sol_caida_libre

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Caída libre
Sugerencias para resolver problemas de caída libre.
Para resolver problemas recomendamos seguir las siguientes sugerencias.
Primero. En problemas de caída libre, lo primero que debemos de realizar es un dibujo que ilustre el problema.
Segundo. Elegir un sistema de referencia (siendo éste un eje vertical).
Tercero. Adoptar una convención de signos (generalmente positivos hacia arriba y negativos hacia abajo).
Cuarto. Elegir el origen del sistema de referencia (es conveniente elegirlo en el lugar de donde se deja caer o se lanza el objeto).
Quinto. Localizar en el dibujo los puntos en los cuales nos apoyaremos para resolverlo, en dichos puntos hay que poner las variables involucradas que son Posición, Tiempo y Velocidad (tanto iniciales como finales).
Sexto. Traducir a símbolos las expresiones verbales, por ejemplo: se deja caer un cuerpo (v0 = 0 m/s)
Séptimo. En problemas de caída libre, la aceleración ( a ) con que caen los cuerpos es la aceleración de la gravedad ( g ) que siempre tiene un valor positivo de 9.81 m/s2 . 
Octavo. Dependiendo de la convención de signos adoptada para el sistema de referencia (punto Tercero), la aceleración del cuerpo (no la de la gravedad) puede ser positiva o negativa; de esta forma:
para una convención de signos + hacia arriba, - hacia abajo, la aceleración es negativa y:
para una convención de signos - hacia arriba, + hacia abajo, la aceleración es positiva y:
g
a
=
Noveno. En todos nuestros problemas (a menos que se indique lo contrario) adoptaremos la convención de signos + hacia arriba, - hacia abajo. Con esa premisa, las ecuaciones de movimiento para caída libre serán:
ecuaciones de caída libre
2
0
0
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
(
)
t
v
v
y
y
0
0
2
1
+
+
=
gt
v
v
-
=
0
(
)
0
2
0
2
2
y
y
g
v
v
-
-
=
-
Donde g siempre tiene un valor de +9.81 m/s2.
1. Desde el techo de un edificio se deja caer una piedra hacia abajo y se oye el ruido del impacto contra el suelo 3 s después. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire, ni el tiempo que demoró el sonido en llegar al oído, encuentre:
a) La altura del edificio.
b) La velocidad de la piedra al llegar al suelo.
y = 0 m
t = 0 s
v = 0 m / s
 0 
 0 
 0 
y = ? 
t = 3 s
v = ?
y +
y
 -
 
a) Para determinar la altura, ésta viene expresada como el valor absoluto o magnitud del desplazamiento o cambio de posición, es decir:
 
0
y
y
h
altura
-
=
=
Por lo que es necesario conocer la posición final (y).
Observando los datos contenidos en el dibujo y las ecuaciones de movimiento, ésta la encontramos a partir de la primera ecuación.
2
0
0
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
Sustituyendo datos:
(
)
(
)
2
2
3
81
.
9
2
1
3
0
s
s
m
s
s
m
y
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
m
y
145
.
44
-
=
La altura del edificio se determina tomando el valor absoluto del desplazamiento, esto es:
m
m
m
m
y
y
h
145
.
44
145
.
44
0
145
.
44
0
=
-
=
-
-
=
-
=
b) La velocidad se determina a partir de la ecuación:
gt
v
v
-
=
0
Sustituyendo datos 
(
)
3
81
.
9
0
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
m
s
m
v
 
s
m
v
43
.
29
-
=
Velocidad con que llega la piedra al suelo, donde el signo negativo indica que la piedra va hacia abajo en su movimiento.
2. Se lanza una bola hacia arriba y regresa a su nivel original 4 s después de haber sido lanzada.
¿A qué altura se elevó?
y+
y-
v = ?
t = 0 s
y = 0
y = ?
t = ?
v = 0 m/s
v = ?
t = 4 s
y = 0
 0 
 0 
 0 
 2 
 2 
 2 
 
 1 
 2 
 1 
 1 
En este problema, aparentemente él único dato que se nos proporciona es el tiempo, sin embargo, al tomar nuestro origen en tierra tenemos otro dato que es la posición inicial.
Como el cuerpo llega nuevamente al suelo, la posición final es nuevamente cero. Adicionalmente, existe una posición intermedia que es la altura máxima a la que se eleva la bola, en esta posición, la velocidad es cero (en caso contrario, seguiría subiendo). 
Para determinar la altura, necesitamos conocer la posición intermedia y1, la cual se encuentra a partir de la ecuación:
2
0
0
1
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
De dicha ecuación, desconocemos varios parámetros como son: velocidad inicial y el tiempo que tarda la bola en ir de la posición inicial (y0) a la posición final (y1).
Para determinar la velocidad inicial: retomamos todo el problema completo, es decir, desde que sale de tierra hasta que llega nuevamente a tierra, con ello aplicamos nuevamente la misma ecuación pero con diferentes subíndices, siendo éstos:
2
0
0
2
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
Donde t es el tiempo que tarda en ir de la posición inicial (y0 ) a la posición final (y2) esto es, t = 4 s.
Sustituyendo datos:
(
)
(
)
2
2
0
4
81
.
9
2
1
4
0
0
s
s
m
s
v
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
=
Despejando la velocidad inicial:
s
m
s
m
v
62
.
19
4
48
.
78
0
=
=
Para determinar el tiempo: retomamos la mitad del problema, es decir desde que se lanza hasta que alcanza la máxima altura en donde la velocidad se hace cero.
 
gt
v
v
-
=
0
1
Despejando y sustituyendo datos:
s
s
m
s
m
g
v
v
t
2
81
.
9
62
.
19
0
2
0
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
=
-
=
-
Una vez encontradas las variables que necesitábamos, regresamos a nuestro problema original:
2
0
0
1
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
 
Sustituyendo los valores encontrados:
(
)
(
)
m
m
m
s
s
m
s
s
m
y
62
.
19
62
.
19
24
.
39
2
81
.
9
2
1
2
62
.
19
0
2
2
1
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
Siendo la altura:
m
y
y
h
62
.
19
0
62
.
19
0
1
=
-
=
=
-
El problema se puede resolver sin necesidad de conocer el tiempo (pero sí la velocidad inicial), para ello consideramos que la velocidad en el punto más alto es cero y se aplica la ecuación:
(
)
0
1
2
0
2
1
2
y
y
g
v
v
-
-
=
-
Despejando y1 y sustituyendo valores:
m
s
m
s
m
g
v
v
y
62
.
19
81
.
9
2
62
.
19
0
2
2
2
2
0
2
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
-
=
Se resolvió determinando el tiempo para ilustrar que el tiempo de subida es el mismo que el de bajada.
Otro aspecto importante en los problemas de caída libre lo es el hecho de que la velocidad con la que sube es la misma con la que baja pero con signo negativo. Para demostrarlo, cambiemos nuestro origen hasta el punto más alto, ahí la velocidad (en este nuevo sistema, velocidad inicial) es cero; el tiempo que tarda en llegar al suelo es de 2 segundos. 
gt
v
v
-
=
0
(
)
s
s
m
v
2
81
.
9
0
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
m
v
62
.
19
-
=
Que en magnitud es la misma velocidad con la que se lanzó hacia arriba, pero con signo negativo.
3. Un muchacho de pie en la orilla superior de un edificio, lanza una bola hacia arriba con rapidez de 30 m/s.
a) ¿Cuánto tarda en llegar a su punto más alto?
b) ¿Cuánto tarda en regresar al nivel desde donde se lanzó?
c) ¿A qué altura se eleva?
d) ¿Dónde se encontrará después de 4 s? ¿Irá hacia arriba o hacia abajo?
y = ?
 t =?
 v = 0 
y +
y -
y = 0 t = 0 v = 30 m / s
 0 
 0 
 0 
y = ? t =? v = 0 y +
y -
y = 0 t = 0 v = 30 m / s
 0 0 0 
DATOS:
Planteamiento
y0 = 0 m 
a) 
?
=
s
t
cuando
 v = 0
t0 = 0 s 
v0 = 30 m/s 
y = ?
t = ?
v = 0 m/s 
Ecuación
v = v0 - gt
Despejando tiempo:
 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
=
-
-
=
2
0
81
.
9
30
0
s
m
s
m
g
v
v
t
s
s
t
s
058
.
3
=
b) 
?
=
t
t
cuando 
y0 = y = 0
v0 = 30 m/s
Ecuación:
2
0
0
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
2
0
2
1
0
0
gt
t
v
-
+
=
2
0
2
1
gt
t
v
-
=
-
(
)
s
g
v
t
11
.
6
81
.
9
30
2
2
0
=
=
=
c) y = ? 
Cuando 
t = 3.058 s
v0 = 30 m/s
Ecuación
2
0
02
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
(
)
(
)
m
y
87
.
45
86
.
45
74
.
91
058
.
3
2
81
.
9
058
.
3
30
0
2
=
-
=
-
+
=
d) y = ? 
cuando 
t = 4 s
Ecuación:
2
0
0
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
(
)
(
)
(
)
m
y
52
.
41
48
.
78
120
4
905
.
4
4
30
0
2
=
-
=
-
+
=
Como se podrá observar del resultado anterior, la pelota se encuentra por encima de su cabeza, sin embargo, ésta puede ir subiendo o bajando. Si nos fijamos en el tiempo que tardó en subir (3.058 s), se puede deducir que después de 4 s la pelota irá en bajada. Pero existe una manera más formal de demostrar que la pelota va de bajada.
Esta demostración consiste en encontrar el signo de la velocidad, si es positiva, la pelota va subiendo; si es negativa, la pelota va bajando.
Encontremos tal velocidad:
?
=
v
 
cuando 
t = 4 s
v0 = 30 m/s
(
)
(
)
s
m
gt
v
v
24
.
9
4
81
.
9
30
0
-
=
-
=
-
=
4. Se lanza una pelota hacia abajo desde una azotea con una rapidez de 5 m/s. La altura desde donde se lanzó es de 100 m
a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega? 
v = - 5 m / s 
 0 
y -
y = 0
 0 
t = 0
y +
y = - 100 m
En este problema, lo importante es dar significado matemático a las expresiones verbales y su correcta escritura en expresiones algebraicas. 
De esta forma, en la expresión: "Se lanza una pelota hacia abajo" están contenidos dos datos. 
"Se lanza". Lo que implica que la velocidad inicial es diferente de cero.
"Hacia abajo". Lo que implica que la velocidad es negativa
"La altura es de 100 m". Como elegimos el origen en la azotea con convención de signos positivos hacia abajo, entonces la posición final es y = - 100 m
t = ? 
Cuando 
y = -100 m
v0 = -5 m/s
Ecuación:
2
2
0
0
gt
t
v
y
y
-
+
=
Expresando la ecuación anterior en la forma de una ecuación cuadrática:
(
)
0
2
0
0
2
=
-
+
-
y
y
t
v
gt
Sustituyendo valores:
(
)
(
)
0
100
5
905
.
4
2
=
-
+
-
-
t
t
0
100
5
905
.
4
2
=
-
+
t
t
Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
81
.
9
575
.
44
!
5
81
.
9
1962
25
!
5
905
.
4
2
100
905
.
4
4
5
!
5
2
-
=
+
-
=
-
-
-
=
t
cuya soluciones son:
s
t
03
.
4
81
.
9
575
.
44
5
=
+
-
=
y 
s
t
05
.
5
81
.
9
575
.
44
5
-
=
-
-
=
.
Puesto que no existen tiempos negativos, elegimos el resultado positivo. Éste resultado nos servirá para determinar la velocidad con la que llega al suelo.
b) v = ? 
Cuando 
t = 4.05 s
v0 = -5 m/s
Ecuación:
gt
v
v
-
=
0
(
)
(
)
s
s
m
v
03
.
4
81
.
9
5
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
s
m
v
53
.
44
-
=
5. Un balín de plomo se deja caer a un lago desde un trampolín que está a 4.88 m sobre el nivel del agua. Pega en el agua con cierta velocidad y después se hunde hasta el fondo con esa misma velocidad constante. Llega al fondo 5 s después que se soltó.
a) ¿Qué profundidad tiene el lago?
b) ¿Cuál es la velocidad media del balín? 
Supóngase que se extrae toda el agua del lago. El balín se arroja desde el trampolín de manera que llega al fondo en 5 s.
c) ¿Cuál es la velocidad inicial del balín? 
y = ?; t = 5 s ; v = v = ?
y = - 4.88 m; t = ? ; v = ?
 2 
 2 
 2 
 1 
1 
 1 
 1 
 0 
 0 
 0 
Movimiento rectilíneo uniforme
( v = ctte.)
Movimiento rectilíneo uniformemente
( a = - g = - 9.81 m/s )
y = 0 ; t = 0 ; v = 0
acelerado
y = ?; t = 5 s ; v = v = ?
y = - 4.88 m; t = ? ; v = ?
 2 
 2 
 2 1 
1 
 1 
 1 
 0 
 0 
 0 
Movimiento rectilíneo uniforme
( v = ctte.)
Movimiento rectilíneo uniformemente
( a = - g = - 9.81 m/s )
y = 0 ; t = 0 ; v = 0
acelerado
La peculiaridad de este problema es que se debe de realizar por regiones, debido a que tenemos dos tipos de movimiento diferentes.
La primera región es cuando el balín va cayendo en el aire.
La segunda cuando llega al agua y se hunde hasta el fondo.
No necesariamente se tiene que trabajar en ese orden, todo depende del análisis que hagamos de los datos proporcionados, así por ejemplo, en la primera región podemos encontrar la v1 y el tiempo que tarda en esa región, para después trabajar en la región dos.
Primera región:
determinaremos la velocidad con la que llega al agua mediante la ecuación:
)
(
2
0
1
2
0
2
1
y
y
g
v
v
-
-
=
-
 
(
)
(
)
(
)
s
m
v
y
y
g
v
78
.
9
74
.
95
0
88
.
4
81
.
9
2
2
2
0
0
1
1
=
=
+
-
-
=
+
-
-
=
Como se podrá observar, la raíz cuadrada nos proporciona dos raíces, como el cuerpo va cayendo tomamos la negativa (si no se hiciere así, los subsecuentes resultados estarían mal).
s
m
v
78
.
9
1
-
=
Ahora el tiempo que tardó en llegar al agua
gt
v
v
-
=
0
1
Despejando el tiempo:
s
g
v
v
t
99
.
0
81
.
9
0
78
.
9
0
1
=
-
-
-
=
-
=
¿Qué pasaría si hubiésemos considerado una velocidad positiva? Veámoslo:
s
g
v
v
t
99
.
0
81
.
9
0
78
.
9
0
1
-
=
-
-
=
-
-
=
Encontraríamos un tiempo negativo. Como ésto no es lógico, corregiríamos un error (considerar una velocidad positiva) con otro error (suponer que g = - 9.81), es decir:
(
)
s
g
v
v
t
99
.
0
81
.
9
0
78
.
9
0
1
=
-
-
-
-
=
-
-
=
Lo cual es incorrecto.
Una vez encontrada la velocidad y el tiempo, nos pasamos a la segunda región. 
El tiempo que tarda cayendo el cuerpo en el agua viene dado por:
s
s
s
t
t
t
01
.
4
99
.
0
5
1
2
=
-
=
-
=
D
.
La velocidad con la que se hunde es la misma que con la que llega:
 EMBED Equation.3 s
m
ctte
v
v
78
.
9
.
2
1
-
=
=
=
Por lo que la ecuación de movimiento en esta región es la del rectilíneo uniforme, y la "distancia" que recorre viene expresada por la ecuación:
(
)
m
s
s
m
y
y
21
.
39
99
.
0
78
.
9
-
t
v
y
-
1
2
-
=
=
D
=
=
D
.
Resultado que en valor absoluto representa la profundidad del lago.
b) La velocidad media se determina considerando el cambio de posición (inicial y final) y el tiempo total. 
(
)
s
m
 
-8.81
5
0
-
44.09
-
s
 
5
0
-
4.88
-
39.21
t
-
t
y
-
-
0
2
0
2
=
=
=
=
D
D
=
y
t
y
v
Donde la posición final y2 se determinó "sumándole" los 4.88 m a la profundidad del lago. Hay que recordar que lo que estamos trabajando son posiciones.
c) En este caso, la posición final del balín será: y2 = -44.09 m y el tiempo total serán nuevamente los 5 s. El cuerpo en todo su recorrido, desde que se lanza hasta que llega, irá en "caída libre" (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado). La velocidad, bajo estas condiciones, viene dada por la ecuación:
2
0
0
2
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
Despejando velocidad inicial:
(
)
s
m
t
gt
y
y
v
07
.
15
5
625
.
122
09
.
44
5
2
5
81
.
9
0
09
.
44
2
2
2
0
2
0
=
+
-
=
+
-
-
=
+
-
=
Como el resultado es positivo, entonces el balín se arroja hacia arriba.
6. Se arroja verticalmente una bola hacia arriba desde el nivel de la calle, junto a un edificio. La atrapa una persona que está asomada a una ventana, a 6 m sobre la calle. La velocidad inicial de la bola es de 20 m/s y es atrapada cuando ya va de caída. Calcule:
a) La altura máxima que alcanza la pelota.
b) El tiempo que permanece en el aire. 
c) La velocidad en el momento de ser atrapada.
y -
y +
y = 0 ; t = 0
v = 20 m / s
 0 
 0 
 0 
y = 6 m ; t = ?
 v = ?
 2 
 2 
 2 
 v = 0 m / s
 1 
y = ? ; t = ?
 1 
 1 
y -
y +
y = 0 ; t = 0
v = 20 m / s
 0 
 0 
 0 
y = 6 m ; t = ?
 v = ?
 2 
 2 
 2 
 v = 0 m / s
 1 
y = ? ; t = ?
 1 
 1 
a) y1 = ? 
cuando 
y0 = 0 m
t0 = 0 s
v0 = 20 m/s
v1 = 0 m/sEcuación:
(
)
0
1
2
0
2
1
2
y
y
g
v
v
-
-
=
-
(
)
(
)
m
g
v
v
y
38
.
20
81
.
9
2
0
20
2
2
2
0
2
1
1
=
-
-
=
-
-
=
b) Para determinar el tiempo 
t = ? 
cuando 
y2 = 6 m
v0 = 20 m/s
Utilizamos la ecuación:
2
0
0
2
2
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
(No se puede despejar, la expresamos en forma de ecuación cuadrática):
0
2
0
2
0
2
=
-
+
-
y
y
t
v
t
g
sustituyendo:
0
6
20
905
.
4
2
=
+
-
t
t
resolviendo:
(
)
(
)
(
)
s
m
v
y
y
g
v
78
.
9
74
.
95
0
88
.
4
81
.
9
2
2
2
0
0
1
1
=
=
+
-
-
=
+
-
=
-
s
t
75
.
3
81
.
9
8
.
16
20
=
+
=
s
t
75
.
3
81
.
9
8
.
16
20
=
-
=
En ambas soluciones el cuerpo se encuentra en la posición y = 6 m.
La primera solución para el tiempo es cuando la pelota es atrapada de bajada y la segunda solución es cuando la pelota apenas va subiendo.
c) v = ? 
cuando 
v0 = 20 m/s
t = 3.75 s
(
)
(
)
s
m
gt
v
v
78
.
16
78
.
36
20
75
.
3
81
.
9
20
0
-
=
-
=
-
=
-
=
7. Los pisos de un edificio se encuentran igualmente espaciados. Cuando se deja caer una bola desde el último piso, tarda 0.10 s para caer a través de los últimos tres pisos, cada uno de los cuales tiene una altura de 2 m.
a) ¿Qué altura tiene el edificio? 
Puesto que muchas de las variables se desconocen, este problema debemos de tratarlo por intervalos y éstos se dan en la parte inferior del edificio.
La precaución que se debe de tener es en el signo de la diferencia de posiciones entre y2 y y1, ya que por la convención de signos adoptada, ésta es negativa. 
Para visualizar lo anterior, demos un ejemplo: "Supongamos" que y2 = -20 m y que y1 =-10 m; la diferencia entre ambas posiciones sería: 
(
)
10
10
20
10
20
1
2
-
=
+
-
=
-
-
-
=
-
y
y
Es decir, sería negativa y esto tenemos que tenerlo en consideración al resolver el problema.
y -
y +
 
y = 0 ; t = 0 ; v = 0 m / s
y = ? ; t = ? ; v = ?
 v = ?
y = ? ; t = ?
y - y = - 6 m
t - t = 0.10 s
 0 
 0 
 2 
 1 
 1 
 1 
 2 
 2 
 1 
 2 
 1 
 2 
 0 
Con la consideración anterior, los datos proporcionados y eligiendo la ecuación de movimiento con subíndices apropiados, podemos determinar la velocidad v1. Dicha ecuación es:
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
1
2
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
Despejando v1 
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1
2
1
2
t
t
t
t
g
y
y
v
-
-
+
-
=
Sustituyendo valores:
(
)
(
)
s
s
s
m
m
v
10
.
0
10
.
0
905
.
4
6
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
s
m
s
m
v
51
.
59
1
.
0
95
.
5
1
.
0
4905
.
0
6
1
-
=
-
=
+
-
=
Conociendo esta velocidad, podemos determinar el tiempo que tardó en adquirirla desde que se dejo caer en la azotea.
(
)
1
0
0
1
t
t
g
v
v
-
-
=
Despejando la diferencia de tiempos y como t0 = 0 s
s
g
v
v
t
06
.
6
81
.
9
0
51
.
59
0
1
1
=
-
-
-
=
-
-
=
Con este tiempo, conoceremos la posición y1 
(
)
(
)
m
gt
t
v
y
y
5
.
180
06
.
6
905
.
4
06
.
6
0
0
2
2
0
0
1
-
=
-
+
=
-
+
=
Por lo que la altura del edificio es:
m
h
5
.
186
6
5
.
180
=
-
-
=
8. Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 44 m sobre la superficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1 s después de soltar la primera. Ambas piedras llegan al agua al mismo tiempo.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial de la segunda piedra? 
y = 0; t = 1 ; v = ?
t = t - 1s
y = 0; t = 0; v = 0
 0 1 
 0 1 
 0 1 
0 2 
0 2 
0 2 
 2 
 1 
puente
agua
y = y = - 44 m
 1 
 2 
 
En este tipo de problemas en el cual participan dos cuerpos que se mueven simultáneamente, es preciso distinguirlos mediante subíndices, de tal forma que: v01 se lee: "velocidad inicial de la piedra uno"; v02 "velocidad inicial de la piedra dos"
Cada piedra tendrá su propia ecuación de movimiento, siendo éstas:
Piedra uno:
2
2
1
1
01
01
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
Piedra dos:
2
2
2
2
02
02
2
gt
t
v
y
y
-
+
=
Trabajando con la piedra uno, determinaremos el tiempo que tardó en llegar al agua, a dicho tiempo le restaremos un segundo, siendo este resultado el tiempo que tardó la piedra dos, despejando el tiempo de la ecuación para la piedra uno:
g
y
t
-
=
1
1
2
 
ya que
0
01
=
v
 
y
 
0
01
=
y
Sustituyendo:
(
)
s
s
s
m
m
t
99
.
2
97
.
8
81
.
9
44
2
2
2
1
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
El tiempo de la piedra dos es:
s
s
s
s
t
t
99
.
1
1
99
.
2
1
1
2
=
-
=
-
=
Despejando de la ecuación de movimiento de la segunda piedra a la velocidad inicial: 
(
)
(
)
s
m
s
m
s
s
s
m
m
t
gt
y
y
v
35
.
12
99
.
1
57
.
24
99
.
1
99
.
1
905
.
4
44
2
2
2
2
2
2
02
2
02
-
=
-
=
+
-
=
+
-
=
9. Se deja caer un objeto desde una ventana en el piso 40 de un edificio de oficinas, a 144 m sobre el nivel de la calle. En el instante en que se suelta, se arroja hacia abajo un segundo objeto desde el techo del edificio, a 216 m sobre el nivel de la calle. 
a) Determine la velocidad inicial que debe tener el segundo objeto para que llegue al suelo en el mismo instante que el primero.
y = 0 ; t = 0 ; v = ?
y = -72 m ; t = 0 ; v = 0
y = y = -244m ; t = t =?
 02 
 02 
 02 
01 
01 
01 
 1 
 2 
 1 
 2 
y +
y -
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
En este problema, nuevamente tenemos dos cuerpos que se mueven simultáneamente. 
Elegimos el sistema de referencia en la azotea del edificio, a 216 m del nivel de la calle, es decir:
La posición inicial del cuerpo que se lanza desde ahí será 
y02 =0 m 
y la final
y2 =-216 m. 
La posición inicial del cuerpo que se lanza del piso 40 se obtiene tomando la diferencia de 216 - 144 = 72 m y como está por debajo del origen, y01 = -72 m. La final será la misma que la del cuerpos dos. 
Las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo son:
 
2
2
1
1
01
01
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
2
2
2
2
02
02
2
gt
t
v
y
y
-
+
=
Donde los tiempos para ambos cuerpos son los mismos, al igual que las posiciones finales.
Para determinar la velocidad inicial del segundo cuerpo, encontraremos el tiempo que tardó en caer el primero, dicho tiempo lo sustituiremos en la ecuación de movimiento del segundo. Hagámoslo.
2
2
01
01
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
 con 
0
01
=
v
 y
 
0
01
=
y
 
la ecuación se transforma en:
2
2
1
gt
y
-
=
 
Despejando el tiempo:
(
)
(
)
[
]
s
s
s
m
m
s
m
m
m
g
y
y
t
418
.
5
35
.
29
81
.
9
288
81
.
9
72
216
2
2
2
2
2
01
1
=
=
=
-
-
-
-
=
-
-
=
Despejando la velocidad inicial del segundo cuerpo y sustituyendo valores:
(
)
(
)
s
m
s
m
s
s
s
m
m
t
gt
y
y
v
29
.
13
418
.
5
015
.
72
418
.
5
418
.
5
905
.
4
216
2
2
2
2
02
2
02
-
=
-
=
+
-
=
+
-
=
10. Del problema anterior, suponga que ambos objetos parten del reposo, pero en diferentes momentos. 
a) Calcule el tiempo en que debe soltarse el objeto del piso 40 después de soltar el objeto en el techo, para que ambos toquen tierra al mismo tiempo.
b) Escriba las ecuaciones de movimiento con sus valores numéricos y grafique.
y = 0 ; t = 0 ; v = 0
y = -72 m ; t = ? ; v = 0
y = y = -244m ; t = t = ?
 02 
01 
 1 
 2 
 2 
y +
y -
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
 02 
 02 
01 
01 
 1 
Aparentemente, el problema es difícil, pero si calculamos los tiempos que tardan cada cuerpo en llegar al suelo y tomamos la diferencia, obtendremos el resultado.
Tiempo del primer cuerpo:
Si observamos bien los datos, son los mismos que los del problema anterior, por lo tanto, el tiempo es:
s
t
418
.
5
1
=
Tiempo del segundo cuerpo
Con la misma ecuación de movimiento del problema anteriorpara este cuerpo, pero con v02 = 0.
2
2
2
gt
y
-
=
Despejando tiempo:
(
)
81
.
9
216
2
2
2
2
-
-
=
-
=
g
y
t
s
t
635
.
6
2
=
La diferencia de ambos es:
6.635 s - 5.418 = 1.217 s
Que es el tiempo posterior en que se debe dejar caer el cuerpo del piso 40, después de soltar el de la azotea. 
Las ecuaciones de movimiento con sus valores numéricos, se determinan sustituyendo los valores conocidos (posición inicial, velocidad inicial y aceleración) en las respectivas ecuaciones de movimiento.
Primer cuerpo:
(
)
2
1
217
.
1
905
.
4
72
-
-
-
=
t
y
(
)
217
.
1
81
.
9
1
-
-
=
t
v
Segundo cuerpo
2
2
905
.
4
t
y
-
=
t
v
81
.
9
2
=
Para realizar la gráfica, tabulamos, teniendo cuidado con el tiempo del cuerpo que se deja caer desde el piso 40, ya que partirá después de 1.217 s
	t(s)
	0
	1
	1.22
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	y1 (m)
	
	
	-72
	-75.01
	-87.59
	-109.99
	-142.19
	-184.21
	-236.09
	y2 (m)
	0
	-4.91
	-7.26
	-19.62
	-44.15
	-78.48
	-122.62
	-176.58
	240.34
	v1 (m/s)
	
	
	0
	-7.68
	-17.49
	-27.3
	-37.11
	-46.92
	-56.73
	v2 (m/s)
	0
	-9.81
	-11.94
	-19.62
	-29.43
	-39.24
	-49.05
	-58.86
	-68.67
11. Un globo que asciende verticalmente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s. Suelta un saco de arena en el instante en que está a 20 m sobre el suelo.
a) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?
En este problema, lo difícil es entender que el saco de arena al momento de "soltarse" asciende una cierta altura debido a que por "inercia" tiende a conservar la misma velocidad que lleva el globo. 
Al ir ascendiendo pierde velocidad hasta que se hace cero y, posteriormente, empieza a descender adquiriendo cada vez mayor rapidez.
El problema se puede resolver encontrando el tiempo que tarda en subir (v =0) y la distancia que asciende, para después encontrar el tiempo que tarda en llegar al suelo desde esa altura.
Sin embargo, la forma más sencilla es considerar las posiciones iniciales (al momento de soltarse) y finales (al momento de llegar a tierra).
Para ello, empleamos la siguiente ecuación de movimiento:
 EMBED Equation.3 2
2
0
0
gt
t
v
y
y
-
+
=
Donde:
s
m
v
y
m
y
5
;
0
;
20
0
0
+
=
=
-
=
Sustituyendo y expresando la ecuación en forma de ecuación cuadrática:
0
20
5
905
.
4
2
=
-
-
t
t
Resolviendo para el tiempo:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
81
.
9
4
.
417
!
5
81
.
9
4
.
392
25
!
5
905
.
4
2
20
905
.
4
4
5
!
5
2
-
=
+
-
=
-
-
-
-
-
=
t
81
.
9
43
.
20
!
5
=
t
s
t
592
.
2
81
.
9
43
.
25
81
.
9
43
.
20
5
=
=
+
=
s
t
572
.
1
81
.
9
43
.
15
81
.
9
43
.
20
5
-
=
-
=
-
=
Siendo el primer tiempo (el positivo) nuestro resultado.
12. Dos cuerpos inician una caída libre, partiendo del reposo y desde la misma altura con un intervalo de tiempo de 1 s. ¿Cuánto tiempo después de que empieza a caer el primer cuerpo estarán separados por 10 m?
En este problema debemos tener cuidado con los tiempos, el tiempo final para el cuerpo dos, no es el tiempo que tarda cayendo el cuerpo, t2 indica lo que marca el cronómetro.
Para ilustrar lo anterior, imaginémonos el problema.
y = 0 ; t = ? 
y =0 ; t = 0 
v = 0
01 
02 
01 
01 
y =0 ; t = 1 s 
v = 0
02 
02 
 1 
 1 
v = ?
 1 
y =0 ; t = t 
 2 
 2 
 1 
v = ?
 2 
y - y = - 10m
 2 
 1 
y +
y -
y = 0 ; t = ? 
y =0 ; t = 0 
v = 0
01 
02 
01 
01 
y =0 ; t = 1 s 
v = 0
02 
02 
 1 
 1 
v = ?
 1 
y =0 ; t = t 
 2 2 
 1 
v = ?
 2 
y - y = - 10m
 2 
 1 
y +
y -
 
Tenemos dos cronómetros donde ambos empiezan a funcionar cuando se suelta el primer cuerpo, después de transcurrido 1 s se suelta el segundo cuerpo y cuando están separados por una distancia de 10 metros, ambos cronómetros se detienen. Lógicamente, si ambos empezaron y terminaron en los mismos instantes, marcarán tiempos iguales. Es decir:
t2 = t1
El tiempo que duró cayendo el segundo cuerpo será 1s menos que el tiempo del primer cuerpo. De igual forma, otra precaución que se debe tener es la que se recomendó en el problema 7 de esta misma serie, hay que tener cuidado con el signo de las diferencias en las posiciones finales.
Las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo son:
(
)
(
)
2
2
01
1
01
1
01
01
1
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
(
)
(
)
2
2
02
2
02
2
02
02
2
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
Con las condiciones del problema de que:
y01 = y02 = 0 m
t01 = 0 s
t02 = t01 + 1 s
v01 = v02 = 0 m/s
Las ecuaciones se reducen a:
2
2
1
1
gt
y
-
=
(
)
2
2
02
2
2
t
t
g
y
-
-
=
y con las condiciones finales donde:
y1 - y2 = -10 m 
t2 = t1 = t
Hacemos la diferencia de las ecuaciones
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
-
=
-
2
2
10
2
02
2
2
1
t
t
g
gt
Eliminando el corchete para simplificar signos, sustituyendo t1, t2 por t y sustituyendo t02 por t01.
{
}
(
)
2
1
2
10
2
01
2
+
-
+
-
=
-
t
t
g
gt
Factorizando el segundo miembro:
(
)
[
]
2
2
1
1
2
10
-
-
-
=
-
t
t
g
Desarrollando
(
)
[
]
1
2
2
10
2
2
+
-
-
-
=
-
t
t
t
g
(
)
1
2
2
10
2
2
-
+
-
-
=
-
t
t
t
g
(
)
1
2
81
.
9
10
2
-
=
-
-
t
 EMBED Equation.3 
t
2
1
038
.
2
=
+
s
t
519
.
1
2
038
.
2
=
=
.
13. Una botella se deja caer desde un globo, alcanza el piso en 20 s. Determínese la altura del globo si:
a) Estuviera en reposo.
b) Si va ascendiendo con una rapidez constante de 50 m/s. 
a) Para determinar la altura del globo, necesitamos conocer la posición final de la botella.
y = 0
t = 0
v = 0m/s
y = ?
 0 
 0 
 0 
t = 20 s ; v = ?
y +
y = 0
t = 0
v = 0m/s
y = ?
 0 
 0 
 0 
t = 20 s ; v = ?
y +
Datos: 
Ecuación
v0 =0 m/s
2
2
0
0
gt
t
v
y
y
-
+
=
y0 =0 m
sustituyendo
 t0 =0 s 
(
)
(
)
2
20
905
.
4
20
0
0
-
+
=
y
t =20 s
y = -1962 m
y = ?
Altura = 1962 m
b) Ascendiendo:
y = ?
t = 0
 0 
y = 0
 0 
v = +50 m/s
 0 
t = 20 s ; v = ?
y +
y = ?
t = 0
 0 
y = 0
 0 
v = +50 m/s
 0 
t = 20 s ; v = ?
y +
Datos: 
Ecuación:
v0 = +50 m/s 
2
2
0
0
gt
t
v
y
y
-
+
=
y0 = 0 m
sustituyendo
 t0 = 0 s
 
(
)
(
)
2
20
905
.
4
20
50
-
=
y
t = 20 s 
y = - 962 m
y = ? 
altura = 962 m
c) Determine usted la máxima altura que alcanzó la botella y la altura del globo en el momento de llegar la botella al suelo.
14. Una persona deja caer una manzana desde el barandal de un puente, cuando la parte frontal de un camión pasa justo debajo de la barda del puente. Si el vehículo se mueve a 55 km/hr y tiene una longitud de 12 m
a) ¿Cuánto debe de ser la altura de la barda respecto a la parte superior del camión, si la manzana casi toca con el extremo final de éste?
Como el tiempo que tarda la manzana es el mismo tiempo que tarda el camión en recorrer una distancia de 12 metros, encontraremos el tiempo que hace el camión.
t
v
x
x
C
C
C
0
0
+
=
s
s
m
m
hr
km
m
v
x
x
t
C
C
C
7854
.
0
27
.
15
12
55
12
0
0
=
=
=
-
=
después
antes
Después de ese tiempo la manzana se encuentra en la posición:
2
2
0
0
gt
t
v
y
y
m
m
-
+
=
(
)
s
y
026
.
3
7858
.
0
905
.
4
2
-
=
-
=
y la altura desde donde cae es 3.026 m.
15. Se tiran dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad de salida de 100 m/s, pero separados 4 s. ¿Qué tiempo transcurrirá desde que se lanzó el primero para que se vuelvan a encontrar?
t = 0
y = 0
y -
y +
y = 0
t = t +4s
y = y
t = t = t
 1 
 2 
 1 
 2 
02 
01 
02 
01 
v = v = 100 m/s
01 
02 
01 
t = 0
y = 0
y -
y +
y = 0
t = t +4s
y= y
t = t = t
 1 
 2 
 1 
 2 
02 
01 
02 
01 
v = v = 100 m/s
01 
02 
01 
Tomando en cuenta las consideraciones del problema 12 de esta misma serie, y con los datos contenidos en la figura, las ecuaciones de movimiento son: 
(
)
(
)
2
2
01
1
01
1
01
01
1
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
(
)
(
)
2
2
02
2
02
2
02
02
2
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
Reduciendo e igualando
(
)
(
)
2
4
4
2
2
02
2
01
-
-
-
=
-
t
g
t
v
gt
t
v
Sustituyendo 
(
)
16
8
905
.
4
400
100
905
.
4
100
2
2
+
-
-
-
=
-
t
t
t
t
t
Eliminando términos comunes
48
.
78
24
.
39
400
0
-
+
-
=
t
Despejando tiempo y resolviendo
s
t
19
.
12
24
.
39
48
.
478
=
=
16. Un paracaidista después de saltar de un avión desciende 50 m sin fricción del aire. Cuando se abre el paracaídas se retarda su caída a razón de 2 m/s2 alcanzando el suelo con una rapidez de 3.0 m/s.
a) ¿Cuál fue el tiempo del paracaidista en el aire?
b) ¿Desde qué altura saltó del avión?
y = 0
t = 0
v = 0
y = -50 m
t = ? 
v = ?
a = 
y = ?
t = ?
v = ?
caída 
libre
Mov. rectilíneo. 
unif. retardado
v
t
 0 
 0 
 0 
 1 
 1 
 1 
 2 
 2 
 2 
=
v - v 
 1 
 0 
t - t 
 1 
 0 
y = 0
t = 0
v = 0
y = -50 m
t = ? 
v = ?
a = 
y = ?
t = ?
v = ?
caída 
libre
Mov. rectilíneo. 
unif. retardado
v
t
 0 
 0 
 0 
 1 
 1 
 1 
 2 
 2 
 2 
=
v - v 
 1 
 0 
t - t 
 1 
 0 
Éste es un problema que aunque es un mismo tipo de movimiento (rectilíneo uniformemente acelerado), involucra los dos tipos de movimiento vistos hasta el momento, por lo que dividimos el problema por zonas; en la primera, cuando va sin abrirse el paracaídas (a =-g =-9.81 m/s2) y en la segunda, cuando se abre (a = 2 m/s2). Es en esta segunda parte donde se debe tener precaución ya que nos proporcionan la magnitud de la aceleración más no el signo asociado a ella.
En la primera zona determinaremos el tiempo que duró en caída libre y la velocidad justo en el momento en que se abre el paracaídas. 
En la segunda zona, determinaremos en primera instancia el signo asociado a la aceleración, el tiempo y la distancia recorrida.
Primera zona
	Datos:
	Ecuación:
	y0 = 0 
t0 = 0
v0 = 0
y1 = -50 m 
a = -g = -9.81 m/s2
	
2
2
0
0
1
gt
t
v
y
y
-
+
=
	
	Sustituyendo datos
	
	
2
905
.
4
50
t
-
=
-
	
	Despejando el tiempo
	
	
s
seg
t
19
.
3
19
.
10
905
.
4
50
2
=
=
-
-
=
	
	Para determinar la velocidad:
	
	
(
)
s
m
s
s
m
gt
v
v
29
.
31
19
.
3
81
.
9
2
0
1
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
=
Como se puede observar, la velocidad tiene signo negativo, lo cual nos indica que el cuerpo va hacia abajo, del mismo modo, la velocidad cuando llegue al suelo también será negativa, pero con un valor menor siendo éste de 3 m/s. Esto nos servirá para ver qué signo tiene la aceleración en la segunda zona. Veámoslo:
 
(
)
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
-
=
+
-
-
-
=
-
-
=
D
D
=
29
.
28
29
.
31
3
29
.
31
3
1
2
1
2
t
t
v
v
t
v
a
Por lo que la aceleración es positiva, es decir:
2
2
s
m
a
+
=
Segunda zona:
	Datos:
	Ecuación:
	y1 = -50m
t1 = 3.19 s
v1 = -31.19 m/s
v2 = -3 m/s
a = 2 m/s2
t2 = ? 
y2 = ? 
	
(
)
1
2
1
2
t
t
a
v
v
-
+
=
	
	
s
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
a
v
v
t
t
14
.
14
2
29
.
28
2
29
.
31
3
2
2
1
2
1
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
=
-
=
-
	
	Para encontrar la distancia
	
	
(
)
1
2
2
1
2
2
2
y
y
a
v
v
-
=
-
	
	Despejando
	
	
(
)
(
)
(
)
4
06
.
979
9
2
2
29
.
31
3
2
2
2
2
1
2
2
1
2
-
=
-
-
-
=
-
=
-
a
v
v
y
y
	
	
m
y
y
51
.
242
1
2
-
=
-
	
	
(
)
m
m
m
y
m
y
41
.
292
50
41
.
242
51
.
242
1
2
-
=
-
+
-
=
+
-
=
Siendo la altura de 292.41m y el tiempo de 17.33 s.
17. Se deja caer un balín de acero de un edificio. Un observador colocado en una ventana de 4 ft de altura observa que el balín tarda 1/8 s en caer desde la parte alta a la baja de la ventana. El balín continúa cayendo, sufre una colisión elástica en el pavimento y reaparece en la parte baja de la ventana 2 s después de que pasó por allí en su bajada.
a) ¿Cuál es la altura del edificio?
y = 0; t = 0; v = 0
y ; t ; v
y ; t ; v
y ; t ; v
y ; t ; v
 0 
 1 
 2 
 3 
 3 
 3 
 2 
 2 
 1 
 1 
 0 
 0 
y+
 4 
 4 
 4 
y = 0; t = 0; v = 0
y ; t ; v
y ; t ; v
y ; t ; v
y ; t ; v
 0 
 1 
 2 
 3 
 3 3 
 2 
 2 
 1 1 
 0 
 0 
y+
 4 
 4 
 4 
En este problema se nota el uso de los subíndices, resolviéndolo mediante el uso de intervalos.
En la ventana tenemos:
 
ft
y
y
4
1
2
-
=
-
s
t
t
8
1
1
2
=
-
En la parte baja de la ventana:
s
t
t
2
2
4
=
-
Aquí hacemos uso del hecho de que el tiempo que tarda en bajar es el mismo que tarda en subir y la suma de los dos es el tiempo total, es decir:
(
)
(
)
s
t
t
t
t
t
t
2
2
3
3
4
2
4
=
-
+
-
=
-
o bien:
s
t
t
1
2
3
=
-
Trabajando en la ventana con estos datos, podemos calcular v1 y siendo ésta la velocidad final correspondiente de la azotea a la superior de la ventana, calcularemos la altura. Posteriormente, con la misma v1 calcularemos la velocidad v2, para después calcular la altura desde el suelo hasta la parte inferior de la ventana.
Hagámoslo.
En la ventana:
Datos: 
y2 -y1 =-4 ft
t2 -t1 = 1/8 s 
v1 = ?
Ecuación:
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
1
2
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
despejando v1 
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1
2
1
2
t
t
t
t
g
y
y
v
-
-
+
-
=
sustituyendo datos
s
s
s
ft
ft
v
8
1
2
8
1
2
.
32
4
2
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
s
ft
ft
ft
ft
v
98
.
29
125
.
0
7484
.
3
125
.
0
2515
.
0
4
1
-
=
-
=
+
-
=
.
Con esta velocidad calculamos la altura (o mejor dicho y1 -y0):
(
)
0
1
2
0
2
1
2
y
y
g
v
v
-
-
=
-
despejando
(
)
ft
s
ft
s
ft
s
ft
s
ft
g
v
v
y
y
956
.
13
4
.
64
8
.
898
2
.
32
2
0
98
.
29
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
0
1
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
-
=
-
.
Con la misma velocidad calcularemos la velocidad (v2) con que llega a la parte inferior de la ventana en su viaje de bajada.
 
(
)
1
2
2
1
2
2
2
y
y
g
v
v
-
-
=
-
(
)
(
)
2
2
2
1
1
2
2
98
.
29
4
2
.
32
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
+
-
-
=
s
ft
ft
s
ft
v
y
y
g
v
s
ft
s
ft
s
ft
s
ft
v
34
!
4
.
1156
8
.
898
6
.
257
2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
=
Eligiendo el signo negativo de la velocidad (puesto que va hacia abajo), así como con el tiempo que tardó en llegar de la parte inferior de la ventana hasta el suelo, calcularemos la altura de esta última región del edificio.
(
)
(
)
2
2
2
3
2
3
2
2
3
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
(
)
(
)
2
2
2
3
1
1
.
16
1
34
s
s
ft
s
s
ft
y
y
-
-
=
-
ft
ft
y
y
1
.
16
34
2
3
-
-
=
-
ft
y
y
1
.
50
2
3
=
-
Y la altura del edificio se encuentra sumando las diferentes secciones previamente calculadas.
(
)
(
)
(
)
2
3
1
2
0
1
y
y
y
y
y
y
h
-
+
-
+
-
=
(
)
ft
y
y
h
95
.
67
95
.
67
1
.
50
4
95
.
13
0
3
=
-
=
-
-
-
=
-
=
18. Una piedra se deja caer desde un acantilado y un segundo después se lanza una segunda piedra, verticalmente hacia abajo con una rapidez de 20 m/s. 
a) ¿A qué distancia por debajo de lo alto del acantilado alcanzará la segunda piedra a la primera?
1
2
1
2
y = 0; t = 0
v = 0
01 
01 
01 
02 
y = 0; t =1 s
v = -20 m/s
02 
02 
y = y 
t = t 
 1 
 2 
 1 
 2 
Ecuaciones de movimiento para cadacuerpo:
(
)
(
)
2
2
01
1
01
1
01
01
1
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
(
)
(
)
2
2
02
2
02
2
02
02
2
t
t
g
t
t
v
y
y
-
-
-
+
=
.
En el lugar donde se alcanzan tenemos que:
2
1
y
y
=
eliminando las variables que son igual a cero e igualando ecuaciones:
(
)
(
)
2
2
2
02
2
02
2
02
2
1
t
t
g
t
t
v
gt
-
-
-
=
-
Puesto que los tiempos finales son iguales, podemos quitar el subíndice (los tiempos que marcan los cronómetros son los mismos, ya que estos empezaron a funcionar en el instante en que se soltó la primera piedra).
(
)
(
)
2
2
1
905
.
4
1
20
905
.
4
-
-
-
-
=
-
t
t
t
desarrollando 
(
)
1
2
905
.
4
20
20
905
.
4
2
2
-
-
-
+
-
=
-
t
t
t
t
905
.
4
81
.
9
905
.
4
20
20
905
.
4
2
2
-
+
-
+
-
=
-
t
t
t
t
Agrupando términos comunes y eliminando:
095
.
15
19
.
10
0
+
-
=
t
s
t
481
.
1
19
.
10
095
.
15
=
=
Por lo que:
t1 = t2 = t = 1.481 s
Donde el intervalo de tiempo que duró cayendo el segundo cuerpo fue:
s
t
t
t
481
.
0
1
481
.
1
02
2
=
-
=
-
=
Para determinar la distancia, sustituimos el tiempo en las ecuaciones
(
)
m
y
76
.
10
481
.
1
905
.
4
2
1
-
=
-
=
(
)
(
)
m
y
76
.
10
481
.
0
905
.
4
481
.
0
20
2
2
-
=
-
-
=
� EMBED WordPro.Document \s ���
� EMBED WordPro.Document \s ���
t = 0
v = +5 m/s
y = -20 m
v = 0 m/s
 0 
 0 
 0 
y = ? ; t = ?
t = ? ; v = ?
g
a
-
=
-50
-100
-150
-200
-250
l
l
l
l
l
l
l
t (s)
7
6
5
4
3
2
1
+
+
+
+
*
*
*
 * 
 * 
* 
* 
 * 
(m)
y+ 
10
20
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
l
l
l
l
l
l
l
t (s)
cuerpo piso 40
cuerpo azotea
2
3
4
5
6
7
1
*
*
*
*
+
+
+
+
+
+
+
+
*
*
*
v (m/s)
+
-50
-100
-150
-200
-250
l
l
l
l
l
l
l
t (s)
7
6
5
4
3
2
1
+
+
+
+
*
*
*
 * 
 * 
* 
* 
 * 
(m)
y+ 
10
20
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
l
l
l
l
l
l
l
t (s)
cuerpo piso 40
cuerpo azotea
2
3
4
5
6
7
1
*
*
*
*
+
+
+
+
+
+
+
+
*
*
*
v (m/s)
+
_1149511225.unknown
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