Si 0x + 0 = 0, ¿qué es x?

La aritmética posee propiedades (axiomas) «básicas» para los números, de las que parten todas las demás propiedades y las cuales no se deducen de ninguna otra, por esto último son axiomas. Abajo se enumeran nueve de esas propiedades «básicas», siendo a,b,ca,b,c números cualesquiera:

P1 a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c (Ley asociativa de la suma)
P2 a+0=0+a=aa+0=0+a=a (Existencia de una identidad para la suma)
P3 a+(−a)=(−a)+a=0a+(−a)=(−a)+a=0 (Existencia de inversos para la suma)
P4 a+b=b+aa+b=b+a (Ley comutativa para la suma)
P5 a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c (Ley asociativa para la multiplicación)
P6 a⋅1=1⋅a=a:1≠0a⋅1=1⋅a=a:1≠0 (Existencia de una identidad para la multiplicación)
P7 a⋅a−1=a−1⋅a=1:a≠0a⋅a−1=a−1⋅a=1:a≠0 (Existencia de inversos para la multiplicación)
P8 a⋅b=b⋅aa⋅b=b⋅a (Ley comutativa para la multiplicación)
P9 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (Ley distributiva)

De las propiedades P2, P3 y P9 se deduce:

(a⋅0)+(a⋅0)=a⋅(0+0)(a⋅0)+(a⋅0)=a⋅(0+0) (P9)
(a⋅0)+(a⋅0)=a⋅0(a⋅0)+(a⋅0)=a⋅0 (P2)
(a⋅0)+(a⋅0)−(a⋅0)=(a⋅0)−(a⋅0)(a⋅0)+(a⋅0)−(a⋅0)=(a⋅0)−(a⋅0)
(a⋅0)=0(a⋅0)=0 (P3)

Y para no contradecir a estas tres propiedades, basta retringir P7 cuando aa es distinto de 00.

Tu ejemplo puede analizarse bajo estos axiomas, siendo xx un número cualquiera desconocido (incognita):

0⋅x+0=00⋅x+0=0
0⋅x=00⋅x=0 (P2)

Una buena manera que tienen las matemáticas de expresar que xx equivale a cualquier número es aducir que xx cumple una propiedad básica de todo número. Viéndolo de otra manera, por la ecuación planteada no se puede determinar qué número es xx.

En resumen, si te guías ciegamente por P7 podrías insinuar que 0−10−1 existe, lo cual es falso, eso tiene tanto sentido como dividir por cero. Mi humilde opinión es que, aunque sabemos la respuesta, el impedimento para despejar xx es que se requiere suponer que 0−10−1 existe, lo cual contradice a P2, P3 y P9.

Desmostrar cualquiera de las nueve propiedades es equivalente a decir que no son axiomas. Pero no será en vano cualquier análisis que hagas sobre ellas.

Espero ayudarte (y no liarte) con mi respuesta, me pareció que esperabas una fundamentación aritmética.

P.D: Sabiendo que xx es cualquier número ¿De qué otra manera pueden decirnos las matemáticas que xx es un número cualquiera? Y ¿De qué otras formas podemos expresar la ecuación 0⋅x+0=00⋅x+0=0 en lenguaje matemático?

Referencias:
Cálculo infinitesimal. 2da Edición - Michael Spivak (pags. 3 - 26)