el área de un paralelo-gramo ubicado en el plano tangente a la superficie en ( ) ( )00000 v;ufz;y;x = ge-nerado por los vectores 'uf.uΔ y 'vf.vΔ . Esto se debe que el seg-mento de longitud Δu se transforma, a través de f , es una curva (C2) situada sobre la superficie. El vector 'uf es el vector velocidad de esta curva, por lo tanto cuando u se in-crementa en Δu, el punto correspondiente a (u0;v0) sobre la superficie se des-plaza a lo largo de dicha curva una distancia aproximadamente igual a 'uf.uΔ . Lo mismo sucede con 'vf.vΔ . El área del paralelogramo (una porción de la superficie S) que generan los vectores 'uf.uΔ y 'vf.vΔ (dS) está dado el módulo de su producto vectorial. v.u.fff.vf.udS 'v 'u 'v 'u ΔΔ∧=Δ∧Δ= . f Alejandro E. García Venturini316 ( )u;vsen.u;vcos.u −−= Por lo tanto el área de la superficie es: S = ∧ D 'v 'u dv.du.ff De esta forma el área de una superficie queda expresada por una integral doble. Ejemplo Si D es la región limitada por 10 ≤≤ u y π20 ≤≤ v , y ( ) ( )u;vsenu;vcosuv;uf = Calculamos los vectores 'uf y 'vf ( )1;vsen;vcosf 'u = ( )0;vcos.u;vsen.uf 'v −= ( )=+−−= − =∧ vsen.uvcos.u;vusen;vcos.u vcos.uvsen.u vsenvcos kji ff 'v 'u 22 0 1 El área es S = ==++ D D dv.du.udv.du.uvsen.uvcos.u 222222 2 = D dv.du.u2 Llegamos así a la expresión de la integral doble que nos permite calcular el área. Resolvemos la integral utilizando coordenadas polares. π πππ 2 2 2 2 2 222 2 0 2 0 2 0 1 0 22 0 1 0 ====== v.dvdvudv.du.udv.du.uS D b) La superficie está expresada en forma explícita Si la superficie está expresada como ( )y;xfz = , podemos adoptar la si-guiente forma paramétrica: x = x; y = y, ( )y;xfz = . Integrales múltiples 317 ( ) ( )[ ]y;xf;y;xy;xf = ( )' x ' x z;;f 01= y ( )' y ' y z;;f 10= ( )1 10 01 ;z;z z z kji ff ' y ' x ' y ' x ' y ' x ' y ' x −−==∧ ( ) ( ) dy.dx.zzdy.dx.ffdS ' y ' x ' y ' x 22 1 ++=∧= Por lo tanto S = ( ) ( )++ D ' y ' x dy.dx.zz 22 1 , donde D es la proyección de la superficie sobre el plano (xy). Ejemplo Calcular utilizando una integral doble el área del paralelogramo intersección del prisma: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, y el plano z = 3y. ] 2 2 22 0 0 0 2 2 0 0 1 3 0 10 10 2 10 2 10 4 10 D S .dx.dy .dx.dy x .dy dy y = + + = = = = c) La superficie está expresada en forma implícita Si la superficie está expresada como ( ) 0=z;y;xF , el dS se obtiene reem-plazando en las derivadas parciales: dy.dx. F F F FdS ' z ' y ' z ' x 22 1 ++= Por lo tanto ( ) ( ) ( )++ = D ' z ' z ' y ' x dy.dx. F F F S 222 Alejandro E. García Venturini318 ] 2 2 3 3 0 0 33 3 2 2 3 2 0 0 0 0 16 36 9 61 9 9 61 61 2 612 2 9 9 3 9 3 61 613 6 9 3 x D / x S .dx.dy .dy.dx xy .dx x .dx . x . − + − + + += = = = = − + = − + = = − = − − = = = Ejemplos a) Calcular utilizando una integral doble el área del triángulo de vértices A = (3;0;0), B = (0;2;0) y C = (0;0;4). La ecuación del plano es 1 423 =++ zyx 012364 =−++ zyx b) Calcular utilizando una integral doble el área lateral de la zona esférica 25222 =++ zyx , para 40 ≤≤ x . Otros casos Si en lugar de proyectar sobre el plano (x;y), proyectamos sobre los otros planos coordenados, tenemos: a) ( )z;xfy = , proyectamos sobre el plano ( )z;x S = ( ) ( )++ D ' z ' x dz.dx.yy 22 1 o ( ) ( ) ( )= D ' y ' z ' y ' x dz.dx F F F S 222 Ejemplo i) Calcular utilizando una integral doble el área del paralelogramo intersec- ción del prisma: 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 3, y el plano y = 3x. Pensamos a ( )z;xfy = . ] 3 3 3 32 0 0 0 3 3 0 0 1 10 101 0 9 9 3 3 10 3 10 9 10 D S .dx.dz .dx.dz x .dz dz z = + + = = = = ii) Calcular el área de la parte de superficie del cilindro 2 2 9x y+ = , recorta- da por el cilindro 2 2 9x z+ = , en el primer octante. Pensamos a 2 2 9x y+ = , como una función implícita que define a y = f (x ; z). ( ) ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 2 2 0 0 93 9 3 3 3 02 2 0 0 0 00 2 2 2 3 3 3 3 9 9 9 9 x D xx x y x y S .dx.dz .dz.dx y y z.dz .dx .dx dx x x .dx .xπ π π − −− + + = = = = = = − − = − + = = = Ejemplos Resolvemos el caso anterior i), considerando a ( )z;yfx = , 3 yx = ] 3 9 3 9 0 0 0 0 3 3 0 0 1 10 101 0 9 9 3 3 10 3 10 9 10 D S .dy.dz .dy.dz y .dz dz z = + + = = = = Vemos que por otro camino llegamos a lo mismo. APLICACIONES FÍSICAS De las integrales dobles Cálculo de la masa Consideremos una lámina delgada que tiene la forma de un recinto D. Supo- nemos que la materia está distribuida en la lámina y que ( )y;xρ representa la densidad superficial1 en un punto ( )y;x . En este caso la integral doble re- presenta la masa de la lámina. ( )= D dy.dx.y;xM ρ Cálculo de los momentos estáticos En este caso los momentos estáticos o primeros se definen de la siguiente manera: Respecto del eje x: ( )= D x dy.dx.y.y;xM ρ Respecto del eje y: ( )= D y dy.dx.x.y;xM ρ Cálculo del centro de masa Las coordenadas del centro de masa son: ( ) ( ) == D Dy g dy.dx.y;x dy.dx.x.y;x M M x ρ ρ ( ) ( ) == D Dx g dy.dx.y;x dy.dx.x.y;x M M x