¿Cómo se calcula la probabilidad de que dos sucesos independientes con distintas probabilidades de ocurrir, ocurran ambos?

La respuesta a la pregunta podría ser simplemente decir que:
“si son independientes la probabilidad conjunta es el producto”

AyBindependientes⟹P(A∩B)=P(A)P(B)AyBindependientes⟹P(A∩B)=P(A)P(B)

Pero creo que más interesante que dar la respuesta es explicar por qué.

Primero, conviene explicar o recordar qué significa eso de que dos sucesos son “independientes”.
De forma intuitiva, parece obvio el significado: que el hecho de que ocurra uno de los sucesos no depende de que ocurra el otro.

O, dicho de otra forma, que saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro.

Eso matemáticamente se expresa así:

P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)

La probabilidad condicionada de A dado B, es decir, la probabilidad de que se de A en los casos en los que se da B, o sabiendo que se da B, es igual que la probabilidad de A.

Esta probabilidad condicionada también tiene un significado intuitivo. Se refiere a considerar el conjunto de sucesos en los que se da B y preguntarse en cuántos de ellos se da también A, qué proporción de A dentro de B respecto a los de B. Bueno, me refiero a sucesos equiprobables.
Un ejemplo, lanzar un dado de 6 caras.
Si el dado no está trucado, la probabilidad de que salga cualquier resultado es igual que la de cualquier otro resultado… eso significa equiprobables.
El conjunto de sucesos es {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de sacar un 4… sabiendo que hay 6 equiprobables y el 4 es únicamente uno de ellos, será P(4) = casos favorables / casos posibles (equiprobables) = 1 / 6
Si C es “sacar un par” … P(C) = 3/6 = 1/2
Si D es “sacar un número mayor que 3” … P(D) = 3/6 = 1/2
Si preguntan ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3 sabiendo que ha salido un par? Al decir que ha salido un par los casos posibles son solamente 2, 4 y 6. Y de esos los mayores que 3 son el 4 y el 6. Y la probabilidad P(D|C) = casos favorables / casos posibles = 2/3
Vemos que esa probabilidad de D en el caso de que se de C es diferente de la probabilidad general de D, así que el que ocurra C (salir par) sí influye en D (salir mayor que 3)… según ocurra C o no, la probabilidad de D cambia… luego no son independientes.

Entonces, no es complicado comprender la fórmula o definición matemática de la probabilidad condicionada:

P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)

Son los casos en los que ocurre A y B respecto a los casos en los que ocurre B.

P(A∩B)=casosqueocurreAyBcasosposiblesP(A∩B)=casosqueocurreAyBcasosposibles

P(B)=casosqueocurreBcasosposiblesP(B)=casosqueocurreBcasosposibles

Al dividir se ve que son los casos en los que ocurre A y B dividido por los casos en los que ocurre B, que es como hemos definido de forma intuitiva la condicionada.

Y ya estamos cerca del final.

La fórmula anterior equivale a esta otra:

P(A∩B)=P(A|B)P(B)P(A∩B)=P(A|B)P(B)

Y, como dijimos que el concepto de independientes es que

P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)

Entonces, en ese caso en el que son independientes:

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)

También:
Si se cumple P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)

Entonces, dado que:
P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)

Si se cumple lo anterior será:

P(A|B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)P(A|B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)

Por tanto, siempre que se cumpla la igualdad serán independientes.

P(A∩B)=P(A)P(B)⟹AyBindependientesP(A∩B)=P(A)P(B)⟹AyBindependientes

Así que es una doble implicación:

AyBindependientes⇔P(A∩B)=P(A)P(B)AyBindependientes⇔P(A∩B)=P(A)P(B)

Y al ser una doble implicación, en ambos sentidos, a veces se usa esa igualdad como la propia definición de sucesos independientes… pero, claro, aunque esta definición es correcta, a mi no me parece que sea muy didáctica, porque no suele ser tan intuitivo que cumplir esa igualdad sea exactamente lo mismo que decir que un suceso “no depende del otro” o que “saber que ha ocurrido un suceso no afecta a la probabilidad del otro”.
Me parece más intuitivo decir:
AyBindependientes⇔P(A|B)=P(A)⇔P(B|A)=P(B)AyBindependientes⇔P(A|B)=P(A)⇔P(B|A)=P(B)

Y, por último, un ejemplo:

E = {sacar un número mayor que 4 en el dado} = {“5”, “6”}
C = {sacar un número par en el dado} = {“2”, “4”, “6”}

P(E|C)=P(E∩C)P(C)=1612=13P(E|C)=P(E∩C)P(C)=1612=13

P(E)=26=13P(E)=26=13

Como P(E|C) = P(E) podemos concluir que son independientes… La probabilidad de E no cambia porque ocurra C o no… El suceso E no depende de C…

Si son independientes también se cumplirá
P(E∩C)=P(E)P(C)P(E∩C)=P(E)P(C)

Veamos que efectivamente es así:
P(E∩C)=1/6P(E∩C)=1/6

P(E)=2/6=1/3P(E)=2/6=1/3
P(C)=3/6=1/2P(C)=3/6=1/2

La conjunta es el producto de las individuales.

Bueno, espero haber ayudado a ver que la probabilidad es algo sencillo e intuitivo, que no hay que aprender ninguna fórmula… basta saber a qué se refiere cada cosa, lo cual también es intuitivo y sencillo.