topografia

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Generalidades
Definición e importancia de la Topografía.
La topografía es una ciencia aplicada que se encarga de estudiar las posiciones de un terreno o lugar de la tierra en forma relativa o absoluta. Esta ciencia estudia los métodos y procedimientos para realizar mediciones sobre terrenos relativamente pequeños y plasmarlos en forma gráfica y a escala en un plano, con todas las características necesarias para proyectar obras de arquitectura y de ingeniería civil. Aprender topografía es de suma importancia para todas las personas que requieran realizar estudios de ingeniería civil, arquitectura, o cualquier carrera de ingeniería que sea afín a las obras de construcción
Tipos de Levantamientos.
Estos pueden ser Topográficos o Geodésicos. Topográficos: Son aquellos que por abarcar superficies reducidas pueden hacerse despreciando la curvatura de la tierra, sin error apreciable. Geodésicos: Son levantamientos en grandes extensiones que hacen necesario considerar la curvatura de la tierra. Los levantamientos topográficos son los más comunes y los que más nos interesan en este curso. Los geodésicos son motivo de estudio especial al cual se dedica la Geodesia. Dentro de los levantamientos Topográficos se encuentran: Levantamientos de terrenos en general: Tienen por objeto marcar linderos o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores, o proyectar obras y construcciones. Topografía de vías de comunicación: Es la que sirve para estudiar y construir caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
Topografía de Minas: Tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. Levantamientos Catastrales: Son los que se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijar linderos o estudiar las obras urbanas. Levantamientos Aéreos: Son los que se hacen por medio de la fotografía, generalmente desde aviones, y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las otras clases de levantamientos. La Fotogrametría se dedica especialmente al estudio de estos trabajos.
Aplicación de la topografía.
 La teoría de la Topografía se basa esencialmente en la Geometría Plana, Geometría del espacio, Trigonometría y Matemáticas en general. Además del conocimiento de estas materias, se hacen necesarias algunas cualidades personales, como por ejemplo: Iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en sí mismo y buen criterio general. Precisión: Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo de ellos; por lo tanto ninguna medida en topografía es exacta, y es por eso que la naturaleza y magnitud de los errores deben se comprendidas para obtener buenos resultados. Comprobaciones: Siempre en todo trabajo de Topografía, se debe buscar la manera de comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión obtenida. Notas de campo: Es la parte más importante del trabajo de campo en Topografía. Las notas de campo deben tomarse siempre en libretas especiales de registro, y con toda claridad para evitar el tener que pasarlas posteriormente, es decir, se toman en limpio, y consecuentemente no se pasan en limpio.
 
Deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar confusiones o malas interpretaciones, ya que es muy común que los cálculos o dibujos los hagan personas diferentes a las encargadas del trabajo de campo.
Poligonal y tipos de poligonales.
La poligonal es una figura geométrica que contiene como elementos ángulos y distancias. Una poligonal puede ser cerrada o abierta, estas pueden contener lados rectos y curvos. Poligonales cerradas. En topografía las poligonales cerradas se utilizan para determinar límites de terrenos de propiedad, que plasmados en un plano llevarán todos los datos necesarios para su identificación y de esa manera poder realizar cualquier tipo de proyecto y construcción. La figura 
 Muestra un ejemplo de una poligonal cerrada, que para efectos de convertirse en un levantamiento, deberá llevar datos adjuntos, tales como: ángulos interiores o exteriores, rumbos magnéticos o astronómicos, distancias de los lados, coordenadas, superficie, ubicación y localización, etc. 
Errores.
Orígenes de los errores: Pueden ser instrumentales, personales y/o naturales. Los errores se dividen en dos clases: Sistemáticos y accidentales. Sistemáticos: Son los que, para condiciones de trabajo fijas en el campo, son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, por ejemplo: en medidas de ángulos, aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en los tránsitos; en medidas de distancias y desniveles, cintas o estadales mal graduados, catenaria, cinta inclinada, mala alineación, error por temperatura, etc.. Accidentales: Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o en otro, y por tanto es igualmente probable que tengan signo positivo o negativo. 
Ejemplo: en medidas de ángulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la señal; en medidas de distancias, colocación de marcas en el terreno, variaciones en la tensión de la cinta, apreciación de fracciones, etc. Muchos de estos errores se eliminan porque se compensa. 
El valor más probable de una cantidad medida varias veces, es el promedio de las medidas tomadas, o media aritmética. Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Medidas de distancias.
 Las medidas de distancias pueden hacerse: - Directas (con cinta). - Indirecta (con Telémetros). Medidas directas. Logómetros (cintas de acero, cintas de lienzo, cintas de fibra de vidrio, cadenas). Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos, siempre son horizontales.
Planimetría
Levantamientos con cinta, medida de ángulos.
En todo trabajo de levantamiento lo primero que debe hacerse es un reconocimiento de la zona donde se trabajará, para definir vértices del polígono, visibilidad, aparatos e instrumentos necesarios, personal, tiempo, etc. Es conveniente comentar que para los levantamientos con el uso exclusivo de la cinta, se debe adquirir cierta habilidad del topógrafo, además de considerar que estos levantamientos no son de gran precisión, por lo tanto, solo deben de tomarse en cuenta solo para trabajos preliminares y de reconocimiento. Entre los métodos de levantamientos de terrenos con cinta, se encuentran los siguientes: base triangulado (triangulaciones), lado de liga, coordenadas, radiaciones, entre otros.
Concepto de azimut, rumbo y declinación magnética.
Direcciones de las líneas y ángulos horizontales. La dirección de una línea se puede definir por el Rumbo o por su Azimut. Ambos pueden ser magnéticos o astronómicos. Los datos astronómicos se consideran invariables, y también se les llama verdaderos.
Rumbo: es el ángulo que forma una línea con el eje Norte-Sur, contado de cero a 90°, a partir del Norte o a partir del sur, hacia el Este o hacia el Oeste. Azimut es el ángulo que forma una línea con la dirección Norte-sur, medido de 0º a 360º a partir del norte, en el sentido del movimiento del reloj. Únicamente en el primer cuadrante coinciden el Rumbo y el Azimut en valor numérico.
Declinación Magnética es el ángulo formado entre la dirección Norte- Astronómica y la Norte-Magnética. Cada lugar de la Tierra tiene una Declinación que puede ser hacia el Este o hacia el Oeste, según se desvía la punta norte de la aguja magnética. El meridiano de un lugar de la Tierra sigue la dirección Norte-Sur Astronómica. La declinación magnética en un lugar puede obtenerse determinando la dirección astronómica y la magnética de una línea; también se puede obtener de tablas de posiciones geográficas que dan la declinación de diversos lugares y poblaciones, o mediante planos de curvas isogónicas. La declinación sufre variaciones que se clasifican en: seculares, anuales,diurnas e irregulares. Las tres primeras son variaciones que sufre con el tiempo, y por eso es importante cuando se usa orientación magnética, anotar la fecha y la hora en que se hizo la orientación. Las variaciones irregulares no se pueden determinar, pues se deben a atracciones locales o tormentas magnéticas y pueden ser variaciones muy grandes.
BRÚJULA. Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripié, o en un bastón, o en una vara cualquiera. Las letras E y W de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. Las pínulas sirven para dirigir la visual, a la cual se va a medir el Rumbo. Para leer el rumbo directo de una línea se dirige el Norte de la caja al otro extremo de la línea, y se lee el rumbo con la punta norte de la caja.
Descripción del teodolito mecánico, electrónico y estación total.
Teodolito mecánico
 El teodolito, es el aparato universal para la Topografía, debido a la gran variedad de usos que se le dan. Puede usarse para medir y trazar ángulos horizontales y direcciones, ángulos verticales, y diferencias en elevación; para la prolongación de líneas; y para determinación de distancias. Aunque debido a la variedad de fabricantes de teodolitos, éstos difieren algo en cuanto a sus detalles de construcción, en lo que respecta a sus características, esencialmente son sumamente parecidos. Es un instrumento de medición mecánico-óptico universal, que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles. Es portátil y manual, está hecho con fines topográficos e ingenieriles, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede medir distancias. Básicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con ayuda de lentes. 
Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores, reiteradores y teodolitos-brújula. Los teodolitos repetidores han sido fabricados para la acumulación de medidas sucesivas de un mismo ángulo horizontal en el limbo, pudiendo así dividir el ángulo acumulado y el número de mediciones. Los teodolitos reiteradores llamados también direccionales tienen la particularidad de poseer un limbo fijo y solo se puede mover la alidada. Los teodolitos-brújula, como dice su nombre, tiene incorporada una brújula de características especiales. La brújula es imantada en la misma dirección al círculo horizontal. La graduación es de 0-180° con gran precisión. El teodolito tiene tres ejes principales y dos secundarios. Ejes principales. -Eje vertical de rotación instrumental S-S (EVRI). -Eje horizontal de rotación del anteojo K-K (EHRA). -Eje óptico Z-Z (EO). El eje vertical de rotación instrumental es el eje que sigue la trayectoria del cenit-nadir, también conocido como la línea de la plomada, y que marca la vertical del lugar. El eje óptico es el eje donde se enfoca a los puntos. El eje principal es el eje donde se miden ángulos horizontales. El eje que sigue la trayectoria de la línea visual debe ser perpendicular al eje secundario y este debe ser perpendicular al eje vertical. Los discos son fijos y la aliada es la parte móvil. El eclímetro también es el disco vertical. El eje horizontal de rotación del anteojo o eje de muñones es el eje secundario del teodolito, en él se mueve el visor. En el eje de muñones hay que medir cuando utilizamos métodos directos, como una cinta de medir, y así obtenemos la distancia geométrica elevada y si medimos directamente al suelo obtendremos la distancia geométrica semielevada; las dos se miden a partir del eje de muñones del teodolito.
El plano de colimación es un plano vertical que pasa por el eje de colimación que está en el centro del visor del aparato; se genera al girar el objetivo.
Partes principales. 
-Niveles: El nivel es un pequeño tubo cerrado que contiene una mezcla de alcohol y éter, una burbuja de aire; la tangente de la burbuja de aire será un plano horizontal. Se puede trabajar con los niveles descorregidos.
-Precisión: Depende del tipo de teodolito que se utilice. Existen desde los antiguos que varían entre el minuto y medio minuto, los modernos que tienen una precisión de entre 10˝, 6˝, 1˝ y hasta 0.1˝ 
. -Nivel esférico: Caja cilíndrica tapada por un casquete esférico. Cuanto menor sea el radio de curvatura serán menos sensibles; sirven para obtener de forma rápida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un círculo, hay que colocar la burbuja adentro del círculo para hallar un plano horizontal bastante aproximado. Tienen menor precisión que los niveles tóricos, su precisión está en 1´ como máximo aunque lo normal es de 10´ o 12´. 
-Nivel tórico: Si está descorregido nos impide medir. Hay que calarlo con los tornillos que lleva el aparato. Para corregir el nivel hay que bajarle un ángulo determinado y después estando en el plano horizontal con los tornillos se nivela el ángulo que hemos determinado. Se puede trabajar descorregido, pero hay que cambiar la constante que da el fabricante. Para trabajar descorregido necesitamos un plano paralelo. Para medir hacia el norte geográfico (se miden azimuts, si no se tienen orientaciones) utilizando el movimiento general y el movimiento particular. Sirven para orientar el aparato y si se conoce el acimutal se sabrán las direcciones medidas respecto al norte. 
-Plomada: Se utiliza para que el teodolito esté en la misma vertical que el punto del suelo. 
-Plomada de gravedad: Bastante incomodidad en su manejo, se hace poco precisa sobre todo los días de viento. Era el método utilizado antes de aparecer la plomada óptica. 
-Plomada óptica: Es la que llevan hoy en día los teodolitos, por el ocular se ve el suelo, y así se pone el aparato en la misma vertical que el punto buscado.
-Limbos: Discos graduados que permiten determinar ángulos. Están divididos de de 0 a 360 grados sexagesimales, o de 0 a 400 grados centesimales. En los limbos verticales se pueden ver diversas graduaciones (limbos cenitales). Los limbos son discos graduados, tanto verticales como horizontales. Los teodolitos miden en graduación normal (sentido dextrógiro) o graduación anormal (sentido levógiro o contrario a las agujas del reloj). Se miden ángulos cenitales (distancia cenital), ángulos de pendiente (altura de horizonte) y ángulos nadirales. 
-Nonius: Mecanismo que nos permite aumentar o disminuir la precisión de un limbo. Se dividen las "n" divisiones del limbo entre las "n" divisiones del nonio. La sensibilidad del nonio es la diferencia entre la magnitud del limbo y la magnitud del nonio. 
Micrómetro: Mecanismo óptico que permite hacer la función de los nonios pero de forma que se ve una serie de graduaciones y un rayo óptico mediante mecanismos, esto aumenta la precisión. 
Partes accesorias. 
-Trípodes: Se utilizan para trabajar mejor, tienen la misma X y Y pero diferente Z ya que tiene una altura; el más utilizado es el de meseta. Hay unos elementos de unión para fijar el trípode al aparato.
 Los tornillos nivelantes mueven la plataforma del trípode; la plataforma nivelante tiene tres tornillos para conseguir que el eje vertical sea vertical. 
-Tornillo de presión (movimiento general): Tornillo marcado en amarillo, se fija el movimiento particular, que es el de los índices, y se desplaza el disco negro solidario con el aparato. Se busca el punto y se fija el tornillo de presión. Este tornillo actúa en forma radial, o sea hacia el eje principal.
 -Tornillo de coincidencias (movimiento particular o lento): Si hay que visar un punto lejano, con el punto no se puede, para centrar el punto se utiliza el tornillo de coincidencia.Con este movimiento se hace coincidir la línea vertical de la cruz filar con la vertical deseada, y este actúa en forma tangencial. Los otros dos tornillos mueven el índice y así se pueden mover ángulos o lecturas acimutales con esa orientación. 
Movimientosdel teodolito. Este instrumento, previamente instalado sobre el trípode en un punto del terreno que se denomina estación, realiza los movimientos sobre los ejes principales. 
Movimiento de la alidada: Este movimiento se realiza sobre el eje vertical (S-S), también presente en los instrumentos de todas las generaciones de teodolito. Permite al operador girar el anteojo horizontalmente, en un rango de 360°. 
Movimiento del anteojo: Este movimiento se realiza sobre el eje horizontal (K-K) y permite al operador girar desde el punto de apoyo hasta el cenit, aunque estos casos son muy raros ya que mayormente se abarca un rango promedio de 90°. 
Características constructivas fundamentales. 
Para realizar un buen levantamiento topográfico se deben considerar las siguientes condiciones: 
-Cuando el teodolito se encuentre perfectamente instalado en una estación, el eje vertical (o eje principal S-S) queda perfectamente vertical.
 -El eje de colimación (Z-Z) debe ser perpendicular al eje horizontal (K-K). -El eje horizontal (K-K) debe ser perpendicular al eje vertical (S-S).
 Teodolito electrónico. Es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para hacer las lecturas del círculo horizontal y vertical, desplegando los ángulos en una pantalla eliminando errores de apreciación, es más simple en su uso, y por requerir menos piezas es más simple en su fabricación y en algunos casos su calibración. Las principales características que se deben observar para comparar estos equipos hay que tener en cuenta la precisión, el número de aumentos en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrónico.
Estación total. Se denomina estación total a un aparato electro-óptico utilizado en topografía, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica. Consiste en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico. 
 Algunas de las características que incorpora,, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos, iluminación independiente de la luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla posteriormente en ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo, replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias. 
Funcionamiento. Vista como un teodolito, una estación total se compone de las mismas partes y funciones. El estacionamiento y verticalización son idénticos, aunque para la estación total se cuenta con niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y sus errores asociados también están presentes, el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su influencia sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación del eje secundario, con el mismo comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser corregido por software, mientras que en el segundo la corrección debe realizarse por métodos mecánicos.
El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancias se realizan mediante una onda electromagnética portadora con distintas frecuencias que rebota en un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el instrumento el desfase entre las ondas. Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local o arbitrario, como también a sistemas definidos y materializados.
Pantalla. La pantalla utiliza una matriz de puntos LCD con 4 líneas y 20 caracteres por línea. En general, las tres líneas superiores muestran los datos medidos y la última línea muestra la función de cada tecla que varía según el modo de medición.
Contraste e iluminación. El contraste e iluminación de la pantalla puede ser ajustado. Ver “MODO SPCIAL” (Modo Menú)”, o en el
"Modo de Tecla estrella”.
El calentador (Automático). El calentador automático incorporado funciona cuando la temperatura está abajo del 0°C. Esto incide en la velocidad del despliegue a temperaturas bajo 0°C. Para poner ON/OFF el calentador, vea sección
“El Calentador ON / OFF”
. El tiempo de operación se reduce si el calentador se usa.
Métodos de levantamiento.
Para representar gráficamente los terrenos que levantamos es necesario el apoyo de figuras geométricas, puntos, líneas rectas, curvas, coordenadas, etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales abiertas o cerradas, desde las cuales recopilar las mediciones lineales y angulares que nos permitan representar gráficamente la porción de terreno con todos sus detalles. 
- Ángulos Interiores.- Consiste en medir todos los ángulos interiores del polígono. Es especialmente adecuado para polígonos cerrados. Tiene la ventaja de permitir que los ángulos se midan por repeticiones o reiteraciones, lo cual no ocurre con los otros métodos.
 Condición angular: Suma de ángulos interiores = 180º (n-2). 
- Deflexiones.- Consiste en medir el ángulo de deflexión en cada vértice. Deflexión es el ángulo que forma en un vértice la prolongación del lado anterior con el lado siguiente. 
Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polígono; habrá deflexiones derechas e izquierdas. Este sistema es especialmente adecuado para polígonos abiertos como los que se emplean en vías de comunicación. 
En cada vértice se ve el punto de atrás, se da vuelta de campana y se gira la deflexión para ver el punto adelante. 
Condición angular: La suma de deflexiones de un polígono cerrado es igual a 360º, considerando signos contrarios para deflexiones derechas e izquierdas. En polígonos abiertos, el control angular solo puede hacerse comprobando las direcciones de los lados, mediante rumbos astronómicos, cada cierto número de lados.
- Conservación de Acimuts.- Este método se emplea para cualquier clase de polígonos. Con el aparato en posición directa, se orienta el aparato en el primer vértice (magnéticamente o astronómicamente), para medir con un vernier el azimut del primer lado, después conservando en el vernier esta lectura, se traslada el aparato al punto siguiente, y al ver el de atrás en posición inversa, queda el anteojo sobre la línea cuyo Azimut se tiene marcado. Se vuelve el anteojo en posición directa, y así se logra que el aparato quede en una posición paralela a la que tuvo en el punto de atrás, o sea que el cero queda otra vez orientado al Norte; y dejando ahí fija la graduación (movimiento general apretado), se afloja el tornillo del movimiento particular y puede medirse el Azimut de la siguiente línea, con el vernier. Así se continúa el procedimiento recorriendo ordenadamente los vértices. Trazo y prolongación de alineamientos con teodolito.- Con vuelta de campana, alternando posiciones para vista atrás y adelante con objeto de no hacer acumulativo cualquier error de la línea de colimación que no se haya apreciado al ajustar el aparato
Agrimensura.
La agrimensura fue considerada antiguamente la rama de la topografía destinada a la delimitación de superficies, la medición de áreas y la rectificación de límites. En la actualidad la comunidad científica internacional reconoce que es una disciplina autónoma, con estatuto propio y lenguaje específico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizándose en la fijación de toda clase de límites. De este modo produce documentos cartográficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas dando publicidad a los límites de la propiedad o gubernamentales. Con el fin de cumplir su objetivo, la agrimensura se nutre de la topografía, geometría, ingeniería, trigonometría, matemáticas, física, derecho, geomorfología, edafología, arquitectura, historia, computación, teledetección.
Métodos para el cálculo de superficies.
Métodos analíticos para el cálculo de superficies: 
-Dobles Distancias Meridianas o Longitudes (D.D.M.).-Dobles Distancias Paralelas o Latitudes (D.D.P.) 
-Coordenadas. Para el cálculo de superficies por los métodos antes descritos, se requieren como datos los rumbos calculados y las distancias de los lados de una poligonal cerrada. Pasos a seguir para el cálculo de superficies:
1.- Cálculo de Latitudes y Longitudes. Con el rumbo y la distancia de cada lado, se calculan las proyecciones al norte-sur (latitudes) y este-oeste (longitudes). Las latitudes son el resultado de multiplicar el coseno del rumbo por la distancia; y las longitudes son el resultado de multiplicar el seno del rumbo por la distancia.
2.- Cálculo del error de Latitud y el error de longitud y el error de Cierre. El error de Latitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias de las proyecciones norte-sur. El error de Longitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias de las proyecciones este-oeste. El error de Cierre se obtiene del resultado de la suma del cuadrado de los errores de Latitud y de Longitud. 
3.- Balanceo de Latitudes y Longitudes. El balanceo de latitudes y longitudes se hace corrigiendo las Latitudes y las Longitudes y se obtienen por medio de la “Regla de la brújula”
 Antes de realizar el balanceo, es conveniente verificar en la sumatoria de latitudes y longitudes, cual resultado es mayor y cual es menor. La corrección de latitud se le suma al lado norte, si de ese lado la sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor; lo mismo se hace para el sur. La corrección de longitud se le suma al lado este, si de ese lado la sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor, lo mismo se hace para el lado oeste. Para comprobar el balanceo de Latitudes y Longitudes, la sumatoria de Latitudes al norte debe ser exactamente igual que la sumatoria de Latitudes al sur y la sumatoria de Longitudes al sur, debe ser exactamente igual que la sumatoria de Longitudes hacia el oeste.
4.- Cálculo de las DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS (D.D.M.). Para obtener las D.D.M., primeramente se obtienen las Distancias meridianas y estas últimas se multiplican por dos. Las Distancias Meridianas se obtienen con las Longitudes balanceadas, haciendo un meridiano de referencia que se encuentre en el punto más hacia el oeste del polígono. La distancia meridiana de un lado en particular, es la distancia dirigida desde el meridiano de referencia hasta el punto medio del lado.
5.- Cálculo de las DOBLES DISTANCIAS PARALELAS (D.D.P.). Para obtener las D.D.P., primeramente se obtienen las Distancias paralelas y estas últimas se multiplican por dos. Las Distancias Paralelas se obtienen con las Latitudes balanceadas, haciendo un paralelo de referencia que se encuentre en el punto más hacia el sur del polígono.
6.- Cálculo de las COORDENADAS. Se calculan las coordenadas en X y Y de cada punto de la poligonal, sumando las longitudes y las latitudes respectivamente.
Una vez calculadas las coordenadas, se hacen productos cruzados hacia arriba y hacia abajo. La sumatoria de productos hacia arriba menos la sumatoria de productos hacia abajo, divididos entre dos, da como resultado la superficie del polígono.
Problemas de división de superficies.
En distintas ocasiones, se presentan casos de dividir un terreno con determinadas restricciones, como puede ser el caso de distribuir áreas para cuestiones testamentarias o cualquiera que sea la necesidad de dividir un terreno en partes iguales o desiguales. Cuando el terreno tiene forma regular, no es tan difícil hacerlo, solo es necesario utilizar los conocimientos de trigonometría y geometría, como del propio ingenio. Como casi siempre los terrenos se presentan en forma irregular y en ocasiones en formas muy raras, se darán ejemplos para dividir superficies en terrenos irregulares. Primero se darán ejemplos, de cómo resolver problemas de datos faltantes en polígonos. Estos problemas se pueden presentar cuando se olvidó, o no fue posible, tomar algún dato de campo. Sin embargo, debe procurarse no omitir datos de campo, pues en estos casos, las soluciones se basan en que el polígono debe cerrarse forzosamente, y si existe algún error, éste no se puede descubrir, y el trabajo queda defectuoso. Con estos casos se pretende principalmente ilustrar la aplicación de cálculos con coordenadas y rumbos.
Problemas de datos o medidas faltantes en polígonos cerrados. - Falta rumbo y longitud de un lado. Como todos los demás datos del polígono, ángulos, longitudes y rumbos son conocidos, se pueden calcular proyecciones y coordenadas de todos los vértices.
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Problemas de datos o medidas faltantes en polígonos cerrados. - Falta rumbo y longitud de un lado. Como todos los demás datos del polígono, ángulos, longitudes y rumbos son conocidos, se pueden calcular proyecciones y coordenadas de todos los vértices; los datos faltantes del lado PM pueden calcularse simplemente así:
R= ang tanLong. = XXY
P
mY- p-mX p
FEA
mm-X p+2Y2Y- p
MDCB
 - Faltan longitudes de dos lados consecutivos. En este caso y los siguientes, se pueden resolver calculando la longitud y el rumbo de una línea auxiliar entre los puntos extremos conocidos, formando un triángulo dentro del cual se calculan los elementos faltantes, por ley de los senos o ley de cosenos. Procedimiento:

 Se calcula R y L de la auxiliar MP.

 Por diferencias de rumbos se calculan todos los ángulos del triángulo KPM.

 Conocido el lado MP y los tres ángulos interiores del triángulo, por ley de senos se calculan las longitudes MK y KP, que faltaban.
 
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K MFEC
 R . L.
a u x i l ia r
 L = ?
 R 
L = ? 
R 
ABP
 - Faltan Rumbos de dos lados consecutivos. Este caso puede tener dos soluciones, por lo cual se requiere tener algún indicio para saber cual tomar. Procedimiento:

 Conocidos todos los demás datos del polígono, se calculan coordenadas de M y de P, y con ellas se calculan R y L de la auxiliar MP.

 En el triángulo KPM se conocen todos sus lados, con lo cual se calculan sus tres ángulos interiores.

 Con los ángulos conocidos, en M y en P, y a partir del rumbo de MP se calculan los rumbos de MK y KP, que faltaban.

 Con los ángulos conocidos, en M y en P, y a partir del rumbo MP se calculan los rumbos de MK y KP, que faltaban.
 
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R. L.auxiliar K'BP
L R = ? 
AK EDM
 L
 R = ?
 - Falta la longitud de un lado y el rumbo del lado consecutivo. Procedimiento:

 Se calcula R y L de la auxiliar MP para formar un triángulo con K.
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 En el triángulo MKP, por ley de senos se determina el ángulo en K.
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 PK MP ------- = ------- senM senK

 Conocidos los ángulos en M y en K, por diferencia a 180º se obtiene el ángulo en P.

 Con el rumbo de MP y el ángulo en P, se determina el rumbo de PK que faltaba.

 Por ley de senos, en el triángulo KPM se calcula la longitud de MK que faltaba.
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