4. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50º con la horizontal mide 8 m, ¿cuál es la altura del árbol?

La altura del árbol es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, donde la sombra es un cateto y el ángulo de los rayos del sol con la horizontal es el ángulo agudo del triángulo.

La fórmula para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo es:

h = √(a² + b²)

Donde:

• h es la hipotenusa
• a es el primer cateto
• b es el segundo cateto

En este caso, tenemos que:

• a = 8 m (la sombra)
• b = tan(50º) * 8 m (el ángulo de los rayos del sol con la horizontal)

b = tan(50º) * 8 m
b = 1,225 * 8 m
b = 9,8 m

Por lo tanto, la altura del árbol es:

h = √(a² + b²)
h = √(8² + 9,8²)
h = √144,44
h = 12 m

Por lo tanto, la altura del árbol es 12 m.

Otra forma de resolver este problema es usar el teorema de tangente, que establece que la tangente de un ángulo es la razón entre los catetos de un triángulo rectángulo.

En este caso, tenemos que:

tan(50º) = b / a
tan(50º) = 9,8 m / 8 m
tan(50º) = 1,225

Si despejamos a en la fórmula del teorema de tangente, obtenemos:

a = b / tan(α)
a = 9,8 m / tan(50º)
a = 8 m

Por lo tanto, la altura del árbol es 12 m.