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Hagamos L=limn→∞(1+1n)nL=limn→∞(1+1n)n.

Tomando neperianos tenemos que ln(L)=lnlimn→∞(1+1n)nln⁡(L)=ln⁡limn→∞(1+1n)n.

El neperiano del límite es el límite del neperiano, con lo que ln(L)=limn→∞ln((1+1n)n)ln⁡(L)=limn→∞ln⁡((1+1n)n).

Aplicando propiedades de los logaritmos ln(L)=limn→∞nln(1+1n)ln⁡(L)=limn→∞nln⁡(1+1n).

Reescribimos el límite para poder aplicar L'Hôpital, ln(L)=limn→∞ln(1+1n)1nln⁡(L)=limn→∞ln⁡(1+1n)1n.

Aplicamos L'Hôpital, ln(L)=limn→∞−1n21+1n−1n2ln⁡(L)=limn→∞−1n21+1n−1n2.

Y aunque sea un poco caótico lo reordenamos en ln(L)=limn→∞11+1n=1ln⁡(L)=limn→∞11+1n=1.

Y si ln(L)=1ln⁡(L)=1, entonces L=eL=e, como queríamos demostrar, y hemos terminado.