Potenciacion-para-Primer-Grado-de-Secundaria

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Es aquella operación matemática en la cual dados dos 
números “a” (base) y otro entero positivo “n” (exponente), 
se define “p” como la potencia enésima de “a”. 
Exponente Cero 
 
a0 = 1 ⇔ a ≠ 0 
 
Exponente 
 
Base 
 
an = P 
 
Potencia 
Ejemplos: 
 
(5)0 = 1 (1/2)0 = 1 
 
Ejemplos: 
 
34 = 81 53 = 125 
 
* Base : 3 * Base : 5 
* Exponente : 4 * Exponente : 3 
* Potencia : 81 * Potencia : 125 
 
Exponente Natural 
 
a . a . a . ... . a . a = an 
“n” factores 
(-8)0 = 1 ( 3)0 = 1 
 
Teoremas 
 
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL 
BASE 
 
am . an = am+n 
 
 
Demostración: 
 
Se tiene: 
 
 
Ejemplos: 
 
(5)(5)(5) ... (5) = (5)20 
20 factores 
 
(m)(m)(m) ... (m) = (m)15 
15 factores 
 
Así también, tenemos: 
am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a) 
 
“m” factores “n” factores 
 
Contando el total de factores: 
am . an = (a . a . a . ... . a . a) 
 
“m + n” factores 
 
Expresando como potencia: 
am . an = am+n 
 
410 = (4)(4)(4) ... (4) 
10 factores 
Ejemplos: 
 
* 35 . 33 = 35+3 
 
a33 = (a)(a)(a) ... (a) 
 
* m12 
 
. m5 
 
= m12+5 
33 factores 
 
* 6a . 64 = 6a+4 
 
 
Pero también: 
 
mm+2 mm . m2 
 
 2a+7 = 22 . 27 
 
 
POTENCIA DE UN PRODUCTO 
 
(ab)m = am . bm 
 
Ejemplos: 
 
(a3)4 = a3(4) = a12 
 
(m5)n = m5n 
 
Pero también: 
 
a6 = a3(2) = (a3)2 
 
m4p = (m4)p 
 
 
 
Demostración: 
 
Se tiene: 
(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab) 
 
“m” factores 
 
Asociando los factores iguales: 
(ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b) 
 
“m” factores “m” factores 
 
Representando como potencia: 
(ab)m = am . bm 
 
 
Ejemplos: 
 
(5a)4 = 54 . a4 
 
(3 . 8)a = 3a . 8a 
 
Pero también: 
 
35 . p5 = (3p)5 
 
73 . 53 = (7 . 5)3 
LEY DE SIGNOS 
 
(Exponente par) 
1. (+)par = + 
 
Base 
positiva 
 
Ejemplo: 
 
(+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) 
 = +625 
 
 
(Exponente par) 
2. (-)par = + 
 
Base 
negativa 
 
Ejemplo: 
 
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) 
= +81 
 
 
(Exponente impar) 
3. (+)impar = + 
 
POTENCIA DE POTENCIA 
 
(am)n = amn 
 
 
Demostración: 
 
Se tiene: 
Base 
positiva 
 
Ejemplo: 
 
(+6)3 = (+6)(+6)(+6) 
 = +216 
(am)n = am . am . am . ... am 
 
“n” factores 
 
Por la multiplicación de potencias de igual base: 
“n” factores 
(am)n = am+m+m+...+m 
 
de donde: 
(am)n = amn 
(Exponente impar) 
 
4. (-)impar = - 
 
Base 
negativa 
 
Ejemplo: 
 
(-4)3 = (-4)(-4)(-4) 
= -64 
 
 
Principales Potencias 
 
POTENCIAS DE DOS 
 
 21 = 2 26 = 64 
 22 = 4 27 = 128 
2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 
6 factores 
 
Resolución: 
 
* (2)(2) ... (2) = 26 → exponente 
natural 
 23 = 8 28 = 256 
 24 = 16 29 = 512 
 25 = 32 210 = 1024 
 
POTENCIAS DE TRES 
 
31 = 3 34 = 81 
32 = 9 35 = 243 
33 = 27 36 = 729 
 
POTENCIAS DE CINCO 
 
51 = 5 53 = 125 
52 = 25 54 = 625 
 
POTENCIAS DE SIETE 
 
71 = 7 73 = 343 
72 = 49 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
1. Calcula: 50 + 23 + (22)2 
 
Resolución: 
 
* 50 = 1 → exponente cero 
* 23 = 8 → exponente natural 
* (22)2 = 24 → potencia de 
potencia 
 
reemplazando: 
50 + 23 + 24 
↓ ↓ ↓ 
1 + 8 + 16 
25 
6 factores 
* (23)2 = 26 → potencia de potencia 
 
reemplazando: 
(2)(2)(2) ... (2) - (23)2 
6 factores 
↓ ↓ 
 26 - 26 
64 - 64 
0 (cero) 
 
4. Calcula: (-23)2 + (-22)3 
 
Resolución: 
 
Exponente par 
* (-23)2 = +(23)2 
 
Exponente impar 
* (-22)3 = -(22)3 
 
reemplazando: 
+(23)2 - (22)3 
 
por potencia de potencia: 
26 - 26 
64 - 64 
0 (cero) 
 
 
5. Un cubo mágico tiene tres capas con tres líneas de tres 
cubos cada una. ¿Cuántos cubos tiene en total? 
 
Resolución: 
 
 
3 capas 
 
3. Reduce: 
 
(3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 
4 factores 6 factores 
 
 
 
 
De la figura: 
 
 
3 cubos 
3 líneas 
 
Resolución: 
 
Expresamos como potencia: 
34 - 26 
81 - 64 
17 
* Cada fila tiene 3 cubos, entonces en tres filas habrá 3(3) = 
9 cubos. 
* Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas 
habrá 3(9) = 27 cubos. 
De donde se tiene: 
(3)(3)(3) = 33 = 27 cubos 
 
 
 
Resolviendo en clase 
 
 
 
1 Calcula: 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
25 + 24 + 23 
3 Calcula: 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
(2)(2) ... (2) + (-5)3 
 
7 factores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta: Rpta: 
 
 
 
2 Calcula: 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
(2)(2) ... (2) - 43 
 
6 factores 
4 Calcula: 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
(-8)2 + (-2)5 + (-3)3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta: Rpta: 
 
 
 
 
 
5 Calcula: 
{25 + (-3)3 + 41}2 
6 Calcula: 
-(-3)2 + (-4)3 - (-2)4 
 
 
Resolución: Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta: Rpta: 
 
 
 
Ahora en tu cuaderno 
 
 
 
7. Calcula: 10. Calcula: 
 
(-3)4 + (-4)3 - (-5)0 (-3)3 + (-5)2 + (-4)2 
 
 
 
 
 
 
8. Calcula: 
 
 (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1) 
11. Calcula: 
 
 
 
((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102 
 
 
 
 
 
 
9. Calcula: 
 
 
 
(-9)2 + (-3)4 - 53 - 62 
12. Calcula: 
 
 22 - 32 + 42 + 52 - 62 
 
 
 
Para reforzar 
 
 
 
1. Calcula: 
 
 26 + 62 + 2(-6) 
7. Calcula: 
 
(-6)2 + (-5)2 + (-4)3 
 
 a) 86 b) 88 c) 90 
 d) 92 e) 94 
 
 
 
2. Calcula: 
 
 (2)(2) ... (2) + (-3)5 
 
8 factores 
 
a) 11 b) 13 c) 15 
 d) 17 e) 19 
 
 
 
3. Calcula: 
 
30 + 31 + 32 + 33 
 
a) 36 b) 38 c) 40 
 d) 42 e) 44 
 
 
 
4. Calcula: 
 
-25 + 43 - 61 
 
 a) 24 b) 26 c) 28 
 d) 30 e) 32 
 
 
 
5. Calcula: 
 
(-1)6 + 24 - 32 - 40 
 
a) 3 b) 5 c) 7 
 d) 9 e) 11 
 
 
 
6. Calcula: 
 
30 - 43 + 26 
 
a) -2 b) -1 c) 0 
 d) 1 e) 2 
a) -1 b) -3 c) -5 d) 
-7 e) -9 
 
 
 
8. Calcula: 
 
 (2)(2) ... (2) + (-6)3 
 
8 factores 
 
a) 36 b) 40 c) 44 
 d) 48 e) 52 
 
 
 
9. Calcula: 
 
(-11)2 - (-9)2 - (-7)2 
 
a) -9 b) -7 c) -5 d) 
-3 e) -1 
 
 
 
10. Calcula: 
 
53 - (32 + 33 + 34) 
 
 a) 22 b) 24 c) 23 
 d) 25 e) 20 
 
 
 
11. Calcula: 
 
(-2)2 + (-3)2 + (-4)2 + (-5)2 - 72 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
 
12. Calcula: 
 
13 + 23 + 33 + 43 – 102 
 
a) -2 b) -1 c) 0 
 d) 1 e) 2