¿Cuál es la mayor utilidad del análisis matemático?

Si hubiese respondido esta pregunta 3 días atrás es muy probable que mi respuesta fuese otra totalmente distinta a la que escribiré ahora. La razón es porque vi recientemente un vídeo de un canal de Youtube llamado "Numberphlie" y he pasado creo que estos tres días comentándolo con personas que también saben de matemáticas. El vídeo que es altamente criticado (tiene mas de 14.000 "dislikes", incluyendo el mio) ha servido como un buen ejemplo de la importancia del análisis matemático, en especial con conocidos de la universidad que consideraban el análisis como algo muy abstracto pesado y casi sin sentido practico. Usare ese mismo vídeo como ejemplo de la importancia del análisis.

En el canal ya mencionado aparece un vídeo, "Astounding 1+2+3+…=−1121+2+3+…=−112". La persona encargada del vídeo comienza la charla de una manera maravillosa, como una charla convencional entre amigos, y comienza a explicar el impresionante resultado.

Antes de proseguir debo aclarar que es falso que dicha serie infinita de ese resultado a menos que se hagan los tecnicismos necesarios, pero no hablaré de ello aquí.

Para comenzar la persona que habla en el vídeo toma la siguiente suma

S1=∑∞i=0(−1)nS1=∑i=0∞(−1)n

Dicha suma es un tanto rara porque conforme nn se va a infinito, la serie se va alternando entre los valores 00 y 11. La persona a cargo del vídeo decide tomar "el promedio" de ambos resultados que es 1212. Luego toma la siguiente serie muy parecida a la primera.

S2=∑∞i=1(−1)i−1iS2=∑i=1∞(−1)i−1i

Ahora suma la seria S2S2 consigo misma y luego de unos pequeños ajustes obtiene que 2S2=S12S2=S1 y como S1=14S1=14 concluye que S2=14S2=14. Luego llega al paso final donde calcula la diferencia S−S2S−S2 donde SS es la suma de todos los números naturales. Luego de unas pequeñas cuentas obtiene que S−S2=4SS−S2=4S y de allí, haciendo unos simples despejes llega al resultado principal S=−112S=−112.

Desde mi perspectiva el simple hecho de ver esta "prueba" te dice gritos la importancia del análisis matemático. Si la persona que aparece en el vídeo tuviese una noción de lo que es el análisis matemático no tomaría tal cosa como "el promedio" en la serie S1S1, por el simple hecho de que es una serie que claramente diverge y su valor no es para nada concreto, oscila entre dos números, por lo que no puede aparecer de la nada el número que el coloca allí.

Aclaro una cosa. Si se puede tener que S1S1 es lo que él dice pero luego de tomar la continuación analítica de la serie o tomar sumas de Cesaro. Pero en ambos casos cambia el sentido normal de esa suma.

El segundo punto (y el mas importante) es sobre sumar y restar series infinitas. Cualquiera que haya visto el curso de análisis matemático sabe que no puede hacer eso a menos que las series sean convergentes ya que de resto te puede quedar cualquier clase de absurdo.

En el mismo canal aparece un segundo vídeo hablando del mismo tema, mas largo y con una "prueba" mas detallada. La persona (que no era la misma) igual cometió un error fatal de nuevo por no saber análisis. a saber, usar la expresión de la serie geométrica

∑∞r=0xr=11−x∑r=0∞xr=11−x

La cual es validad cuando x∈(−1,1)x∈(−1,1). Aun así decide aplicar la expresión anterior para x=−1x=−1 para así llegar al resultado que el deseaba.

Ahora, es importante mencionar que las personas que aparecen en el vídeo no han sido las únicas personas en cometer errores por no saber análisis, ¡Leibniz también lo hizo!, cuando se encontraba en la clásica disputa histórica sobre la existencia de logaritmos naturales de números negativos que mantuvo con Euler y John Bernoulli (de los tres solo este último creía que si existían dichos logaritmos), Leibniz tomo la serie de los logaritmos

log(1+x)=x−12x2+13x3−14x4log(1+x)=x−12x2+13x3−14x4

Y sustituyó x=−2x=−2 para ver que log(−1)≠0log(−1)≠0 con lo cual refutaba uno de los argumentos de Bernoulli y Euler, aunque de acuerdo en que los logaritmos negativos no existían, propuso un contra ejemplo al argumento dado por Bernoulli usando la serie

11+x=1−x+x2−x3+…11+x=1−x+x2−x3+…

y sustituyendo x=−3x=−3 y x=1x=1 para mostrar los absurdos resultados a los que se podían llegar usando argumentos de series (notese que en el caso x=1x=1 se llega al absurdo cometido por los miembros de Numberphile).

En el tiempo en el que se produjo la disputa (finales del siglo XVII y inicios del siglo XVIII) no existía el análisis matemático por lo que conseguir estos tipos de errores en argumentos era algo común. El análisis matemático siempre lo he considerado (en la forma que se le enseña a los estudiantes de licenciatura) como la fundamentación rigurosa del calculo. De hecho, Terence Tao en su "Analysis, Vol I", en la pregunta "Why do analysis" muestra muchos ejemplos de como podemos cometer errores a la hora de hacer cálculos al asumir cosas que parecen ser ciertas a primera vista pero no lo son o que solo son ciertas bajo ciertas condiciones.

La idea principal del análisis no es llegar a resultados impresionantes, es estudiar la base de esos resultados impresionantes y comorenderlos. Uno puede llegar a la conclusión final que llegan en Numberphile con las herramientas adecuadas, eso cambia la intuición básica del resultado, se vuelve mucho mas creible y coherente, pero claro, no por eso deja de ser algo impresionante.

Así que si alguien te pregunta algún día "¿Y de que me puede servir el análisis?" siempre puedes decirle que conociéndolo evitaras hacer un vídeo de matemáticas en Youtube que tenga mas de 14.000 "no me gusta". O si prefieres la respuesta larga, puedes decir que con el análisis nos encargamos de fundamentar matemáticamente todas nuestras afirmaciones y que con ello aclaramos los límites de la veracidad de nuestros argumentos y las condiciones necesarias para poder aplicar dichos argumentos.

Otra utilidad impresionante del análisis matemático es poder estudiar ecuaciones diferenciales de manera mas analítica, esto no es muy de sorprender, cuando todos los métodos “standars” para resolver ecuaciones fallan, es mejor estudiar el comportamiento de la ecuación para determinar la mayor cantidad de propiedades posibles y claro está, su solución (si es posible).

Realmente esta última es la respuesta seria a tu pregunta pero por la impresión que me causó aquel vídeo decidí colocar la respuesta básica que trata sobre la veracidad de los argumentos

Espero que la respuesta te haya servido. Saludos.

Nota: Para ver la historia comentada acerca de Euler, Bernoulli y Leibniz pueden consultar el libro de Morris Kline "mathematical thought from ancient to modern times" volumen 2, capitulo 19 "Calculus in the eighteenth century".

Edit: coloqué el por qué coloqué el ejemplo de Numberphilie y no otras aplicaciones mucho mas importantes que esa