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01 Aritmética Recreativa autor Yakov Perelman

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01. Aritmética Recreativa autor Yakov Perelmanpdf
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Aritmética Recreativa Yakov Perelman De la versión original rusa El libro de Y. I. Perelman "Aritmética Recreativa" tuvo, durante la vida del autor, siete ediciones que fueron revisadas una a una por él mismo. La última de ellas salió a la luz en Leningrado, en 1938. En los siguientes 16 años, el libro no se reimprimió, y fue hasta 1954 que la Editorial Estatal de Literatura Infantil realizó una octava edición abreviada. En esta novena edición, se reelaboraron los capítulos primero, segundo y noveno. Estos capítulos se complementaron con material nuevo: hablan con más detalle de los diversos sistemas de numeración, de cómo se calculaba en el ábaco chino, de los grandes números de nuestra realidad y especialmente de los gigantes numéricos del grandioso plan septenal de 1959-1965. Asimismo se habla de la denominación de los grandes números. 
		
Nota del traductor El presente libro es una versión española de la "Zanimatielnaia arifmétika" (Aritmética recreativa) que forma parte de la extensa obra (Matemáticas recreativas., Algebra recreativa, Mecánica para todos, Física recreativa, en 2 tomos, cuya próxima publicación en español correrá a cuenta de esta Editorial, etc.) del eminente investigador y pedagogo soviético, de la ciencia recreativa, Yakov Isidorovich Perelman. La presente obra posee un alto valor didáctico que puede ser aprovechado, tanto por el profesor de matemática elemental, como por el estudiante autodidacta que se interese por el origen y evolución histórica de los diversos sistemas de numeración; asimismo, es altamente provechoso el tratamiento referente a la manera de calcular de diversos pueblos de la Antigüedad. En cierta medida, el presente libro puede servir como estímulo para que el lector se interese por la técnica de cálculo basada en las máquinas electrónicas, en virtud que contiene un excelente capítulo referente a los sistemas no decimales de numeración, donde en forma especial se tratan dos sistemas: el de base dos (binario) y el de base cinco (quinario). El primero tiene una alta importancia en la codificación de la computación electrónica, Y el segundo muestra su importancia en la codificación de las comunicaciones telegráficas múltiples (sistema Baudot, etc.) Puede, además, en virtud del material que contiene acerca de las propiedades de ciertos números y de las pirámides numéricas, motivar el interés en el lector, por el estudio sistemático de la Aritmética, pues no debe olvidar que lo que en un principio es sólo curiosidad, posteriormente se puede llegar a transformar en un anhelo. Desde el punto de vista recreativo, el libro contiene bastante material para el desarrollo y realización de trucos, adivinanzas y charadas matemáticas, la mayor parte, de gran originalidad, que pueden servir para agudizar la percepción e inteligencia del joven estudiante y de los lectores en general. Posee, además, un gran valor "mnemotécnico", pues contiene una serie de procedimientos para la memorización de los números, sirviendo, al mismo tiempo, tanto al lector ordinario como al estudiante, de regla de cálculo "natural" debido a la formulación de reglas 
		
para la realización de operaciones con los números aproximados, lo que da por resultado un ahorro en el trabajo de cálculo, Contiene, también, material que permite valorizar en una forma clara y precisa, la magnitud, tanto de los gigantes numéricos, como de los enanos numéricos, en relación con fenómenos o hechos del dominio general. Resumiendo: creemos con firmeza que la presente obra con todo su contenido tan rico en cuestiones históricas, didácticas, metodológicas y recreativas de la Aritmética elemental, descubrirá ante el lector todo el mundo fantástico de los números, permitiéndole, después de su lectura, abordar tanto textos sistemáticos de Aritmética elemental, como libros que investiguen o expongan la historia de la matemática elemental. Y consideramos que después de la lectura de esta obra, el lector ordinario y el estudiante comprenderán y aceptarán el papel tan importante que juega la Aritmética, y, sin dudar un momento de que estamos en lo justo, la matemática en general, en la vida del hombre moderno. Finalmente, no dejamos de reconocer la gran complejidad del texto original ruso, en virtud de su amplio campo de cuestiones tratadas, y de que es posible que no hayamos superado, con éxito, todas las dificultades que originó su traducción; pero hacemos patente nuestro reconocimiento para todo el lector que con motivo de sus observaciones críticas, dirigidas a la dirección de esta Editorial, contribuya a elevar, tanto la calidad del contenido, como de la exposición y terminología de la presente traducción. 
		
Capítulo 1 Lo antiguo y lo nuevo sobre los números y las numeraciones Contenido: 1. Las numeraciones escritas más difundidas 2. Numeración antigua egipcia 3. Numeración antigua rusa 4. Numeración romana 5. Numeración antigua griega 6. Numeración eslava 7. Numeración babilónica 8. “Claves” secretas comerciales 9. Peones en lugar de números 10. La aritmética en el desayuno 11. Charadas aritméticas 12. Descubriendo un número de tres cifras 13. El sistema decimal de los anaqueles de libros 14. Los signos y denominaciones aritméticas en diversos pueblos 15. Curiosidades aritméticas 1. Las numeraciones escritas más difundidas Parto de la base que para ninguno de ustedes, lectores de este libro, constituye un gran esfuerzo escribir cualquier número entero; digamos que inferior a un millón. 
		
Para representar gráficamente los números, empleamos diez signos bien conocidos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, llamados; cifras. Ahora nadie duda que, con la ayuda de estos diez signos (cifras) podemos escribir un número, ya sea muy grande o muy pequeño, entero o fraccionario. Escribimos los números del cero al nueve, con la ayuda de una sola cifra para cada uno de ellos. Para escribir los números del diez al noventa y nueve, necesitamos de dos cifras para cada número, una de las cuales puede ser también el cero, y así sucesivamente. Como base de la numeración tomamos el número “diez”, por lo que nuestro sistema de numeración se llama decimal. Es decir, que diez unidades simples (unidades de primer orden) forman una decena (una unidad de segundo orden), diez decenas forman una centena (una unidad de tercer orden), diez centenas forman un millar (una unidad de cuarto orden) y, en general, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. Muchos pueblos emplean sistemas de numeración decimales. Esto se debe a que tenemos diez dedos en nuestras manos. Al escribir un número, anotamos en el primer lugar de derecha a izquierda, la cifra correspondiente a las unidades; a su izquierda, en segundo lugar, la cifra de las decenas; luego la de las centenas, después la de los millares, etc. Así, por ejemplo, al escribir 2716 indicamos que el número se compone de 2 millares, 7 centenas, 4 decenas y 6 unidades. Si un número carece de unidades de determinado orden, escribimos un cero en el lugar correspondiente a éstas. Así, el número que tiene tres millares y cinco unidades, se escribe. 3005. En este número no existen decenas ni centenas, es decir, que no tiene unidades de segundo ni tercer orden; por tal razón, escribimos ceros en el segundo y tercer lugar de derecha a izquierda. ¿Qué particularidad notable podemos encontrar en el sistema de numeración que siempre hemos usado? En el número 14742, empleamos, por ejemplo, dos veces la cifra 4: en el segundo y en el cuarto lugar de derecha a izquierda. En tanto que uno de ellos representa 4 decenas, el otro representa 4 millares. 
		
En consecuencia, resulta que una misma cifra puede denotar unidades, o decenas, o centenas, o millares, etc. De acuerdo con la posición que ocupa la cifra en el número. Debido a esto nuestro sistema de numeración se llama posicional. Volvamos al número
2746, del cual hablamos antes. En éste, la primera cifra de la derecha (el 6) representa 6 unidades, la segunda cifra de la derecha (el 4) representa 4 decenas, es decir, el número 40 = 4 x 10 la tercera cifra de la derecha (el 7) representa 7 centenas, es decir, el número 700 = 7 x 10 x 10 = 7 x 102 y finalmente, la cuarta cifra (el 2) representa 2 millares, es decir, el número 2000 = 2 x 10 x 10 x 10 = 2 x 103 Es decir, que el citado número se puede escribir así: 2746 = 2000 + 700 + 40 + 6 = 2 x 103 + 7 x 102 + 4 x 101 + 6 Cada grupo de tres cifras de un número forma una clase. Las clases se cuentan siempre de derecha a izquierda. La primera clase está conformada por las unidades, decenas y centenas; la segunda clase está conformada por los millares, las decenas de millar y las centenas de millar: la tercera clase está conformada por los millones, las decenas de millón y las centenas de millón, etc. Nos preguntamos ¿por qué se efectúan con los números las cuatro operaciones aritméticas: adición, substracción, multiplicación y división, tan rápida y fácilmente? Como es de suponer, esta es una consecuencia del citado principio posicional de la escritura de los números. 
		
En efecto, al efectuar cualquier operación aritmética con números, trabajamos con decenas, centenas, millares, etc., como si fueran unidades, y sólo tenemos en cuenta su orden, al obtener el resultado final. En síntesis, para escribir los números, empleamos el sistema posicional de numeración decimal. El famoso físico y matemático francés Laplace (siglos XVIII-XIX), escribió acerca del sistema: “La idea de representar todos los números con diez signos, asignándoles, además de un valor por su forma, otro por su posición, es tan sencilla, que en virtud de esta sencillez resulta difícil imaginar cuán admirable es esta idea”. Ahora casi toda la humanidad utiliza este sencillo sistema de numeración, cuyo principio de construcción y la escritura de las cifras, poseen idénticas propiedades en todo mundo. ¿Cómo surgió este extraordinario sistema posicional de numeración decimal? Pese a su sencillez, los hombres necesitaron varios miles de años para llegar a él. Podemos afirmar, sin caer en exageraciones, que todos los pueblos del mundo tomaron parte en la creación de dicho sistema. Inicialmente el sistema de numeración decimal de tipo posicional apareció en la India, y a mediados del siglo VIII, se encontraba bastante extendido su uso. Por esa misma época, llegó también a la China y a otros países de Oriente. Los europeos adoptaron este sistema hindú de numeración en el siglo XIII, debido a la influencia de los árabes. Precisamente surgió de aquí, la denominación históricamente incorrecta, de “numeración arábiga”. ¿Qué sistemas de numeración estaban en uso, antes del surgimiento del decimal posicional? El enorme interés que suscita esta pregunta, hace necesario un análisis detallado, que nos permitirá apreciar mejor las ventajas de nuestro sistema de numeración. 2. Numeración antigua egipcia Una de las más antiguas numeraciones es la egipcia. Data aproximadamente de hace 7000 años, es decir, de más de 3000 años antes de nuestra era. Durante los tres primeros milenios sufrió cambios insignificantes. Acerquémonos un poco a 
		
dicha numeración antigua, y fijemos nuestra atención en la forma en que se representaban los números en ella. En la numeración egipcia existían signos especiales (jeroglíficos) para los números: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón. Estos signos se muestran en la figura 1. Figura 1. Los antiguos egipcios empleaban signos especiales (jeroglíficos) para escribir los números. Para representar, por ejemplo, el número entero 23.145, era suficiente escribir en serie dos jeroglíficos de “diez mil” para las decenas de millar, luego tres jeroglíficos de “mil” para los millares, uno de “cien” para los centenas, cuatro de “diez” para las decenas y cinco jeroglíficos de “uno” para las unidades (ver. fig. 2). Figura 2. Escritura del número 23 145 en el sistema de numeración egipcio. Un número no podía tener un símbolo más de nueve veces. En el sistema egipcio de numeración, no existía símbolo alguno para representar el cero. Con este ejemplo se puede aprender a escribir los números tal y como los representaban los antiguos egipcios. El sistema de numeración egipcio es muy simple y primitivo. Es un sistema decimal puro, porque emplea el principio decimal del orden de las clases, para representar cada cifra. Se puede observar que cada símbolo solo representa un número. Así, por ejemplo, el símbolo para las decenas (ver fig. 1) solo denota diez unidades. Y no diez decenas o diez centenas, lo que pone en evidencia por qué el sistema de numeración egipcio no era posicional. 
		
3. Numeración antigua rusa Conforme al principio de la numeración egipcia antigua, se construyeron sistemas de numeración en otros pueblos, por ejemplo, el de la antigua Grecia, del que hablaremos detalladamente, más adelante. En la antigua Rusia, por ejemplo, existió un sistema popular de numeración ampliamente difundido, basado en el mismo principio del sistema egipcio, diferenciándose de éste, por la representación de los signos numéricos. Es interesante anotar, que esta numeración era de carácter legal en la antigua Rusia; precisamente los recaudadores de impuestos debían llevar los registros en el libro de contribuciones, acordes a este sistema, sólo que de manera más explícita. El recaudador, leemos en el antiguo “Código de las Leyes”, recibiendo de cualquiera de los arrendadores o propietarios el dinero aportado, deberá él mismo, o por medio de un escribiente, registrar en el libro de contribuciones frente al nombre del arrendador, la cantidad de dinero recaudado, anotando la suma recibida con cifras o signos. Para conocimiento de todos y de cada cual, estos signos se instituyen idénticos para todo lugar, a saber: diez rublos se denotan por el signo ( un rublo se denota por el signo O diez kopeks se denotan por el signo x un kopek se denota por el signo | un cuarto se denota por el signo - Por ejemplo, veintiocho rublos, cincuenta y siete kopeks y tres cuartos: ((OOOOOOOOxxxxx|||||||--- En otro lugar del mismo tomo del “Código de las Leyes”, nos volvemos a encontrar con una referencia al empleo obligatorio de las notaciones numéricas nacionales. Se dan signos especiales para los millares de rublos, en forma de una estrella de seis puntas con una cruz en su centro, y para las centenas, en forma de una rueda con ocho rayos. Pero se establece aquí una notación para rublos y decenas de kopeks, 
		
diferente a la señalada en la ley anterior. Veamos el texto de la ley acerca de los así llamados “signos tributarios”. Que en todo recibo entregado al Representante de la Alta Estirpe, además de la redacción con palabras, se escriban con signos especiales, los rublos y kopeks aportados, de tal manera que al realizar un simple cálculo de todos los números, pueda ser aseverada la veracidad de las declaraciones1. Los signos empleados en el recibo significan: una estrella mil rublos una rueda cien rublos . diez rublos X un rublo, |||||||||| diez kopeks | un kopek. Para que no pueda hacerse aquí ningún tipo de enmendaduras, todos los signos se rodean por medio de un trazo constituido por líneas rectas. Figura 3. Inscripción antigua en un recibo de pago de impuestos (“tributo”), que representa la suma 1232 rublos, 24 kopeks. 1 Esto muestra que los signos escritos tenían un amplio uso entre el pueblo. 
		
Así, por ejemplo, mil doscientos treinta y dos rublos; veinticuatro kopeks se representan de esta forma (Ver fig. 3). 4. Numeración romana De todas las numeraciones antiguas, la romana es, posiblemente la única que se ha conservado hasta hoy, y que es empleada con frecuencia. Las cifras romanas se utilizan hoy día para indicar los siglos, las numeraciones de los capítulos en los libros, etc. Para escribir números enteros en la numeración romana, es necesario recordar las representaciones de los siete números fundamentales: I V X L C
D M 1 5 10 50 100 500 1000 Con su ayuda, podemos escribir todo número entero menor que 4000, y algunas de las cifras (I, X, C, M) pueden repetirse consecutivamente hasta tres veces. En el sistema de numeración romana, se puede escribir una cifra menor a la derecha de una mayor; en este caso, la menor se adiciona a la mayor. Por ejemplo, el número 283 lo podernos escribir, en signos romanos, así: CCLXXXIII Que equivale a 200 + 50 + 30 + 3 = 283. Aquí, la cifra que representa las centenas aparece dos veces, y las que representan respectivamente a las decenas y a las unidades aparecen tres veces. También se puede escribir una cifra menor, a la izquierda de una mayor, caso en el cual se sustrae la menor de la mayor. En este caso no se admiten repeticiones de la cifra menor. A continuación se presentan algunos ejemplos que ayudan a aclarar completamente el método de escritura de los números romanos. Escribamos en romanos los números 94, 944, 1809, 1959: XCIV = 100 - 10 + 5 - 1 = 94 
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