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Universidad San Francisco de Quito
Historia de las
Matemáticas
Proyecto
Estudiantes del curso Historia de las Matemáticas
Primer Semestre 2019-2020
Diciembre 2019
2
Índice general
1. Antigua Grecia 7
Civilización Griega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sistemas de numeración griega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Numeración ática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Numeración jónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Edad oscura (1100 a. C. - 750 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Época arcaica (750 a. C. - 500 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tales de Mileto (624 a. C. - 546 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . 12
Pitágoras (580 a. C. - 500 a. C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Téano (fl. VI a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Anaxágoras de Clazomene (500 a. C. - 428 a. C.) . . . . . . . . . 20
Peŕıodo clásico (500 a. C. - 323 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Zenón de Elea (490 a. C. - 430 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Hipócrates de Qúıos (470 a. C. - 400 a. C.) . . . . . . . . . . . . 21
Platón (428 a. C. - 348 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Eudoxo de Cnidos (390 a. C. - 337 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . 21
Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Euclides de Alejandŕıa (325 a. C. - 270 a. C.) . . . . . . . . . . . 28
Peŕıodo heleńıstico (323 a. C. - 146 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Arqúımedes de Siracusa (287 a. C. - 212 a. C.) . . . . . . . . . . 36
Eratóstenes (276 a. C.-194 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Apolonio de Perge (262 a. C. - 190 a. C.) . . . . . . . . . . . . . 50
Grecia romana (146 a. C - 330 d. C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Herón de Alejandŕıa (10 d. C. - 70 d. C.) . . . . . . . . . . . . . 51
Claudio Ptolomeo (90 d. C - 168 d. C.) . . . . . . . . . . . . . . . 58
Diofanto de Alejandŕıa (201/215 d. C. - 285/299 d. C.) . . . . . . 58
Papo de Alejandŕıa (c. 290 – c. 350) . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Antigüedad tard́ıa (330 d. C. - 529 d. C. ) . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Hipatia de Alejandŕıa (c. 350/370 - 415) . . . . . . . . . . . . . . 58
Resumen del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Edad oscura (1100 a. C.-750 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Época arcaica (750 a. C.-500 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Peŕıodo clásico (500 a. C. - 323 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . . 65
Peŕıodo heleńıstico (323 a. C.-146 a. C.) . . . . . . . . . . . . . . 67
3
4 ÍNDICE GENERAL
Grecia romana (146 a. C- 330 d. C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Antigüedad tard́ıa (330 d. C- 529 d. C. ) . . . . . . . . . . . . . . 69
2. Edad Media 71
Época Medieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Temprana y Alta Edad Media (476 d.C - 900 d.C) . . . . . . . . . . . 72
Imperio Bizantino (330 d.C - 1453) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Artes liberales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hypatia de Alejandŕıa (370 a.C - 415 a.C) . . . . . . . . . . . . 74
Isodoro de Mileto (442 d.C- 537 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Antonio Tralles (474 d.C - 534 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Juan Filopón (490 d.C - 570 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Arybhata (476 d.C. – 550 d.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Brahmagupta (590 d.C. – 670 d.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
AlJuarismi (780 d.C – 850 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Al-Battani (850 d.C. – 869 d.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Boecio (477 d.C.- 520 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Plena Edad Media (900 d.C - 1150 d.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Miguel Psellos ( 1018 d.C - 1078 d.C ) . . . . . . . . . . . . . . . 79
Máximo Planudes ( 1018 d.C - 1078 d.C ) . . . . . . . . . . . . . 79
Manuel de Moscopoulos ( 1265 d.C - 1316 d.C ) . . . . . . . . . . 79
Alhazen ( 965 d.C. – 1039 d.C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Omar Jayam (1070 d.C – 1131 d.C ) . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Baja Edad Media ( 1200 d.C - 1492 d.C ) . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Leonardo da Pisa (Fibonacci) ( 1170 d.C - 1240 d.C ) . . . . . . 82
Piero della Francesca ( 1406 d.C - 1492 d.C ) . . . . . . . . . . . 85
Leonardo da Vinci ( 1452 d.C - 1519 d.C ) . . . . . . . . . . . . . 86
Gerolamo Cardano (1501 d.C - 1576 d.C ) . . . . . . . . . . . . 88
Lodovico Ferrari (1522 d.C - 1565 d.C) . . . . . . . . . . . . . . 89
Niccolò Fontana Tartaglia (1499 d.C - 1557 d.C) . . . . . . . . . 89
Historia de la solución para ecuaciones de tercer grado . . . . . 89
John Napier ( 1550 d.C- 1667 d.C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Temprana y Alta Edad Media (476 d.C - 900 d.C) . . . . . . . . 97
Plena Edad Media (900 d.C - 1150 d.C) . . . . . . . . . . . . . . 97
Baja Edad Media (1200 d.C - 1492 d.C) . . . . . . . . . . . . . . 98
3. Renacimiento 101
Personalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
François Viète (1540 – 1603) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Gerolamo Cardano (1501 – 1576) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Luca Pacioli (1447 – 1517) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Petrus Apianus (1495 – 1552) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
François d’Aguilon (1567 – 1617) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Gemma Frisius (1508 – 1555) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Marino Ghetaldi (1568 – 1626) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
ÍNDICE GENERAL 5
Guidobaldo del Monte (1545 – 1607) . . . . . . . . . . . . . . . . 106
John Napier (1550 – 1617) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Pedro Nunes (1502 – 1578) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
William Oughtred (1574 – 1660) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Robert Recorde (c. 1512 – 1558) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Niccolò Fontana Tartaglia (1499/1500 – 1557) . . . . . . . . . . . 108
Galileo Galilei (1564 – 1642) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Pierre de Fermat (1601-1665) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Blaise Pascal (1623-1662) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Christiaan Huygens (1629-1695) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Familia Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Jacob I Bernoulli (1655 – 1705) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Johan I Bernoulli (1667 – 1748) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Nicolás Copérnico (1473 – 1543) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Galileo Galilei (1564-1642) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
René Descartes (1646 – 1716) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Gottfried Leibniz (1646 – 1716) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Discusiones y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Personalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4. Edad Moderna Temprana 135
1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Matemática en la Inglaterra y Suecia de principios de siglo XVIII . . . 136
Thomas Bayes (c. 1701 – 1761) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Daniel Bernoulli (1700 – 1782) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Brook Taylor (1685 – 1731) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Matemática en Francia e Italia del siglo XVIII . . . . . . . . . . . . . 146
Pierre-Simone de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Joseph-Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Jean-Baptiste Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Siméon-Denis Poisson . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Matemática en la Alemania de finales del siglo XVIII . . . . . . . . . . 159
La Ilustración en las universidades alemanas . . . . . . . . . . . . 159
Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Avances en el desarrollo del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 168
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5. Edad Contemporánea 181
Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
¿Cómo cambió el mundo en el siglo XIX? . . . . . . . . . . . . . 181
¿Por qué se dieron estos cambios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Europa en el Siglo XIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
América en el Siglo XIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6 ÍNDICE GENERAL
Pensamiento del Siglo XIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Personajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Agustin Cauchy (1789 - 1857) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792 - 1856) . . . . . . . . . . . 188
Evariste Galois (1811 - 1832) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Charles Hermite (1822 - 1901) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) . . . . . . . . . 195
Georg Cantor (1845 - 1918) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Henri Poincaré (1854 - 1912) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
David Hilbert (1862 - 1943) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Emmy Noether (1882 - 1935) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Stefan Banach (1892 - 1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Kurt Godel (1906 - 1978) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Caṕıtulo 1
Antigua Grecia
Autores: Ariana Soria, Milena Mora, Daniela Merizalde, Eddy Torres, Mateo Ayala
Civilización Griega
La Antigua Grecia comienza con la Edad Oscura en 1200 a. C. y culmina con la
Antigüedad Tard́ıa en 529 d. C. Estuvo ubicada en tres grandes regiones; la Grecia
continental europea que abarca la zona septentrional de la peńınsula de los Balcanes,
en esta región se estableció Macedonia; la Grecia asiática limitándose a la ocupación
de la franja litoral, en esta región se establecieron Eólida, Jonia y Dórida; y por último
la Grecia Insular que abarca las islas del mar Egeo, entre ellas Anatolia, Icaria y Creta.
7
8 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.1: Mapa de la Antigua Grecia.
Debido a su ubicación geográfica, Grecia era una civilización básicamente maŕıti-
ma, comercial y expansiva. La civilización griega tuvo una gran influencia sobre el Im-
perio Romano y se la considera como la cultura que sirvió de base para la civilización
occidental. Esta civilización estaba compuesta por polis, ciudades-Estado, las cuales
teńıan sus propias leyes y organización interna, pero compart́ıan creencias religiosas,
festividades y lengua. Entre las más importantes encontramos Atenas y Esparta.
Los griegos eran politéıstas. Sus dioses viv́ıan en el Monte Olimpo, eran inmortales,
se alimentaban de néctar y ambrośıa. Naćıan unos de otros, estaban sometidos al
destino e interveńıan en asuntos humanos. También incluso se acostaban con humanas
y engendraban semidioses. Entre sus divinidades más destacables están: Zeus, dios del
rayo y señor del Olimpo, Poseidón, dios de los mares y Hades, dios del inframundo.
Entre los aportes griegos más importantes están la poeśıa, la literatura, las artes, la
filosof́ıa, las matemáticas, la f́ısica, la astronomı́a, la geograf́ıa, la historia y la medicina.
En el caso de las matemáticas, los griegos fueron los primeros en formalizarla. Entre
sus grandes exponentes hablaremos de Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides, Aristóteles
y Arqúımedes.
Sistemas de numeración griega
Numeración ática
La notación ática fue un sistema utilizado por los antiguos griegos, la cual data de
alrededor del 600 a. C. También se los conoce como números herodianos al haber sido
descritos por primera vez en un manuscrito de Herodiano, quien fue un funcionario
SISTEMAS DE NUMERACIÓN GRIEGA 9
romano que escribió Historia Romana, que cubre la época entre 180 a 238 d. C. Tam-
bién se conocen como números acrofónicos, dado que los śımbolos básicos derivan de
la representación en śımbolos de las primeras letras griegas antiguas.
Los números áticos eran un sistema decimal, como el sistema egipcio antiguo o el
sistema hindo-arábigo. Es decir, el número a representar se descompońıa en múltiplos
simples de potencias de 10. Luego, estas partes se escribieron en secuencia en orden
decreciente.
Figura 1.2: Simboloǵıa del sistema de numeración ático.
10 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
En concreto, el sistema ático era un sistema no posicional y no exist́ıa el cero.
Algunos de los śımbolos del sistema son la primera letra de prefijos métricos. Y la
letra M posiblemente hace alusión a myriad, que significa un número muy grande de
cualquier elemento. [40]
Numeración jónica
Son un sistema de numeración escrita que utiliza las letras del alfabeto griego. En
la Grecia moderna, aún se utilizan para números ordinales y en contextos similares a
los que los números romanos aún se utilizan en otras partes del mundo. Para números
cardinales ordinarios Grecia, actualmente, ya ha adoptado los números arábigos.
Figura 1.3: Simboloǵıa del sistema de numeración jónico.
Este sistema está basado en potencias de 10. Las unidades del uno al nueve se
relacionan con las primeras nueve letras del antiguo alfabeto jónico, las cuales com-
prenden desde alpha hasta theta. A cada múltiplo de diez hasta el noventa se le asignó
su propia letra del alfabeto jónico, desde iota hasta koppa. A los múltiplos de cien
hasta mil, de la misma manera, se le asignó una letra desde rho hasta sampi. Todas
pertenecientes al sistema jónico antiguo. Tres de estas letras se consideraban ya en
desuso, estas eran las asignadas al seis, noventa y novecientos.
El sistema funcionaba según el principio aditivo, en el cual los valores numéricos
de las letras se suman para obtener el valor total. Para diferenciar las palabras de los
números se les colocaba a estos últimos una barra superior. Aunque el alfabeto griego
comenzó con solo formas de mayúscula, los manuscritos de papiro sobrevivientes de
Egipto muestran que las formas minúsculas unciales y cursivas comenzaron temprano.
Se utilizaba comas delante de los números para denotar miles y Se escrib́ıa una M
debajo del número para denotar cantidades más grandes, dado que esto significaba
multiplicarlo por diez mil. [11]
EDAD OSCURA (1100 A. C. - 750 A. C.) 11
Edad oscura (1100 a. C. - 750 a. C.)
Figura 1.4: Ĺınea de tiempo: Edad Oscura.
Da inicio con el colapso del mundo micénico. Se caracteriza con la escasez de fuentes
históricas. Se olvida la escritura micénica. No se posee registros de estados organizados.
Es importante mencionar la presencia de diseños geométricos en sus vasijas. Esta época
es también conocida como la época homérica. De las epopeyas la Odisea y la Iliada de
Homero, podemos visualizar una imagen de este periodo oscuro y legendario.
Época arcaica (750 a. C. - 500 a. C.)
Figura 1.5: Ĺınea de tiempo de la Época Arcaica.
12 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Aparecen los primeros escritos en alfabeto griego. Se forman las ciudades-Estado,
Atenas y Esparta entre las más importantes. Fue un peŕıodo de gran crecimiento
económico y el estilo de vida de la población mejoró considerablemente.
Tales de Mileto (624 a. C. - 546 a. C.)
Fue un filósofo, matemático, f́ısico y legislador griego. Vivió en Mileto, una ciudad
griegacostera (actualmente Turqúıa). Se suele aceptar que Tales comenzó a usar el
pensamiento deductivo aplicado a la geometŕıa, y se le atribuye la enunciación de
teoremas geométricos que llevan su nombre. Es conocido como el primer matemático
verdadero.
Fue uno de los siete sabios de Grecia. Fue considerado, principalmente por Aristóte-
les, como el primer filósofo de tradición griega. Se le atribuye haber sido el primer
individuo de la civilización occidental en haber entendido y dedicado a la filosof́ıa
cient́ıfica.
Thales es reconocido por romper el v́ınculo entre la mitoloǵıa y la forma en que
se explica el mundo, siendo aśı un precursor de la ciencia moderna. Sosteńıa el hecho
de que la naturaleza deriva de una sola sustancia última, el agua. En matemáticas,
Thales utilizó la geometŕıa para calcular la altura de pirámides y la distancia a la que
se encontraban los barcos desde la orilla. Es el primer ente a quien se le ha atribuido un
descubrimiento matemático y el primero en utilizar el razonamiento deductivo aplicado
a la geometŕıa para derivar sus cuatro corolarios.
Figura 1.6: Busto de Tales de Mileto. Ilustración de la obra de Ernst Wallis
(1877).
EL intervalo de estancia en la Tierra de Thales no se conoce a ciencia cierta, pero
ÉPOCA ARCAICA (750 A. C. - 500 A. C.) 13
se establecen de forma aproximada algunos eventos informales con lo cual se puede
tener una idea de la época a la que perteneció. Estos eventos son: La predicción del
eclipse solar del 28 de mayo de 585 A.C. y su muerte a la edad de 78 años durante la
Olimpiada número 58, alrededor del 548-545 A.C. atribuyéndose la causa a insolación
mientras miraba los juegos.
Thales se involucró en un sinnúmero de actividades incluida entre estas la inge-
nieŕıa. Se dice que no dejó escritos, pues ninguna escritura atribuida a él ha sobrevivido.
Existe una historia que relata como Thales logró riquezas de una cosecha de aceitunas
por lograr predecir el clima. Se narra que compró todos los campos de aceitunas en
Mileto después de predecir una buena cosecha para un año en concreto para luego
donar toda su riqueza demostrando aśı que los filósofos pueden ser ricos pero que no
es su objetivo en la vida.
Teoŕıas. Tales teńıa como objetivo explicar los fenómenos naturales a través de
hipótesis racionales que haćıan referencia a los procesos naturales. Por ejemplo, en
lugar de suponer que los terremotos son el resultado de caprichos sobrenaturales,
Thales los explicó con la hipótesis de que la Tierra flota en agua y los terremotos
ocurren cuando la Tierra es sacudida por las olas.
Geometŕıa: Teoremas de Tales. Tales era conocido por su uso innovador de
la geometŕıa, toda su comprensión era tanto teórica como práctica. Tales entendió
triángulos similares y triángulos rectángulos. La historia cuenta que él midió la altura
de las pirámides de Egipto por sus sombras en el momento en que su propia sombra
era igual a su altura. Un triángulo rectángulo de dos lados iguales forma ángulos de
45◦, los cuales son similares. La longitud de la sombra de la pirámide medida desde el
centro de la pirámide en ese momento debe haber sido igual a su altura.
De forma más práctica, Tales utilizó el mismo método para medir las distancias
de los barcos en el mar, todo lo que necesitó para esta hazaña fueron tres palos rectos
clavados en un extremo y conocer su altitud. Un palo va directamente al suelo, un
segundo hace nivel y con el tercero se ve el barco y se calcula el punto de partida
desde la altura del palo y su distancia desde el punto de inserción hasta el punto de
visión.
Hay dos teoremas de Tales en geometŕıa elemental, uno conocido simplemente
como el teorema de Tales tiene que ver con un triángulo inscrito en un ćırculo, con el
diámetro del ćırculo como un cateto; el segundo teorema se conoce como teorema de
intersección. Según cuenta la historia, cuando Tales visitó Egipto, observó que cada vez
que los egipcios dibujaban dos ĺıneas de intersección, mediŕıan los ángulos verticales
para asegurarse de que fueran iguales.
Primer teorema de Tales. Si en un triángulo se traza una ĺınea paralela a
cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo
dado.
14 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.7: Ilustración del primer teorema de Tales.
Segundo teorema de Tales. En geometŕıa, si A, B y C son puntos distintos
sobre un ćırculo, donde la ĺınea AC es el diámetro, entonces el ángulo ∠ABC
es un ángulo recto.
Figura 1.8: Ilustración del segundo teorema de Tales.
Demostración. Los siguientes hechos son utilizados: la suma de los ángulos in-
ternos en un triángulo es igual a 180◦. Dado que
OA = OB = OC,
los triángulos 4OBA y 4OBC son isósceles. Sea
∠OBC = ∠OCB,
∠OBA = ∠OAB,
α = ∠BAO,
β = ∠OBC.
ÉPOCA ARCAICA (750 A. C. - 500 A. C.) 15
Entonces tenemos que
α+ (α+ β) + α = π
=⇒ α+ β = π
2
,
lo que se queŕıa demostrar.
Demostraciones. A Tales se le atribuyen también las siguientes demostraciones:
El ćırculo es bisecado por su diámetro.
Los ángulos base de un triángulo isósceles son iguales.
El par de ángulos verticales formados por la intersección de dos ĺıneas son iguales.
Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales res-
pectivamente a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son con-
gruentes.
Pitágoras (580 a. C. - 500 a. C)
Pitágoras de Samos fue un antiguo filósofo griego jónico y el fundador del pitago-
rismo. Sus enseñanzas poĺıticas y religiosas eran bien conocidas en Grecia e influyeron
en las filosof́ıas de Platón, Aristóteles y en si a la filosof́ıa occidental.
Los eruditos modernos no están de acuerdo con respecto a la educación de Pitágo-
ras, pero están de acuerdo en que, alrededor del 530 a. C., viajó a Crotona, donde
fundó una escuela en la que los iniciados juraron guardar el secreto y vivieron un esti-
lo de vida comunal y ascética. Este estilo de vida implicaba una serie de prohibiciones
dietéticas, que tradicionalmente se dećıa que inclúıan el vegetarianismo, aunque se
pone en tela de duda que haya abogado alguna vez por el vegetarianismo completo.
Figura 1.9: Detalle de la obra La Escuela de Atenas de Rafael Sanzio.
16 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
La enseñanza más segura identificada con Pitágoras es la transmigración de las
almas, que sostiene que cada alma es inmortal y, al morir, entra en un nuevo cuerpo.
También se le atribuye la doctrina de la música universal, que sostiene que los planetas
se mueven según ecuaciones matemáticas, por lo que resuenan para producir una
sinfońıa musical inaudible.
Los académicos debaten si Pitágoras desarrolló las enseñanzas matemáticas y mu-
sicales que se le atribuyen, o si esas enseñanzas fueron desarrolladas por sus seguidores
posteriores. Después de la decisiva victoria de Crotona sobre Sybaris alrededor del año
510 a. C., los seguidores de Pitágoras entraron en conflicto con los partidarios de la
democracia y las casas de reunión pitagóricas fueron quemadas. Pitágoras pudo ha-
ber sido asesinado durante esta persecución, o haber escapado a Metapontum, donde
finalmente murió. [29]
A Pitágoras se le atribuyen descubrimientos matemáticos y cient́ıficos, entre ellos
el teorema de Pitágoras, la sintońıa de Pitágoras, los cinco sólidos regulares, la teoŕıa
de las proporciones, la esfericidad de la Tierra y la identidad del lucero del alba y de
la tarde como el planeta Venus. No se conoce con precisión si los descubrimientos se
originaron antes o fueron realizados por sus colegas o sucesores, pues a sus disćıpulos
los haćıa firmar bajo su nombre.
Vida de Pitágoras. La vida temprana de Pitágoras también coincidió con el flo-
recimiento de la filosof́ıa natural jónica temprana. Fue contemporáneo de los filósofos
Anaximandro, Anax́ımenes y el historiador Hécate, todos los cuales vivieron en Mileto,
al otro lado del mar desde Samos.Tradicionalmente se cree que Pitágoras recibió la
mayor parte de su educación en el Cercano Oriente. El conocimiento actual ha demos-
trado que la cultura de la Grecia arcaica estaba fuertemente influenciada por la de las
culturas del Cercano Oriente. Como muchos otros pensadores griegos importantes, se
dice que Pitágoras estudió en Egipto.
Alrededor del año 530 a. C., cuando Pitágoras teńıa alrededor de cuarenta años,
dejó Samos. Sus admiradores posteriores afirmaron que se fue porque no estaba de
acuerdo con la tirańıa de Poĺıcrates. Este hecho se alinea estrechamente con el supuesto
amor a la libertad de Pitágoras, que haćıa que sus enemigos lo consideraran un rebelde
con proclividad hacia la tirańıa. Otras fuentes afirman que Pitágoras se fue de Samos
dado que estaba excesivamente sobrecargado de deberes públicos ah́ı. Llegó a la colonia
griega de Crotona, en lo que entonces era Magna Grecia. Pitágoras era carismático y
rápidamente adquirió una gran influencia poĺıtica en su nuevo entorno.
Lo que se conoce sobre la muerte de Pitágoras es bastante ambiguo. Se habla de
la posibilidad de muerte en la ciudad de Crotona cuando esta fue atacada, de muerte
por inanición e incluso que al no querer atravesar un campo de frijoles negros por ir
en contra de sus enseñanzas fue asesinado.
Enseñanzas en numeroloǵıa: Teorema de Pitágoras. Aunque los detalles
exactos de las enseñanzas de Pitágoras son inciertos, es posible reconstruir un resumen
general de sus ideas principales.
Pitágoras utilizaba las matemáticas para razones exclusivamente mı́sticas, sin apli-
cación práctica. Créıan que todas las cosas, en esencia, estaban hechas de números.
El número uno representaba el origen de todas las cosas y el número dos, la diada,
ÉPOCA ARCAICA (750 A. C. - 500 A. C.) 17
representaba la materia. El número tres era un número considerado ideal, pues teńıa
un inicio, un medio y un final; a su vez era el número más pequeño de puntos que
pod́ıan usarse para definir un triángulo plano, el cual era considerado como un śımbo-
lo divino. El número cuatro significaba las cuatro estaciones y los cuatro elementos,
el número siete también era sagrado pues era el número de planteas y el número de
cuerdas en la lira. Teńıan la creencia de que los números impares eran masculinos y
los números pares eran femeninos. El número cinco representaba el matrimonio al ser
la suma de dos y tres.
El número diez era considerado como el número perfecto y los Pitagóricos lo honra-
ban al no reunirse en grupos mayores a diez. A Pitágoras se le atribuye el diseño de la
tetraktys, que es una figura triangular de cuatro filas que se suman al número perfecto.
La tetraktys era tan admirable y divinizada por los que la entendieron que los estudian-
tes de Pitágoras juraron por él. Posiblemente esta tradición era únicamente Pitagórica.
Si bien conocemos que Pitágoras no es quien lo descubre el llamado teorema de
Pitágoras, se presume que se le atribuye el nombre de Pitágoras debido a que los
Pitagóricos son los primeros en desarrollar una demostración del mismo. Además, es
el teorema del que más demostraciones se han realizado y publicado, habiendo al
momento 367.
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al
cuadrado de su hipotenusa.
Demostración. Considérese un cuadrado de lado a+b como se muestra en la Figura
1.10.
Figura 1.10: Gráfica ilustrativa para demostración.
El área del cuadrado en cuestión es (a+ b)2, el área del cuadrado de lado c es c2,
18 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
y el área de los cuatro triángulos es 2ab. Con lo que
(a+ b)2 = c2 + 2ab
=⇒ a2 + 2ab+ b2 = c2 + 2ab
=⇒ a2 + b2 = c2,
lo que se queŕıa demostrar.
Música. Según la leyenda, Pitágoras descubrió que las notas musicales pod́ıan
traducirse en ecuaciones matemáticas cuando un d́ıa se cruzó con los herreros en el
trabajo y escuchó el sonido de sus martillos golpeando contra los yunques. Pensando
que los sonidos de los martillos eran hermosos y armoniosos, excepto uno, se apresuró
a entrar en la herreŕıa y comenzó a probar los martillos. Luego se dio cuenta de que
la melod́ıa tocada cuando golpeó el martillo era directamente proporcional al tamaño
del martillo y, por lo tanto, concluyó que la música era matemática. Sin embargo, esta
leyenda es demostrablemente falsa, ya que estas proporciones solo son relevantes para
la longitud de la cuerda.
Hermandad pitagórica. Tanto Platón como Isócrates afirman que, sobre todo,
Pitágoras era conocido como el fundador de una nueva forma de vida. La organización
que Pitágoras fundó en Crotona se llamaba escuela, pero, en muchos sentidos, se
parećıa a un monasterio. Los miembros estaban obligados por un voto a Pitágoras y
entre ellos, con el propósito de perseguir las observancias religiosas y de estudiarlas.
Los miembros de la secta compart́ıan todas sus posesiones en común y se dedicaban
entre śı a la exclusión de los extraños. Fuentes antiguas registran que los pitagóricos
comı́an en común. Una máxima pitagórica era “Todas las cosas en común entre amigos.
Figura 1.11: Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.
Enseñaba nociones de matemáticas, música y reencarnación. De los miembros la
hermandad pitagórica se dice que no teńıan posesiones personales, eran vegetarianos
y se llamaban a śı mismos matemáticos. La escuela pitagórica aceptaba a hombres
y mujeres. Consideraban que la realidad es naturaleza matemática. Números como
ÉPOCA ARCAICA (750 A. C. - 500 A. C.) 19
dioses: puros e inmunes al cambio de la materia. Se le atribuye el descubrimiento de
la relación entre las matemáticas y las armońıas musicales.
Dos grupos existieron dentro del pitagorismo temprano: los aprendices y los oyen-
tes. Los akousmatikoi son tradicionalmente identificados por los estudiosos como viejos
creyentes, en el misticismo, la numeroloǵıa y las enseñanzas religiosas; mientras que los
Mathikoi se identifican tradicionalmente como una facción más intelectual y moder-
nista que era más racionalista y cient́ıfica. El estudio de las matemáticas y la música
puede haber estado relacionado con la adoración a Apolo. Los pitagóricos créıan que
la música era una purificación para el alma, aśı como la medicina era una purificación
para el cuerpo. Una anécdota de Pitágoras informa que cuando se encontró con unos
jóvenes borrachos que intentaban entrar en la casa de una mujer virtuosa, cantó una
melod́ıa solemne con largos esponjosos y la obstinada furia de los niños se apagó. Los
pitagóricos también hicieron hincapié en la importancia del ejercicio f́ısico, el baile
terapéutico, las caminatas diarias por la mañana a lo largo de rutas escénicas y el
atletismo fueron componentes principales del estilo de vida pitagórico. También se
aconsejaron momentos de contemplación al principio y al final de cada d́ıa.
Las enseñanzas pitagóricas se conoćıan como śımbolos y los miembros hicieron un
voto de silencio de que no revelaŕıan estos śımbolos a los no miembros. Los que no
obedećıan las leyes de la comunidad fueron expulsados y los miembros restantes le-
vantaban lápidas para ellos como si hubieran muerto. Han sobrevivido varios dichos
orales atribuidos a Pitágoras, que tratan de cómo los miembros de la comunidad pi-
tagórica deben realizar sacrificios, cómo deben honrar a los dioses y cómo debeŕıan
ser enterrados. Muchos de estos dichos enfatizan la importancia de la pureza ritual y
evitar la contaminación del esṕıritu.
Al parecer, a los nuevos iniciados no se les permitió encontrarse con Pitágoras
hasta después de haber completado un peŕıodo de iniciación de cinco años, durante
el cual se les exigió permanecer en silencio. Pitágoras fue inusualmente progresivo en
sus actitudes hacia las mujeres y las mujeres miembros de la escuela de Pitágoras
parecen haber desempeñado un papel activo en sus operaciones. Jámblicode Calcis
proporciona una lista de 235 pitagóricos famosos, diecisiete de los cuales son mujeres.
En tiempos posteriores, muchas filósofas prominentes contribuyeron al desarrollo del
neopitagorismo.
El pitagorismo también conllevó una serie de prohibiciones dietéticas. Se acuerda
más o menos que Pitágoras prohibió el consumo de frijoles y la carne de animales no
sacrificados como el pescado y las aves de corral. Sin embargo, ambos supuestos han
sido contradichos. Las restricciones dietéticas pitagóricas pueden haber sido motiva-
das por la creencia en la doctrina de la metempsicosis. Algunos escritores antiguos
presentan a Pitágoras como una dieta estrictamente vegetariana. [3]
Estrella pitagórica. Es el śımbolo de la Escuela Pitagórica. Es un poĺıgono estre-
llado de cinco vértices dibujado con cinco segmentos de recta consecutivos tal que cada
uno corta a otros dos. Es un poĺıgono complejo, que guarda relación con la proporción
áurea y además tiene proporción divina.
20 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Téano (fl. VI a. C.)
Fue una matemática, filósofa griega, esposa de Pitágoras y miembro de la escuela
pitagórica. Se le atribuyen varios tratados de matemática, f́ısica y medicina. A Pitágo-
ras lo mataron durante una rebelión contra el gobierno de Crotona. Téano sucedió a
Pitágoras a la cabeza de esta comunidad. Con la ayuda de sus hijas difundió los cono-
cimientos matemáticos y filosóficos. Entre sus trabajos más célebres están: Números,
La proporción áurea, rectángulos áureos; que es un rectángulo que posee una propor-
cionalidad entre sus lados igual a la razón áurea.
Anaxágoras de Clazomene (500 a. C. - 428 a. C.)
Fue el primer pensador extranjero en establecerse en Atenas. Sugiere que el Sol era
una masa de hierro caliente y que la Luna era una roca que reflejaba la luz del Sol y
que proveńıa de la Tierra.
Tres problemas famosos. Construcción de un cuadrado en el área de un ćırculo
dado. Construcción del lado de un cubo cuyo volumen es el doble del cubo dado.
Trisección de cualquier ángulo.
Peŕıodo clásico (500 a. C. - 323 a. C.)
Figura 1.12: Ĺınea de tiempo: Época Arcaica.
La civilización griega enfrenta la invasión persa por lo que las principales polis,
Atenas y Esparta se aĺıan. Es aqúı en donde se da la famosa batalla de las Termópilas,
continuando aśı con las Guerras Médicas.
Una vez finalizada la amenaza persa las polis griegas tuvieron una serie de enfren-
tamientos que culminaron con el surgimiento de Macedonia, la cual obligo al resto de
ciudades estados a unirse a la Liga del Corinto convirtiéndolas en aliadas y evitando
enfrentamientos entre ellas.
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 21
Macedonia también entra en conflicto con los persas, y es Alejandro Magno el
heredero del primer emperador de Macedonia quien obtendŕıa la victoria contra Persia.
Esta época culmina con su muerte.
Zenón de Elea (490 a. C. - 430 a. C.)
Fue el primero en realizar una demostración al absurdo. No estableció ni conformó
ninguna doctrina positiva de su propia mano.
Paradojas. Zenón establece que el ser debe ser homogéneo y único, por lo que
consecuentemente el espacio no está formado por elementos discontinuos, sino que
establece al cosmos o al universo como un todo. Por lo que sus paradojas ven a la
pluralidad como la estructura de lo real, van en contra de la validez del espacio, en
contra de la realidad del movimiento, y en contra de la realidad del transcurrir del
tiempo. Una de sus paradojas famosas es que un corredor veloz jamás podrá ganar
una carrera si a la tortuga se le ha dado una previa ventaja, es decir que sin importar
que el corredor sea más veloz que la tortuga este nunca logrará sobrepasarla.
Hipócrates de Qúıos (470 a. C. - 400 a. C.)
Fue un matemático y astrónomo griego. La tendencia de abstracción y sistemati-
zación de la Geometŕıa encontró un fuerte impulso en la obra de Hipócrates de Qúıos.
Utilizó por primera vez el conocido esquema premisa-teorema-demostración.
Cuadratura de la lúnula. La lúnula una superficie plana en forma de luna cre-
ciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos. Hipócrates demostró que se
puede construir un cuadrado de igual área que esta lúnula dada. Además, demostró que
el área de estas lúnulas se podŕıa expresar de manera exacta como un área rectiĺınea.
Platón (428 a. C. - 348 a. C.)
Fue un filósofo griego seguidor de Sócrates y maestro de Aristóteles. Escribió, siem-
pre en forma de diálogo, sobre los más diversos temas, tales como filosof́ıa poĺıtica,
ética, psicoloǵıa, antropoloǵıa filosófica, epistemoloǵıa, metaf́ısica, cosmogońıa, cosmo-
loǵıa, filosof́ıa del lenguaje, filosof́ıa de la educación y teoŕıa poĺıtica.
Sólidos platónicos. Objeto tridimensional convexo cuyas caras son poĺıgonos
idénticos con todos los lados y ángulos iguales. Llamados también cuerpos cósmicos.
Guardan relación con los 4 elementos. Se créıa que estas formas representaban las
estructuras de los elementos fundamentales que componen el cosmos. Platón describió
a los cinco sólidos en su obra Timeo.
Origen del análisis. A Platón se le atribuye el método anaĺıtico, que tuvo un
gran impacto en el desarrollo de la matemática. La Academia Platónica de Atenas se
convirtió en el centro matemático del mundo.
Eudoxo de Cnidos (390 a. C. - 337 a. C.)
Es conocido como el padre de la astronomı́a cient́ıfica, fue el matemático más capaz
de la era helénica. Muchos de sus trabajos se han perdido, pero se sabe que estimó el
22 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
diámetro del Sol siendo nueve veces el de la Tierra.
Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.)
Figura 1.13: Busto de mármol de Aristóteles, Museo Nacional Romano.
Aristóteles fue uno de los grandes pensadores de la edad griega, involucrado en
campos que variaban desde la poĺıtica hasta la astronomı́a, desde la retórica hasta la
ingenieŕıa. A pesar de no ser una figura matemática de particular eminencia, Aristóteles
se gana su posición en la historia de la matemática de la Antigua Grecia debido a sus
varios aportes tanto a la concepción de las matemáticas como para la salvaguardia del
conocimiento. Se dećıa que Aristóteles era recluido de carácter, pero esto no le impidió
ser la fuente de inspiración para la continuación de la mente inquisitiva matemática
en su época. Además, su figura influenció de gran manera el desarrollo de Grecia y
el posterior imperio Macedonio, lo que en su turno evolucionó el desarrollo de las
matemáticas. [5]
Edad temprana. Aristóteles nació en el pueblo costero Estagira en el año 384
antes de Cristo, con la fortuna de haber nacido en una familia acomodada que le
permitió gozar de una infancia temprana tranquila.
Su padre, Nicómaco, era el médico personal del Rey de Macedonia Amintas III,
que seŕıa el padre de Filipo II y de Alejandro Magno. La ayuda de Aristóteles fue
requerida varias veces en las operaciones de su padre, por lo que Aristóteles desarrolló
mucha habilidad con la medicina. Además, la posición de su padre le permitió conocer
a la realeza macedonia desde un punto de vista mucho más cercano. Esta posición
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 23
poĺıtica se mantuvo hasta sus últimos años de vida, e influenciaron su carrera de la
forma que se expondrá a continuación. [16]
Figura 1.14: Foto moderna de Estagira.
Lamentablemente, la madre de Aristóteles (de la cual no se conoce mucho), falleció
cuando este teńıa temprana edad. Su padre la siguió a la tumba unos años después,
dejando a Aristóteles en la orfandad. Debido a esto, su educación y crianza fue tomada
por el siguiente miembro varón más viejo de su familia: su cuñado de parte de su
hermana mayor. Este le insistió en instaurarle una educación de calidad, la cual no fue
desperdiciada. Finalmente, su cuidado infantil acabó a sus 17 años. Su cuñado decidió
enviarlo a continuar su educacióna la institución más reconocida de ese entonces: la
academia de Platón. [16]
Aristóteles en la Academia de Platón. La Academia de Platón se encontraba
en la metrópolis griega de Atenas, y era altamente exclusiva. En ella, los estudiantes de
Platón se reuńıan a expandir sus conocimientos y óır sus discursos, los cuales podŕıan
variar, en una sola de sus instancias, entre un plétora de posibles temas. Después
de haber ingresado a la Academia, Aristóteles rápidamente se volvió un estudiante
prominente de la institución. Sus conocimientos en la mayoŕıa de los temas que se
trataban, y su formación cient́ıfica y poĺıtica, le permitieron ganar renombre entre los
estudiantes y maestros. Antes de mucho, Aristóteles se estaba codeando con el ćırculo
interno de Platón. Muchos de los otros estudiantes empezaron a creer que Platón hab́ıa
24 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
encontrado heredero para su Academia.
Figura 1.15: La Escuela de Atenas, por Rafael, Stanze di Rafaello
Sin embargo, esto no llegaŕıa a suceder. De hecho, Aristóteles abandonaŕıa la Aca-
demia debido a un desacuerdo muy fuerte con la cosmovisión de su mentor. Platón,
como Pitágoras y muchos pensadores de ese tiempo, consideraban que la matemática
era el lenguaje básico del universo, el código fuente de donde todo lo demás se véıa
generado, y argumentaban que este hab́ıa sido meramente descubierto por los huma-
nos, en vez de haber sido ideado por ellos. Por el otro lado, Aristóteles observaba la
matemática como la máxima expresión de la abstracción humana. La observaba como
una interfaz entre la capacidad de raciocinio y el mundo que lo rodea. Era una herra-
mienta resultante del intelecto para aventurarse a entender el universo a su alrededor
[28]. De cierta manera, mientras Platón consideraba a la matemática como el mármol
de la estatua de la comprensión, Aristóteles véıa a la matemática como el cincel. Esta
cosmovisión es bastante similar a la que emplea la f́ısica moderna, en contraposición
a cómo la cosmovisión Platónica se asemeja a la de la matemática pura.
Aristóteles y Alejandro Magno. Después de abandonar la Academia, Aristóte-
les regresó a las tierras macedonias con una nueva oferta de trabajo: Alejandro, el nieto
del rey para quien trabajó el padre de Aristóteles, requeŕıa un tutor, y las conexio-
nes reales de Aristóteles lo volv́ıan apto para el trabajo. Al momento de empezar sus
lecciones, Alejandro de Macedonia contaba con trece años. Durante los siguiente sie-
te años, Aristóteles fue el tutor de Alejandro en temas cient́ıficos, sociales, poĺıticos
y filosóficos, inculcando en él estrategias de guerra y discusión en tanta vaĺıa como
técnicas cient́ıficas para el estudio de los astros. [5]
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 25
Figura 1.16: La más duradera de las imágenes románticas, Aristóteles en-
señando al futuro conquistador Alejandro, por Charles Laplante.
Al acabar su educación, Alejandro procedeŕıa a expandir el imperio macedonio
a dimensiones nunca observadas antes por cualquier civilización antigua. Este gran
logro, a la edad de veinte y un años, le confirió su conocido apodo de Alejandro Magno.
En sus excursiones, Alejandro Magno manteńıa un acercamiento civil y diplomático,
que atribúıa a Aristóteles. Igualmente, manteńıa la costumbre de llevar libros a sus
campañas de conquista. Aristóteles tuvo, de cierta manera, una influencia polémica
sobre Alejandro, ya que, aunque apoyaba la conquista por diplomacia a los páıses
que consideraba iguales, apoyó la conquista violenta de los pueblos que consideraba
bárbaros. Sin embargo, es innegable que Alejandro Magno es uno de los mayores
conquistadores y militares que el mundo conoció, con cero derrotas en el campo y el
imperio más grande que conoció la civilización antes de Roma. Cuando se le preguntó
su opinión de Aristóteles, Alejandro respondió:
Le debo a mi padre vivir, pero le debo a mi maestro vivir bien.
Aristóteles y el Liceo. La expansión del imperio Alejandrino llevó a Macedonia
a Atenas y, eventualmente, asimilada. Aristóteles le pidió a Alejandro Magno permiso
para fundar su propia escuela en esta ciudad, hasta el momento dominada por la
Academia, a lo cual el conquistador aceptó. De esta manera, Aristóteles compró un
gimnasio abandonado y fundó el Liceo. Manteńıa una estructura abierta, sin techos,
alrededor de las cuales caminaba mientras impart́ıa sus lecciones. Este método de
caminar mientras hablaba obligaba a sus estudiantes a acompañarlo en sus recorridos.
Esto les otorgó el nombre de Peripatéticos, derivados del griego peri, que significa
alrededor de, y patin, que significa el camino. Esto los volv́ıa aquellos alrededor del
camino.
26 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.17: Foto moderna de las ruinas del Liceo en Atenas.
A diferencia de la Academia de Platón, el Liceo no actuaba como un club exclusivo,
y no era necesario atravesar un riguroso proceso de aceptación para poder tomar las
clases. Estas eran ofrecidas al aire libre y podŕıan ser escuchadas por todos aquellos
que se acercaran a ellas. Los discursos de Aristóteles se diferenciaban de los de Platón
en su enfoque: mientras que en la Academia se tendŕıa a divagar de tema en tema en
una sola charla, Aristóteles y sus estudiantes teńıan a enfocarse en un sólo tema para
su charla, de una manera más concisa y enfocada. [15]
Además, Aristóteles realizo varios esfuerzos para categorizar el conocimiento. Pri-
mero, lo separo en tres áreas. La primera área constaba de las áreas productivas, y
en ellas se concentraban todas aquellas áreas del saber que tendŕıan un producto. La
ingenieŕıa, la artesańıa, pero también la poeśıa y el arte cáıan en esta categoŕıa. A
continuación, las áreas practicas se enfocaban en aquellas áreas del conocimiento nece-
sarias para el buen vivir, tales como la retórica o la poĺıtica. Finalmente, constataban
las áreas teóricas, donde se estudiaban conocimientos abstractos de leyes universales,
tales como la matemática, la f́ısica o la religión. Además, inculco en sus estudiantes
la práctica de inscribir sus conocimientos en libros. Esto llevo a la creación de una
infinidad de textos, y volvió el Liceo una de las grandes libreŕıas de la actualidad. [15]
Libros. Es en esta costumbre de la escritura, en esta formalización del conoci-
miento, donde verdaderamente radica la importancia de Aristóteles en la matemática.
Efectivamente, muchos conceptos matemáticos ya se conoćıan antes de su existencia en
Grecia, pero la razón que se considera a los griegos como los padres de la matemática,
y de toda la vida occidentalmente, es justamente esta formalización del conocimiento.
Pero Aristóteles no se limitó a insistir que sus alumnos escriban estos libros, sino
que él mismo los guio a través del ejemplo. Se conoce que Aristóteles era un escritor
extremadamente prolifero durante su tiempo en el liceo y durante la educación de
Alejandro Magno. De lo que se conoce, Aristóteles escribió más de 200 libros, pero
lamentablemente sólo 31 han sobrevivido hasta la actualidad.
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 27
Entre estos, un gran ejemplo es La Poética, en la cual Aristóteles intentaba descu-
brir la matemática detrás de la poeśıa, la tragedia, la comedia, y la épica. Es quizás
uno de los primeros ejemplos de la historia de una conciliación entre el arte y la cien-
cia. Aristóteles créıa que cada estilo de escritura deb́ıa tener su fórmula matemática
perfecta, y buscaba determinar cuáles eran.
Otro era la Ética Nicomáquea, que portaba este nombre en honor a su difunto pa-
dre y a su nuevo hijo (que tuvo con una esclava a la cual se le otorgó la libertad). Este
libro trataba acerca del buen vivir que hab́ıa instruido en Alejandro Magno. Intere-
santemente, Aristóteles entró al territorio de la ambigüedad. En este libro, indicaba
que a veces el camino moral no es el camino lógico,y a veces el camino correcto no es
el camino moral.
Retomando temas más cient́ıficos, Aristóteles también fue el autor de La Metaf́ısica.
En este libro, Aristóteles hace una diferenciación entre la forma y la materia. Determina
la forma como la caracteŕıstica que adquiere un objeto según su función y a la materia
como el material base de donde este sale. Según esta idea, la materia es la substancia
innegable, mientras que la forma es la causa y la esencia del objeto. De esta manera,
la materia puede ser mármol, pero la forma puede ser una estatua o una baldosa.
Y, finalmente, otro notable libro fue su compendio de conocimiento astronómico,
denominado “Sobre Los Cielos”. En este compendio, Aristóteles realiza un estudio
extensivo acerca de las órbitas de los astros que, en ese entonces, se créıa que rotaban
alrededor de la tierra. Además, empieza a teorizar acerca de la naturaleza del éter
como un quinto elemento, espećıfico de la bóveda celeste. Pero lo más importante es,
sin embargo, su propuesta de que todo movimiento se puede dividir en movimientos
rectiĺıneos y curviĺıneos o circulares.
Vida tard́ıa. Años después, el Imperio empezó a desmoronarse después de la
muerte de Alejandro Magno. Los atenienses, ansiosos de recuperar su independencia,
se lanzaron a una campaña de liberación por su ciudad. En esta campaña, se acusó a
Aristóteles de haber fomentado las ideas que se asociaban con su fallecido disćıpulo,
y por lo tanto fue expulsado de la ciudad. Tuvo que huir al ser desterrado, y murió
poco después, bajo el cuidado de su hija y a los 62 años, en Chalcis, Grecia, 322.
28 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.18: Aristóteles, por Francesco Hayez.
Euclides de Alejandŕıa (325 a. C. - 270 a. C.)
Figura 1.19: Retrato de Euclides, Justus van Gent.
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 29
Hay casos en la historia en los cuales la obra de un hombre es más grande que si
mismo; hay casos donde personajes adquieren una inmortalidad más sublime y mayor
aún que la fama de su propio nombre, volviéndose para siempre parte del inconsciente
colectivo a través de la importancia de su trabajo: Euclides fue uno de estos. No se
conoce mucho de su vida diaria, de sus oŕıgenes o de su historia, pero Euclides de
Alejandŕıa es aun aśı reconocido hoy en d́ıa como El Padre de la Geometŕıa, y sus
avances en matemática son la base para la geometŕıa y f́ısica clásica que se utiliza
hasta la actualidad.[24]
Vida. Como su nombre lo indica, Euclides nació en Alejandŕıa a mediados del
Siglo IV antes de Cristo. Su nombre significa El Exaltado o El Glorioso, y sus avan-
ces matemáticos definitivamente lo vieron merecedor de tales halagos. Su trabajo más
prominente fue realizado durante el reino de Ptolomeo I, el cuál fue arduamente in-
vestigado por su sucesor Aristóteles. Según este, cuando en un momento Ptolomeo
le preguntó a Euclides cuál era la manera más fácil de aprender geometŕıa, este le
respondió:
No hay una v́ıa absoluta a la geometŕıa.
Figura 1.20: Euclides de Alejandŕıa, por un autor desconocido.
Esta frase encapsula lo que eventualmente se volveŕıa la mentalidad necesaria para
realizar matemática de alto nivel, donde no es posible llegar a resultados a través
de cálculos mecánicos y deterministas, sino a través del uso de teoremas de forma
creativa e inventiva en pro de crear nuevos conocimientos. Sin embargo, se cree que,
en su juventud, Euclides pudo haber sido miembro de la Academia de Platón, donde
estaŕıa de acuerdo con su cosmovisión de las matemáticas como el lenguaje universal
(discutida en el caṕıtulo anterior). Incluso, se supone que no fue el autor único de sus
libros, pero definitivamente fue el principal. De igual manera en la que se carece de
mucha información de su nacimiento, su muerte ha sido una laguna de conocimiento
para los historiadores modernos. [24]
30 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Los Elementos. Indudablemente, la mayor fuente de reconocimiento para Euclides
fue la escritura de su compendio acerca de tratados de geometŕıa, en la colección
de libros que denominaŕıa “Los Elementos”. En estos, Euclides planteó las bases y
demostraciones para poder realizar toda la geometŕıa que se pod́ıa realizar en planos
y, durante más de un milenio, se consideró que su visualización era perfecta, hasta
que otros grandes matemáticos como Gauss, Lobachevsky, o Riemann establecieran
las bases para la geometŕıa no Eucĺıdea. Este libro puede ser considerado el libro
de texto más influencial y reconocido jamás escrito, y es además uno de los primeros
t́ıtulos matemáticos que se imprimieron con la imprenta de Guttenberg. En él, Euclides
además presentó pruebas absolutas de muchos temas que ya se hab́ıan expuesto por
previos matemáticos, pero nunca hab́ıan sido probadas de una manera definitiva. [21]
Figura 1.21: Portada de reimpresión de Los Elementos
Sin embargo, su colección no hablaba solamente acerca de la geometŕıa bidimen-
sional en un plano. De los trece libros en total de Los Elementos, los primeros seis
trataban acerca de la geometŕıa bidimensional en el plano, y cimentaban todas las
bases necesarias para su desarrollo y uso. Los libros del siete al nueve trataban acer-
ca de teoŕıa de números, y el octavo ejemplar contaba con información acerca de las
progresiones geométricas. El décimo libro trataba acerca de los números irracionales,
y del método que Euclides teńıa para aproximarlos. Finalmente, el libro once a tre-
ce contaba con la información necesaria para desarrollar geometŕıa tridimensional, y
contaba con estudios de las distintas formas tridimensionales en un espacio eucĺıdeo.
[21]
Números primos. Entre los trabajos de Euclides, este ofrece una de las primeras
pruebas de que existe una infinidad de números primos, con una prueba bastante
sencilla. Para empezar, se considera que existe una secuencia de n números primos
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 31
ordenados p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, ..., pn. Entonces sea
P = p1 · p2 · p3 · p4 · · · pn + 1,
y sea p un primo que divide perfectamente a P . Ahora, claramente P es mayor a
p1, p2, p3, ..., pn, ya que P es el resultado de la multiplicación de todos éstos. Por
tanto, hay dos casos posibles:
1. P no es divisible para alguno de los pi, i = 1, ..., n; sin embargo, P seŕıa divisible
para śı mismo. En ese caso, P es primo, ya que sus únicos divisores seŕıan 1 y śı
mismo, lo que probaŕıa que p = P es un primo mayor a cualquiera de los primos
hasta ahora.
2. En el segundo caso, P es divisible para un número menor a śı mismo. Supon-
gamos que este número es alguno de la secuencia de primos p1, p2, ..., pn. En
ese caso, esta división tendŕıa un residuo de 1, por la construcción de P . En
ese caso, si existe un divisor, este seŕıa mayor a cualquiera de los primos cuya
multiplicación construye a P .
Queda probado que P tiene un divisor primo mayor que los primos que lo cons-
truyen o es un primo en śı mismo, y como este número puede usarse para construir un
nuevo P , existe un infinito número de primos. Además, al observar esta multiplicación
como un desplazamiento en la recta de números, se puede inferir que existen infinitos
grupos de números no primos en los espacios entre los primos. [7]
De este hecho surge el lema de Euclides, que establece que “si un primo divide
la multiplicación de a y b, entonces este primo divide perfectamente a a o a b. Es-
ta afirmación tuvo tanto impacto, que de ella se llegaŕıa eventualmente al Teorema
Fundamental de la aritmética: todo entero o es un primo o es el resultado de la multi-
plicación de primos. Este teorema permite el análisis de la matemática discreta, y de
varias ramas más que han proliferado en la modernidad.
Geometŕıa. Sin embargo, el aporte más importante de Euclides a la matemática
fue su trabajo en geometŕıa, al punto que la geometŕıa de planos, basada en ĺıneas
rectas en estos, se denomina en la modernidadla Geometŕıa Euclidiana o Eucĺıdea.
Esta trata acerca de todos los planos y figuras sólidas que se pueden formar en espacios
bidimensionales y tridimensionales. Este sistema es tan conocido que es utilizado hasta
la modernidad, siendo el primer sistema que se enseña en los colegios y escuelas al mo-
mento actual. La importancia de este es doble, ya que además de ser el sistema esencial
para la f́ısica y la matemática de planos, la geometŕıa eucĺıdea es el ejemplo clásico del
pensamiento matemático. En esta, no es posible simplemente regirse a fórmulas para
obtener los resultados que se está buscando, sino que se fomenta encontrar relaciones y
“trucos matemáticos” que nos permitan descubrir la información que se está buscando.
32 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.22: Visualización de los postulados de Euclides.
En total, Euclides realizó cinco postulados que permiten el trabajo de los planos y
las ĺıneas. El primer postulado indica que entre cualquier par de puntos que existan en
un plano, estos pueden ser unidos mediante un segmento de ĺınea recta, que además
será la menor distancia posible entre estos. El segundo postulado indica que cualquier
segmento de ĺınea puede ser extendida en la misma ĺınea al infinito desde cualquiera
de sus dos lados, en el proceso que se denomina una extrapolación. El tercer postulado
indica que se puede dibujar un ćırculo desde cualquier segmento de ĺınea, donde uno
de los extremos del segmento será el centro del ćırculo, y la longitud de dicho segmento
actuará como el radio del ćırculo. El cuarto postulado indica que todos los ángulos
rectos son congruentes entre śı, sin importar su orientación. El quinto postulado indica
que si dos segmentos de recta interceptan otra recta, y la sumatoria de sus ángulos
internos es distinta a un 180 grados, estas dos ĺıneas se interceptan obligatoriamente en
algún punto de sus extensiones. Un corolario de este último enunciado es la existencia
de las ĺıneas paralelas, como el resultado de dos ĺıneas que cruzan una tercera pero
que sus ángulos śı suman 180◦. [37]
Mediante estos postulados, se puede hacer una serie de comprobaciones y esta-
blecimientos, tales como los métodos que se utiliza para declarar las congruencias de
triángulos, las condiciones lado-ángulo-lado, ángulo-lado-ángulo, y lado-lado-lado. A
partir de estas, se puede proceder a pruebas más complejas, tal como la prueba de que
los dos ángulos inferiores de un triángulo isósceles son iguales. [37]
PERÍODO CLÁSICO (500 A. C. - 323 A. C.) 33
Figura 1.23: Visualización de los postulados de Euclides.
Para comprobar esto, se considera que AD es el bisector del triángulo investigado,
y por lo tanto ADB y ADC son ángulos rectos. Entonces, sabemos que el triángulo
BAD es congruente con el triángulo ADC, ya que comparten el lado AD, el ángulo
recto, y el lado BD y DC que tienen la misma longitud. Por lo tanto, y como triángulos
congruentes, sus ángulos serán iguales. De esta manera se puede concluir que el ángulo
ABD es congruente con el ángulo ACD.
Bisección del ángulo. La bisección de un ángulo con regla y compás es uno de
los problemas clásicos Grecia. Su construcción es de auténtica belleza. Utiliza primor-
dialmente el hecho de triángulos semejantes.
Demostración. La Figura 1.24 presenta dos segmentos de recta, QP y QR con una
apertura α. Con centro en Q y un radio r, se cortan las rectas QR y QP en los puntos
A y B, de tal forma que la distancia QA y QB es la misma, al ser ambos radios de la
circunferencia de radio r. Con centro en A y un radio r′ se traza un arco. Con centro
en B y un radio r′, de la misma manera, se traza un arco que corte el arco anterior
en un punto C, de tal forma que la distancia AC y AB son iguales, al haber sido
construidas por el radio r′.
34 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.24: Ángulo propuesto.
Dado que QA es congruente con QB, AC es congruente con BC y la recta QC es
común, los triángulos 4QAC y 4QAB son congruentes. De esta manera, el ángulo
denotado por una ĺınea azul en la Figura 1.24 es igual a su adyacente, con lo que el
ángulo α se ha dividido en dos.
Euclides y el método de agotamiento. Finalmente, Euclides también hizo uso
del método de agotamiento en varias de sus pruebas. Este consist́ıa en calcular el área
o volumen de una figura cuya área o volumen ya se conocen de manera inscrita y
circunscrita de un objeto cuya área se desconoce. Este método le permitiŕıa eventual-
mente a Arqúımedes llegar a una aproximación extremadamente cercana de π. Sin
embargo, Arqúımedes lo utilizó de una manera mucho más gráfica, empleándolo en
sus estudios de geometŕıa. [39]
Varias de sus afirmaciones fueron probadas mediante este método. Entre ellas se
inclúıa el hecho de que el área de un ćırculo es proporcional al cuadrado de su diámetro,
lo que es cierto al considerar que Aćırculo = d
2π/4. Afirmó además de esta manera que
el volumen de dos tetraedros de igual altura es proporcional a sus bases. También pudo
inferir que el volumen de un cono es el de un tercio de un cilindro, siempre y cuando
estas dos figuras cuenten de la misma altura. También concluyó que el volumen de un
cono es proporcional a su base. Finalmente, concluyó que el volumen de una esfera es
proporcional al cubo de su diámetro. [39]
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 35
Peŕıodo heleńıstico (323 a. C. - 146 a. C.)
Figura 1.25: Ĺınea de tiempo: Peŕıodo Heleńıstico.
Los grandes centros culturales eran Alejandŕıa y Antioqúıa. A partir de la muerte
de Alejandro Magno, el imperio se dividió en el Reino Ptolemaico, el Imperio Seléuci-
da y la Dinast́ıa Antigónida de Macedonia. Durante este periodo las polis griegas
recobraron una parte de su libertad, aunque estaban anexadas a Macedonia. Estas
se dividieron en dos ligas, Aquea y Etolia, de esta última formaban parte Esparta y
Atenas. Estas ligas estuvieron en guerra gran parte del tiempo.
Macedonia se implicó en la guerra contra Roma, comenzando aśı con lo que se
conoce como Guerras Macedónicas. Una vez finalizadas Macedonia es anexada a Roma
y dividida en cuatro repúblicas independientes.
Finalmente, Roma derrota a las Liga Aquea y Etolia y destruye la ciudad de
Corintio, finalizando aśı con la independencia griega.
36 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Arqúımedes de Siracusa (287 a. C. - 212 a. C.)
Figura 1.26: La pintura es parte de la serie de nueve denominada Retratos
de filósofos del pintor Francesco Giovani. Puede encontrar esta pintura en el
inventario del Pŕıncipe Camillo Pamphilj (1747).
Arqúımedes fue un inventor y matemático griego que será recordado como una de
las mentes más brillantes de toda la historia humana. Sus teoremas se convirtieron
en leyes y sus ecuaciones fueron esenciales para futuras generaciones de ingenieros y
cient́ıficos. Es un hombre cuyo legado ha durado miles de años.
Empleó el método exhaustivo para calcular una aproximación de pi y calculó la
cuadratura de de la parábola. Asimismo, Arqúımedes consideró que su logró más
significativo fue demostrar que dada una esfera inscrita en un cilindro, el volumen y
el área de la esfera es 2/3 del volumen y área del cilindro. Entre sus aportes en f́ısica
están el principio de Arqúımedes y la ley de la palanca.
Contexto histórico. Arqúımedes nació en Siracusa, Sicilia, en 287 a. C. Esta
cuidad fue fundada aproximadamente entre el 734 o 733 a. C por colonos griegos.
Siracusa pronto se convirtió en la ciudad griega más próspera y poderosa de todo el
Mediterráneo por su tierra fértil, posición estratégica y nativos amigables.
Guerras Púnicas y Siracusa. En el siglo III a. C., Cartago y Roma buscaban
su supremaćıa en el Mediterráneo occidental. Para este punto de la historia, Cartago
dominaba la peńınsula ibérica. En la Figura 1.27 se muestran los territorios corres-
pondientes a Cartago y Roma.
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 37
Figura 1.27: Dominiodel Mediterráneo.
Por lo que el general Ańıbal crea un plan ambicioso. Éste consist́ıa en entrar a
Italia por los Alpes e incitar a los italianos para que se rebelaran en contra de Roma.
Entonces en el 218 a.C, Ańıbal cruza los Alpes con su armada y elefantes. Se calcula
que el ejército de Ańıbal teńıa 50000 infanteŕıa, 9000 caballeŕıas y 37 elefantes. Llega
a la llanura de Pandana donde vence a los Romanos en Tunicia y Terbia. Luego, se
dirige hacia el centro de Italia donde gana una batalla cerca del lago Trisimeno.Para
el año 216 a.C Ańıbal, se logra movilizar al sur y protagoniza una de las batallas más
sangrientas de esta guerra.
Figura 1.28: Giulio Parigi (1571-1635). Galeŕıa Uffizi.
Asimismo, durante este periodo Siracusa decide respaldar a Cartago e irse en contra
de Roma.Por lo que Roma manda a las fuerzas navales dirigidas por el general Marcelo
para que recuperen la cuidad. Por consiguiente, Arqúımedes tiene su momento de fama
38 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
y defiende la cuidad utilizando artefactos nunca antes vistos. Sus máquinas consist́ıan
en catapultas, espejos con paraboloides de revolución y palancas. Finalmente, Siracusa
es recuperada por Roma.
Muerte de Arqúımedes. Cuando los romanos toman Siracusa, Marcelo da órde-
nes de no matar a Arqúımedes. Sin embargo, un soldado romano lo termina asesinando.
Por lo que Arqúımedes muere en el año 212 a.C a los 71 años. En relación con el suceso
de su muerte, se tienen varias versiones. Una de esas versiones alega que Arqúımedes
estaba concentrado analizando uno de sus diagramas. Cuando llega el soldado, Ar-
qúımedes se encontraba preocupado porque el romano pisara sus diagramas dibujados
sobre la arena. Aśı que advierte al soldado y le dice que se aleje de sus figuras. El
soldado encolerizado por el comentario lo asesina.
Otra versión cuenta que llega el soldado y le exige que lo acompañe para ver a
Marcelo. Arqúımedes le dice que se espere porque no quiere dejar la demostración
inconclusa. Por lo que el soldado se enoja y termina matándolo. Dado que Arqúımedes
hab́ıa ganado una buena reputación y era respetado por su gente, se grabó en su tumba
una esfera inscrita dentro de un cilindro. Aśı se enfatizaba el descubrimiento que, en
vida, consideró el más importante.
Después de la muerte de Arqúımedes, Cicerón fue nombrado cuestor en Lilibea, Si-
cilia. Como teńıa conocimiento sobre los logros del matemático decide buscar la tumba
y restaurarla. Cuando encuentra la tumba Cicerón observa la inscripción relacionada
la esfera inscrita en el cilindro.
Datos biográficos. Arqúımedes era hijo de Phidas, quien era considerado un ma-
temático y astrónomo. Una vez terminada su educación en Silicia, viajó a Egipto para
estudiar en Alejandŕıa. Algunos historiadores creen que Arqúımedes estuvo relaciona-
do con la nobleza porque logró estudiar en Alejandŕıa. Incluso algunos argumentan que
tal vez estaba relacionado con el rey Hiéron II. Estudió con los sucesores de Euclides
y alĺı conoció a Conon de Samos y Eratóstenes.
A Conón de Samos, matemático de Alejandŕıa, lo respetaba mucho, tanto como
matemático que como amigo cercano. Se le conoce principalmente por haber dado
nombre a la constelación Coma Berenices. También lo respetaba como matemático.
Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra. También calculó la inclinación del
eje de la Tierra. A ellos les comunicaba sus trabajos antes de publicarlos. Incluso se
tiene registro que a Eratóstenes le comunicó el problema del ganado y el método.
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 39
Figura 1.29: De Bernardo Strozzi, Museo de bellas artes de Montreal.
En relación a su postura en la mecánica existen varias versiones si en realidad la
consideraba útil o no. Según Plutarco, Arqúımedes desdeñaba las aplicaciones y sólo
las consideraba como diversión. Esto tiene relación con una versión platónica donde no
se recomienda el uso de nociones mecánicas en la investigación geométrica. Plutarco
dice:
Teńıa por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica y el arte
aplicado. Solo le interesaba sobresalir en aquellas cosas bellas y excelentes,
sin mezcla de nada servil.
Sin embargo, existen otros historiadores argumentan que en realidad Arqúımedes
se diferenciaba del pensamiento platónico, por lo que si consideraba importante a la
aplicación de sus conocimientos.
Personalidad. Arqúımedes era diferente a Euclides y Apolonio porque no in-
tentaba generalizar y sistematizar los métodos que ya se usaban. Más bien, intentaba
encontrar algo nuevo que sumar al conocimiento. Por la misma razón, gran cantidad de
lo que se conoce sobre él son sus propias creaciones. Por ejemplo, mientras la mayoŕıa
intentaba cuadrar el ćırculo, él intentó cuadrar la parábola.
Se tiene evidencia de su personalidad porque cuando mandaba por cartas sus de-
mostraciones asociaba una introducción. Estas introducciones eran directas, simples
y se notaba su ausencia de egóısmo. Él no teńıa intensión de magnificar sus descu-
brimientos al compararse con otros o enfatizar los errores de los demás. Nunca se
avergonzó al decir que algunos problemas lo confundieron por mucho tiempo. Incluso
llegó a admitir que algunos problemas le tomaron años para resolverlos. En el prefacio
del libro En las espirales, insiste positivamente, en aras de señalar una moraleja, en
especificar dos proposiciones que hab́ıa enunciado y que luego se demostraron que eran
incorrectas.
Principio de Arqúımedes. Durante sus estudios en la hidrostática, Arqúımedes
descubre el siguiente fenómeno:
40 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido siente una fuerza
ascendente igual al peso de la cantidad de fluido desplazado por el objeto.
A esta fuerza se la denomina empuje hidrostático. Lo expresado anteriormente se
puede formular con la siguiente ecuación:
E = ρgV,
donde E es la fuerza de empuje, ρ es la densidad del medio, g es la aceleración de
la gravedad, y V es el volumen del fluido desplazado. Esta fuerza fue clave para el
experimento realizado por Millikan, quien determina la carga eléctrica del electrón.
Historia de la corona de Hierón. Al descubrimiento de esta fuerza se le anexa
una historia peculiar sobre Arqúımedes. Un d́ıa el rey Hierón llamó a Arqúımedes para
que investigara si un orfebre le hab́ıa engañado. El rey dijo que le hab́ıa dado al orfebre
la cantidad justa de oro para que armara una corona. Sin embargo, cuando la corona
estuvo lista, el rey sospechó que el orfebre le hab́ıa engañado quedándose con parte del
oro. Entonces, le pidió que resolviera el problema pero no pod́ıa hacer ningún daño
a la corona. Entonces, un d́ıa mientras se bañaba, Arqúımedes se dio cuenta que el
nivel del agua de la bañera sub́ıa y se desbordaba al sumergirse en ella. De repente,
comprendió que la cantidad de agua que se desplazaba depend́ıa de la cantidad de
cuerpo que sumerǵıa. Este descubrimiento le causó tal emoción que saltó de la bañera
y corrió desnudo por las calles, gritando “¡Eureka!” que significa lo encontré en griego
antiguo. Lo que encontró fue una forma de resolver el problema del rey, él necesitaba
calcular la densidad de la corona para ver si esta coincid́ıa con la densidad del oro. La
densidad es igual a la cantidad de masa divida para el volumen. El oro puro es más
denso que la plata, por lo que si la corona estuviera hecha de plata seŕıa menos densa
que una hecha de oro. Entonces, sumergió a la corona hecha por el orfebre en agua
y calculó la cantidad de agua que se desplazaba. El mismo procedimiento empleó con
la cantidad de oro que se le hab́ıa entregado al orfebre. Cuando Arqúımedes mostró
los resultados al rey ambos observaron que el orfebre les hab́ıa engañado. Hoy en d́ıa,
utilizando el método para medir el volumen según el desplazamiento del agua se le
denomina principio de Arqúımedes.
Siracusia. Existe otra historiarelacionada con el principio de Arqúımedes. En el
siglo III a. C., Hierón, rey de Siracusa, escogió a Arqúımedes para que supervisara
un proyecto de ingenieŕıa sin precedentes. Hierón queŕıa crear un barco 50 veces más
grande que un barco de guerra estándar y llamarlo Siracusia. En efecto, este pretend́ıa
ser el barco más grande jamás visto y se convertiŕıa en un regalo para el gobernador de
Egipto. Entonces Arqúımedes se preguntó si un barco del tamaño de un palacio podŕıa
flotar. Reflexionando mientras tomaba un baño logró resolver el problema. Concluyó
que un cuerpo parcialmente sumergido siente una fuerza de empuje equivalente al
peso del agua que logró desplazar. En efecto, para que Siracusa lograra flotar, el
peso del agua desplazada por la base teńıa que ser mayor al peso del bote. Una vez
implementada esta solución se logró mandar el barco a Egipto. Por otra parte, algunos
historiadores creen que ésta fue la verdadera historia detrás de la corona de Hieron.
Ley de las palancas. Arqúımedes conoćıa que, si se colocan dos pesos iguales,
una palanca se equilibrará si su punto de apoyo está localizado en la mitad de la
palanca. Comprendiendo el comportamiento de las palancas con mayor profundidad,
Arqúımedes dijo:
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 41
Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo.
Tornillo de Arqúımedes. Esta herramienta serv́ıa para ascender agua, harina,
cereales o material excavado. Tiene una forma helicoidal. Ciertos historiadores le atri-
buyen la creación de este invento a Arqúımedes, mientras que otros, alegan que es un
invento del Antiguo Egipto.
Figura 1.30: Fresco de Pompeya, del siglo I d. C., en el que se puede apreciar
el tornillo de Arqúımedes.
Aproximación de π. En Babilonia (2200 a. C.), se conoćıa que el valor de π se
aproximaba a 3. Esta precisión se encontraba en el Antiguo Testamento. Asimismo,
se identificaba a π como una razón entre el valor de la circunferencia y su diámetro.
Además, es importante señalar que los griegos no utilizaban el śımbolo π.
Arqúımedes utilizó el método exhaustivo para determinar el valor de π. Éste con-
siste en inscribir y circunscribir poĺıgonos alrededor de una circunferencia. Primero
aplicó este método para el hexágono al inscribirlo dentro de un ćırculo (ver Figura
1.31).
42 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Figura 1.31
Nótese que
P
D
=
6r
2r
= 3,
donde P es el peŕımetro del hexágono, D es el diámetro del ćırculo y r es el radio
del ćırculo. Dado que la circunferencia es mayor que el peŕımetro del hexágono, el valor
de π es mayor que la razón entre el peŕımetro del hexágono y el diámetro del ćırculo:
3 =
P
D
< π.
Posteriormente, circunscribió el hexágono alrededor de la circunferencia:
Figura 1.32
Para determinar el radio del ćırculo y el peŕımetro del hexágono, se tiene que
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 43
Figura 1.33
Al determinar h en términos de r, se tiene que
h =
√
3r
π =
P
D
<
6r√
3r
Con esta aproximación,
6r
2r
<
P
D
<
6r√
3r
,
6r
2r
< π <
6r√
3r
.
Es importante notar esta aproximación utilizó el valor del
√
3. Para la época estaba
vigente una discusión relacionada con los irracionales. Sin embargo, Arqúımedes si
contaba con una aproximación para esta ráız. Su aproximación es la siguiente:
265
153
<
√
3 <
1351
780
.
Arqúımedes repitió este procedimiento usando poĺıgonos con 28, 46 y 96 lados.
Concluyendo que el valor de π tendŕıa que estar entre:
3
1
7
<
√
3 < 3
10
71
.
Cuadratura del ćırculo. La cuadratura, en general, pretend́ıa ser un método
para hallar áreas de figuras curvas. Para los griegos, este método implicaba conseguir
esta área a través de poĺıgonos inscritos y circunscritos. A este método lo denominaron
el método de agotamiento. Por ende, la cuadratura del ćırculo consiste en hallar el área
de un cuadrado igual al área de un ćırculo. Éste es uno de los problemas que manteńıa
ocupados a los matemáticos de la antigua Grecia.
Cuadratura de la parábola. Arqúımedes declaró lo siguiente:
El área de un segmento de parábola es 4/3 de la del triángulo inscrito.
44 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
La Figura 1.34 es ilustrativa sobre este problema.
Figura 1.34: Cuadratura de la parábola.
Demostración.
Figura 1.35
A partir de la Figura 1.35, se observa que
Área4BMC = 1
4
Área4OBC,
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 45
Área4BAP = 1
4
Área4BOA.
Pero como se tiene que
Área4OBC = 1
2
Área4ABC,
Área4BOA = 1
2
Área4ABC,
ambas áreas se pueden expresar como
Área4BMC = 1
8
Área4ABC,
Área4OBC = 1
8
Área4ABC.
Al sumar ambas expresiones tenemos que
Área4OBC + Área4BOA = 1
4
Área4ABC.
Se repite este procedimiento con varios triángulos como muestra la Figura 1.36,
denominando como S al área del triángulo 4ABC.
Figura 1.36
Se obtiene lo siguiente
S +
S
4
+
S
16
+ · · ·+ S
4n
.
46 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
Esta seŕıa la siguiente serie geométrica:
S =
a
1− r ,
donde la razón seŕıa r = 1
4
y el término inicial a = 1. Esta serie geométrica converge
cuando n→∞ y |r| < 1.
S =
1
1− 1
4
,
∞∑
n=0
1
4n
S =
4
3
S.
Arqúımedes demostró este resultado de forma distinta porque él no conoćıa el
concepto de una serie. En esencia, utilizó la propiedad arquimediana y su razonamiento
por la doble reducción al absurdo. Supone dos posibles soluciones, donde T es el área
del segmento de parábola:
T >
4
3
S,
T <
4
3
S,
pero como se llega a una contradicción, se debe tener
T =
4
3
S.
Propiedad arquimediana.
∀x, y, x > 0, ∃n ∈ N/nx > y.
Cálculo. El método exhaustivo fue esencial para desarrollar el cálculo como lo
conocemos hoy en d́ıa. Este concepto acercó a los griegos al concepto de infinitamente
grande e infinitesimalmente pequeño. Este método es similar al encontrar rectángulos
que superponen la curva y rectángulos que limitan con la curva. Exist́ıan varias dispu-
tas entre matemáticos griegos sobre ese el concepto del infinito. Por lo que prefirieron
utilizar la terminoloǵıa de mayor que y menor que una magnitud.
Esfera y cilindro. Arqúımedes declaró lo siguiente:
El área del segmento parabólico es 4/3. Si tenemos una esfera inscrita
dentro de un cilindro, entonces el volumen y el área de la esfera inscrita
es 2/3 el volumen y área del cilindro.
PERÍODO HELENÍSTICO (323 A. C. - 146 A. C.) 47
Figura 1.37
Demostración. Sean AS y VS el área de la superficie y el volumen de una esfera de
radio r, respectivamente. De igual manera, sean AC y VC el área de la superficie y el
volumen de un cilindro de radio r y altura 2r, respectivamente. Entonces
AS = 4πr
2,
AC = 6πr
2
=⇒ AS
AC
=
2
3
.
Respecto a los volúmenes,
VS =
4
3
πr3,
VC = 2πr
3
=⇒ VS
Vc
=
2
3
.
Libros de Arqúımedes.
En el Equilibrio de los Planos.
Cuadratura de la Parábola.
Sobre la Esfera y el Cilindro.
Sobre las Espirales.
Los Conoides y los Esferoides.
Medida del Cı́rculo.
El Arenario.
Los Cuerpos Flotantes I y II.
48 CAPÍTULO 1. ANTIGUA GRECIA
El Método.
Contador de arena. Es una obra de Arqúımedes en la que el autor intenta es-
tablecer un ĺımite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar
el universo. Para hacer esto tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo
vigente en ese momento y, además, inventar una manera de expresar números muy
grandes.
Stomachion. Es el rompecabezas geométrico más antiguo que se conoce. Un pro-
blema de combinatoria geométrica. El objetivo es determinar de cuántas maneras
distintas se puede construir un cuadrado con las 14 piezas del juego. En el año 2003,
se calculó mediante el uso de una computadora que la respuesta es 17.152.
Espiral de Arqúımedes. Arqúımedes fue el primero que estudió las propieda-
des matemáticas de la espiral en su libro De las espirales. Se define como el lugar
geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira
sobre un