Si inscribo una circunferencia en un cuadrado y dentro de esta circunferencia otro cuadrado, y así sucesivamente, ¿cuál es el factor de...

Si el lado del cuadrado inicial es L y el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia es l, el radio de la circunferencia inscrita será L/2, que será igual a la semi-diagonal del cuadrado inscrito (véase en la figura), de modo que la diagonal del cuadrado inscrito es d=L; el área de un cuadrado es el cuadrado de su diagonal partido por 2 (pues la diagonal es el lado por √ 2), de manera que el área del cuadrado inicial será:

L² y la del primer cuadrado inscrito será L²/2, por tanto las áreas de ambos cuadrados están en la proporción: 2:1; y los lados de ambos cuadrados están en la proporción de sus raíces cuadradas, es decir, √ 2:1.

El cuadrado inscrito, por tanto, tiene la mitad de área que el cuadrado inicial.

Si se sigue el proceso hasta el infinito, el área del cuadrado enésimo tiende a cero cuando n→∞, como lo hace igualmente el área del círculo enésimo, y la intersección de los infinitos cuadrados (y círculos) incluye tan solo al punto centro de todos los cuadrados y circunferencias.