Digamos que acabas de inventar un teorema matemático. ¿Cuál es el siguiente paso?

Digamos que has intuido algo que te parece una afirmación matemática verdadera. Lo primero sería confirmar su aparente validez tratando de encontrar un contraejemplo, es decir un caso en que es obviamente falsa. Si encuentras uno solo, se acabó el asunto. Si no puedes encontrar algún contraejemplo, tu “verdad matemática” asciende subjetivamente a la categoría de “conjetura”, y ahora puedes dedicar tus esfuerzos a encontrar una demostración. Si la encuentras, entonces asciende (para ti) a la categoría de “teorema”, y a lo mejor puedes publicarla, exponiéndote a que alguien te la destroce encontrando algún error en tu proceso lógico (o encontrando un contraejemplo que a ti se te escapó). Si tu teorema pasa con éxito el escrutinio de los profesionales, tienes establecido tu “teorema”, hasta tanto alguien encuentre un fallo, o un contraejemplo.

Ejemplos:

Fermat (1607–1665) observó que los enteros de la forma F(n)=2^(2^n) + 1 eran primos para n = 0,1,2,3 y 4 (los valores son 3, 5, 17, 257 y 65537) y conjeturó que todos los de esa forma son primos. Pero Euler encontró en 1732 que F(5) = 641 x 6700417, con lo que la conjetura pasó a ser definitivamente falsa, y el “teorema” nunca se materializó. Desde entonces se ha demostrado que F(n) es compuesto para docenas de valores de n, y no se ha encontrado ningún primo de Fermat para n>4, aunque, que yo sepa, nadie ha demostrado que no pueda existir otro primo de esa forma para n>4.

La famosa conjetura de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos ha sido numéricamente comprobada con los computadores más potentes, y nunca se ha encontrado un contraejemplo. Pero tampoco se ha podido formular una demostración, de modo que continúa siendo una conjetura, que no ha alcanzado (y no se sabe si alcanzará) la categoría de teorema.

Edición.

El llamado "Último Teorema de Fermat" fue realmente, durante tres siglos "La última Conjetura de Fermat". Apareció escrita en el margen de una de las páginas del tratado de Diofanto de Alejandría que Fermat manejó, y la encontraron sus herederos cuando examinaban sus papeles después de su muerte. En la nota manuscrita decía que había encontrado una demostración de que la ecuación x^n+y^n=z^n (x,y,z,n enteros) no tenía ninguna solución para n>2, pero que no cabía en el estrecho margen del libro. Pero esa demostración no apareció en ninguno de sus papeles, y por tanto, nunca pudo saberse si Fermat elevó la conjetura a teorema (hay que suponer que llamarla "teorema" fue un acto de deferencia hacia Fermat). Se sospecha que si realmente tenía una demostración, ésta contendría algún error, puesto que en tres siglos los mejores cerebros de las Matemáticas fracasaron en el intento, aunque en el proceso inventaron nueva doctrina. En las últimas décadas del siglo pasado si algún matemático serio trabajaba en el problema, trataba de ocultarlo a sus colegas, pues se consideraba labor inútil. Eso fue lo que hizo A. Wiles durante un tiempo, hasta que publicó la solución del problema en 1995, en un artículo de 109 páginas que contenía el trabajo de varios años. De modo que la denominación correcta es "Teorema de Wiles" que demuestra la famosa conjetura de Fermat.

WILES, A. (1995), Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Annals of Mathematics, 141 : 443–551.