular natural es 3 , 
comienza a moverse desde la posición de equilibrio debido a una fuerza de  unidades hacia abajo que se 
mantiene constante en el tiempo; dos segundos después se golpea hacia arriba la masa, de manera 
instantánea y contundente, produciéndose un impulso de 4 unidades. Determine el sentido del movimiento a 
los 3 segundos de iniciado el movimiento. R/ Hacia arriba. 
 
[28] Un condensador de un quinto de Faradio, una bobina de un Henrio y una batería de ciento diez 
voltios se conectan en serie. A los dos segundos de cerrado el circuito ocurre una descarga eléctrica que 
produce un voltaje muy grande y un impulso eléctrico de tres unidades. Dos segundos después de la 
descarga la batería se sustituye por otra de doscientos veinte voltios. Halle la carga a los tres segundos de 
cerrado el circuito si inicialmente no habían carga ni corriente.