Errores_2024

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Aproximación y Error
MÉTODOS COMPUTACIONALES EN
INGENIERÍA I
Aproximación y Error
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional del Comahue
web page: http://pedco.uncoma.edu.ar/
FAIN-UNCOMA
MÉTODOS COMPUTACIONALES EN INGENIERÍA I
Aproximación y Error
Introducción
En la matemática tradicional se permite la existencia de
números con una cantidad infinita de cifras.
En el mundo de las computadoras, cada número
representable tiene sólo un número finito y fijo de cifras.
De esta manera se realiza una representación aproximada
del número.
Los errores de redondeo surgen al utilizar una
calculadora o computadora para trabajar con números que
sólo son representados con una cantidad finita de cifras al
igual que los cálculos que se realizan con los mismos.
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Aproximación y Error
Forma de punto flotante
Cualquier número positivo real se puede normalizar como
y = 0.d1d2 · · · dkdk+1dk+2 · · · × 10n
donde 1 ≤ d1 ≤ n y 0 ≤ di ≤ n para cada i = 1, · · · , k .
La forma de punto flotante fl(y) se obtiene de dos
maneras
Método de corte: consiste en cortar los dígitos
dk+1dk+2 · · · para obtener
fl(y) = 0.d1d2 · · · dk · · · × 10n
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Aproximación y Error
Forma de punto flotante
Método de redondeo: consiste en cortar los dígitos
dk+1dk+2 · · · redondeando a dk según el valor dk+1; si
dk+1 ≥ 5, sumamos 1 a dk para obtener fl(y)
(redondeamos hacia arriba) y si dk+1 < 5 se trunca todo
excepto los primeros k dígitos (redondeamos hacia abajo)
fl(y) = 0.δ1δ2 · · · δk · · · × 10n
Si el redondeo es hacia abajo, entonces δi = di para
i = 1,2, · · · , k , sin embargo si el redondeo es hacia arriba
los dígitos podrían cambiar.
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Aproximación y Error
Ejemplo
El número π tiene un desarrollo decimal infinito de la forma
π = 3.14159265 · · · . Escrito en forma decimal normalizada
se obtiene
π = 0.314159265 · · · × 101
La forma de punto flotante con corte a cinco cifras es
fl(π) = 0.31415 · · · × 101 = 3.1415
Como la sexta cifra de π es 9, con redondeo a cinco cifras
se obtiene
fl(π) = 0.31416
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Errores relativo y absoluto
El error que resulta al sustituir un número por su
representación de punto flotante se denomina error de
redondeo (independientemente si se obtuvo por corte o
redondeo).
Si p̃ es una aproximación de p, el error absoluto es
|p − p̃| y el error relativo es
|p − p̃|
|p|
siempre que p ̸= 0.
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Aproximación y Error
Ejemplo: Errores relativos y absolutos
Si p = 0.3000 × 101 y p∗ = 0.3100 × 101, el error absoluto
es 0.1 y el error relativo es 0.3333 × 10−1.
Si p = 0.3000 × 10−3 y p∗ = 0.3100 × 10−3, el error
absoluto es 0.1 × 10−4 y el error relativo es 0.3333 × 10−1.
Si p = 0.3000 × 104 y p∗ = 0.3100 × 104, el error absoluto
es 0.1 × 103 y el error relativo es 0.3333 × 10−1.
Como se obtuvo el mismo error relativo para diferentes
errores absolutos, el mismo puede llevar a confusiones. El
error relativo es más significativo ya que tiene en cuenta el
tamaño del valor que se mide.
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Operaciones de punto flotante
Suponga se tienen las representaciones de punto flotante fl(x)
y fl(y) para los números reales x e y luego
Suma: x + y = fl[fl(x) + fl(y)]
Resta: x − y = fl[fl(x)− fl(y)]
Producto: x × y = fl[fl(x)× fl(y)]
Cociente: x ÷ y = fl[fl(x)÷ fl(y)]
Se realiza la aritmética exacta con las representaciones de
punto flotante de x e y , para luego convertir el resultado exacto
en su representación de punto flotante nuevamente.
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Aproximación y Error
Ejemplo
Suponga que x = 57 e y =
1
3 . Utilizando corte de cinco dígitos de x e y
calcular x + y , x − y , x × y y x ÷ y
Como x = 0.7142857143 tenemos que fl(x) = 0.71428 × 100, en el
caso de y = 0.333333333 tenemos fl(y) = 0.33333 × 100
Luego,
x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y)) = fl(0.71428 × 100 + 0.33333 × 100)
= fl(1.04761 × 100) = 0.10476 × 101
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Aproximación y Error
Observaciones
Debe tenerse especial cuidado al restar dos números casi
iguales por la cancelación de cifras significativas.
Si en la representación de un número o cálculo con cifras
finitas se introduce un error, este aumentará al dividir entre
un número de magnitud pequeña o al multiplicar por uno
de magnitud grande.
La pérdida de precisión debida al error de redondeo en
ocasiones se puede evitar al reformular el problema.
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