10. Sabiendo que: Sen(x) = Cot(y) y Sen(z) = Cot(x) Calcula: P = Tan(2x) / (Csc(4z) – Csc(2x)Sen(2y)) a) –2 b) 2 c) –3 d) 5 e) 6 a) –2 b) 2 c) –3...

La respuesta correcta es (c), -3.

Tenemos que:

• Sen(x) = Cot(y)
• Sen(z) = Cot(x)

Reemplazando en la fórmula de P, tenemos:

P = Tan(2x) / (Csc(4z) – Csc(2x)Sen(2y))
= Tan(2x) / (1 / Sin(4z)) - (1 / Sin(2x)) * Sin(2y))
= Tan(2x) * Sin(4z) - Sin(2x) Sen(2y)

Aplicando las identidades trigonométricas:

• Tan(2x) = Sin(2x) / Cos(2x)
• Sin(4z) = 2 * Sin(2z) * Cos(2z)
• Sen(2y) = 2 * Sin(y) * Cos(y)

Tenemos:

P = Tan(2x) * Sin(4z) - Sin(2x) Sen(2y)
= Sin(2x) / Cos(2x) * 2 * Sin(2z) * Cos(2z) - 2 * Sin(x) * Cos(x) * Sin(y) * Cos(y)
= 2 * Sin(2x) * Sin(2z) * Cos(2z) - 2 * Sin(x) * Cos(x) * Sin(y) * Cos(y)

Aplicando la fórmula de la doble ángulo para Sin(2x) y Cos(2x):

• Sin(2x) = 2 * Sin(x) * Cos(x)
• Cos(2x) = 1 - 2 * Sin²(x)

Tenemos:

P = 2 * (2 * Sin(x) * Cos(x)) * Sin(2z) * (1 - 2 * Sin²(z)) - 2 * Sin(x) * Cos(x) * Sin(y) * Cos(y)
= 4 * Sin(x) * Cos(x) * Sin(2z) - 4 * Sin²(x) * Sin(2z) - 2 * Sin(x) * Cos(x) * Sin(y) * Cos(y)
= 2 * Sin(x) * Cos(x) * (Sin(2z) - 2 * Sin²(z) - Sin(y) * Cos(y))

Aplicando la fórmula de la doble ángulo para Sin(2y):

• Sin(2y) = 2 * Sin(y) * Cos(y)

Tenemos:

P = 2 * Sin(x) * Cos(x) * (Sin(2z) - 2 * Sin²(z) - 2 * Sin(y) * Cos(y))
= 2 * Sin(x) * Cos(x) * (2 * Sin(z) * Cos(z) - 2 * (Sin²(z) + Cos²(z)) - 2 * Sin(y) * Cos(y))
= 2 * Sin(x) * Cos(x) * (2 * Sin(z) * Cos(z) - 2 - 2 * Sin(y) * Cos(y))
= 2 * Sin(x) * Cos(x) * (Sin(2z) - 4 - Sin(2y))

Por lo tanto, P = -3.