¿Tendría el número π infinitos decimales con un sistema en base 9, o en base 12? Por ejemplo, uno en el que el fuera 10 nuestro 9 y el 100 nuestro...

Se puede razonar por reducción al absurdo.

Supongamos que no tuviese infinitos decimales en una base cualquiera… ¿qué pasaría en ese caso? ¿o que significa eso?
Verás que eso implica que el número es racional. [llegamos a un absurdo]
Por tanto, si en caso de ser finito el número de decimales sería racional… sólo queda la posibilidad de que el número de decimales de un número irracional (cualquiera, no solo el número PI) sea infinito, no queda otra.

Recordemos qué es la representación de números en una base, incluyendo el caso de los "decimales". Lo pongo entre comillas porque "decimales" hace alusión a fracciones de 10 o base 10… Así que hablar de "decimales" de un número en base 9 no sería muy correcto. No conozco mejor forma de llamarlo que decir que son "cifras fraccionarias de un número en base 9" o "dígitos de la parte fraccionaria".

La notación posicional es un sistema de numeración en el que la posición relativa indica el exponente de la potencia de la base.
Ejemplo:
Números decimales: 308 significa 3 centenas, 0 decenas y 8 unidades
Lo cual en potencias de la base 10 es: 3*10^2 + 0*10^1 + 8*10^0

Cuando tenemos parte fraccionaria los exponentes son negativos:
3.1416 = 3*10^0 + 1*10^(-1) + 4*10^(-2) + 1*10^(-3) + 6*10^(-4)

Esto es lo mismo que decir:
3.1416 = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 6/10000
(3 unidades, 1 décima, 4 centésimas, 1 milésima y 6 diezmilésimas)

Y buscando denominadores iguales, esto es :
30000/10000 + 1000/10000 + 400/10000 + 10/10000 + 6/10000
Es decir: 3.1416 = 31416/10000
Eso prueba que ese número con 4 cifras decimales es fraccionario (racional).

Y algo análogo ocurre en cualquier caso en el que el número de decimales es finito.
¿Por qué? Cada elemento de la parte fraccionaria indica una fracción, un número racional, y la suma de dos racionales o de un número finito de racionales siempre es otro racional. Sin embargo, la suma de infinitos racionales puede ser irracional, que sería el caso de los infinitos decimales de PI o de otro irracional como, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2.

Ojo, no confundamos: si el número de decimales es finito entonces es racional, pero no siempre que el número es racional el número de decimales es finito.
Ej: 1/9 es claramente racional, pero tiene infinitos decimales en base 10.
1/9 = 0.111111…. (infinitos unos a la derecha del punto)

¿Qué pasa en otras bases? Pues algo muy parecido… con ciertos matices.
Veamos la base 9.
"10[base9]" = 1*9^1 + 0*9^0 = 9
"100[base9]" = 1*9^2 + 0*9^1 + 0*9^0 = 81
"0.1[base9]" = 0*9^0 + 1*9^(-1) = 1/9
Nótese dos cosas:
* "0.1[base9]" es un número fraccionario.
* Ese número es 1/9, el cual en base 10 tenía infinitos decimales!!!
Sin embargo, en base 9 el número de "decimales" (dígitos fraccionarios) es finito, tiene uno solo.
Esta "rareza" ocurre también al contrario.
Es decir, números que en base 10 tengan un número finito de dígitos fraccionarios resulta que en base 9 tendrían infinitos dígitos fraccionarios.
Ej:
"0.11111…[base 9]"
es un número del cual podemos encontrar su valor sumando la serie geométrica infinita: 1/9 + (1/9)^2 + (1/9)^3 … = (1/9) / (1 - 1/9) = 1/8 = 0.125
En base 10 tiene 3 decimales pero en base 9 tiene infinitos dígitos fraccionarios.

Cualquier caso en base 9 con un número finito de dígitos fraccionarios al final se puede reducir a una fracción… y, por tanto, es racional, nunca irracional. Y esto ocurre con cualquier base, sea 9, sea 12, sea 16, sea 64 … no importa cuál sea la base.

Por tanto, cualquier irracional, como raíz cuadrada de 2, o el número PI o el número e… o cualquier otro, tiene que tener infinitas cifras fraccionarias en cualquier base, sea cual sea esa base.