SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL (4) (1)

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UNIVERSIDAD
NACIONAL DE
INGENIERÍA
FACULTAD DE
INGENIERÍA ECONÓMICA,
INGENIERÍA ESTADÍSTICA
Y CIENCIAS SOCIALES
Escuela Profesional de Ingeniería Estadística Tiempo 2 horas
FST31.Introducción a la probabilidad: SOLUCIONARIO DEL
EXAMEN PARCIAL: 12/01/2021 Puntaje: 20 puntos
1. (5.0 Puntos) Un arma apunta a un punto determinado (origen del sistema de coordenadas).
Debido a los factores aleatorios, el punto de impacto real puede ser cualquier punto (X, Y )
en un círculo de radio R alrededor del origen. Suponga que la densidad conjunta de X e Y es
constante en este círculo dado por:
f(x, y) =
{
k, si x2 + y2 ≤ R2
0, si caso contario
(a) (1.0 Puntos) Hallar la constante k
(b) (2.0 Puntos) Hallar las funciones de densidades marginales fX y fY .
(c) (2.0 Puntos) ¿Son las variables aleatorias X y Y independientes?
Solution: (a)
La constante k se calcula a partir de la consideración que la probabilidad total es 1, es
decir, ∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x, y)dxdy =
∫∫
x2+y2≤R2
kf(x, y) dx dy = 1⇒ 4
∫∫
B
f(x, y) dx dy = 1
donde la región B es el primer cuadrante del círculo x2 + y2 = R2
⇒ 4k
∫ R
0
(∫ √R2−x2
0
1dy
)
dx
⇒ 4k
[
x
√
R2 − x2 + R
2
2
sen−1
( x
R
)]∣∣∣∣R
0
= 1
⇒ 4k
(
R2
2
· π
2
)
= 1⇒ k = 1
πR2
Por lo tanto la función de densidad conjunta de X y Y es
f(x, y) =
{ 1
πR2
, si x2 + y2 ≤ R2
0, si caso contario
(b)
fX(x) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dy =
1
πR2
∫ √R2−x2
−
√
R2−x2
dy =
2
πR
[
1−
( x
R
)2] 12
;−R ≤ x ≤ R
análogamente
fY (y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dx =
1
πR2
∫ √R2−y2
−
√
R2−x2
dx =
2
πR
[
1−
( y
R
)2] 12
;−R ≤ y ≤ R
(c)
f(x, Y ) 6= fX(x)fY (y) por lo tanto X y Y no son independientes.
2. (5.0 Puntos) Dado
f(x, y) = e−x−yI(0,∞)(x)I(0,∞)(y)
(a) (1.0 Puntos) hallar P (X > 1)
(b) (2.0 Puntos) hallar P (X < Y |X < 2Y )
(c) (2.0 Puntos) hallar P (1 < X + Y < 2)
Solution: Se da:
f(x, y) = e−(x+y); 0 < x <∞, 0 < y <∞ (1)
=
(−x) (e−y)
= fX(x) · fY (y)
⇒X y y son independientes y
fX(x) = e
−x;x > 0 y fY (y) = e−y; y > 0 (2)
Page 2
(a)
P (X > 1) =
∫ ∞
1
fX(x)dx =
∫ ∞
1
e−x dx =
1
e
(b)
P (X < Y |X < 2Y ) = P [(X < Y ) ∩ (X < 2Y )]
P (X < 2Y )
=
P (X < Y )
P (X < 2Y )
(3)
P (X < Y ) =
∫ ∞
0
[∫ y
0
f(x, y)dx
]
dy =
1
2
P (x < 2Y ) =
∫ ∞
0
[∫ 2y
0
f(x, y)dx
]
dy =
2
3
sustituyendo en la rela ción 3
P (X < Y |X < 2Y ) = 1/2
2/3
=
3
4
(c)
P (1 < X + Y < 2) =
∫∫
A
f(x, y) dx dy +
∫∫
B
f(x, y) dx dy
=
∫ 1
0
(∫ 2−x
1−x
f(x, y)dy
)
dx+
∫ 2
1
(∫ 2−x
2−x
f(x, y)dy
)
dx
=
2
e
− 3
e2
3. (5.0 Puntos) Si X e Y son dos variables aleatorias que tienen función de densidad conjunta
f(x, y) =
{
1
8
(6− x− y); si 0 < x < 2, 2 < y < 4
0, si caso contario
(a) (2.0 Puntos) Hallar V ar(X|Y )
(b) (3.0 Puntos) Hallar el coeficiente de correlación: ρX,Y
Page 3
Solution: (a)
V ar(X|y) = E(X2|y)− {E(X|y)}2
Primero calculamos las densidades marginales
fX(x) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dx =
∫ 4
2
1
8
(6− x− y)dy = 1
4
(3− x); 0 < x < 2.
fY (y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dx =
∫ 2
0
1
8
(6− x− y)dx = 1
4
(5− y); 2 < y < 4.
luego, la densidad condicionale es
f(x|y) = 1
2
(
6− x− y
5− y
)
; 0 < x < 2, 2 < y < 4.
La esperanza condicional de X dada Y = y es
E(X|y) =
∫ 2
0
xf(x|y)dx =
∫ 2
0
x
1
2
(
6− x− y
5− y
)
dx =
14− 3y
3(5− y)
; 2 < y < 4.
El segundo momento condicional de X dada Y = y es
E(X2|y) =
∫ 2
0
x2f(x|y)dx =
∫ 2
0
x2
1
2
(
6− x− y
5− y
)
dx =
2(9− 2y)
3(5− y)
; 2 < y < 4.
Luego la varianza condicional de X dada Y = y es
V ar(X|y) = E(X2|y)− {E(X|y)}2 = 2(9− 2y)
3(5− y)
−
{
14− 3y
3(5− y)
}2
.
(b)
El coeficiente de correlación es por definición
ρX,Y =
Cov(X, Y )√
V ar(X)V ar(Y )
Page 4
Primero calculemos las esperanzas y varianzas para cada variable.
E(X) =
∫ 2
0
xfX(x)dx =
∫ 2
0
x
1
4
(3− x)dx = 5
6
E(Y ) =
∫ 4
2
yfY (y)dy =
∫ 4
2
y
1
4
(5− y)dy = 17
6
E(X2) =
∫ 2
0
x2fX(x)dx =
∫ 2
0
x2
1
4
(3− x)dx = 1
E(Y 2) =
∫ 4
2
y2fY (y)dy =
∫ 4
2
y2
1
4
(5− y)dy = 25
3
luego obtenemos las varianzas
V ar(X) = E(X2)− {E(X)}2 = 1−
{
5
6
}2
=
11
36
.
V ar(Y ) = E(Y 2)− {E(Y )}2 = 25
3
−
{
17
6
}2
=
11
36
.
Ahora calculamos la E(XY )
E(XY ) =
∫ 2
0
∫ 4
2
xyf(x, y)dy dx =
∫ 2
0
∫ 4
2
xy
1
8
(6− x− y)dy dx = 7
3
luego la covarianza entre las variables X y Y es
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 7
3 5
6
17
6
= − 1
36
luego el coeficiente de correlación entre X y Y es
ρX,Y =
Cov(X, Y )√
V ar(X)V ar(Y )
=
− 1
36√
11
36
× 11
36
= − 1
11
4. (5.0 Puntos) Suponga que se extraen 4 bolas de una urna que contiene 5 bolas negras, 6
blancas y 7 rojas. Sea X el número de bolas blancas extraídas y Y el de número de bolas
Page 5
rojas. La función de probabilidad de la variable bidimensional (X, Y ) es
P (X = x, Y = y) =
(
6
x
)(
7
y
)(
5
4−x−y
)(
18
4
) ; 0 ≤ x+ y ≤ 4
Se pide:
(a) (1.0 Puntos) hallar P (X|Y = y)
(b) (1.0 Puntos) Hallar E(X|Y )
(c) (3.0 Puntos) hallar Cov(X, Y )
Solution: (a)
Previamente calculamos la función de probabilidad marginal de Y , así se tiene
PY (y) = P (Y = y) =
4−y∑
x=0
P (X = x, Y = y) =
4−y∑
x=0
(
6
x
)(
7
y
)(
5
4−x−y
)(
18
4
)
=
(
7
y
)(
18
4
) 4−y∑
x=0
(
6
x
)(
5
4− x− y
)
=
(
7
y
)(
11
4−y
)(
18
4
) ; y = 0, 1, 2, 3, 4.
luego, la función de probabilidad condicional de X dada Y = y resulta
P (x|y) = P (X = x|Y = y) = P (X = x, Y = y)
PY (y)
=
(
6
x
)(
5
4−y
)(
11
4−y
) ; 0 ≤ x ≤ 4− y, y = 0,1,2,3,4.
De lo anterior se deduce X dada Y = y se distribuye con una distribución hipergeométrica
con parámetros M = 6, N = 5 y 4y; esto es, X|Y = y ∼ HY(6, 5, 4− y), por consiguiente
loa es condicional será:
E(X|Y = y) = 6(4− y)
11
; 0 ≤ y ≤ 4
(b) Para calculara la covarianza entre X y Y , analicemos previamente las funciones de
probabilidades marginales de X y de Y .
PX(x) = P (X = x) =
4−x∑
y=0
P (X = x, Y = y) =
(
6
x
)(
12
4−x
)(
18
4
) ; 0 ≤ x ≤ 4
PY (y) = P (Y = y) =
4−y∑
x=0
P (X = x, Y = y) =
(
7
y
)(
11
4−y
)(
18
4
) ; 0 ≤ y ≤ 4
Page 6
Se obseva que,X ∼ HY(6, 12, 4), Y ∼ HY(7, 11, 4); por consiguiente esparanza y varianza
de Y resultan inmediatas.
E(X) =
6× 4
18
=
4
3
, y V ar(X) =
112
153
E(Y ) =
7× 4
18
=
14
9
, y V ar(Y ) =
1078
1377
luego por definición la covarianza es igual a
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Para calcular E(XY ) utilizamos la propiedad de esperanza iterativa condicionando en la
variable Y , asi
E(XY ) = EY
[
E(XY |Y )
]
= EY
[
YE(X|Y )
]
= EY
[
Y
6
11
(4− Y )
]
=
6
11
[
4E(Y )− E(Y 2)
]
Para calcular el segundo momento de Y se procede como sigue
E(Y 2) = V ar(Y ) + [E(Y )]2 =
1078
1377
+
[
14
9
]2
=
490
153
luego, E(XY ) es igual a
E(XY ) =
6
11
[
4
(
14
9
)
− 490
153
]
=
28
17
Luego, la covarianza es
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 28
17
− 4
3
× 14
9
= −196
459
Page 7