7 Razón de cambio relacionadas

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Ejercicios 
Propuestos
CONTENIDOS
Recomendaciones para resolver problemas de razones de 
cambio relacionadas
Lea varias veces con cuidado el problema. Si le es posible, trace un esquema.
Escriba todas las razones que se proporcionan. Use notación de derivadas
para escribir la razón que desea encontrar.
Diferencie con respecto al tiempo t la ecuación o la función encontrada en el
cuarto paso. Este paso puede requerir el uso de diferenciación implícita. La
ecuación resultante después de la diferenciación relaciona las razones de
cambio con el tiempo de la variable
Identifique con símbolos todas las cantidades que cambian con el tiempo.
1
2
3
4
5
Escriba una ecuación o una función que relacione todas las variables que haya
introducido.
Ejemplo 1
Una escalera de 25 metros de longitud esta recargada sobre una pared de un edificio. La base del
edificio se resbala alejándose de la pared a razón de 2 m/s. ¿Qué tan rápido cae la punta de la
escalera que está sobre la pared cuando la base está a 7 metros del edificio? (Aplique derivada implícita).
Solución :
25 m
7 m dx
2 m / s
dt
=
2522 =+ yx
7=x 24=y
sm
dt
dx
/ 2= ??=
dt
dy
022 =+
dt
dy
y
dt
dy
x
dt
dx
y
x
dx
dy

−
=
sm
dx
dy
/ 58,0
24
14
2
24
7
−=−=
−
=
Sabemos que en el triángulo rectángulo se cumple que: 
De donde para: Se tiene que:
Dato: nos piden hallar:
Derivamos la función implícitamente con respecto al tiempo:
Despejando lo pedido se tiene:
Reemplazando los datos:
dy
??? 
dt
=
Ejemplo 2
A tanque de forma de cono invertido ingresa agua a una razón de 2m3/min. Si la altura del tanque es
de 4 metros y el radio de su abertura circular es de 2 metros, ¿Calcula la velocidad con que sube el
nivel del agua cuando la profundidad 2 metros?
Solución :
Datos: Radio = 2 m ; Altura = 4
El agua ingresa a razón de 2 m3/min:
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 2 … (i)
Hallaremos la velocidad con que sube el nivel del agua cuando ésta a 2m:
Sabemos que el volumen del cono es: 𝑉 =
1
3
𝜋𝑅2ℎ
… (ii)
Por semejanza de triángulos se tiene:
ℎ
𝑟
=
4
2
⟹ 𝑟 =
ℎ
2
… (iii)
ቤ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
ℎ=2
=? ?
Ejemplo 2
A tanque de forma de cono invertido ingresa agua a una razón de 2m3/min. Si la altura del tanque es
de 4 metros y el radio de su abertura circular es de 2 metros, ¿Calcula la velocidad con que sube el
nivel del agua cuando la profundidad 2 metros?
Solución :
Derivando (iv) implícitamente con respecto a t:
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
1
4
𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
… (v)
Reemplazando (i) en la ecuación (v): 2 =
1
4
𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Despejamos la rapidez de la altura:
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
8
𝜋ℎ2
Finalmente calculamos lo pedido: ቚ
𝑑ℎ
𝑑𝑡 ℎ=2
=
8
𝜋(2)2
≈ 0,63662 𝑚/
𝑚𝑖𝑛
Rpta: La rapidez con que sube el nivel del líquido cuando la profundidad del agua es de 2
metros es de aproximadamente 63,66 cm/min.