CAMPOS VECTORIALES - EJERCICIOS PROPUESTOS pdf

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EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 6, asociar el campo vectorial con su gráfica. [Las gráficas 
se marcan a), b), c), d), e) y ƒ).] 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV Ing. Hélar Véliz Fernández 2 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 
2. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝒋 
3. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 − 𝑥𝒋 
4. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝒊 + 3𝑦𝒋 
5. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 〈𝑥, 𝑠𝑒𝑛 𝑦〉 
6. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 〈
1
 2 
𝑥𝑦,
1
 2 
𝑥2〉 
En los ejercicios 7 a 16, calcular ‖𝑭‖ y dibujar varios vectores 
representativos del campo vectorial. 
7. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝒊 + 𝒋 
8. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 2𝒊 
9. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 + 𝑥𝒋 
10. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 − 2𝑥𝒋 
11. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑦𝒋 
12. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 
13. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 
14. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2)𝒊 + 𝒋 
15. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 
16. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
En los ejercicios 17 a 20, utilizar un sistema algebraico por computadora y 
representar gráficamente varios vectores representativos del campo 
vectorial 
17. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 8 
(2𝑥𝑦𝒊 + 𝑦2𝒋) 
18. 𝑭(𝑥, 𝑦) = (2𝑦 − 3𝑥)𝒊 + (2𝑦 + 3𝑥)𝒋 
19. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌
 √𝑥2+𝑦2+𝑧2 
 
20. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 − 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
En los ejercicios 21 a 30, hallar el campo vectorial conservativo para la 
función potencial, encontrando su gradiente. 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV Ing. Hélar Véliz Fernández 3 
21. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2 
22. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 −
1
 4 
𝑦2 
23. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 
24. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑦 
25. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 6𝑥𝑦𝑧 
26. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 
27. 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 + 𝑦𝑒𝑥
2
 
28. 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑦
 𝑧 
+
𝑧
 𝑥 
−
 𝑥𝑧 
 𝑦 
 
29. ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦) 
30. ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧 
En los ejercicios 31 a 34, verificar que el campo vectorial es conservativo. 
31. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2𝒊 + 𝑥2𝑦𝒋 
32. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 𝑥2 
(𝑦𝒊 − 𝑥𝒋) 
33. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝒊 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝒋 
34. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 𝑥𝑦 
(𝑦𝒊 − 𝑥𝒋) 
En los ejercicios 35 a 38, determinar si el campo vectorial es conservativo. 
35. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 5𝑦2(𝑦𝒊 + 3𝑥𝒋) 
36. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
2
 𝑦2 
𝑒2𝑥/𝑦(𝑦𝒊 − 𝑥𝒋) 
37. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 √𝑥2+𝑦2 
(𝒊 + 𝒋) 
38. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 √1+𝑥𝑦 
(𝑦𝒊 + 𝑥𝒋) 
En los ejercicios 39 a 48, determinar si el campo vectorial es conservativo. 
Si lo es, calcular una función potencial para él. 
39. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 + 𝑥𝒋 
40. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦2𝒊 + 2𝑥3𝑦𝒋 
41. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦𝒊 + 𝑥2𝒋 
42. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥
2𝑦(2𝑦𝒊 + 𝑥𝒋) 
43. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 15𝑦3𝒊 − 5𝑥𝑦2𝒋 
44. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
 𝑦2 
(𝑦𝒊 − 2𝑥𝒋) 
45. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
 2𝑦 
 𝑥 
𝒊 −
 𝑥2 
 𝑦2 
𝒋 
46. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
 𝑥𝒊+𝑦𝒋 
 𝑥2+𝑦2
 
47. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝒋) 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV Ing. Hélar Véliz Fernández 4 
48. 𝑭(𝑥, 𝑦) =
 2𝑥𝒊+2𝑦𝒋 
 (𝑥2+𝑦2)2
 
En los ejercicios 49 a 52, calcular el rotacional del campo vectorial en el 
punto dado. 
Campo vectorial Punto 
49. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧𝒊 + 𝑥𝑦𝑧𝒋 + 𝑥𝑦𝑧𝒌 (2, 1, 3) 
50. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧𝒊 − 2𝑥𝑧𝒋 + 𝑦𝑧𝒌 (2, −1, 3) 
51. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝒊 − 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝒋 (0, 0, 1) 
52. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒−𝑥𝑦𝑧(𝒊 + 𝒋 + 𝒌) (3, 2, 0) 
En los ejercicios 53 a 56, usar un sistema algebraico por computadora y 
representar el rotacional del campo vectorial. 
53. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
 𝑥 
 𝑦 
) 𝒊 + 𝑙𝑛 √𝑥2 + 𝑦2 𝒋 + 𝒌 
54. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑦𝑧
 𝑦−𝑧 
𝒊 +
𝑥𝑧
 𝑥−𝑧 
𝒋 +
𝑥𝑦
 𝑥−𝑦 
𝒌 
55. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑧) 𝒋 + 𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥) 𝒌 
56. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝒊 + 𝒋 + 𝒌) 
En los ejercicios 57 a 62, determinar si el campo vectorial 𝑭 es conservativo. 
Si lo es, calcular una función potencial para él. 
57. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2𝑧2𝒊 + 𝑥2𝑦𝑧2𝒋 + 𝑥2𝑦2𝑧𝒌 
58. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2𝑧3𝒊 + 2𝑥𝑦𝑧3𝒋 + 3𝑥𝑦2𝑧2𝒌 
59. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝒋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝒌 
60. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑧𝒊 + 𝑧𝑒𝑥𝒋 + 𝑥𝑒𝑦𝒌 
61. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑧
 𝑦 
𝒊 −
𝑥𝑧
 𝑦2 
𝒋 +
𝑥
 𝑦 
𝒌 
62. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
 𝑥2+𝑦2 
𝒊 +
𝑦
 𝑥2+𝑦2 
𝒋 + 𝒌 
En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vectorial 𝑭. 
63. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝒊 + 2𝑦2𝒋 
64. 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥𝒊 + 𝑦𝑒𝑦𝒋 
65. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝒋 + 𝑧2𝒌 
66. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) 𝒊 + 𝑥𝑦𝒋 + 𝑙𝑛(𝑦2 + 𝑧2) 𝒌 
En los ejercicios 67 a 70, calcular la divergencia del campo vectorial 𝑭 en el 
punto dado. 
Campo vectorial Punto 
67. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧𝒊 + 𝑥𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 (2, 1, 1) 
68. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧𝒊 − 2𝑥𝑧𝒋 + 𝑦𝑧𝒌 (2, −1, 3) 
69. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝒊 − 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝒋 + 𝑧2𝒌 (3, 0, 0) 
70. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥𝑦𝑧) (𝒊 + 𝒋 + 𝒌) (3, 2, 1) 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV Ing. Hélar Véliz Fernández 5 
Desarrollo de conceptos 
71. Definir un campo vectorial en el plano y en el espacio. Dar algunos 
ejemplos físicos de campos vectoriales. 
72. ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su criterio en el plano 
y en el espacio? 
73. Definir el rotacional de un campo vectorial. 
74. Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y en el espacio 
En los ejercicios 75 y 76, calcular 𝒓𝒐𝒕 (𝑭 × 𝑮) = ∇ × (𝑭 × 𝑮). 
75. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒊 + 3𝑥𝒋 + 2𝑦𝒌 
𝑮(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 − 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
76. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 − 𝑧𝒌 
𝑮(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧2𝒌 
En los ejercicios 77 y 78, hallar 𝒓𝒐𝒕(𝒓𝒐𝒕 𝑭) = ∇ × (∇ × 𝑭). 
77. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
78. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧𝒊 − 2𝑥𝑧𝒋 + 𝑦𝑧𝒌 
En los ejercicios 79 y 80, hallar 𝒅𝒊𝒗 (𝑭 × 𝑮) = ∇ ∙ (𝑭 × 𝑮). 
79. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒊 + 3𝑥𝒋 + 2𝑦𝒌 
𝑮(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 − 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
80. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 − 𝑧𝒌 
𝑮(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧2𝒌 
En los ejercicios 81 y 82, hallar 𝒅𝒊𝒗(𝒓𝒐𝒕 𝑭) = ∇ ∙ (∇ × 𝑭). 
81. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 
82. 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧𝒊 − 2𝑥𝑧𝒋 + 𝑦𝑧𝒌 
En los ejercicios 83 a 90, demostrar la propiedad para los campos vectoriales 
𝑭 y 𝑮 y la función escalar 𝑓. (Suponer que las derivadas parciales requeridas 
son continuas.) 
83. 𝒓𝒐𝒕 (𝑭 + 𝑮) = 𝒓𝒐𝒕 𝑭 + 𝒓𝒐𝒕 𝑮 
84. 𝒓𝒐𝒕 (∇𝑓) = ∇ × (∇𝑓) = 0 
85. 𝒅𝒊𝒗 (𝑭 + 𝑮) = 𝒅𝒊𝒗 𝑭 + 𝒅𝒊𝒗 𝑮 
86. 𝒅𝒊𝒗 (𝑭 × 𝑮) = (𝒓𝒐𝒕 𝑭) ∙ 𝑮 − 𝑭 ∙ (𝒓𝒐𝒕 𝑮) 
87. ∇ × [∇𝑓 + (∇ × 𝑭)] = ∇ × (∇ × 𝑭) 
88. ∇ × (𝑓𝑭) = 𝑓(∇ × 𝑭) + (∇𝑓) × 𝑭 
89. 𝒅𝒊𝒗(𝑓𝑭) = 𝑓𝒅𝒊𝒗 𝑭 + ∇𝑓 ∙ 𝑭 
90. 𝒅𝒊𝒗(𝒓𝒐𝒕 𝑭) = 0 Teorema 15.3 
En los ejercicios 91 a 93, sea 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌, y 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
‖𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧)‖. 
91. Probar que 𝛻(𝑙𝑛 𝑓) =
 𝑭 
 𝑓2 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV Ing. Hélar Véliz Fernández 6 
92. Probar que 𝛻 (
1
 𝑓 
) = −
 𝑭 
 𝑓3 
 
93. Probar que 𝛻𝑓𝑛 = 𝑛𝑓𝑛−2𝑭 
Para discusión 
94. a 
a) Dibujar varios vectores representativos en el campo vectorial dado 
por 
𝑭(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝒊 + 𝑦𝒋
 √𝑥2 + 𝑦2 
 
b) Dibujar varios vectores representativos en el campo vectorial dado 
por 
𝑮(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝒊 − 𝑦𝒋
 √𝑥2 + 𝑦2 
+ 
c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los campos vectoriales 
𝑭(𝑥, 𝑦) y 𝑮(𝑥, 𝑦). 
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 95 a 98, determinar si la declaración 
es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que 
demuestre su falsedad. 
95. Si 𝑭(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝒊 − 𝑦2𝒋, entonces ‖𝑭(𝑥, 𝑦)‖ → 0 cuando (𝑥, 𝑦) →
(0, 0). 
96. Si 𝑭(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝒊 − 𝑦2𝒋 y (𝑥, 𝑦) está en el eje 𝑦 positivo, entonces el 
vector apunta en la dirección 𝑦 negativa. 
97. Si f es un campo escalar, entonces el rotacional f tienesentido. 
98. Si 𝐹 es un campo vectorial y 𝒓𝒐𝒕 𝑭 = 0, entonces 𝑭 es irrotacional pero 
no conservativo.