EnfoqueIntegraldeunatransformacinproyectiva

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Enfoque Integral de una transformación proyectiva 
 
MSc. Jorge Monge Fallas 
Escuela de Matemática, 
Instituto Tecnológico de Costa Rica 
Cartago 
Costa Rica 
jomonge@itcr.ac.cr 
 
Dr. Franklin Hernández Castro 
Escuela de Diseño Industrial, 
Instituto Tecnológico de Costa Rica 
Cartago 
Costa Rica 
franklin@skizata.com 
 
Resumen 
El artículo presenta la solución a un problema relacionado a una transformación especial, esta transformación es llamada 
transformación proyectiva u Homografía, que permite establecer una correspondencia entre los puntos de una región 
cuadrangular y los de una región rectangular dada. Este tipo de transformaciones son usadas principalmente para el 
formateo y manipulación de imágenes digitales y proyecciones. 
Summary 
The article presents a solution to a problem related to a special transformation, this transformation is called projective 
transformation or homography, which allows a correspondence between the points of a quadrangular region and a given 
rectangular region. Such transformations are mainly used for formatting and manipulating digital images and projections. 
Palabras claves 
Transformación proyectiva, geometría proyectiva, homografía. 
Key Words 
Projective transformation, projective geometry, homography. 
1. Antecedentes 
La geometría proyectiva según García (2007) parte de 
los dos principios siguientes: 
! Dos puntos definen una recta 
! Todo par de rectas se cortan en un punto. En caso 
de que las rectas sean paralelas se dice que se 
cortan en un punto del infinito. 
Definición 1: Un plano proyectivo es un conjunto
de puntos y un conjunto de subconjuntos de , 
llamadas líneas que satisfacen: 
 
a. Existe una única línea que une dos puntos distintos 
b. Existe un único punto de intersección de dos líneas 
distintas 
c. Existen al menos tres puntos no colineales 
d. Existen al menos tres puntos sobre una línea 
En un plano proyectivo un conjunto de puntos 
 yy , con al menos no tres colineales, se llama 
un cuadrángulo. 
La geometría proyectiva estudia las propiedades del 
plano proyectivo
y
que son invariantes bajo un grupo 
de transformaciones conocidas como proyectividades u 
Homografías. 
 
Definición 2: Una homografía es una 
transformación biyectiva del espacio proyectivo que 
viene definida por 
 
de forma tal que una línea es transformada en una línea 
recta. 
La proyectividad está definida por con 
 donde es una matriz no singular con 
 y se dice que es la transformación lineal 
 de . 
 
Además están representadas en coordenadas 
homogéneas. Bajo estas condiciones un punto en un 
plano de tiene una correspondencia única en un 
punto de otro plano de . 
Coordenadas Homogéneas 
En geometría analítica euclidiana un punto 
está representado por un par de coordenadas , es 
decir, . En el caso de una línea recta en el plano 
 su ecuación está dada por: 
 
Esta ecuación puede ser representada por el vector 
al cual se le llama coordenadas 
230 
homogéneas de la recta 
Si se tienen los vectores y 
 con ambos representan la 
misma recta para todo pero es claro que . 
Los vectores se dice que son vectores 
homogéneos equivalentes. 
Basados en el trabajo de García (2007) gráficamente 
podemos establecer la relación entre coordenadas 
euclidianas y las coordenadas homogéneas. Un punto 
 en coordenadas euclidianas en un plano de 
 tiene una representación homogénea en como 
muestra la figura 
 
Figura 1: Coordenadas homogéneas 
 
 
 
Figura 2: Coordenadas homogéneas vs coordenadas 
euclidianas 
Las coordenadas homogéneas estarían dadas por el 
vector . De acuerdo con la Figura (2) se 
tiene que: 
 
en conclusión las ecuaciones que relacionan las 
coordenadas euclidianas y las coordenadas 
homogéneas son 
 
De acuerdo con estas ecuaciones, una forma simple de 
pasar a coordenadas homogéneas es hacer 
y obtener como representación . 
 
Por lo tanto para la ecuación de la recta 
 su ecuación a fin en coordenadas 
homogéneas está dada por 
 
Tenemos además que para cada existe 
un único pero para cada 
existen infinitos 
 
Es importante hace notar que : 
! El punto tiene coordenadas homogéneas 
 
! Ningún punto en tiene coordenadas 
homogéneas 
 
Teorema: Si las rectas y vienen dadas por los 
vectores y 
respectivamente. Entonces y se intersecan en el 
punto con 
 
Observación: Cuando se establecen las coordenadas 
homogéneas se especifica que , vamos a ver una 
interpretación planteada en Casse(2006) de la 
coordenada homogénea . 
Sean y con 
las ecuaciones de dos rectas paralelas. 
Escribiendo y multiplicando por se 
tiene 
 que corresponden a las ecuaciones homogéneas de y 
 respectivamente. Al resolver el sistema se obtiene el 
conjunto solución 
 
Entonces está definido para ser las 
coordenadas homogéneas del punto de intersección de 
estas dos rectas paralelas, este punto es llamado punto 
impropio o punto del infinito. 
 
 
 
 
 
.
231 
2. Definición del problema 
Como parte del proyecto SIIN2 se requiere una 
transformación que permita mapear los puntos de una 
región cuadrangular producto de la proyección sobre 
una superficie plana a una región rectangular. La idea 
es establecer una correspondencia entre la región 
proyectada y el cuadro de la cámara. 
El proyecto SIIN pretende que la computadora interprete 
algunos gestos que el usuario hace sobre una imagen 
proyectada, esto implica que la computadora debe “ver” 
una proyección a través de una cámara (tipo webcam) y 
a partir de esta imagen inferir alguna acción. Cuando se 
proyecta una imagen (o presentación) desde un 
proyector(figura 3) desde una mesa o desde el techo, la 
proyección se verá inevitablemente deformada en sus 
proporciones, en este caso la imagen original de forma 
rectangular se ve deformada en un trapecio con 
proporciones variadas. 
 
Figura 3: Situación problema 
 
Esta Figura(3) es la imagen que “verá” la cámara, que a 
su vez pasa a la computadora. Esta última en realidad 
solo le importa el rectángulo proyectado y, por supuesto, 
cualquier actividad (como la señalización de algún 
punto) al interior de esta proyección. Es decir se 
necesita en primera instancia la eliminación de todo el 
espacio alrededor de la proyección y luego la definición 
de las coordenadas reales dentro del rectángulo de 
algún punto que se esté señalando en la proyección 
Más formalmente el problema gráficamente se presenta 
como en la figura siguiente: 
 
2 SIIN, sistema de Interfaces Intangibles es un proyecto 
desarrollado en el Instituto Tecnológico de Costa Rica, que 
tiene como objetivo desarrollar interfaces para comunicarse 
con la computadora sin que intervengan objetos tangibles. 
 
Figura 4: Transformación proyectiva 
 
Es tipo de transformación es conocida como una 
transformación proyectiva la cual se caracteriza porque 
en ella no se conserva la distancia entre puntos, ni las 
proporciones, ni los ángulos, ni el paralelismo; lo único 
que conserva es la colinealidad. 
 
3. Desarrollo del problema 
 
Homografía H 
En dos dimensiones la homografía es una matriz 
que mapea puntos homogéneos como lo señalan Kumar 
& Jawahar(2006) y Harker & O´Leary(2005). Lo primero 
es definir como un punto observado en la 
pantalla de la cámara y un punto sobre la 
superficie de proyección. Definiendo en forma 
simple en coordenadas homogéneas por 
 y . La transformación 
que mapea en el frame del proyector a algún punto 
 desconocido sobre la pantalla en el cuadro de la 
cámara puede ser expresado por la homografía tal 
que 
 
si se define la matriz como 
 
 
el sistema (1) puede expresarse de la forma 
 
simplificando el sistema, tenemos que 
 
232 
 
despejando se concluye que 
 
 
 
reescribiendo las ecuaciones (2) y (3) se tiene que 
 
 
planteamos (4) y (5) en forma matricial 
 
si definimos como la matriz 
 
y como lamatriz columna 
 
entonces (6) puede expresarse como el sistema 
homogénea 
 
esto quiere decir que pertenece al núcleo de o al 
espacio nulo de 
q
. 
 
Tenemos que cada correspondencia de puntos fija dos 
restricciones sobre la matriz . Por otro lado la matriz 
 tiene nueve parámetros pero está definida salvo un 
factor de escala, por lo que la matriz sólo tiene ocho 
parámetros independientes. En conclusión se puede 
establecer que cuatro correspondencias de puntos son 
suficientes para calcular la matriz . Esto es válido 
siempre y cuando no hayan tres puntos colineales. 
 
El rango de la matriz es ocho, esto quiere decir que 
como se tiene que 
 
por lo que el espacio nulo o espacio solución de 
 tiene dimensión 1. 
Este vector sólo puede ser determinado salvo escala. 
Una forma de fijar una escala para los cálculos sobre 
es establecer la restricción . Dado que existes 
soluciones distintas a la trivial para la meta es 
determinar el vector unitario que minimice . 
 
Un resultado importante para alcanzar nuestro objetivo 
es planteado en Strang(1988) el cual se plantean 
algunas propiedades de la matriz donde es 
una matriz de orden , citamos algunas de ellas: 
! es cuadrada 
! es simétrica 
! Todos los Eigen valores de son números 
reales positivos 
! Eigen-vectores de Eigen-espacios diferentes de 
 son ortogonales 
! tiene el mismo espacio nulo de 
 
Nos interesa el último resultado, para ello consideremos 
que está en el espacio nulo de , entonces 
 
por lo que se concluye que está en el espacio nulo de 
. 
Ahora consideremos que está en el espacio nulo de 
, entonces 
 
 
por lo que se concluye que está en el espacio nulo de
. 
233 
A partir de este último resultado se tiene que nuestro 
sistema tiene el mismo conjunto solución que el 
sistema por lo que el problema de minimizar 
 es equivalente a minimizar y como 
dado que ,el 
problema se resume al determinar el Eigen-vector 
asociado al Eigen-valor más pequeño de la matriz . 
Sean , , y
 los cuatro puntos que representan los 
vértices del cuadrángulo y , 
, y los cuatro puntos del 
rectángulo deseado. De acuerdo con (7), la matriz
queda definida por: 
 
Ahora para resolver nuestro problema necesitamos un 
método que nos permita determinar los Eigen-vectores y 
los Eigen-valores asociados a la matriz y 
posteriormente determinar el Eigen-vector asociado al 
Eigen-valor más pequeño. 
 
En Mathews y Fink(2003) se presenta el método de 
Jacobi para estimar Eigen-valor y Eigen-vectores, este 
es un algoritmo que permite determinar todas las 
parejas de Eigen-vector-Eigen-valor de una matriz 
simétrica con valores reales. 
Este algoritmo nos permite obtener respuestas 
uniformemente precisas y es bastante eficiente para 
matrices de tamaño menor o igual a 10. En este caso se 
ajusta a nuestro problema, dado que la matriz es 
de tamaño 9. 
4. Resultados y conclusiones 
 
Dentro de las conclusiones más importantes obtenidas 
está la solución al problema de la transformación 
planteada, la cual es llamada una Homagrafía y 
corresponde a una trasformación proyectiva. 
 
La homografía es obtenida a partir de un proceso 
numérico de estimación de los Eigen-valor y Eigen-
vector de la matriz . 
 
El algoritmos de Jacobi fue programado en un lenguaje 
de programación libre llamado Processing3 con 
resultados aceptables. 
 
Como resultado de este tipo de transformación 
proyectiva presentamos los siguientes pares de 
imágenes, correspondiente a una imagen cuadrangular 
y su respectiva transformación obtenida al aplicar la 
homografía calculada en cada caso. 
 
 
 
 
3http://processing.org/ 
 
 
 234 
 
figura 5: Aplicación de la homografía a varias imágenes 
de entrada 
 
 
En cada caso la entrada inicial a nuestro algoritmo 
serían las coordenadas de los cuatro puntos de las 
esquinas de la imagen izquierda, en este caso se 
introducen en sentido horario. La salida será una 
imagen rectangular de 640 x 480 pixeles. 
 
5. Bibliografía 
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