tiene varias soluciones en (x, y, z), x, y, z enteras? Si es así, ¿cuál es el valor más bajo posible de x?

En valor absoluto el valor más pequeño de x sería 2736111468807040

Y si exigimos que x sea entero positivo, el valor más bajo: 8866128975287528

Por raro que suene, esos son números de 16 cifras, más de 1000 billones, ¡no hay números enteros más pequeños que lo cumplan!.

Impresionante ¿verdad?

Más concretamente:

x = +8866128975287528
y = −8778405442862239
z = −2736111468807040

Cumplen:

x3+y3+z3=33x3+y3+z3=33

8866128975287528^3+(−8778405442862239)^3+(−2736111468807040)^3 = 33

Se puede comprobar con Wolfram Alpha. o con el servidor Sage Cell.

Además, este resultado es muy reciente, ¡del pasado viernes! (8 de marzo de 2019). Fresquito, fresquito, recién salido del horno.

Para más datos curiosos, el descubridor de esto, Tim Browning, hizo varios vídeos sobre el tema en el famoso canal de Youtube sobre matemáticas llamado Numberphile. Y, en concreto, uno sobre el 33.

Pero Tim Browning no es un mero divulgador de matemáticas en Youtube, sino que es profesor de Teoría de Números en el IST Austria (Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria) desde agosto de 2018, y hasta hace poco estuvo en la Universidad de Bristol desde el 2005 (13 años allí… vaya, vaya), en Reino Unido, país donde nació.
Y no solamente eso, sino que ha recibido varios premios:
Premio Whitehead, de la Asociación Matemática de Londres, en 2008.
Premio Ferran Sunyer i Balaguer en el año 2009.
Premio Philip Leverhulme de Matemáticas en el año 2010.

Aparte, doctorado en Oxford en 2002, y licenciado en King’s College en 1998 (se puede ver todo en su Curriculum Vitae).

Cuando vi esta pregunta, recordé una buena respuesta en inglés del genial Alon Amit, que acabo de traducir:
x3+y3+z3=33x3+y3+z3=33

Y allí me enteré de que esto .

Por si todo esto fuese poco, ahora el número más pequeño que no se sabe si se puede expresar como suma de cubos de enteros es… ¡¡el 42!!
Y, además, es el único entero positivo menor que 100 para el que no se sabe.
(en 2016 se resolvió el 74)
Sí, el 42, nada más y nada menos:
El sentido de la vida, el universo y todo lo demás - Wikipedia, la enciclopedia libre

[Edito: El 42 fue resuelto a principios de septiembre de 2019]

74 = (−284650292555885)^3 + 66229832190556^3 + 283450105697727^3

https://arxiv.org/pdf/1604.07746

Otros números complicados menores que 100, con cifras de más de 1 millón:

30 = (−662037799708799)^3 + 190809268841284^3 + 656711689254565^3

52 = (-61922712865)^3 + 60702901317^3 + 23961292454^3

75 = (–435203231)^3 + 435203083^3 + 4381159^3

84 = 41639611^3 + (–41531726)^3 + (–8241191)^3

87 = (−180751987188142)^3 + 40304620415495^3 + 180081502187630^3

Which integers can be expressed as a sum of three cubes in infinitely many ways?

Ninguna de esas anteriores se conocían en el año 1992:
http://www.math.psu.edu/vstein/113P.pdf

Más enlaces:

Descripción de conceptos clave y algoritmo para atacar este tipo de problemas (por fuerza bruta… pero no tan brutísima… es decir, reduciendo el espacio de búsqueda y las operaciones a realizar, y, por tanto, el tiempo/velocidad):

http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-259/S0025-5718-07-01947-3/S0025-5718-07-01947-3.pdf

Otro artículo relacionado, con interesantes teoremas:

http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/h10_notices.pdf

La noticia en Reddit:

r/math - 33=8866128975287528^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3

Recopilación de propiedades relacionadas con cubos de enteros en Mathworld:

http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html