: ¿cómo puedo hallar el vector tangente unitario y normal unitario usando 't' como parámetro?

La respuesta de es correcta, pero omite muchas cosas. En mi respuesta no las vamos a omitir.

Sea

r⃗ (t)=a coswt i^+a sen wt j^+b wt k^r→(t)=a cos⁡wt i^+a sen wt j^+b wt k^

una función vectorial.

Su vector tangente unitario, T⃗ (t),T→(t), será igual al cociente obtenido por la división de la derivada respecto de tt de la función vectorial con el módulo de dicha derivada, i.e.:

T⃗ (t)=r⃗ ′(t)∥r⃗ ′(t)∥T→(t)=r→(t)′‖r→(t)′‖

Y su vector normal (principal) unitario, N⃗ (t),N→(t), será igual al cociente obtenido por la división de la derivada respecto de tt del vector tangente unitario con el módulo de dicha derivada, i.e.:

N⃗ (t)=T⃗ ′(t)∥T⃗ ′(t)∥N→(t)=T→(t)′‖T→(t)′‖

Comencemos por calcular el vector tangente unitario.

La derivada de la función vectorial es la derivada de cada uno de sus componentes sin considerar sus vectores unitarios, i.e.:

r⃗ ′(t)=−aw sen wt i^+awcoswt j^+bw k^r→(t)′=−aw sen wt i^+awcos⁡wt j^+bw k^

Esto es así porque

• (wt)′=w;(wt)′=w;
• b′=0;b′=0;
• (b wt)′=b′ wt+b (wt)′=bw;(b wt)′=b′ wt+b (wt)′=bw;
• (sen wt)′=w coswt;(sen wt)′=w cos⁡wt;
• a′=0;a′=0;
• (a sen wt)′=a′ sen wt+a (sen wt)′=aw coswt;(a sen wt)′=a′ sen wt+a (sen wt)′=aw cos⁡wt;
• (coswt)′=−w sen wt;(cos⁡wt)′=−w sen wt;
• (a coswt)′=a′ coswt+a (coswt)′=−aw sen wt.(a cos⁡wt)′=a′ cos⁡wt+a (cos⁡wt)′=−aw sen wt.

El módulo de la derivada de la función vectorial es el valor positivo de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada uno de los componentes de la derivada sin tener en cuenta los vectores unitarios, i.e.:

∥r⃗ ′(t)∥=+(−aw sen wt)2+(awcoswt)2+(bw)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=+a2w2 sen2 wt+a2w2 cos2wt+b2w2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=+a2w2(sen2 wt+cos2wt)+b2w2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=+a2w2+b2w2−−−−−−−−−−√=+(a2+b2)w2−−−−−−−−−−√=+a2+b2−−−−−−√w‖r→(t)′‖=+(−aw sen wt)2+(awcos⁡wt)2+(bw)2=+a2w2 sen2 wt+a2w2 cos2⁡wt+b2w2=+a2w2(sen2 wt+cos2⁡wt)+b2w2=+a2w2+b2w2=+(a2+b2)w2=+a2+b2w

Por tanto,

T⃗ (t)=1+a2+b2−−−−−−√w(−aw sen wt i^+awcoswt j^+bw k^)T→(t)=1+a2+b2w(−aw sen wt i^+awcos⁡wt j^+bw k^)

Esto es así, ya que

• sen2 wt+cos2wt=1.sen2 wt+cos2⁡wt=1.

Sacando ww como factor común:

T⃗ (t)=1+a2+b2−−−−−−√ww(−a sen wt i^+acoswt j^+b k^)T→(t)=1+a2+b2ww(−a sen wt i^+acos⁡wt j^+b k^)

T⃗ (t)=1+a2+b2−−−−−−√(−a sen wt i^+acoswt j^+b k^)T→(t)=1+a2+b2(−a sen wt i^+acos⁡wt j^+b k^)

Ahora vayamos a por el vector normal (principal) unitario.

La derivada del vector tangente unitario es la derivada de cada uno de sus componentes sin considerar sus vectores unitarios, i.e.:

T⃗ ′(t)=1+a2+b2−−−−−−√(−a coswt i^−a sen wt j^+0 k^)T→(t)′=1+a2+b2(−a cos⁡wt i^−a sen wt j^+0 k^)

El módulo de la derivada del vector tangente unitario es el valor positivo de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada uno de los componentes de la derivada sin tener en cuenta los vectores unitarios, i.e.:

∥T⃗ ′(t)∥=+(1+a2+b2−−−−−−√)2[(−a coswt)2+(−a sen wt)2+02]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1+a2+b2−−−−−−√(+a2 cos2wt+a2 sen2 wt−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)=1+a2+b2−−−−−−√(+a2(cos2wt+sen2 wt)−−−−−−−−−−−−−−−−−√)=1+a2+b2−−−−−−√(+a2−−√)=1+a2+b2−−−−−−√a‖T→(t)′‖=+(1+a2+b2)2[(−a cos⁡wt)2+(−a sen wt)2+02]=1+a2+b2(+a2 cos2⁡wt+a2 sen2 wt)=1+a2+b2(+a2(cos2⁡wt+sen2 wt))=1+a2+b2(+a2)=1+a2+b2a

Por tanto,

N⃗ (t)=1+a2+b2√1+a2+b2√a(−a coswt i^−a sen wt j^)=1a(−a coswt i^−a sen wt j^+0 k^)N→(t)=1+a2+b21+a2+b2a(−a cos⁡wt i^−a sen wt j^)=1a(−a cos⁡wt i^−a sen wt j^+0 k^)

Sacando aa como factor común:

N⃗ (t)=1aa(− coswt i^− sen wt j^+0 k^)N→(t)=1aa(− cos⁡wt i^− sen wt j^+0 k^)

N⃗ (t)=− coswt i^− sen wt j^+0 k^N→(t)=− cos⁡wt i^− sen wt j^+0 k^

Referencias

• Math LibreTexts. Larry Green. "2.4.: The Unit Tangent and the Unit Normal Vectors" (2020).