¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas en una sala cumplan años el mismo día?

Depende claramente del número de personas que haya en la sala.

También puede depender de los supuestos que consideremos…
Por ejemplo, podemos considerar que el año tiene 365 días (sin considerar años bisiestos) y que la probabilidad de que una persona al azar cumpla años un día concreto es la misma para todos los días del año. Es decir, que no hay épocas del año en las cuales nacen más personas… lo cual no creo que sea cierto pero suele ser una aproximación a la realidad bastante razonable. De esta forma la probabilidad para cada día del año sería 1/365.

Con estos supuestos, podemos calcular.
En muchos problemas de probabilidades es habitual que se resuelva de forma más fácil aplicando opuestos. Lo opuesto a que al menos dos cumplan años el mismo día es que todos cumplan años en días diferentes.

Veamos el caso simple de 2 personas: una de ellas cumplirá años un día cualquiera y en 364 casos de 365 la otra cumplirá años un día diferente, mientras que solamente en un caso los cumplirá el mismo día. → p(2) = 1–364/365 = 1/365

Veamos 3 personas: la primera cumplirá años un día cualquiera, la segunda cumplirá años otro día con probabilidad 364/365 y la tercera cumplirá años en un día diferente a las dos anteriores con probabilidad 363/365. La probabilidad de que al menos 2 cumplan años el mismo día es:
p(3) = 1 - 364/365 * 363/365= (365^2 - 364*363)/365^2

Para 4 personas:
p(4) = 1 - 364/365 * 363/365 * 362/365

…

Observamos que si el número de personas es 365 es improbable que no haya dos que cumplan el mismo día, pero es posible que cada una cumpla años en un día diferente. Sin embargo, cuando son 366 personas, y bajo el supuesto inicial de que no hay personas que cumplen en día bisiesto es imposible que todas cumplan años en días diferentes, porque no hay tantos días diferentes, así que p(366) = 1 - 0 = 1.

Para n personas, siendo n menor que 366:

p(n) = 1 - (364! / [365 - n]! )/365^(n-1)

p(n)=1−364!(365−n)!⋅365n−1p(n)=1−364!(365−n)!⋅365n−1

Para n = 22
p(22) = 1 - 364*363*362*361*360*359*358*357*356*355*354*353*352*351*350*349*348*347*346*345*344/365^21 = 1- 0.5243 = 0.4757

Para n = 23
p(23) = 1 - 0.4927 = 0.5073

Es decir, a partir de 23 personas es más probable que haya al menos dos que cumplan el mismo día que no haya nadie que cumpla el mismo día.

Eso es suponiendo una distribución uniforme, pero en caso de que no fuese uniforme, es decir, que hubiese unos días en los que nacen más personas que en otros días, la probabilidad siempre aumenta… o, dicho de otra forma, podrían ser necesarias menos de 23 personas para una probabilidad de más del 50%, nunca más personas. Como caso extremo, si las personas siempre naciesen el mismo día es obvio que con dos personas basta, no serían necesarias 23.