GUIA DE EJERCICIOS ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR MATEMATICA IV

Vista previa del material en texto

2012-1 
1 
GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA IV Prof. Alain Núñez 
 
TEMA 3: Ecuaciones lineales de orden superior 
 
 
 
REDUCCIÓN DE ORDEN 
 
[1] Halle la solución “general”. Si es posible determine soluciones singulares. 
 a)   12 0xy y y      R/    2 329 4 1y x     
b)  22 1yy y   R/    22 4 1x y     
c)  22 0yy y   
 d)  3xy y y    R/  22x y     
e)  2xy y x y    
f) yy ye  
 g) 0y y  
h) xy y xsenx   
i) 2y y y  
j)  21ay y   ,    0 , 0 0y a y  (Catenaria, cable suspendido entre dos puntos fijos) 
k) 1xy y   R/ 2y Cx K x   
 
EXISTENCIA Y UNICIDAD 
 
[2] Determine los mayores intervalos donde pueda asegurarse existencia y unicidad de soluciones del PVI. 
 a) 2 2 0x y xy y    
b) 13 lnxy y xy x    ,    1 3, 1 5y y  
 c)  1 x y senx  , 0 1x  
d)  21 tanx y xy y x     ,    1 0, 1 2y y  
 
OPERADORES 
[3] Calcule. 
 a)  2 32 2 x xD e xe    b)    21 2 cos2D D senx x x      
d)    1 2 1/xD xD x  e)   2 2 23 2 4 1 sen /x D xD x x x   
f)  2 , , , , kxaD bD c e abc k ctes     g)  2 2 2 , kx D xD x k cte     
 
[4] Hallar a, b, c constantes tal que 4 3 5 2a c b   y   2 2 22 4 0x D xD ax bx c        . 
 
 
 
2012-1 
2 
[5] Hallar 1 2L L . 
 a) 1 3 2L xD  , 2L xD b) 1 3 2L xD  , 2 2L xD  
 c) 21
xL e D D  , 22
xL e D D  d) 2 21 10 2L x D  , 
2 2
2 3L x D  
 
[6] ¿Porqué    2: 1 ln 1L x x D x D x      es de orden 2 en (-1,1) pero de orden 1 en (-1,0)? 
[7] Compruebe que   2 2 1xD xD  no puede aplicarse usando distributiva. 
[8] Escriba en la forma estándar 22 1 0( ) ( ) ( )a x D a x D a x I  
 a)  21xD b)   3 1 1xD D  c)   1 3 1D xD  
 d)   2 2x D x D x  e)   22D x x D x  f)  xD D x 
[9] Expresar como producto de dos operadores de orden menor. 
 a) 22 5 2D D  b) 24 4 1D D  c) 2 3 2D D  
 
[10] Compruebe que 1 2 2 1LL LL . 
 a) 1 21, L tD L D t    b) 1 21, L tD L D t    
 
[11] Demostrar que son lineales los operadores del ejercicio anterior. 
 
[12] Demuestre que L es lineal en C ssi      1 1 2 2 1 1 2 2L f f L f L f      1 2 1 2, , ,f f C      . 
 
[13] Compruebe que 1 2 2 1LL LL , donde 
2
1 1 1 1L aD bD c   y 
2
2 2 2 2L a D bD c   . 
 
LINEALES HOMOGÉNEAS 
 
[14] Dada 065  yyy 
a) Verifique que xexg 6)(  es solución. 
b) Pruebe que  xxx eeeS 61 ,  y  xxx eeeS 62 3,  son sistemas fundamentales de soluciones. 
c) Exprese g como combinación lineal de las funciones de 1S . Haga lo mismo con 2S . 
 
[15] ¿Pueden ser las siguientes funciones los Wronskianos en (-1,1) de alguna EDOLH? 
 a) xexf 23)(  b) 2)( xxg  c)   11)(  xxh d) 0)( xm 
 
[16] Demuestre que si 1y y 2y son soluciones l.i. de una misma EDOLH en (a,b), entonces 
a) No existe  bax ,0 tal que 1y y 2y se anulen en 0x . 
b) No existe punto extremo de 1y ni de 2y en (a,b). 
 
 
 
 
 
 
2012-1 
3 
LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 
 
[17] Determinar las soluciones particulares linealmente independientes (l.i.) asociadas a las raíces del 
 polinomio característico dado. 
 a)   322 1029   b)  32 22   c)  22 22   d)  22 4 
 
[18] Resolver 0Ly con las condiciones iniciales indicadas, donde L es el operador dado. 
 a) 3 23 2D D D  , 2)0( y , 3)0( y , 1)0( y R/ 2( ) 2 x xy x e e   
 b) 3 22 3D D , 0)0( y , 9)0( y , 1)0( y 
 c) 3 23D D , 0)0( y , 2)0( y , 9)0( y R/ 3( ) 1 xy x x e   
 d) 3 24 4D D D  , (0) 3y  , 3)0( y , 0)0( y R/ 29 32 2( ) 6
x xy x e xe   
 e) 3 2 4 4D D D   , 0)0( y , (0) 5y  , 0)0( y R/ 52( ) 2y x sen x 
 f)  32D , 1)0( y , (0) 2y  (0) 5y  
 
LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES 
 
[19] Hallar la solución general de    0L y x  para x<0 y para x>0, donde L es el operador dado. 
 a) 2 24x D I R/  1 2( ) lny x C C x x  
 b) 2 1 2D x D x I   
c) 2 2 6x D I 
 d) 2 2 9 16x D xD  R/   41 2( ) lny x C C x x  
 e) 2 110 8xD D x  
f) 2 2100 100 1x D xD  R/ 10 101 2( ) ln coslny x Csen x C x  
 g) 2 23 8 2x D xD  
h) 2 22 7 3x D xD  
i) 2 24 4 1x D xD  
 
[20] Hallar una solución de 0Ly , donde L es el operador dado, linealmente independiente con py , 
 usando la fórmula de Abel. 
 a) 2 2 2 6x D xD  , 2xyp  
b)  2 21 2 2x D xD   , xyp  
 c)  2 1xD D x   , xp ey  
 d)   21 1x x D xD   , xyp  R/ ln 1y x x  
 e)       22 2 cos2 2 2 cos2 cotsen x D x D sen x x x   , senxyp  
 f) 2 1xD D x   , xpy e
 R/  12 xy x e  
 
 
 
 
 
2012-1 
4 
[21] Como el ejercicio anterior pero empleando el método de reducción de orden. 
 
[22] Hallar la solución general de 0Ly , o del PVI, donde L es el operador dado. 
 a)   21x x D D  
b)  2 2cot 0D x D  
 c)  2 1 1 0xD x D    ,   11 y ,   01 y , xp ey  R/ 1 1xy e x   
 
LINEALES NO HOMOGÉNEAS 
 
[23] Hallar )0(f  , )0(f  y )0(IVf , si  [ ] 1L f x x  , (0) 1f  , (0) 1f   y f es suficientemente 
 derivable, donde 2 2 xL D x D e   . 
 
[24] Determine un SFS de 0Ly y use el método de los coeficientes indeterminados para indicar la forma 
 de una solución particular de Ly b , donde L y b son, respectivamente: 
 a)  32 2 2D D  , 2 2 2 cosx x x senx    
 R/   22 2, cos , , cos , , cos , cosx x x x x x pe senx e x xe senx xe x x e senx x e x y Ax Bx C D x Esenx     
 b)      2 2 35 2 8 4 16D D D D  , 4 22 3 2 2 3te t sen t sen t     
 R/      2 4 32 4 4 21, , , , , 2 ,cos2 , , cos2 2 cos3 3tt tt t e te sen t t y At e Bt Ct D t F t Esen t t G t Hsen tp
          
 c)    42 23 1D D D  , 3 3 23 cos3 5y yseny y e e y     
 R/ 
 d)     2 21D D D i D i   , 2 3 2 5z zz e e senz    
 R/ 
 e)    2 32 2 4D D D  , 43cos2 3t tt e e    
 R/   3 4 2 22 4 2 31, , , , , , , , ,cos , , cos , cost tt t t t t pt t e e te t e t e sent t tsent t t y At Bt e Ce Dsent E t t
          
 f)    4 23 214 2 4 1D D D  , 2ln2 t te e sent   
R/ 
 g)  23 23 2 1D D  ,  2 2 2 22 22 1 3cos
t
t e t tsen t t     
R/ 
 
[25] Hallar la solución general usando el método de los coeficientes indeterminados. 
 a) senxexxyy x  2543 2 R/  2 1 11 2 2 25 2 cosx xy C Ce x x x xe senx x        
 b) xxsenxyy 6cos42  
c) 27xyyIV 
 
 
 
 
2012-1 
5 
[26] Resolver. 
 a)    2 22 1 2 2 8 4xD D y x e x x      , 1)0( y , 1)0( y 
 b)    3 2 22 2 4 5 20costD D D y t t e t      , 1)0( y , 3)0( y , 4)0( y 
 R/       2
1 2 3
2 cos 4 sen 3ty c t c t t c t e       
 c)    3 2 36 9 216 54tD D D u t e t    , (0) 13u  , (0) 3u  , (0) 3u  
 R/  3 3 316 17
3 3
12 2 3 4t t ty e te e t t       
 
[27] Usando el método de Lagrange, halle la solución general de Ly b , donde L y b son respectivamente 
 a) 2 2 9x D xD  , 1
x
x R/  17 1 12 2 23 3 1 1 12 11 2 3 11 35 5y kx k x x x x    
 b) 2xD D ,   23 xx xe R/  2 2 5 711 2 2 2 23 xy k k x x x e    
 c) 2 2 4 6x D xD  , 442/x R/ 2 3 41 2y kx k x x
  
 d) 2 4D  , sec2x 
 e) 2 2D D  , 6 xxe R/  2 2 2 21 2 3 9x x xy ke ke x x e    
 f) 2 2 2D D  , cscxe x 
 g) 2 2 1D D  , 32 /xe x 
 h) 2D D , 5 6 xxe 
 i) 3 27 6D D  , 226 cosxe x 
 j)  2 1 1xD x D   , 22 xx e 
 
[28] Hallar la solución general o del PVI. Donde sea posible use los dos métodos. 
 a)  2 1 cotD y x  
b)  2 21 senD y x  
 c)  2 1 cosD y x x  R/  11 2 4cos cosy csenx c x x xsenx x    
d)  2 24 4 xD D y xe   R/  52 241 2 15 xy c c x x e   
 e)  3 tanD D y x  R/       1 2 3ln cos cos cos ln sec tan seny c x c x x c x x x       
f)     2 21 2 2 4 12 3 1x D x D y x      
 g)  2 23 2 3 xD D y x e    R/    2 211 2 2 32 3 1x x xy ce ce ex x        
h)  3 2 1xD D y e x    R/ 211 2 3 2cos 2xy c c senx c x e x x       
 i)  3 3 2 2 13 6 6x D x D xD y
x
    R/  21 2 3 124xy c cx cx x    
 j)  2 2 26 4x D y x  , (1) 1y  , (1) 7y  R/ 3 2 2y x x x  