Resolver los siguientes problemas utilizando el método de los multiplicado-res de Lagrange. Determinar si son máximos o mínimos analizando el diferencial segundo.

a) Un lote rectangular de 800m2 tiene un lado sobre un río. Hallar las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea mínima.
b) Se desea alambrar un campo rectangular limitado por un río como indica la figura. Si la longitud del alambre es de 1.500 mts., determinar las dimensiones del terreno para que la superficie encerrada sea máxima.
c) Determinar x de tal manera que el cuadrado inscripto sea de área mínima, si el lado del cuadrado ABCD es de 10 m.
d) Una escuela necesita aulas rectangulares de 16m2 de superficie. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del aula para gastar la menor cantidad posible de material?
e) Se dispone de 36 mts. de cerca para encerrar un terreno rectangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que sea de superficie máxima?
f) Un hombre desea cercar un campo rectangular y luego subdividirlo en tres parcelas rectangulares colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si dispone de 1.000 mts. de cerca, ¿qué dimensiones le darán la superficie máxima? Calcularla.
g) Una caja rectangular de base cuadrada y sin tapa debe tener un volumen de 32 cm3 ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo de fabricación sea mínimo? Determinar la superficie.
h) ¿Qué dimensiones debe tener un depósito de lata que utilice 108 dm2 de material, abierto en su parte superior, de base cuadrada, para que su capacidad sea la mayor posible? Dar el volumen.
i) El número de fallas N es función de los números x e y de cambios de dos partes de una máquina y está dado por: N(x;y) = 3x2 + y2 + 2xy – 22x + 60. Para minimizar las fallas, ¿qué número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y? Calcular el número de fallas.
j) Hallar k para que z = kx + y con 111 =+ yx y x > 0, y > 0, presente un punto crítico en P0 = (2;2). Clasificarlo.
k) Demostrar que la función f (x;y) = x2 + y2 sujeta a que x2 – 8xy +7y2 = 405 tiene dos puntos críticos. Calcularlos.
l) Calcular entre todos los cilindros circulares rectos de volumen 2 dm3 las dimensiones del radio r de la base y h del cilindro de superficie total mínima.
m) Calcular la mínima distancia del punto ( )P 1 0;= a la parábola 2 4y x= .
n) Calcular la mínima distancia del punto ( )P 2 0;= a la parábola y = 4−x2, con x ≥ 0.