Si el tiempo es relativo, ¿tiene sentido hablar de "Edad del Universo"? ¿Por qué?

A2A*. Gracias por la pregunta, Alberto, es muy buena pregunta y la divulgación pasa por alto el asunto. Efectivamente la edad del universo no es la mismo para todos los observadores y, si midiéramos ese intervalo de tiempo desde el principio del universo desde diferentes posiciones de observador, no llegaríamos al mismo número, aunque para la mayor parte de observadores el número no diferiría demasiado (si pensamos en observadores situados en planetas que orbitan alrededor de estrellas que a su vez orbitan alrededor de su centro galáctico).

El asunto es que cuando se habla de la Edad del Universo se están pensando en el tiempo trancurrido desde el Big Bang en un sistema de referencia particular: el sistema comóvil del materia en expansión: uno de los sistema desde el cual el resto del universo se vería expandirse isótropamente en todas direcciones, tal como corresponde a una expansión métrica del espacio (más adelante doy las ecuaciones que definen este sistema). Un sistema así correspondería a una partícula tal que la influencia de gravitatoria de los astros cercanos está compensada y simplemente avanza en el tiempo (pero sin moverse significativamente respecto al fondo de microondas) una sección transversal da una idea como es este sistema y la expansión observada por él:

El asunto es que casi todos los cuerpos masivos grandes del universo tienen unas velocidades espaciales muy inferiores a la de luz por lo que definen sistemas de referencia donde las cosas no difieren mucho del sistema comóvil. Por ejemplo la Tierra se mueve siguiendo al Sol alrededor de la galaxia a unos 720000 km/h (unos 200 km/s) pero aún así esta velocidad es pequeña comparada con la de la luz (299792 km/s). Por esa razón la edad del universo medida desde la Tierra o desde un sistema perfectamente comóvil no diferirá demasiado. El asunto sería diferente si midiéramos la edad del universo desde el punto de vista de un neutrino que llevara miles de millones de años viajando a velocidades cercanas a la de la luz.

Admitiendo según mediciones recientes que el espacio a gran escala tiene una curvatura cercana a cero podemos definir el sistema de referencia comóvil como aquel en el que las distancias vienen dadas por:

ds2=−c2dt2+a2(t)(dx2+dy2+dz2),(∗)ds2=−c2dt2+a2(t)(dx2+dy2+dz2),(∗)

Donde cc es naturalmente la velocidad de la luz, a(t)>0a(t)>0 el factor de escala que expresa como van aumentando las distancias espaciales con el transcurrir del tiempo debido a la expansión y (t,x,y,z)(t,x,y,z) son las coordenadas usadas para un punto del espacio-tiempo.

Para un físico la raíz cuadrada de esta última expresión una vez integrada daría la "distancia" espacio-temporal ss o alternativamente el "tiempo propio" ττ del observador dado por:

cτ=∫t0c2(dtdt)2−a2(t)((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷ dt=∫t0c2−a2(t)(v2x+v2y+v2z)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ dtcτ=∫0tc2(dtdt)2−a2(t)((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2) dt=∫0tc2−a2(t)(vx2+vy2+vz2) dt

Esa ecuación da la relación entre el tiempo propio de un observador cualquiera con velocidad (vx,vy,vz)(vx,vy,vz) respecto al sistema comóvil y el tiempo comóvil. Siempre y cuando la velocidad en el espacio de un cuerpo sea bastante inferior a la de la luz, su tiempo propio y el del sistema comóvil serán muy muy poco diferentes [que en el fondo es lo que pasa, de todas maneras en física teórica directamente se usa el tiempo comóvil teórico porque es más sencillo hacer los ajustes directamente con ese tiempo, que con el tiempo propio medido desde la Tierra]. La expresión anterior permite medir la "cuadrivelocidad" espacio-temporal de un objeto:

V0=d(ct)dτ=c1−(a2v2)/c2−−−−−−−−−−−√V0=d(ct)dτ=c1−(a2v2)/c2

Vi=d(xi)dτ=avx1−(a2v2)/c2−−−−−−−−−−−√,i=1,2,3.Vi=d(xi)dτ=avx1−(a2v2)/c2,i=1,2,3.

Como puede verse de estas componetes, la componente temporal V0V0, es claramente la mayor y está cerca de la velocidad de la luz cc. El sistema comóvil viene definido porque en él se tiene exactamente Vi=0Vi=0 (para i=1,2,3i=1,2,3), para un sistema de referencia como el de la Tierra se tiene solo que Vi≈0Vi≈0.

Un matemático escribiría la ecuación (∗)(∗) de manera un poco diferente:

g=∑3α,β=0gαβdxα⊗dxβ=−c2dt⊗dt+a2(t)(dx⊗dx+dy⊗dy+dz⊗dz)g=∑α,β=03gαβdxα⊗dxβ=−c2dt⊗dt+a2(t)(dx⊗dx+dy⊗dy+dz⊗dz)

donde la dd es la diferencial exterior de las funciones coordenadas y ⊗⊗ es el producto tensorial usado para componer las 1-formas dxαdxα. Esencialmente, en términos informales esta expresión se usa como la usan los físicos para sus cálculos numéricos.