¿Muchos matemáticos prefieren el álgebra más que el análisis? Si es así, ¿por qué?

En mi percepción es más común que se prefiera el análisis al álgebra. Hay varios motivos, pero uno es que el análisis es mucho más fácil de aplicar.

En general, los métodos del análisis y del álgebra son considerablemente distintos, muchos resultados clásicos del análisis resultan de realizar algunas cuentas para poder encontrar un rr adecuado, donde la intuición muchas veces ayuda, y además, por el orden de los reales, cuando el rr escogido no funciona, puedes modificarlo por uno mayor o menor (Dependiendo de lo que se quiera probar). En el álgebra, por el contrario, la intuición no sirve (Cuando tienes experiencia y dices que algo es por intuición, es de hecho por una “intuición” extraña que desarrollas y que más se debería llamar experiencia a secas). Además, como usualmente no se trabaja con estructuras con un orden tan potente como el de los números reales, no es tan común poder corregir un valor incorrecto. Lo que sí se encuentra fácilmente en el álgebra son muchas estructuras extrañas y sorprendentes, cosa que podría atraer a unos y espantar a otros.

Un ejemplo es que cuando trabajas en álgebra conmutativa, muchos de los objetos que construyes tienen un análogo geométrico (geometría algebraica). Sin embargo, ese análogo es de una geometría muy extraña para cualquiera que esté acostumbrado a trabajar en geometría. Su topología (Zariski) y álgebra (Los Anillos de Coordenadas, los Anillos de funciones regulares, o anillos conmutativos, dependiendo de si se trabaja con variedades algebraicas, esquemas afines, etc.) son generalmente todo lo contrario de lo que se espera de la topología y álgebra (anillos de funciones continuas, o diferenciables) de las estructuras geométricas estándar (variedades topológicas o diferenciables).

En el análisis se trabaja con muchas estructuras, pero todas tienen una estructura métrica casi inmediata. En la geometría diferencial no hay tal, pero casi todo sigue siendo metrizable al menos, y hay métricas que son muy usadas. En el álgebra conmutativa los espacios casi nunca son de Hausdorff. Incluso cuando tomamos estructuras de la topología algebraica (Complejos simpliciales o celulares) todavía no tenemos garantías de existencia de métricas. Así que lo que terminamos viendo es que las topologías que conseguimos suelen medir otras cosas distintas a lo que usualmente miden las topologías surgidas en el análisis o en geometría diferencial.

Aún así, muchas de las construcciones que se hacen en la geometría diferencial, son también posibles en el caso de la geometría algebraica con herramientas totalmente distintas (Las del álgebra conmutativa). Claro, incluso en ese caso la estructura de estas construcciones va a ser extraña. Podemos construir tangentes sobre esquemas afines o variedades algebraicas, y podemos construir análogos de los grupos de Lie (Grupos algebraicos).

Nota: Si hago más énfasis en el álgebra que en el análisis es porque es ahí donde tengo experiencia. Mi conocimiento del análisis se limita al de los cursos que he tenido, algunos malos, y algunos muy buenos.