¿Qué son espacios vectoriales en algebra lineal?

Las matemáticas, como todas las ciencias abstractas, tienden a generalizar los conceptos.

¿Recuerdas cuando en la escuela te enseñaron sobre la recta numérica, luego sobre el plano cartesiano y después sobre el espacio tridimensional? Generalmente hasta ahí nos quedamos dado que las tres dimensiones se corresponden a la forma en que percibimos el universo, no obstante, la matemática es capaz de ir mucho más allá —Se puede tener una cantidad indefinida de dimensiones si gustas.

Todos los anteriores espacios de coordenadas reales, además de los que vengan después, son un caso especial de espacios vectoriales.

El espacio vectorial es cualquier conjunto de elementos que se te ocurra (a partir de ahora representado como VV), para el cual definas:

• Una operación entre los elementos del conjunto (interna). Se suele representar con el signo de +.
• Una operación entre los elementos del conjunto y elementos de otro conjunto (externa). Se suele representar como una multiplicación.

Además existe la condición de que las operaciones que elijas deberán satisfacer una serie de axiomas[1] :

1. Si xx pertenece a VV y yy pertenece a VV, entonces x+yx+y pertenece a VV.
2. Para todo xx, yy y zz en VV, (x+y)+z(x+y)+z = x+(y+z)x+(y+z).
3. Existe un vector |0 pertenece VV tal que para todo xx pertenece a VV, x+0=0+x=xx+0=0+x=x.
4. Si xx pertenece a VV, existe un vector –x–x en VV tal que x+(−x)=0x+(−x)=0.
5. Si xx y yy están en VV, entonces x+y=y+xx+y=y+x.
6. Si xx pertenece a VV y aa es un escalar, entonces axax pertenece a V.V.
7. Si xx y yy están en V y aa es un escalar, entonces a(x+y)=ax+aya(x+y)=ax+ay.
8. Si xx pertenece a VV y aa y bb son escalares, entonces (a+b)x=ax+by(a+b)x=ax+by.
9. Si xx pertenece a VV y aa y bb son escalares, entonces a(bx)=(ab)xa(bx)=(ab)x.
10. Para cada vector xx pertenece a VV, 1x=x1x=x.

Se pueden definir muchos pares conjuntos/operaciones, desde vectores y matrices hasta polinomios, que satisfagan estas condiciones. Todos esos pares serían espacios vectoriales en sí mismos.

Notas al pie